ρ3ρ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Επιµέλεια: Οµάδα Μαθηµατικών της Ώθησης

ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ρ3ρ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Επιµέλεια: Οµάδα Μαθηµατικών της Ώθησης

ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ευτέρα, 8 Μα ου Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Αν f ()> σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το Δ. A. Πότε λέμε ότι μία συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα [α, β]; Μονάδες 7 Μονάδες 4 A3. Έστω συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α. Πότε λέμε ότι η f παρουσιάζει στο o A τοπικό μέγιστο; Μονάδες 4 A4. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α) Στο μιγαδικό επίπεδο οι εικόνες δύο συζυγών μιγαδικών είναι σημεία συμμετρικά ως προς τον πραγματικό άξονα β) Μια συνάρτηση f είναι -, αν και μόνο αν για κάθε στοιχείο y του συνόλου τιμών της η εξίσωση f()y έχει ακριβώς μία λύση ως προς γ) Αν είναι lim o f(), τότε f()< κοντά στο o δ) (σφ) ημ, R {/ημ} β β β ε) f ()g'()d[ f()g()] a f '()g()d, όπου f, g είναι συνεχείς συναρτήσει στο α α [α, β]. ΑΠΑΝΤΗΣΗ Α. Θεωρία σχολικού βιβλίου σελ. 53 A. Θεωρία σχολικού βιβλίου σελ. 9 A3. Θεωρία σχολικού βιβλίου σελ. 58 Μονάδες

ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Α4. α) Σ β) Σ γ) Λ δ) Λ ε) Λ ΘΕΜΑ Β Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς z και w για τους οποίους ισχύουν οι επόμενες σχέσεις: z z 4 () w 5w () B. Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών αριθμών z στο επίπεδο είναι κύκλος με κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα ρ B. Αν z, z είναι δύο από τους παραπάνω μιγαδικούς αριθμούς z με z τότε, να βρείτε το z z. z Μονάδες 7 B3. Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών αριθμών w y στο επίπεδο είναι η έλλειψη με εξίσωση και στη συνέχεια να βρείτε τη 9 4 μέγιστη και την ελάχιστη τιμή του w B4. Για τους μιγαδικούς αριθμούς z,w που επαληθεύουν τις σχέσεις () και () να αποδείξετε ότι: ΑΠΑΝΤΗΣΗ B. Έστω zyi,,y R τότε z w 4 z z 4 ( )yi ()y 4 ( ( ) y ) ( ( ) y ) 4 y y 4 y y z. Άρα ο γ.τ των εικόνων Μ(z) είναι ο κύκλος C με κέντρο το Ο(,) και ακτίνα ρ. B. Έχουμε z z z ( z z )(z z ) z ) ( z z z z z z z z (z z z z) z z z z () z z () z (z z)(z z) zz zz zz zz z (zz zz) z z z z z. z. Άρα w 5w Β3. yi 5 5yi 4 6yi 3yi 6 w yi 3

ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ y () ( 3y) 6 4 9y 36. Άρα ο γ.τ των Ν(w) είναι η 9 4 y έλλειψη C με εξίσωση C :. 9 4 Β(, ) Ν(w) O(, ) A(3, ) Ισχύει: (ΟΒ) (ΟΝ) (ΟΑ) w 3. Άρα w ma 3, w min. Β4. Έχουμε: z w z w z w ma34 () w w w min, άρα w z και w z () z Από (),() έχουμε z w 4. ΘΕΜΑ Γ Δίνεται η συνάρτηση f()( )ln, > Γ. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα Δ(,] και γνησίως αύξουσα στο διάστημα Δ[, ). Στη συνέχεια να βρείτε το σύνολο τιμών της f Γ. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση e 3, > έχει ακριβώς δύο θετικές ρίζες. Γ3. Αν, με < είναι οι ρίζες της εξίσωσης του ερωτήματος Γ, να αποδείξετε ότι υπάρχει (, ) τέτοιο, ώστε f ()f() 4 Γ4. Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης g()f() με >, τον άξονα και την ευθεία e Μονάδες 7

ΑΠΑΝΤΗΣΗ Γ. Είναι f ()ln ln ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ f () >, > άρα f γν. αύξουσα στο (, ) και f () άρα η ρίζα είναι μοναδική. << f ()<f () > f ()>f () f () f H f είναι γν. φθίνουσα στο (, ] και η f είναι γν. Αύξουσα στο [, ). lim f() lim[( )ln ] lim f() fσυνεχή Είναι f(δ) ς fσυνεχή f(δ) ς f γν.αύξουσα lim [( )ln ] f γν.φθίνουσα [f(), [f(), limf())[, ) lim f())[, ) f((, ))f(δ) f(δ)[, ) Γ. Είναι e 3 ln lne 3 ( )ln3 ( )ln f() To ανήκει στο [, ) άρα υπάρχει (, ) το οποίο είναι μοναδικό γιατί f γν. φθίνουσα ώστε f() και (, ) το οποίο είναι μοναδικό γιατί f γν. αύξουσα ώστε f() και επειδή f() η εξίσωση f() έχει ακριβώς δύο θετικές ρίζες. Γ3. ος τρόπος Θεωρούμε τη συνάρτηση w()f ()f(), [, ] η οποία είναι συνεχής ως πράξεις συνεχών. w()f ()f() f ()< γιατί < f ()<f () w()f ()f() f ()> γιατί > f ()>f () w() w()< άρα από θεώρημα Bolzano υπάρχει o (, ) ώστε w(o) ος τρόπος Αρκεί η εξίσωση f ()f() να έχει λύση στο (, ) ή e f ()e f() e ή (e f() e ) () να έχει λύση στο (, ) Για αυτό θεωρούμε g()e (f() ), [, ] που είναι παραγωγίσιμη ως γινόμενο παραγωγισίμων και είναι g() e (f() ) g() e (f() ) 5

ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ οπότε g()g() και σύμφωνα με το Θ. Rolle υπάρχει o (, ) ώστε g (o) άρα η () έχει λύση στο (, ). Γ4. Είναι g()f()( )ln ( )ln g() > Για > ( )ln> g()> ln> E e g() d e e e g ()d ( )lnd ( )'lnd e e [( )ln ] ( ) d e e e ( )d e e e [ ] 4 e e e 3 e 3 e e τ.μ. 4 4 4 4 4 ΘΕΜΑ Έστω η συνεχής συνάρτηση f:(, ) R, η οποία για κάθε > ικανοποιεί τις σχέσεις: f() f (t)dt e ln ( dt e) f() Δ. Να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη και να βρείτε τον τύπο της. Αν είναι f() e - (ln ), >, τότε: Δ. Να υπολογίσετε το όριο: lim[(f()) ημ f()] f() Μονάδες Μονάδες 5 Δ3. Με τη βοήθεια της ανισότητας ln, που ισχύει για κάθε >, να αποδείξετε ότι η συνάρτηση όπου α>, είναι κυρτή (μονάδες ) Στη συνέχεια να αποδείξετε ότι: F() a f (t)dt, >, F() F(3) > F(),για κάθε > (μονάδες 4) 6

ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Δ4. Δίνεται ο σταθερός πραγματικός αριθμός β>. Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικό ξ (β, β) τέτοιο ώστε: ΑΠΑΝΤΗΣΗ Δ. Είναι από υπόθεση e dt για κάθε > F(β) F(3β) F(ξ) Θεωρούμε την g() e dt, (, ) για την οποία ισχύει g()e dt Μονάδες 4 άρα g() g() για κάθε (, ) οπότε η g στο σημείο (, ) παρουσιάζει ελάχιστο. Τώρα επειδή η f συνεχής στο (, ) η συνάρτηση dt είναι παραγωγίσιμη στο (, ) και η παραγωγίσιμη ως σύνθεση παραγωγίσιμων άρα η g παραγωγίσιμη ως πράξεις παραγωγίσιμων με g ()ef( )( ) g ()ef( )( ) οπότε από Fermat g () δηλαδή ef() f() e < Τώρα αφού η f() για κάθε (, ) και συνεχής θα έχει σταθερό πρόσημο στο (, ). Επίσης από ln ( dt e) f() Επειδή f()< θα έχουμε ln ( dt e) ( f()) ή ln ( dt e) f() () Για την συνάρτηση h() dt e αν υπάρχει o (, ) ώστε h(o) τότε από () lno o lnoo που είναι άτοπο γιατί ως γνωστόν ln<, (, ). ln Άρα h() για κάθε (, ) οπότε f() άρα επειδή η ln h() ln t t παραγωγίσιμη και η h() dt e παραγωγίσιμη αφού η f (t) ln t t f (t) συνεχής στο (, ) ως πηλίκο συνεχών, η h παραγωγίσιμη στο (, ) οπότε η f παραγωγίσιμη ως πηλίκο παραγωγίσιμων. Τώρα από () έχουμε ισοδύναμα 7

ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ln dt e f() και παραγωγίζοντας έχουμε ln ln και σύμφωνα με γνωστή εφαρμογή f() f() και επειδή για έχουμε ce f() ce ece c άρα e ln e ln e e f() f()e (ln ) f() ln ce (, ) f() Δ Επειδή lime και lim(ln ) άρα limf(). Είναι lim[(f()) ημ f() ημu u lim u συν u Επειδή lim u f( f()] ) lim DLH u u lim( ημu u) u συνu u DLH Δ3 Επειδή η συνεχής στο (, ) η F είναι παραγωγίσιμη με F ()f() και επειδή f παραγωγίσιμη η F παραγωγίσιμη με F ()f () ln (ln ) e e (ln ) e e ln ln e e και επειδή ln ln και > (, ) άρα F ()> (, ) επομένως f κυρτή στο (, ). Στην συνέχεια επειδή > ισχύει <<3 επομένως στα διαστήματα [, ] [, 3] επειδή F παραγωγίσιμη σύμφωνα με Θ.Μ.Τ. υπάρχουν (,) (,3) ώστε F() F() F(3) F() F () F () 3 Και επειδή F γνήσια αύξουσα και < θα ισχύει F ()<F () άρα F() F() F(3) F() <, > F() F()<F(3) F() άρα F()<F(3)F() 8

ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Δ4. Επειδή F ()f()< (, ) η F είναι γνήσια φθίνουσα στο (, ) οπότε <β<β F (β) F(3β) ισχύει F(β)>F(β) θα έχουμε F(β)> >F(β) γιατί F(β)>F(β)F(3β) F(β)>F(3β) αφού β<3β και σύμφωνα με το Δ3 ισχύει F(β)F(3β)>F(β) οπότε F(β) F(3β) από το Θ.Ε.Τ υπάρχει ξ (β, β) ώστε F(ξ) ή F(ξ) F(β) F(3β) που είναι και μοναδικό λόγω μονοτονίας της F. ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ Τα σημερινά θέματα χαρακτηρίζονται για την πλήρη και σαφή διατύπωσή τους, καλύπτοντας το μεγαλύτερο ποσοστό της ύλης. Ειδικότερα: ΘΕΜΑ Α: θα αντιμετωπισθεί με αρκετή ευκολία από το πλήθος των υποψηφίων. ΘΕΜΑ Β: η αναφορά στην έλλειψη ίσως ξαφνιάσει στην αρχή τους υποψηφίους αλλά τελικά δε θα έχουν πρόβλημα στην αντιμετώπισή του. ΘΕΜΑ Γ: χαρακτηρίζεται ως κλασσικό και εύκολα διαχειρίσιμο από το μεγαλύτερο πλήθος των υποψηφίων. ΘΕΜΑ Δ: ιδιαίτερα απαιτητικό. Γενικά κρίνουμε οι υποψήφιοι θα αντιμετωπίσουν αρκετές δυσκολίες στη διαχείριση όλων των ερωτημάτων. Ανακεφαλαιώνοντας τα παραπάνω το διαγώνισμα κρίνεται απαιτητικό και υψηλές βαθμολογίες δεν θα επιτυγχάνονται εύκολα. 9