ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΚΑΙ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΤΙΜΟΛΟΓΗΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΕΣ ΕΤΕΡΟΣΚΕΔΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑΣ ΚΡΕΜΜΥΔΑ ΙΩΑΝΝΑ Επιβλέπων Καθηγητής ΑΡΒΑΝΙΤΗΣ ΣΤΥΛΙΑΝΟΣ Διατριβή υποβληθεία προς μερική εκπλήρωη των απαραιτήτων προϋποθέεων για την απόκτηη του Μεταπτυχιακού Διπλώματος Ειδίκευης Αθήνα [Ιανουάριος, 2012]

Εγκρίνουμε τη διατριβή της ΚΡΕΜΜΥΔΑ ΙΩΑΝΝΑΣ ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΑΡΒΑΝΙΤΗΣ ΣΤΕΛΙΟΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΥΠΟΓΡΑΦΗ ΕΞΕΤΑΣΤΗΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ 1 ΤΖΑΒΑΛΗΣ ΗΛΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΥΠΟΓΡΑΦΗ ΕΞΕΤΑΣΤΗΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ 2 ΚΟΡΔΑΣ ΓΡΗΓΟΡΙΟΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΥΠΟΓΡΑΦΗ [Ιανουάριος 2012]

Περίληψη Η παρούα διπλωματική παρουιάζει τους τρόπους τιμολόγηης παραγώγωνδικαιωμάτων κάτω από την υπόθεη της δεμευμένης ετεροκεδατικότητας. Δηλαδή, υπό την υπόθεη ότι η μεταβλητότητα των χρηματοοικονομικών τίτλων δεν παραμένει ταθερή. Η μελέτη της μεταβλητότητας έχει γίνει ημαντικό πεδίο έρευνας τα χρηματοοικονομικά, για του εξής λόγους: Αρχικά γιατί μας βοηθάει να καταλάβουμε τη δυναμική των τιμών από τη τιγμή που είναι μεταβλητή- «κλειδί» τις τοχατικές διαφορικές εξιώεις που χαρακτηρίζουν τις τιμές των μετοχών. Δεύτερον, γιατί είναι η μοναδική μεταβλητή τη φόρμουλα τιμολόγηης των Black and Scholes που δεν παρατηρείται, οπότε η δυνατότητα να μοντελοποιήουμε τη μεταβλητότητα είναι ημαντική για την τιμολόγηη των δικαιωμάτων. Τρίτον, η μεταβλητότητα είναι ημαντική τη λήψη αποφάεων, όταν αυτή ερμηνεύεται ως αβεβαιότητα και αποτελεί ημαντικό παράγοντα πολλών επενδυτικών αποφάεων και αναπόπατο κομμάτι της διαχείριης χαρτοφυλακίων. Τέλος, η μεταβλητότητα είναι ημαντική για τη χάραξη νομιματικής πολιτικής από τα κράτη. Επηρεάζει την επενδυτική ψυχολογία και κατ επέκταη την ευρύτερη οικονομία. Έτι οι κεντρικές τράπεζες λαμβάνουν οβαρά υπόψη τη μεταβλητότητα των μετοχών, ομολόγων και νομιμάτων προκειμένου να χαράξουν τη νομιματική πολιτική τους. Στην παρούα εργαία αρχικά γίνεται αναφορά τους βαικούς οριμούς της τοχατικής ανάλυης και γενικότερα των χρηματοοικονομικών μαθηματικών που χρηιμοποιήθηκαν καθώς επίης γίνεται μία ειαγωγή τη θεωρία των παράγωγων προϊόντων και κυρίως των ευρωπαϊκών δικαιωμάτων. Στη υνέχεια παρουιάζονται οι τρόποι τιμολόγηης των δικαιωμάτων, ξεκινώντας από το απλό υπόδειγμα των Black and Scholes έως τον τρόπο που γίνεται η τιμολόγηη υπό υνθήκες ετεροκεδατικότητας. Συγκεκριμένα αναπτύονται 3 διαφορετικά υποδείγματα, τα οποία προομοιώνονται το Matlab. Έμφαη δίνεται τη θεωρία των martingales. Τέλος, γίνεται αναφορά την τεκμαρτή μεταβλητότητα και πως αυτή μπορεί να χρηιμοποιηθεί προκειμένου τελικά να υπολογίουμε αυτό που δεν παρατηρείται, δηλαδή τη μεταβλητότητα και παρουιάζονται τα υμπεράματα της παρούας διπλωματικής.

Περιεχόμενα ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο... 1 Ειαγωγικές έννοιες... 1 1.1 Στοχατική ανάλυη... 1 1.1.1 Στοχατικές Διαφορικές Εξιώεις (Stochastic Differentiate Equations)... 1 1.1.2 Οριμός Wiener process... 1 1.1.3 Το Λήμμα του Itô (Ito s Lemma)... 3 1.1.4 Γεωμετρική κίνηη Brown (Geometric Brownian Motion)... 3 1.2 Ουδέτερη Κινδύνου τιμολόγηη (Risk Neutral Valuation)... 4 1.2.1 Φιλτράριμα... 4 1.2.2 Martingales... 4 1.2.3 Αλλαγή μέτρου πιθανότητας (change of measure)... 5 1.2.4 Χώρος Πιθανοτήτων... 6 1.2.5 Θεώρημα Girsanov... 6 1.3 Θεμελιώδη Θεωρήματα τη χρηματοοικονομική... 7 1.3.1 Αυτοχρηματοδοτούμενο χαρτοφυλάκιο... 7 1.3.2 Put-Call Parity... 7 1.3.3 Πληρότητα των αγορών (Complete markets)... 8 1.3.4 Υπόθεη της πληροφοριακά αποτελεματικής αγοράς... 9 1.4 Ειαγωγή τα παράγωγα... 10 1.4.1 Συμβόλαια Μελλοντικής Εκπλήρωης (Σ.Μ.Ε-forward contract)... 10 1.4.2 Δικαιώματα... 11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο... 13 Τιμολόγηη Δικαιωμάτων... 13 2.1 Το υπόδειγμα των Black and Scholes... 13 2.1.1 Υποθέεις του υποδείγματος:... 13 2.1.2 Η μερική διαφορική εξίωη BS και ο τύπος τιμολόγηης δικαιωμάτων. 14 2.1.3 Αμφιβήτηη υποθέεων υποδείγματος Black and Scholes... 16 2.2 Οικονομετρικές Μελέτες... 17 2.2.1 Εξετάζοντας την υπόθεη του Τυχαίου Περιπάτου (Testing the Random Walk Hypothesis)... 17 2.2.3 Sequences and Reversals... 19

2.2.4 Αυτουχετίεις (Autocorrelations)... 20 2.2.5 Μοντέλα ARCH... 21 2.2.6 Μοντέλα GARCH... 24 2.2.7 ARCH-M Models.... 25 2.2.8 Μοντέλα EGARCH... 25 2.3 Υποδείγματα με μεταβαλλόμενη διακύμανη... 28 2.3.1 Μοντέλο με μεταβλητότητα εξαρτώμενη από το χρόνο (time dependent volatility)... 28 2.3.2 Υπόδειγμα ταθερής ελατικότητας της διακύμανης (CEV)... 29 2.3.3 Διαδικαίες διάχυης αλμάτων (Jump-diffusion processes)... 29 2.3 Στοχατικά υποδείγματα μεταβλητότητας(stochastic Volatility Models)... 30 2.3.1 Στοχατικό Υπόδειγμα Heston (1993)... 31 2.3.2 Στοχατική διαφορική εξίωη Black and Scholes θεωρώντας τη διακύμανη ως τοχατική ανέλιξη.... 32 2.3.3 Στοχατική διαφορική εξίωη Black and Scholes με τοχατική διακύμανη και υχετιμένα Wiener Processes.... 35 2.4 Τιμολόγηη Παραγώγων υπό υνθήκες ετεροκεδατικότητας... 37 2.4.1 Κανονική κατανομή (Normal Distribution)... 37 2.4.2 Προδοκίες (Expectations)... 38 2.4.3 Νόμος των επαναλαμβανόμενων προδοκιών (Law of iterated expectations - LIE)... 39 2.4.4 Τιμολόγηη Call Option... 40 2.4.5 Τιμολόγηη Forward Contract... 41 2.4.6 Τιμολόγηη Put Option... 42 2.5 Κατανομή υποκείμενου τίτλου υπό διαφορετικές υνθήκες... 44 2.5.1 Στοχατική διακύμανη με αυχέτιτα Wiener processes ε υνεχή χρόνο... 44 2.5.2 Στοχατική διακύμανη με αυχέτιτα τα Wiener processes ε διακριτό χρόνο.... 45 2.5.3 Στοχατική διακύμανη με υχέτιη ανάμεα τα Wiener processes ε διακριτό χρόνο.... 47 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο... 49 Προομοίωη με τη βοήθεια του Matlab... 49 3.1 Eιαγωγή το Monte Carlo... 49 3.2 Προομοιώεις το Μatlab... 50

3.2.1 Στοχατική διακύμανη με αυχέτιτα Wiener processes ε υνεχή χρόνο... 50 3.2.2 Στοχατική διακύμανη με αυχέτιτα Wiener processes ε διακριτό χρόνο... 52 3.2.3 Στοχατική διακύμανη με υχετιμένα Wiener processes ε διακριτό χρόνο... 53 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο... 55 Τεκμαρτή Μεταβλητότητα... 55 4.1 Ειαγωγή τη μεταβλητότητα.... 55 4.1.1 Εμπειρικά χαρακτηριτικά μεταβλητότητας... 55 4.1.2 Ιτορική μεταβλητότητα... 57 4.2 Τεκμαρτή μεταβλητότητα... 57 4.2.1 Υπολογιμός τεκμαρτής μεταβλητότητας imp (implied Volatility)... 58 Κεφάλαιο 5 ο... 65 Συμπεράματα... 65

Λίτα Σχημάτων Σχήμα 1: Κίνηη Brown... 2 Σχήμα 2: Αποδόεις δείκτη ASE General από 01/01/1995 έως 01/11/2010... 17 Σχήμα 3: Ιτόγραμμα αποδόεων δείκτη ASE... 18 Σχήμα 4: Πίνακας που υγκεντρώνει τα χαρακτηριτικά των αποδόεων του δείκτη ASE... 18 Σχήμα 5: Sequences και Reversals... 19 Σχήμα 6: Αυτουχετίεις αποδόεων... 20 Σχήμα 7: Διάγραμμα αυτουχέτιης αποδόεων δείκτη ASE... 21 Σχήμα 8: Προομοίωη λευκού θορύβου... 22 Σχήμα 9: Προομοίωη ARCH(1)... 23 Σχήμα 10: Προομοίωη ARCH(4)... 24 Σχήμα 11: Προομοίωη GARCH(1,1)... 25 Σχήμα 13: Αυτουχετίεις κανονικοποιημένων καταλοίπων... 27 Σχήμα 14: Αυτουχετίεις κανονικοποιημένων καταλοίπων EGARCH-M(1)... 28

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο Ειαγωγικές έννοιες 1.1 Στοχατική ανάλυη Πριν την πλήρη ανάλυη του θέματος της παρούας εργαίας, κόπιμο είναι να παρουιάουμε υνοπτικά την κυριότερη χρηματοοικονομική-μαθηματική θεωρία που χρηιμοποιήθηκε. 1.1.1 Στοχατικές Διαφορικές Εξιώεις (Stochastic Differentiate Equations) Η πιο δημοφιλής μέθοδος μοντελοποίηης των τιμών των μετοχών χρηιμοποιεί τις τοχατικές διαφορικές εξιώεις. Έτω X(t) μία τοχατική διαδικαία (όπως είναι οι τιμές των μετοχών) την οποία ορίζουμε ως διάχυη αν ακολουθεί την παρακάτω διαφορική εξίωη: Όπου : Το αποτελεί την τάη του Χ(t) Το αποτελεί την διακύμανη (ή αλλιώς γνωτό ως τοχατικός όρος.) Η προαύξηη αναφέρεται το W το οποίο ονομάζεται Wiener process. 1.1.2 Οριμός Wiener process Η κίνηη Wiener, είναι ένας ιδιαίτερος τύπος της ανέλιξης Markov (δανειμένος από τη φυική, που περιγράφει την κίνηη των μορίων, όταν υποβάλλονται ε μεγάλο αριθμό μοριακών οκ) και είναι γνωτή και ως κίνηη Brown. Χρηιμοποιείται για να περιγράψουμε την κίνηη των αποδόεων των μετοχών, οι οποίες υποτίθεται ότι, μεταβάλλονται τυχαία το χρόνο εξ αιτίας του αποτελέματος μικρών, αλλά πολλών ανεξάρτητων τυχαίων οκ, που επιβάλλονται τις τιμές των μετοχών με την είοδο κάθε πληροφορίας. Έτω S μια τυχαία μεταβλητή, και t ο χρόνος. Σε ένα μικρό χρονικό διάτημα Δt, η τυχαία μεταβλητή S μεταβάλλεται κατά ΔS. Εάν η S ακολουθεί την ανέλιξη Wiener, τότε η μεταβολή την S, δηλαδή ΔS, ε ένα μικρό χρονικό διάτημα Δt, θα είναι:, όπου z ~Ν(0, 1) και, οριακά όο t 0, τότε. Αφού z είναι η τυποποιημένη κανονική μεταβλητή, οι μεταβολές ΔS θα κατανέμονται κανονικά με μέο μηδέν και διακύμανη Δt. Μια από τις ημαντικές ιδιότητες της ανέλιξης Wiener είναι ότι οι τιμές της ΔS για δυο μικρά διαφορετικά χρονικά διατήματα, είναι ανεξάρτητες, επειδή εξαρτάται από μια άλλη τυχαία μεταβλητή, z 1

(που μπορεί να αντικατοπτρίζει το αποτέλεμα της ειόδου νέας πληροφορίας το ύτημα της αγοράς) και υνεπώς, για την ΔS ιχύουν: Μέος = Διακύμανη = Τυπική απόκλιη = Με βάη τα παραπάνω το ΔS είναι Συνοψίζοντας, μια τοχατική ανέλιξη W(t) ονομάζεται Wiener process αν ικανοποιεί τις παρακάτω υνθήκες: W(0) = 0 W(t) έχει ανεξάρτητες προαυξήεις. Με άλλα λόγια W(u) - W(t) και W(s) - W(i) είναι ανεξάρτητα για W(t) έχει υνεχείς διαδρομές W(t) - W(s) ) για Η τοχατική διαδικαία ονομάζεται διάχυη εξαιτίας των μοντέλων διάχυης τη φυική. Σε υνεχή χρόνο αφήνουμε το οπότε η τοχατική διαφορική εξίωη γίνεται: για Χ(0) = α (ταθερό). Εναλλακτικά, η εξίωη αυτή με ολοκληρώματα γίνεται: Μάλιτα είναι αξιοημείωτο ότι την παραπάνω εξίωη, το πρώτο ολοκλήρωμα ονομάζεται ολοκλήρωμα του Riemann ενώ το δεύτερο είναι ένα τοχατικό ολοκλήρωμα βαιμένο τη Wiener process. Στο παρακάτω διάγραμμα απεικονίζεται η κίνηη Wiener όπως προομοιώνεται με την βοήθεια του Matlab. Σχήμα 1: Κίνηη Brown 2

Το μονοπάτι Wiener προομοιώθηκε το Matlab χρηιμοποιώντας τον παρακάτω κώδικα. k = 1; w = zeros(100,1); w(1) = 0; for i = 1:k-1 w(i+1) = w(i) + sqrt(1/100)*randn; end 1.1.3 Το Λήμμα του Itô (Ito s Lemma) Το λήμμα του Itô είναι το πιο ημαντικό αποτέλεμα του τοχατικού διαφορικού λογιμού. Υποθέτουμε ότι η Χ(t) είναι μία τοχατική ανέλιξη, της οποίας η τοχατική διαφορική εξίωη δίνεται από την παρακάτω χέη:, Έτω Ζ(t) μία καινούργια διαδικαία με και η είναι δύο φορές παραγωγίιμη υνάρτηη, τότε η Z θα έχει την εξής τοχατική διαφορική εξίωη: Ουιατικά ο Itô (1951) αυτό που απέδειξε είναι ότι κάθε τυχαία μεταβλητή που είναι υνάρτηη μιας άλλης μεταβλητής, η οποία ακολουθεί την ανέλιξη του Itô, θα ακολουθεί και αυτή μια Itô ανέλιξη. 1.1.4 Γεωμετρική κίνηη Brown (Geometric Brownian Motion) Το μοντέλο μας εδώ υποθέτει ότι οι αποδόεις και όχι οι τιμές των μετοχών, ακολουθούν Wiener process. Οι αποδόεις μπορούν να είναι είτε θετικές είτε αρνητικές οπότε έχουμε το εξής μοντέλο: μ με να είναι οι αποδόεις της μετοχής και είναι Wiener process. Η παραπάνω εξίωη μπορεί να γραφεί ως εξής: Η εξίωη αυτή είναι μια τοχατική διαφορική εξίωη (SDE) η οποία περιγράφει τη διαδικαία με την οποία εξελίονται οι αποδόεις των μετοχών τη διάρκεια του χρόνου. Για να αποκτήουμε την αντίτοιχη διαδικαία για τη μετοχή, θέτουμε έτι ώτε, και εφαρμόζοντας το λήμμα του Ito έχουμε: το οποίο αν ολοκληρώουμε οδηγούματε ε: 3

και οπότε και αν υψώουμε και τα δύο μέλη της τελευταίας την e έχουμε: Παρατηρούμε ότι: Από το οποίο καταλήγουμε ότι Χ(t) ακολουθεί τη λογαριθμοκανονική κατανομή με υνάρτηη πυκνότητας πιθανότητας: 1.2 Ουδέτερη Κινδύνου τιμολόγηη (Risk Neutral Valuation) 1.2.1 Φιλτράριμα Έτω ένα ύνολο πληροφορίας το οποίο είναι διαθέιμο να παρατηρήουμε. Αν: με Τότε το ύνολο πληροφορίας ονομάζεται φιλτράριμα (filtration) 1.2.2 Martingales Στα χρηματοοικονομικά μαθηματικά, οι διαδικαίες martingales είναι ημαντικές για να καταλάβουμε ιδέες όπως για παράδειγμα αυτήν της πληρότητας των αγορών. Μία ακολουθία τυχαίων μεταβλητών, θα καλείται martingale ως προς το φιλτράριμα αν είναι προαρμομένη το φιλτράριμα αυτό. Δηλαδή: =, για s Αυτό ημαίνει ότι η αναμενόμενη τιμή τον χρόνο j της διαδικαίας Μ κάτω από το μέτρο πιθανότητας P, δεδομένης της ιτορίας του μέχρι το χρόνο t είναι η αξία της διαδικαίας μέχρι τη χρονική τιγμή t. Αυτό ημαίνει ότι η διαδικαία M δε θα έχει drift κάτω από το μέτρο πιθανότητας P. Επειδή όμως ενδιαφερόματε για τις τοχατικές διαδικαίες, ορίζουμε τα martingales για αυτές: 4

Μια τοχατική διαδικαία Χ είναι martingale αν και μόνο αν η τοχατική εξίωή της έχει τη μορφή: Και η είναι μία ανέλιξη η οποία ικανοποιεί τη υνθήκη: Επομένως για να είναι μία τοχατική διαδικαία martingale δε θα πρέπει να έχει τάη. Θα πρέπει όπως λέμε να είναι driftless. 1.2.3 Αλλαγή μέτρου πιθανότητας (change of measure) Προκειμένου να τιμολογηθούν τα ευρωπαϊκά δικαιώματα υπάρχει και ο τρόπος της ουδέτερης κινδύνου τιμολόγηης. Ο Samuelson απέδειξε ότι η τιμή ενός ευρωπαϊκού δικαιώματος αγοράς (European call option) ιούται με την προεξοφλημένη αναμενόμενη τιμή του:, (1) Όπου το r είναι ο παράγοντας προεξόφληης και το είναι το μέτρο πιθανότητας. Η δυκολία με αυτήν την προέγγιη είναι ότι ο προεξοφλητικός παράγοντας και το μέτρο πιθανότητας ποικίλουν ανάλογα με τις προτιμήεις του επενδυτή, οπότε τυπικά είναι άγνωτα και διαλεγμένα αυθαίρετα. Για παράδειγμα ένας επενδυτής ουδέτερος ως προς τον κίνδυνο δεν απαιτεί να έχει κίνητρο ή αντικίνητρο να αναλάβει μία επένδυη με κίνδυνο, οπότε αν η προεξοφλημένη αναμενόμενη τιμή παραμείνει ταθερή θα πληρώει την ίδια τιμή ανεξάρτητα του ρίκου που αναλαμβάνει. Επιπλέον, για έναν επενδυτή αδιάφορο ως προς τον κίνδυνο έχουμε r = risk free επιτόκιο, το οποίο παρατηρείται ενώ το είναι άγνωτο. Κάτω από το υπόδειγμα των Black and Scholes (BS), η τιμολόγηη των δικαιωμάτων είναι ανεξάρτητη των προτιμήεων ως προς τον κίνδυνο. Η αποτροφή του επενδυτή ως προς τον κίνδυνο αυξάνεται με την τάη της απόδοης, μ. Όμως το μ δεν εμφανίζεται πουθενά την εξίωη τιμολόγηης των ΒS. Έτι αποδείχθηκε πως αν χρηιμοποιηθεί η εξίωη (1), όλες οι τιμές των δικαιωμάτων θα έδιναν την ίδια τιμή ανεξαρτήτως των προτιμήεων ως προς τον κίνδυνο. Έτι η εξίωη (1) θα έδινε πάντα την ίδια απάντηη με την εξίωη των BS. Για να τιμολογήουμε τα δικαιώματα ως ουδέτεροι επενδυτές, προεξοφλούμε το risk free επιτόκιο και παίρνουμε αναμενόμενες τιμές κάτω από το ουδέτερο κινδύνου μέτρο πιθανότητας. Για να πάρουμε αναμενόμενες τιμές κάτω από αυτό το μέτρο πιθανότητας, χρειάζεται να αλλάξουμε το μέτρο πιθανότητας τη τοχατική διαφορική εξίωη, κάτι που απαιτεί τη χρήη του θεωρήματος του Girsanov. Το θεώρημα αυτό μας λέει πώς αλλάζει μία τοχατική διαφορική εξίωη καθώς αλλάζει το μέτρο πιθανότητας P. Κατ ουία, το θεώρημα αυτό μας εξηγεί ότι μία αλλαγή το μέτρο πιθανότητας P αντιτοιχεί ε μία αλλαγή της τάης μ και η υπόλοιπη εξίωη SDE παραμένει αμετάβλητη. Για να εξηγήουμε πώς αλλάζει το μέτρο πιθανότητας, ορίζουμε τους χώρους πιθανοτήτων. 5

1.2.4 Χώρος Πιθανοτήτων Η τριάδα ονομάζεται χώρος πιθανοτήτων, όπου Ω αναφέρεται τον δειγματικό χώρο, το ύνολο των πιθανών υμβάντων, F αναφέρεται τη υλλογή υπουνόλων του Ω και είναι το μέτρο πιθανότητας των F. Έτι αντίτοιχα το ονομάζεται φιλτραριμένος χώρος πιθανοτήτων. Υποθέτεται ότι έχουμε τον χώρο πιθανοτήτων. Τότε μία αλλαγή το μέτρο από ημαίνει ότι θα έχουμε τον εξής χώρο:. Παρακάτω παρουιάζουμε το θεώρημα του Girsanov για αλλαγή μέτρου πιθανότητας ε SDEs. 1.2.5 Θεώρημα Girsanov Υποθέτουμε ότι έχουμε μία οικογένεια υνόλων πληροφορίας [0,Τ] όπου Τ. Προδιορίζεται για το [0,Τ] η τυχαία ανέλιξη : du} για μία περίοδο Όπου μία είναι Wiener process κάτω από το μέτρο πιθανότητας P και λ(t) είναι μετρήιμη διαδικαία η οποία ικανοποιεί τη υνθήκη Nonikov: Τότε, είναι μία ανέλιξη Wiener ε χέη με το κάτω από το μέτρο πιθανότητας και το ορίζεται ως: Το μέτρο πιθανότητας ορίζεται ως: με Α να είναι ενδεχόμενο το. Θα μπορούαμε να πούμε πως το θεώρημα μας λέει ότι η αλλαγή του μέτρου είναι η πρόθεη ή η αφαίρεη μιας φιλτραριμένης τάης ( την ανέλιξη Wiener. Η προεξοφλημένη ουδέτερη κινδύνου διαδικαία εκφράζεται ως εξής: Αν θέουμε: τότε παίρνουμε: 6

το οποίο είναι martingale από τη τιγμή που το λ(t) ακυρώνει την τάη. Η επιλογή του λ(t) είναι επίης γνωτή ως η τιμή κινδύνου αγοράς (market price of risk) και Sharpe ratio. Πρέπει να παρατηρήουμε ότι μόνο μια επιλογή για το λ(t) ε αυτήν την SDE μας δίνει ένα martingale (ή αλλιώς εξαλείφει το drift) οπότε το είναι γνωτό ως μοναδικό μέτρο martingale. Έτι, η τιμολόγηη κάτω από αυτό το μέτρο ονομάζεται ουδέτερη κινδύνου τιμολόγηη. 1.3 Θεμελιώδη Θεωρήματα τη χρηματοοικονομική 1.3.1 Αυτοχρηματοδοτούμενο χαρτοφυλάκιο Πριν ξεκινήουμε με τα θεωρήματα, θα πρέπει να ορίουμε τι ημαίνει ακίνδυνη κερδοκοπία (arbitrage) και αυτοχρηματοδοτούμενο χαρτοφυλάκιο. Ένα χαρτοφυλάκιο είναι αυτοχρηματοδοτούμενο αν η αλλαγή την αξία του είναι το αποτέλεμα αλλαγών τις τιμές των μετοχών και δεν οφείλεται ε εξωτερικές αναλήψεις ή προθήκες. Για παράδειγμα, ένα χαρτοφυλάκιο V(t) που αποτελείται από μετοχές X(t) και από ομόλογα B(t) είναι αυτοχρηματοδοτούμενο αν: Πιθανότητα κερδοκοπίας ε μία χρηματοοικονομική αγορά είναι ένα αυτοχρηματοδοτούμενο χαρτοφυλάκιο V(t) τέτοιο ώτε: V(0) Ε[V(0)] Με άλλα λόγια η ακίνδυνη κερδοκοπία είναι η δυνατότητα να βγάλεις κέρδος χωρίς να υπάρχει η πιθανότητα να χάεις. Λέμε ότι έχουμε «δίκαιη τιμή» όταν για μία μετοχή δεν υπάρχει η δυνατότητα κερδοκοπίας. Θεώρημα 1: Μία αγορά είναι free of arbitrage αν και μόνο αν υπάρχει μοναδικό martingale μέτρο. Θεώρημα 2: Υποθέτουμε ότι η αγορά είναι risk free. Η αγορά είναι πλήρης όταν και μόνο όταν υπάρχει μοναδικό μέτρο martingale. Αν οι αγορές ήταν μη πλήρεις τότε θα είχαμε ποικιλία από τιμές δικαιωμάτων μη ακίνδυνης κερδοκοπίας καθώς δεν θα υπήρχε μοναδικό μέτρο martingale. 1.3.2 Put-Call Parity Υποθέτουμε ότι τις αγορές μας δεν υπάρχουν ευκαιρίες ακίνδυνης κερδοκοπίας. Αν ε αυτή υπάρχουν ένα ευρωπαϊκό δικαίωμα αγοράς C(t,X) και ένα ευρωπαϊκό δικαίωμα πώληης P(t,X) τότε έχουμε τη χέη put-call parity: 7

όπου D είναι το μέριμα που δίνει ο υποκείμενος τίτλος κατά τη διάρκεια ζωής του δικαιώματος. Αν η παραπάνω χέη δεν ιχύει αυτό ημαίνει ότι δεν υπάρχουν δυνατότητες ακίνδυνης κερδοκοπίας. 1.3.3 Πληρότητα των αγορών (Complete markets) Ονομάζουμε Χ, το ύνολο που αποτελείται από όλες τις αποδόεις τίτλων που υπάρχουν την οικονομία. Αυτό θα είναι υπούνολο του, όπου s είναι ο αριθμός των πηγών αβεβαιότητας που υφίτανται αυτήν και επηρεάζουν τις δυνατές διαχρονικές ροές κατανάλωης των υμμετεχόντων ε αυτήν (ο αριθμός αυτός μπορεί να είναι άπειρος. Έτι: Όταν τότε οι αγορές ονομάζονται πλήρεις (complete markets) ενώ όταν οι αγορές ονομάζονται ατελείς. (incomplete markets) Το παραπάνω ορίζει ως πληρότητα των αγορών την ύπαρξη για κάθε πηγή κινδύνου απόδοης (και άρα τίτλου) που την αναπαριτά. Όταν υπάρχουν πηγές κινδύνου που δεν αναπαρίτανται τις αποδόεις, δηλαδή όταν δεν υπάρχει την οικονομία ικανός αριθμός από τίτλους για την αναπαράταη κάθε υπάρχοντος κινδύνου, οι αγορές είναι ατελείς. Οι παρακάτω δύο υποθέεις θα χαρακτηρίζουν τον Χ: Υπόθεη 1. Αν. Η παραπάνω υπόθεη, ονομάζεται υπόθεη χηματιμού Χαρτοφυλακίου (ΥΣΧ) Υπόθεη 2. για κάθε, Η παραπάνω υπόθεη, ονομάζεται Νόμος της μιας τιμής (ΝΜΤ). Η τιμολόγηη δηλαδή είναι γραμμική υνάρτηη. Αν δεν ιχύει αυτό τότε υπάρχουν περιθώρια ακίνδυνης κερδοκοπίας (arbitrage) Θεώρημα 3. Αν ιχύουν οι παραπάνω δύο υποθέεις τότε ο SDF είναι μοναδικός το Χ για να ιχύει ότι : Η τυχαία μεταβλητή ονομάζεται τοχατικός παράγοντας προεξόφληης (stochastic discount factor-sdf) καθώς η τιμή του τίτλου εκφράζεται ως η αναμενόμενη παρούα αξία της απόδοης προεξοφλημένη ως προς τον SDF. Εφόον λοιπόν υποθέουμε ότι υπάρχει την οικονομία μοναδικός και με πιθανότητα1 θετικός SDF, τότε οι χρηματοοικονομικοί τίτλοι θα αποτιμούνται μέω αυτού από: Υπόθεη 3. Αν και με πιθανότητα 1 και με θετική πιθανότητα, τότε: Η παραπάνω υπόθεη ονομάζεται Μη Ύπαρξη Ευκαιριών Ακίνδυνης Κερδοκοπίας (ΜΥΕΑΚ). Δηλαδή δεν είναι δυνατή η κατακευή χαρτοφυλακίου που να έχει θετική απόδοη με κότος απόκτηης μηδενικό. Θεώρημα 4. Αν ιχύει η ΜΥΕΑΚ τότε τέτοια ώτε να ιχύει ότι: 8

Αν δεν ίχυε η ΜΥΕΑΚ τότε : = Με πιθανότητα 1, κάτι το οποίο θα ίχυε μόνο εάν με θετική πιθανότητα. Έτι δεδομένου ότι, η ΜΥΕΑΚ εξαφαλίζει ότι ο SDF είναι θετικός με πιθανότητα 1. Επιπλέον αν οι αγορές είναι πλήρεις, αυτός είναι μοναδικός. 1.3.4 Υπόθεη της πληροφοριακά αποτελεματικής αγοράς Η υπόθεη της πληροφοριακά αποτελεματικής αγοράς (Efficient Market Hypothesis) διατυπώνεται ως εξής: Η αξία κάθε χρηματοοικονομικού τίτλου (ΧΤ) αντανακλά με πληρότητα τη διαθέιμη τους υναλλαόμενους πληροφορία ε κάθε τιγμή. Η τιμή κάθε ΧΤ ιούται με την αξία αυτού ε κάθε τιγμή. Η τιμή κάθε ΧΤ αντανακλά (αναπαριτά) με πληρότητα τη διαθέιμη πληροφορία για κάθε t. Δεδομένου αυτού και του γεγονότος ότι τα ύνολα πληροφορίας εξελίονται τον χρόνο με μη προβλέψιμο τρόπο η άμεη υνέπεια της E.M.H είναι η: «οι τιμές των Χ.Τ εξελίονται τον χρόνο με μη προβλέψιμο τρόπο (τυχαία, τοχατικά)» Διακρίνουμε τρεις μορφές ιχύος της Ε.Μ.Η ανάλογα με το «μέγεθος» ( ευκολία πρόκτηης) του υνόλου πληροφοριών το οποίο αναπαριτούν οι τιμές: i. Αθενής μορφής (Weak form) Το αποτελείται αποκλειτικά από τις παρελθούες τιμές (πιο εύκολα προβάιμη πληροφορία). Οπότε ε αυτή τη μορφή ιχύος η EMH διατυπώνεται: «οι τιμές αναπαριτούν με πληρότητα τις παρελθούες τιμές για κάθε t.» και υνεπάγεται: «οι τιμές είναι μη προβλέψιμες από τις παρελθούες» το οποίο με τη ειρά του υνεπάγεται ότι: «αλγόριθμοι πρόβλεψης των μελλοντικών τιμών βάει των παρελθουών δεν υπάρχουν.» ii. Μέη μορφή (Semi-Strong form) Το αποτελείται από τις παρελθούες τιμές και οποιαδήποτε άλλη δημόια πληροφορία (π.χ ανακοινώεις κερδών, μακρο-μεγεθών κ.ο.κ). Σε αυτή τη μορφή η ΕΜΗ διατυπώνεται ως εξής: «οι τιμές αναπαριτούν κάθε δημόια πληροφορία για κάθε t» και υνεπάγεται: «οι τιμές είναι μη προβλέψιμες από τις παρελθούες και κάθε άλλη δημόια πληροφορία». Οπότε: «αλγόριθμοι πρόβλεψης των μελλοντικών τιμών από οποιαδήποτε δημόια πληροφορία δεν υπάρχουν» iii. Υψηλή μορφή(strong form) Το αποτελείται από κάθε είδους πληροφορία δημόια/ ιδιωτική. Αυτή διαχέεται άμεα τους υναλλαόμενους από την παρατήρηη των ενεργειών αυτών που ενδεχομένως διαθέτουν ιδιωτική πληροφορία. Διατυπώνεται ως εξής: «οι τιμές αντανακλούν κάθε χετική με τους ΧΤ πληροφορία για κάθε t.» και υνεπάγεται ότι: «οι τιμές είναι μη προβλέψιμες» και άρα «δεν υπάρχουν αλγόριθμοι πρόβλεψης» 9

Η υπόθεη της ΕΜΗ είναι ιοδύναμη με το ότι η μελλοντική τιμή είναι μη προβλέψιμη δεδομένου του τρέχοντος υνόλου πληροφοριών, όπου αυτό είναι ιοδύναμο με το ότι η μεταβολή της τιμής είναι μη προβλέψιμη δεδομένου του τρέχοντος υνόλου πληροφοριών και αυτό είναι ιοδύναμο με το ότι η αναμενόμενη τιμή δεδομένου του τρέχοντος υνόλου πληροφοριών της μεταβολής της τιμής είναι μηδέν άρα και ότι η τιμή είναι martingale. Αυτό όμως όταν δεν λαμβάνεται υπ όψιν η αμοιβή ως προς τον κίνδυνο. 1.4 Ειαγωγή τα παράγωγα Τα παράγωγα χρηματοοικονομικά προϊόντα (Derivatives) δεν αποτελούν καινοτομία των ύγχρονων αγορών κεφαλαίου και χρήµατος. Η πρώτη χρήη τους χρονολογείται πριν από πολλούς αιώνες, όταν οι αρχαίοι Φοίνικες αλλά και οι αρχαίοι Έλληνες πωλούαν ολόκληρα φορτία πλοίων προθεμιακά, δηλαδή µε προκαθοριμένη τιμή, αλλά και παράδοη το μέλλον. Η αναγέννηη των γραµµάτων και των τεχνών την Ευρώπη, έφερε μεταξύ άλλων και νεωτεριµούς τις αγορές κυρίως των Κάτω Χωρών (του Βελγίου και της Ολλανδίας) που αποτελούαν το κέντρο του Ευρωπαϊκού εµπορίου. Στο Άµτερνταµ της Ολλανδίας, οι υναλλαγές ε προθεµιακά υµβόλαια [Futures] χρονολογούνται από τη δεκαετία του 1630. Κατά τις δεκαετίες του 1970 και του 1980, η απελευθέρωη των αγορών υναλλάγµατος, αλλά και η υµβολή των ακαδηµαϊκών την τιµολόγηη των παραγώγων χρηµατοοικονοµικών προϊόντων και κυρίως των δικαιωµάτων προτίµηης (Options), κατόρθωαν να αλλάξουν ριζικά το τοπίο και να διευρύνουν ηµαντικά τη χρήη τους. Οι χρηματοοικονομικοί τίτλοι ή αξιόγραφα μπορούν να χωριτούν ε πρωτογενείς τίτλους, όπως μετοχές, ομόλογα και ξένα νομίματα και ε δευτερογενείς ή παράγωγους τίτλους όπως τα υμβόλαια μελλοντικής εκπλήρωης και τα δικαιώματα (options). Οι παράγωγοι τίτλοι είναι υμβόλαια αγοράς ή πώληης πρωτογενών τίτλων ε κάποιο μελλοντικό χρόνο και ως εκ τούτου η αξία τους είναι υνδεδεμένη με τη μελλοντική αξία των πρωτογενών αυτών τίτλων. Οι χέεις μεταξύ των δύο τύπων χρηματοοικονομικών τίτλων είναι επαρκώς πεπλεγμένες και αβέβαιες ώτε και οι δύο να αποτελούν αντικείμενο έντονων αγοραπωληιών ταυτόχρονα την ίδια αγορά. 1.4.1 Συμβόλαια Μελλοντικής Εκπλήρωης (Σ.Μ.Ε-forward contract) Ένα υμβόλαιο μελλοντικής εκπλήρωης, είναι απλούτερο είδος παράγωγου τίτλου, είναι μία υμφωνία για την αγορά ή την πώληη ενός πρωτογενούς τίτλου ε προκαθοριμένο μελλοντικό χρόνο Τ, ο οποίος ονομάζεται χρόνος λήξης του υμβολαίου, και ε μία προκαθοριμένη τιμή Κ, η οποία ονομάζεται τιμή εξάκηης του υμβολαίου. Λέμε ότι ο αγορατής του υμβολαίου κατέχει τη θετική θέη (long position), και ο πωλητής του την αρνητική θέη (short position). Τα υμβόλαια μελλοντικής εκπλήρωης είναι δεμευτικά και μπορούν να χρηιμοποιηθούν είτε για εξιορρόπηη κινδύνων είτε για κερδοκοπία. Η αξία του Σ.Μ.Ε τη λήξη του Τ, είναι ίη με την τιμή του υποκείμενου τίτλου τον χρόνο 10

αυτό,. Για τον αγορατή του Σ.Μ.Ε, ο οποίος έχει και τη θετική θέη τη υναλλαγή, η απόδοη του υμβολαίου τον χρόνο Τ, είναι ίη με, ενώ για τον πωλητή που κατέχει την αρνητική θέη, η απόδοη του υμβολαίου είναι ίη με - και το κέρδος του 1.4.2 Δικαιώματα Ένα προαιρετικό δικαίωμα ή δικαίωμα προαίρεης είναι ένα υμβόλαιο που δίνει τον αγορατή του το δικαίωμα αλλά όχι την υποχρέωη, να αγοράει ή να πουλήει ε κάποιο μελλοντικό χρόνο ένα πρωτογενή τίτλο πχ μία μετοχή ε μία προκαθοριμένη τιμή. Ο τίτλος που ο αγορατής του δικαιώματος μπορεί να αγοράει ή να πουλήει ε μελλοντικό χρόνο ονομάζεται υποκείμενος τίτλος, ενώ η προκαθοριμένη τιμή που ο υποκείμενος τίτλος μπορεί να αγορατεί η να πουληθεί ονομάζεται τιμή εξάκηης. Ο χρόνος ύναψης του υμβολαίου ονομάζεται χρόνος εγγραφής του δικαιώματος, ενώ ο χρόνος πέραν από τον οποίο το δικαίωμα δεν μπορεί να εξακηθεί ονομάζεται χρόνος λήξης του δικαιώματος. Πρέπει να τονίουμε ότι όλα τα δικαιώματα είναι προαιρετικά, δηλαδή ο αγορατής οπουδήποτε δικαιώματος δεν υποχρεούται να το εξακήει αλλά το εξακεί μόνο όταν αυτός το επιθυμεί, δηλαδή όταν η εξάκηη είναι επικερδής για τον ίδιο. Παρακάτω και ε όλη την παρούα διπλωματική θα αναφερθούμε το απλό Ευρωπαϊκό δικαίωμα αγοράς, το απλό Ευρωπαϊκό δικαίωμα πώληης και το απλό προθεμιακό υμβόλαιο. Ευρωπαϊκό δικαίωμα αγοράς (European Call Option) Είναι ένα υμβόλαιο, που δίνει τον αγορατή του το δικαίωμα να αγοράει τον υποκείμενο τίτλο ε ένα προκαθοριμένο χρόνο Τ και ε μία προκαθοριμένη τιμή εξάκηης Κ. Η αξία ενός ευρωπαϊκού δικαιώματος αγοράς δίνεται από τη χέη Ευρωπαϊκό δικαίωμα αγοράς (European Put Option) Για τον πωλητή ενός, αξία του τον χρόνο Τ είναι: Το ευρωπαικό δικαίωμα πώληης (European put option) είναι ένα υμβόλαιο, που δίνει τον αγορατή του το δικαίωμα να πουλήει τον υποκείμενο τίτλο ε ένα προκαθοριμένο χρόνο Τ και ε μία προκαθοριμένη τιμή εξάκηης Κ. Η αξία ενός ευρωπαϊκού δικαιώματος πώληης δίνεται από τη χέη Θα λέμε ότι, ένα δικαίωμα αγοράς είναι εντός της ιοδύναμης χρηματικής αξίας (inthe-money) όταν η τιμή εξάκηης είναι μικρότερη από την τρέχουα αξία του υποκείμενου τίτλου, δηλαδή όταν: Στην περίπτωη αυτή το δικαίωμα έχει εωτερική αξία και μπορεί να εξακηθεί. Θα λέμε ότι ένα δικαίωμα αγοράς βρίκεται την ιοδύναμη χρηματική αξία (at-the-money), όταν η τιμή εξάκηης του δικαιώματος ιούται με την τρέχουα τιμή της υποκείμενης αξίας. Δηλαδή όταν. Τέλος, θα λέμε ότι βρίκεται εκτός της ιοδύναμης χρηματικής αξίας (outof the- money) όταν η τιμή εξάκηης είναι υψηλότερη από την τρέχουα τιμή της υποκείμενης αξίας. Δηλαδή όταν ιχύει: 11

12

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο Τιμολόγηη Δικαιωμάτων 2.1 Το υπόδειγμα των Black and Scholes Το υπόδειγμα των Black-Scholes (1973) είναι μακράν το πιο διαδεδομένο μοντέλο τιμολόγηης των δικαιωμάτων προαίρεης, αλλά αυτό δε ημαίνει ότι δεν υπάρχουν και άλλα υποδείγματα τιμολόγηης δικαιωμάτων. Από την εποχή που οι Black και Scholes δημοίευαν την καθοριτική εργαία τους το 1973, έχει υπάρξει ένας καταιγιμός θεωρητικών και εμπειρικών εργαιών χετικά με την τιμολόγηη δικαιωμάτων προαίρεης. Παρόλο που οι περιότεροι ερευνητές διατήρηαν τη βαική υπόθεη των Black και Scholes, ότι οι τιμές του υποκείμενου αγαθού ακολουθούν μια γεωμετρική κίνηη Brown, υπήρξαν και υποθέεις για διαφορετικές κατανομές καθώς και υποθέεις για μη ταθερή μεταβλητότητα.(διακύμανη). Στη υνέχεια αναπτύονται οι υποθέεις του υποδείγματος. 2.1.1 Υποθέεις του υποδείγματος: 1. Η τιμή του πρωτογενούς τίτλου πάνω τον οποίο είναι γραμμένο το ευρωπαϊκό δικαίωμα αγοράς ακολουθεί τον λογαριθμοκανονικό περίπατο, δηλαδή: και Η υπόθεη αυτή μπορεί να γενικευτεί το ότι η τιμή του υποκείμενου τίτλου ακολουθεί πιο γενικές τοχατικές διαδικαίες ανέλιξης. 2. Το επιτόκιο μηδενικού κινδύνου και η μεταβλητότητα είναι γνωτές και ταθερές, δηλαδή δεν μεταβάλλονται κατά τη διάρκεια ζωής του δικαιώματος. Στο απλό υπόδειγμα που θα παρουιάουμε το επιτόκιο μηδενικού κινδύνου και η μεταβλητότητα είναι γνωτές ταθερές. Η προέκταη του υποδείγματος ε γνωτές υναρτήεις του χρόνου δεν μεταβάλλει τα αποτελέματα. Προβλήματα δημιουργούνται όταν θεωρήουμε πως η διακύμανη ανελίεται τοχατικά και αυτό θα επικεντρωθούμε. 3. Δεν υπάρχουν κότη υναλλαγών τις αγοραπωληίες τίτλων. 4. Ο πρωτογενής τίτλος δεν πληρώνει μέριμα κατά τη διάρκεια ζωής του δικαιώματος. Αυτή η υπόθεη μπορεί βέβαια να αρθεί και το υπόδειγμα να προαρμοτεί ανάλογα. 5.Δεν υπάρχουν δυνατότητες arbitrage. Αυτή η υπόθεη είναι και η πιο ημαντική. Αποτελεί μια υπόθεη ιορροπίας της αγοράς και η τιμή που θα εξαχθεί θα είναι η τιμή ιορροπίας. 6.Οι υναλλαγές τον πρωτογενή τίτλο μπορούν να γίνονται ε υνεχή χρόνο. 13

7.Επιτρέπονται οι πωλήεις με αρνητική θέη (short selling) και οι τίτλοι είναι απείρως διαιρέιμοι. Οι υποθέεις 6 και 7 επιτρέπουν τη δημιουργία ενός αντιταθμιτικού χαρτοφυλακίου που όπως θα δούμε παίζει καθοριτικό ρόλο την τιμολόγηη των ευρωπαϊκών δικαιωμάτων. 2.1.2 Η μερική διαφορική εξίωη BS και ο τύπος τιμολόγηης δικαιωμάτων Πριν ξεκινήουμε τον υπολογιμό της μερικής διαφορική εξίωης θεωρείται κόπιμο να παρουιατεί το θεώρημα του Taylor που χρηιμοποιήθηκε. Ανάπτυγμα κατά Taylor Αν μία υνάρτηη, που έχει παραγώγους κάθε τάξεως ε ένα διάτημα Δ, που περιέχει το ημείο, τότε για κάθε ημείο x του διατήματος ιχύει ο τύπος: Που είναι γνωτός αν τύπος του Taylor με υπόλοιπο μπορεί να δίνεται ε μορφή παραγώγου:. Το υπόλοιπο Ή ε μορφή ολοκληρώματος: και ξ ο αριθμός ανάμεα τα. Από τον τύπο του Taylor παρατηρούμε ότι αν το υπόλοιπο τείνει το μηδέν και έτι έχουμε: Ή ιοδύναμα: Υποθέτοντας V(S,t) τη τιμή ενός δικαιώματος προαίρεης και πως η υνάρτηη αυτή έχει τουλάχιτον μία παράγωγο ως προς το t και τουλάχιτον δύο ως προς το S τελικά καταλήγουμε την εξής τοχατική μερική διαφορική εξίωη Black and Scholes: Η παραπάνω εξίωη είναι η γνωτή μερική διαφορική εξίωη Black and Scholes και η λύη της εξαρτάται από τις υνοριακές υνθήκες. Στην περίπτωη ενός Ευρωπαϊκού δικαιώματος αγοράς, η τελική υνθήκη είναι απλά η απόδοη του τη 14

λήξη όταν και όπου είναι το strike price. Οπότε η φόρμουλα τιμολόγηης Black and Scholes για ένα ευρωπαϊκό δικαίωμα αγοράς δίνεται από τον παρακάτω τύπο: Όπου: Και Και So είναι η τιμή της μετοχής τώρα, Τ είναι ο χρόνος της λήξης, είναι η μεταβλητότητα (volatility) της μετοχής, r είναι το επιτόκιο μηδενικού κινδύνου, Ν(x) είναι η αθροιτική υνάρτηη πιθανότητας της τυπικής κανονικής κατανομής. Παρατηρούμε ότι η απόδοη μ δεν εμφανίζεται πουθενά την εξίωη BS, κάτι που ημαίνει πως η φόρμουλα τιμολόγηης είναι ανεξάρτητη από τις προτιμήεις. Αυτή η ημαντική ιδιότητα μαζί με την απλότητα της κάνουν τη φόρμουλα αυτή τόο δημοφιλή τη χρήη της. Ένας άλλος τρόπος για να καταλήξουμε την εξίωη BS είναι η ουδέτερη κινδύνου τιμολόγηη (risk neutral valuation). Η τιμή του δικαιώματος C, είναι η αναμενόμενη αξία του δικαιώματος τη λήξη ε έναν κόμο risk neutral, προεξοφλημένη με το risk free rate, δηλαδή: C=, όπου το αντιπροωπέυει την αναμενόμενη τιμή ε έναν risk neutral world. To Q ονομάζεται μέτρο martingale. Σε έναν κόμο risk neutral ιχύει ότι:. Οπότε η αναμενόμενη τιμή μπορεί να υπολογιτεί ολοκληρώνοντας κάτω από την κανονική κατανομή. Οι δύο παραπάνω μέθοδοι τιμολόγηης είναι δύο γενικές προεγγίεις της τιμολόγηης των δικαιωμάτων τη χρηματοοικονομική θεωρία. H θεωρία των martingales είναι ιδιαίτερα ημαντική αφού μας επιτρέπει να τιμολογούμε βρίκοντας αναμενόμενες τιμές αντί του να λύνουμε προβλήματα υνοριακών τιμών, μία διαδικαία που είναι αρκετά πιο δύκολη. Η τιμολόγηη με αυτό τον τρόπο είναι εφικτή όταν δεν λαμβάνεται υπόψη η αμοιβή ως προς τον κίνδυνο. Γενικά η τιμολόγηη βάει μη ύπαρξης ευκαιριών ακίνδυνης κερδοκοπίας υνεπάγεται ότι η τιμή κάποιου τίτλου θα είναι η αναμενόμενη τιμή δεδομένου του τρέχοντος υνόλου πληροφοριών (δηλαδή ως προς κάποια κατανομή) του γινομένου της απόδοης με μία τυχαία μεταβλητή που αναπαριτά τις προτιμήεις ως προς τον κίνδυνο (stochastic discount factor) το οποίο υνεπάγεται ότι η αναμενόμενη τιμή της μεταβολής της τιμής δεδομένου του τρέχοντος υνόλου πληροφοριών δεν θα είναι γενικά μηδέν αλλά κάτι που εκφράζει την αμοιβή ως προς τον κίνδυνο και άρα η τιμή 15

δεν θα είναι martingale παρά μόνο όταν υπάρχει ουδετερότητα ως προς τον κίνδυνο. Δηλαδή: ) Και αν υπάρχει ουδετερότητα ως προς τον κίνδυνο τότε ο όρος Tο πρόβλημα είναι ότι δε γνωρίζουμε αυτόν τον παράγοντα προεξόφληης οπότε θέλουμε με κάποιον τρόπο να μηδενίουμε τον παράγοντα ) και έτι η τιμή να προκύπτει ως η κατάλληλα προεξοφλημένη τιμή. 2.1.3 Αμφιβήτηη υποθέεων υποδείγματος Black and Scholes Το υπόδειγμα των BS εν τέλει δεν αντιπροωπεύει τον πραγματικό κόμο. Το μεγαλύτερο πρόβλημα είναι ότι οι αγορές κεφαλαίων κινούνται με τρόπους μη υνεπείς με την υπόθεη του τυχαίου περιπάτου (Random Walk hypothesis). Το υπόδειγμα επίης υποθέτει πως το volatility είναι ταθερό ή είναι γνωτή ντετερμινιτική υνάρτηη του χρόνου. Οι εμπειρικές μελέτες όμως δείχνουν πως η μεταβλητότητα αλλάζει υνεχώς και δεν μπορεί να προβλεφθεί. Έτι είναι αναμενόμενο να αναπαριτούμε τη μεταβλητότητα α μια τυχαία μεταβλητή. Το δυκολότερο την περίπτωη αυτή είναι ότι προπαθούμε να μοντελοποιήουμε κάτι μη παρατηρήιμο. Επιπλέον, το υπόδειγμα υποθέτει πως ο υποκείμενος τίτλος ακολουθεί μία υνεχή υνάρτηη λογαριθμοκανονική. Ωτόο, η εμπειρία δείχνει πως οι αγορές είναι μη υνεχείς και μάλιτα από εποχή ε εποχή παρουιάζουν άλματα (jumps) προς τα κάτω. Έτι αυτό δε υναινεί με την υπόθεη του λογαριθμοκανονικού περιπάτου που έχουμε υποθέει ότι ακολουθεί ο υποκείμενος τίτλος. Τα άλματα αυτά δε υμπεριλαμβάνονται το λογαριθμοκανονικό περίπατο και δεύτερον δε μπορούν να αντιταθμιτούν. Παρ όλα αυτά θα πρέπει να τονίουμε πως η φόρμουλα Black and Scholes έχει χρηιμοποιηθεί ευρύτατα από όλους και πως πάντα υπάρχουν δυνατότητες βελτίωης. Έτι μπορούμε να βρούμε πολλά μοντέλα τα οποία περιγράφουν καλύτερα τον υποκείμενο τίτλο, αυτό όμως δεν ημαίνει πως μας αποδίδουν και περιότερα λεφτά. Για τους παραπάνω λόγους το ΒS μοντέλο αργότερα βελτιώθηκε για να αντιμετωπίει κάποιους από τους περιοριμούς του πραγματικού κόμου. Αξίζει λοιπόν να αναφερθούν υνοπτικά μερικά από τα υποδείγματα τιμολόγηης που χρηιμοποιήθηκαν τα τελευταία χρόνια για να αντιμετωπίουν τα προβλήματα που προκύπτουν από την υπόθεη της ταθερής διακύμανης. Αξίζει να ημειωθεί πως κάποια μοντέλα δε χρηιμοποιούν τη Wiener process για να αποδώουν τις κινήεις των μετοχών. Υπάρχουν για παράδειγμα μοντέλα που λαμβάνουν υπόψη τους άλματα (jumps). Tο πλεονέκτημα αυτών είναι ότι αναπαριτούν ρεαλιτικά το γεγονός ότι οι μετοχές δεν κινούνται με υνεχή τρόπο. 16

-10-5 Points 0 5 10 2.2 Οικονομετρικές Μελέτες Σε αυτή την υποενότητα θα παρουιάουμε τα αποτελέματα όπως προέκυψαν από την εργαία το μεταπτυχιακό μάθημα Επενδύεις Χαρτοφυλακίου. Η εργαία αυτή αφορά την μελέτη της υπόθεης ότι ο λογάριθμος των αποδόεων ακολουθεί την κανονική κατανομή, εφόον οι τιμές των μετοχών ακολουθούν Γεωμετρική Κίνηη Brown. 2.2.1 Εξετάζοντας την υπόθεη του Τυχαίου Περιπάτου (Testing the Random Walk Hypothesis) Υποθέτουμε ότι οι τιμές δίνονται από: (1) και και μ και είναι αντίτοιχα η τάη και η μεταβλητότητα του υποδείγματος. Στο χήμα 2 παρουιάζεται η καθημερινη ποοτιαία απόδοη του δείκτη ASE General από 01/01/1995 έως 01/11/2010. 01jan1995 01jan2000 01jan2005 01jan2010 Day Σχήμα 2: Αποδόεις δείκτη ASE General από 01/01/1995 έως 01/11/2010 2.2.2 Έλεγχοι κανονικότητας (Normality tests) Γνωρίζουμε ότι οι αποδόεις κατανέμονται κανονικά. Εξετάζουμε αυτό δημιουργώντας το ιτόγραμμα των αποδόεων (χήμα 3) γύρω από την καμπύλη της 17

0 Density.1.2.3.4 κανονικής κατανομής. Τα αποτελέματα μας βγήκαν με τη χρήη του τατιτικού πακέτου STATA... hist r, normal (bin=35, start=-10.214043, width=.55224146) -10-5 0 5 10 r Σχήμα 3: Ιτόγραμμα αποδόεων δείκτη ASE. sum r, d r Percentiles Smallest 1% -5.327892-10.21404 5% -2.667999-9.615231 10% -1.810741-8.0585 Obs 3951 25% -.7816315-8.016777 Sum of Wgt. 3951 50%.0276089 Mean.0137706 Largest Std. Dev. 1.708836 75%.8409023 7.693386 90% 1.857662 8.328295 Variance 2.920119 95% 2.652788 8.73518 Skewness -.1440538 99% 4.923391 9.114408 Kurtosis 6.782388 Σχήμα 4: Πίνακας που υγκεντρώνει τα χαρακτηριτικά των αποδόεων του δείκτη ASE Οι αποδόεις δεν ακολουθούν την κανονική κατανομή. Για να πάρουμε ακόμη πιο ακριβή αποτελέματα χρηιμοποιούμε το Jarque-Bera τετ. Έχουμε: 18

Οπότε από τα δεδομένα του χήματος 4 ιχύει: Το τελευταίο απορρίπτει την υπόθεη της κανονικότητας για οποιοδήποτε επίπεδο τατιτικής ημαντικότητας. Το κύριο χαρακτηριτικό που μας κάνει να απορρίπτουμε την υπόθεη είναι η μεγάλη κύρτωη (6,78>3). Ο μέος των αποδόεων είναι 0,01377% και η τυπική απόκλιη 1,71%.Υποθέτοντας 252 μέρες αγοραπωληιών, αυτό ημαίνει ότι ο ετήιος μέος είναι 3,48% και η ετήια διακύμανη είναι 27,145%. 2.2.3 Sequences and Reversals Το Cowles-Jones ratio μετράει τη υχνότητα εμφάνιης των sequences and reversals. Tα sequences είναι ειρές που μας πληροφορούν πως αν τη αγορά εμφανίει καθοδική πορεία τη μία μέρα, τότε την επόμενη θα πέει πάλι, ή αν ανέβει τη μια μέρα θα ανέβει και την επόμενη. Τα Reversals είναι ειρές που μας πληροφορούν πως αν τη μία μέρα αν τη αγορά εμφανίει καθοδική πορεία τη μία μέρα,την άλλη μέρα θα ανέβει και το ανάποδο. Αν η κατανομή είναι κανονική τότε θα πρέπει να ιχύει sequences= reversals Για να υπολογίουμε το Cowles-Jones ratio χρηιμοποιούμε τις παρακάτω εντολές:. gen I=1 if r>0 (1777 missing values generated). replace I=0 if I==. (1777 real changes made). egen Ts=sum(I*I[_n+1]+(1-I)*(1-I[_n+1])). sum Ts Variable. sum Ts Variable Obs Mean Std. Dev. Min Max Ts 3952 2192 0 2192 2192. Σχήμα 5: Sequences και Reversals Από τα δεδομένα του χήματος 5 παρατηρούμε ότι οπότε και 19

Για να εξετάουμε αν αυτή η τιμή είναι υνεπής με το μοντέλο (1) υποθέτουμε μακροχρόνια τάη μ = 3,47 και μακροχρόνια μεταβλητότητα = 26,98 (χρηιμοποιούμε τις εκτιμήεις μας που έγιναν παραπάνω). Το π υπολογίζεται ως εξής: και το. Άρα και Οπότε το 95% διάτημα εμπιτούνης για το CJ δίνεται από: Εφόον, η εκτίμηη μας CJ(εκτιμημένο) = 1,246 πέφτει έξω από το διάτημα εμπιτούνης απορρίπτουμε τη μηδενική υπόθεη ε 5% επίπεδο τατιτικής ημαντικότητας και υμπεραίνουμε ότι οι αποδόεις του δείκτη ASE δε φαίνεται να ακολουθούν τον τυχαίο περίπατο. Το μειονέκτημα αυτού του τετ είναι ότι απαιτεί υποθέεις για το μ και το, που είναι δύκολο να εκτιμηθούν.. 2.2.4 Αυτουχετίεις (Autocorrelations) Μία από τις εφαρμογές της υπόθεης του λευκού θορύβου είναι ότι οι αποδόεις θα πρέπει να μην υχετίζονται κατά τη διάρκεια του χρόνου. Χρηιμοποιώντας την τατιτική Box-Pierce έχουμε ότι:. corrgram r, lags(20). -1 0 1-1 0 1 LAG AC PAC Q Prob>Q [Autocorrelation] [Partial Autocor] 1 0.1390 0.1391 76.4 0.0000 2-0.0128-0.0327 77.043 0.0000 3-0.0161-0.0099 78.064 0.0000 4 0.0121 0.0157 78.638 0.0000 5-0.0027-0.0075 78.667 0.0000 6-0.0121-0.0105 79.244 0.0000 7 0.0328 0.0371 83.492 0.0000 8 0.0143 0.0036 84.304 0.0000 9-0.0076-0.0092 84.532 0.0000 10-0.0040 0.0003 84.596 0.0000 11 0.0036 0.0030 84.646 0.0000 12-0.0066-0.0083 84.821 0.0000 13 0.0533 0.0582 96.078 0.0000 14 0.0109-0.0062 96.55 0.0000 15 0.0314 0.0325 100.45 0.0000 16 0.0166 0.0105 101.54 0.0000 17-0.0009-0.0047 101.55 0.0000 18 0.0100 0.0124 101.95 0.0000 19-0.0067-0.0085 102.12 0.0000 20-0.0015-0.0028 102.13 0.0000 Σχήμα 6: Αυτουχετίεις αποδόεων Δεδομένου ότι των :[, κάθε αυτουχέτιη θα πρέπει να βρίκεται μεταξύ.βλέπουμε 20

ότι η αυτουχέτιη πρώτου βαθμού είναι έξω από το διάτημα και οι υπόλοιπες είναι λίγο πολύ μέα το διάτημα. Οπότε απορρίπτουμε τη μηδενική υπόθεη της Q τατιτικής για μη υχέτιη εξαιτίας της πρώτης ιχυρής αυτουχέτιης. Η παρακάτω εντολή μας δίνει το κορελόγραμμα του παραπάνω διατήματος (χήμα 7). Παρατηρούμε ότι 7 από τις 20 χρονικές υτερήεις είναι έξω από το διάτημα που έχουμε ορίει. 0.00 0.05 0.10 0.15-0.05 0 10 20 30 40 Lag Bartlett's formula for MA(q) 95% confidence bands Σχήμα 7: Διάγραμμα αυτουχέτιης αποδόεων δείκτη ASE Συμπεραίνουμε ότι οι αποδόεις των μετοχών απέχουν πολύ από το να ακολουθούν την κανονική κατανομή, όπως υποθέτουν οι Black and Scholes το υπόδειγμα τους. Οι αποδόεις εμφανίζουν παχιές ουρές, εξαρτώμενη από το χρόνο μεταβλητότητα και αυξημένη υώρευη μεταβλητότητας (volatility). Στη υνέχεια θα παρουιάουμε την οικογένεια των μοντέλων ARCH, τα οποία λαμβάνουν υπόψη τους τα φαινόμενα αυτά. 2.2.5 Μοντέλα ARCH Ας υποθέουμε την παρακάτω γραμμική παλινδρόμηη, της μορφής: β θ ε ;όπου t=1, T και ε Ν ο Όπου το είναι η εξαρτημένη μεταβλητή, το είναι ένα k διάνυμα ανεξάρτητων μεταβλητών, το β είναι ένα k διάνυμα από ταθερούς όρους και το ε είναι το τοχατικό φάλμα. Η διακύμανη δίνεται από τον τύπο: 21

-4-2 e 0 2 4 ε και, για να ιγουρέψουμε ότι η διακύμανη είναι θετική. Στη υνέχεια δημιουργούμε τεχνητά φάλματα από τη (2): ε η όπου το η Ν Μοντέλο 1: =1 Tότε ε η άρα τα φάλματα είναι κανονικά και έχω ομοκεδατικότητα. Με τη χρήη του STATA προκύπτει η γραφική απεικόνιη του χήματος 8. Μοντέλο 2: Με τη χρήη του STATA η γραφική απεικόνιη του ARCH(1) δίνεται από το χήμα 9. Παρατηρούμε ότι αρχίουμε να πληιάζουμε τη μορφή που βλέπουμε υχνά το χρηματιτήριο. Μοντέλο 3: Η γραφική απεικόνιη του παραπάνω με τη χρήη του STATA δίνεται το χήμα 10. 0 200 400 600 800 1000 t Σχήμα 8: Προομοίωη λευκού θορύβου 22

-10-5 e1 0 5 10 15 0 200 400 600 800 1000 t Σχήμα 9: Προομοίωη ARCH(1) 23

-5 e2 0 5 10 0 200 400 600 800 1000 t Σχήμα 10: Προομοίωη ARCH(4) 2.2.6 Μοντέλα GARCH Είδαμε ότι όο αυξάνουμε τις χρονικές υτερήεις τη διακύμανη ε ένα μοντέλο ARCH (Engle 1982, 1983) τόο καλύτερη γραφική απεικόνιη παίρνουμε. Ωτόο αυτό απαιτεί ένα μεγάλο αριθμό παραμέτρων που πρέπει να εκτιμηθεί προκειμένου να πάρουμε ακόμη πιο ακριβή αποτελέματα. Για να μειώουμε το κότος αυτό (την εκτίμηη πάρα πολλών παραμέτρων) χρηιμοποιούμε τα μοντέλα GARCH(p,q)- Generalized ARCH (Bollerslev 1986). Σε αυτά τα μοντέλα έχουμε: γ όπου τα α και γ είναι όλα θετικά. 24

-10-5 e3 0 5 10 15 0 200 400 600 800 1000 t Σχήμα 11: Προομοίωη GARCH(1,1) Μοντέλο 4: Χρηιμοποιώντας τις παρακάτω εντολές το STATA προκύπτει το χήμα 11. *Garch(1,1) gen e3=e replace e3=e*sqrt(0.1+0.8*(l.e3)^2+0.2*(0.1+0.8*(l2.e3)^2)) if _n>=3 sum e3 twoway (tsline e3), yscale(range(-7. 7.)) arch e3, arch(1) garch(1) 2.2.7 ARCH-M Models. Η χρηματοοικονομική θεωρία προτείνει ότι αν κάποιος αναλαμβάνει υψηλότερο κίνδυνο, τότε θα πρέπει να ανταμείβεται με υψηλότερη απόδοη. Αυτό θα προπαθήουμε να το ενωματώουμε το μοντέλο μας και έτι έχουμε: με t=1 T και 2.2.8 Μοντέλα EGARCH 25

Αν υψώουμε την exp ένα GARCH τότε θα έχουμε το λεγόμενο Exponential GARCH (EGARCH) το οποίο δίνεται από τον τύπο: Όπου: ε t και ) Έτω ότι έχουμε το εξής εκτιμημένο μοντέλο EGARCH-M(1,1): Για να εξετάουμε την επάρκεια του μοντέλου μας, θέλουμε να δούμε αν η αρχική μας υπόθεη ήταν ωτή. δηλαδή αν και άρα αν Στη υνέχεια εξετάζουμε την κανονικότητα τους και την ανεξαρτηία τους με βάη το χήμα 12. Το ιτόγραμμα των καταλοίπων φαίνεται περιότερο κανονικό ε χέη με πριν που υποθέαμε ταθερή διακύμανη. Αλλά η κύρτωη είναι ακόμη αρκετά μεγαλύτερη από το 3. Κάνοντας Jarque Bera τετ έχουμε ότι:. 2 skewness kurtosis 3 2 JB T = 6 24 3950 2 0.1385 4.4762 3 6 24 2 = 371.29 26

0 Density.1.2.3.4.5-4 -2 0 2 4 6 sef Σχήμα 12: Ιτόγραμμα κανονικοποιημένων καταλοίπων EGARCH-M(1,1) του μοντέλου Ητιμη του JB είναι υψηλότερη από αυτήν που θα θέλαμε για να είναι κανονική η κατανομή (δηλαδή το 9). Οι αυτουχετίεις των καταλοίπων δίνονται το χήμα 13. Παρατηρούμε ότι τα μοιάζουν πολύ περιότερο με τυχαίο περίπατο. -1 0 1-1 0 1 LAG AC PAC Q Prob>Q [Autocorrelation] [Partial Autocor] 1 0.0302 0.0302 3.5989 0.0578 2 0.0073 0.0064 3.8107 0.1488 3 0.0160 0.0157 4.8294 0.1847 4 0.0407 0.0399 11.397 0.0224 5-0.0004-0.0030 11.398 0.0440 6 0.0003-0.0003 11.398 0.0768 7 0.0301 0.0291 14.995 0.0361 8 0.0184 0.0152 16.343 0.0377 9-0.0103-0.0116 16.762 0.0526 10-0.0026-0.0031 16.79 0.0792 Σχήμα 13: Αυτουχετίεις κανονικοποιημένων καταλοίπων 27

-0.04-0.02 0.00 0.02 0.04 0 10 20 30 40 Lag Bartlett's formula for MA(q) 99% confidence bands Σχήμα 14: Αυτουχετίεις κανονικοποιημένων καταλοίπων EGARCH-M(1) Συνολικά παρατηρούμε ότι το μοντέλο EGARCH-M(1,1) μπορεί να αναπαρατήει καλύτερα την αγορά, ωτόο υπάρχουν ακόμη παχιές ουρές άρα τοιχεία μηκανονικότητας τα κατάλοιπα. 2.3 Υποδείγματα με μεταβαλλόμενη διακύμανη 2.3.1 Μοντέλο με μεταβλητότητα εξαρτώμενη από το χρόνο (time dependent volatility) Ένας τρόπος να τροποποιήουμε τη ταθερή μεταβλητότητα (volatility) που θεωρεί το υπόδειγμα BS είναι να θεωρήουμε τη μεταβλητότητα αυτή α μία ντετερμινιτική υνάρτηη του χρόνου και του υποκείμενου τίτλου, οπότε και έχουμε: μ και Η μετατρέπεται ε ταθερή διακύμανη ίη με ε όλη τη χρονική περίοδο από t ε Τ. Το ίδιο ιχύει και την περίπτωη των επιτοκίων.o Merton(1973) ήταν ο πρώτος ο οποίος πρότεινε φόρμουλα τιμολόγηης δικαιωμάτων με διακύμανη 28

εξαρτώμενη από το χρόνο. Ανάλογα λοιπόν, τα Scholes γίνονται: της εξίωης Black and Η κατανομή του υποκείμενου τίτλου S δίνεται από: Πρέπει να παρατηρήουμε ότι η ταθερή μεταβλητότητα αλλάζει τιμές καθώς μετακινούματε από το χρόνο t το χρόνο Τ. Ωτόο έχει παρατηρηθεί πως η διακύμανη μεταβάλλεται έντονα οπότε δε μας αρκεί να θεωρήουμε τη διακύμανη α υνάρτηη μόνο του χρόνου. Η διακύμανη πρέπει να θεωρηθεί μία ξεχωριτή τοχατική διαδικαία, όπως ακριβώς θεωρείται τα Stochastic Volatility models 2.3.2 Υπόδειγμα ταθερής ελατικότητας της διακύμανης (CEV) Ένα γνωτό μοντέλο με ντετερμινιτική διακύμανη είναι το υπόδειγμα ταθερής ελατικότητας της διακύμανης (CEV) το οποίο προτάθηκε από τους Cox και Ross (1976). Η τιμή του υποκείμενου τίτλου ε αυτό το μοντέλο είναι: Όπου το α είναι θετική ταθερά. Οπότε ο υποκείμενος τίτλος έχει διακύμανη. Όταν το τότε έχουμε την περίπτωη των Black and Scholes. Αν το τότε η διακύμανη αυξάνεται καθώς η τιμή του υποκείμενου τίτλου μειώνεται. Αυτό μπορεί να δημιουργήει κατανομή με παχύτερη αριτερή ουρά και λεπτότερη δεξιά. Όταν, η κατάταη είναι ανάποδη. Οπότε το φαινόμενο του χαμόγελου της διακύμανης μπορεί να ενωματωθεί ε αυτό το μοντέλο. Οι Cox και Ross επίης υπολόγιαν και φόρμουλα τιμολόγηης για ευρωπαϊκά δικαιώματα αγοράς και πώληης με το CEV μοντέλο. Το πρόβλημα με ένα τέτοιο μοντέλο είναι ότι η τιμή του δικαιώματος τείνει το μηδέν ή το άπειρο μακροχρόνια. 2.3.3 Διαδικαίες διάχυης αλμάτων (Jump-diffusion processes) Μία άλλη ημαντική κατηγορία υποδειγμάτων τιμολόγηης είναι τα υποδείγματα που μοντελοποιούν την κίνηη του υποκείμενου τίτλου με άλματα. Στα μοντέλα αυτά οδηγηθήκαμε επειδή παρατηρήθηκε ότι οι τιμές των μετοχών παρουιάζουν άλματα και όχι υνεχείς αλλαγές. Ο Merton (1976) πρόθεε τυχαία άλματα τη γεωμετρική κίνηη Brown. 29

Η τοχατική διαδικαία για τον υποκείμενο τίτλο δίνεται από: Όπου το λ είναι ο μέος αριθμός αλμάτων ανά χρόνο, k είναι το μέος μέγεθος των αλμάτων, dp είναι η διαδικαία Poisson που δημιουργεί τα άλματα και οι υπόλοιπες παράμετροι είναι παρόμοιοι με αυτές τη φόρμουλα BS. Το μοντέλο αυτό, διάχυης αλμάτων είναι χρήιμο όταν η τιμή του υποκείμενου τίτλου εμφανίζει μεγάλες αλλαγές, κάτι που τα μοντέλα υνεχούς χρόνου δεν μπορούν να λάβουν υπ όψιν. Άλλοι ερευνητές μοντελοποιούν ακόμη τον υποκείμενο τίτλο αν να ήταν μόνο διαδικαία διάχυης αλμάτων, ή ακόμη θεωρούν διαδικαία διάχυης αλμάτων και τοχατική διακύμανη. Με αυτόν τον τρόπο μπορούμε να έχουμε πολλές καλές ιδιότητες όμως τέτοιου είδους μοντέλα είναι πολύ δύκολο να εφαρμοτούν. 2.3 Στοχατικά υποδείγματα μεταβλητότητας(stochastic Volatility Models) Από την εποχή που οι Black και Scholes ανέπτυξαν το υπόδειγμά τους, πολλοί ερευνητές ανέπτυξαν υποδείγματα τιμολόγηης δικαιωμάτων που λαμβάνουν υπόψη τους τη τοχατικότητα της μεταβλητότητας. Υποθέτουμε ότι το X ακολουθεί τη τοχατική διαφορική εξίωη: μ ω. Η μεταβλητότητα είναι τοχατική αν το ω κυβερνάται από μία τοχατική διαδικαία η οποία οδηγείται από μια άλλη (πιθανόν που να υχετίζεται) τυχαία διαδικαία, τυπικά μία άλλη τοχατική διαδικαία Wiener O χώρος πιθανοτήτων (Ω,F, είναι Ω με το φιλτράριμα να αναπαριτά την πληροφορία από τα δύο Wiener processes (. H διαδικαία του ω πρέπει πάντα να είναι θετική για όλες τις τιμές από τη τιγμή που η μεταβλητότητα είναι πάντα θετική. Οι διαδικαίες Wiener έχουν υχέτιη (correlation) ρ και ρ Εμπειρικά, το ρ τείνει να είναι αρνητικό εξαιτίας του φαινομένου της μόχλευης. Δηλαδή, η μεταβλητότητα φαίνεται να αυξάνεται περιότερο όταν το ρ είναι αρνητικό, από ότι αυξάνεται όταν το ρ είναι θετικό. Παρότι το ρ μπορεί να είναι υνάρτηη του χρόνου, εμείς την παρούα φάη θα το θεωρήουμε ταθερό. Η κύρια διαφορά ανάμεα τη ταθερή και τη τοχατική μεταβλητότητα είναι ότι όταν η μεταβλητότητα είναι ταθερή, δεν εξαρτάται από καμία τοχατική διαδικαία και υπάρχει μόνο μία πηγή αβεβαιότητας αυτή από το Αντίθετα, τα υποδείγματα τοχατικής μεταβλητότητας η μεταβλητότητα έχει τη δική της πηγή αβεβαιότητας. Έτι δε μπορούμε να προδιορίουμε ακριβώς την τιμή της. Τα πλεονεκτήματα τέτοιων μοντέλων είναι ότι λαμβάνουν υπόψη περιότερο εμπειρικά χαρακτηριτικά ε χέη με άλλα μοντέλα. Πρώτα από όλα, τα τοχατικά υποδείγματα παράγουν κατανομές αποδόεων παρόμοιες με αυτές που 30

παρατηρούνται την πραγματικότητα. Για παράδειγμα, η κατανομή των αποδόεων έχει πιο παχιά αριτερή ουρά και υψηλότερη κορυφή ε χέη με αυτά της κανονικής κατανομής, με αυμμετρία ουρών να εξαρτάται από το ρ. Δεύτερον έχει παρατηρηθεί ότι όταν ρ = 0 και η μεταβλητότητα είναι τοχατική δημιουργείται αυτό που ονομάζουμε «χαμόγελο μεταβλητότητας». Τρίτον, η ιτορική μεταβλητότητα δείχνει ημαντικά μεγαλύτερη μεταβλητότητα από αυτή που μπορεί να εξηγηθεί από τη ταθερή ή την εξαρτώμενη από τον χρόνο μεταβλητότητα. Οπότε αν θεωρήουμε τοχατική φύη αυτό εξηγείται καλύτερα. Τα μειονεκτήματα τέτοιων μοντέλων είναι ότι ειάγουν μια επιπλέον πηγή αβεβαιότητας μη εμπορεύιμη, οπότε και η αγορά δεν είναι πια πλήρης και δε μπορούμε πια να έχουμε μοναδική τιμή για το δικαίωμα ούτε να αντιταθμίουμε πλήρως τον κίνδυνο. Έτι οι πρακτικές εφαρμογές της τοχατικής μεταβλητότητας είναι περιοριμένες. Δεύτερον, δεν έχουν κλειτής μορφής λύη οπότε οι τιμές τους μπορούν να υπολογιτούν μέω προομοιώεων. Τα υποδείγματα ταξινομούνται λαμβάνοντας υπόψη τη μεταβολή της μεταβλητότητας και έτι υπάρχουν δύο κύριες κατηγορίες υποδειγμάτων: τα τοχατικά υποδείγματα μεταβλητότητας υνεχούς χρόνου (continuous time stochastic volatility models) και τα διακριτά υποδείγματα της ομάδας GARCH. Από τη μία πλευρά, τα τοχατικά υποδείγματα μεταβλητότητας υνεχούς χρόνου είναι αποτελεματικά την τιμολόγηη των δικαιωμάτων προαίρεης, αλλά ιδιαίτερα δύκολα την πρακτική εφαρμογή τους. Αυτό υμβαίνει γιατί, παρόλο που τα εν λόγω υποδείγματα θεωρούν ότι η μεταβλητότητα είναι «ορατή», είναι πολύ δύκολος ο υπολογιμός της υνεχούς μεταβλητότητας από διακριτές παρατηρήεις. Από την άλλη, τα υποδείγματα GARCH είναι ιδιαίτερα δημοφιλή και αποτελεματικά για την καταγραφή της δυναμικής της μεταβλητότητας των αποδόεων πολλών χρεογράφων, γιατί έχουν το ημαντικό πλεονέκτημα ότι η μεταβλητότητα είναι ευθέως παρατηρήιμη από τις διακριτές τιμές της υποκείμενης αξίας και δε χρειάζονται παρά λίγα δεδομένα για τον υπολογιμό της, ακόμη και για μεγαλύτερες χρονοειρές. Όμως, τα υποδείγματα GARCH δεν έχουν λύη κλειτής μορφής για τον υπολογιμό της τιμής δικαιωμάτων, αλλά καταλήγουν ε λύη μέω προομοιώεων (simulation). 2.3.1 Στοχατικό Υπόδειγμα Heston (1993) Το πιο ημαντικό τοχατικό υπόδειγμα είναι αυτό του Heston (1993). Ο Heston πρότεινε ένα τοχατικό υπόδειγμα μεταβλητότητας, που δε βαίζεται το υπόδειγμα των Black-Scholes και το οποίο παρέχει μια λύη κλειτής μορφής για την τιμή ενός δικαιώματος αγοράς Ευρωπαϊκού τύπου, όταν η υποκείμενη αξία υχετίζεται με τη μεταβλητότητα. Ειδικότερα ο Heston πρότεινε το εξής υπόδειγμα: Όπου Wiener processes., δηλαδή υπάρχει βαθμός υχέτιης και ίος με ρ ανάμεα τα 31