Εκτίμηση μη-γραμμικών χαρακτηριστικών

Εκτίμηση μη-γραμμικών χαρακτηριστικών Μη-γραμμικά χαρακτηριστικά ή αναλλοίωτα μέτρα Διάσταση. Ευκλείδια. Τοπολογική 3. Μορφοκλασματική (συσχέτισης, πληροφορίας, μέτρησης κουτιών, ) Εκθέτες Lypunov (μεγαλύτερος, όλο το φάσμα) Εντροπία

Διάσταση συσχέτισης ν Η διάσταση συσχέτισης ν χαρακτηρίζει τη μορφοκλασματική δομή του ελκυστή (αυτο-ομοιότητα σε διάφορες κλίμακες) χρησιμοποιώντας την πυκνότητα των σημείων του ελκυστή στο χώρο των καταστάσεων Η βασική ιδέα είναι πως η πιθανότητα δύο σημείων να βρίσκονται σε απόσταση μικρότερη του r r μεταβάλλεται ως προς r ανάλογα με κάποια δύναμη του r : αριθμός των σημείων που βρίσκονται μέσα σε σφαίρα με ακτίνα r και κέντρο r j νόμο κλιμάκωσης (sclng lw) ν ακέραιος ν μη-ακέραιος j ~ r ισχύει για r N ελκυστής είναι συνήθης γεωμετρικό αντικείμενο ελκυστής είναι μορφοκλασματικό αντικείμενο

Εκτίμηση της διάστασης συσχέτισης ν χρονοσειρά,,, N ( ) Εκτίμηση του N N Άθροισμα συσχέτισης C( r) r Νόμος κλιμάκωσης Εκτίμηση ανακατασκευή N( N ) Hevsde συνάρτηση d log Cr ( ) d log r j C( r) ( ) r,,, N για r μικρό για εύρος τιμών του r Σύγκλιση του ν() για ικανοποιητικά μεγάλο όταν όταν j Αν ν μικρό και μη-ακέραιο και σύστημα αιτιοκρατικό χαμηλή διάσταση και μορφοκλασματική (χαοτική) δομή

-Lorenz χωρίς θόρυβο, τ= log C(r) vs log r κλίση προς log r ν προς -Lorenz + % θόρυβο παρατήρησης, τ= -Lorenz + % θόρυβο παρατήρησης, τ=

Η εκτίμηση του ν επηρεάζεται από τους παρακάτω παράγοντες: - χρόνος συσχέτισης j w - επιλογή του τ και - θόρυβος - μήκος χρονοσειράς

logc(r) locl slope logc(r) locl slope logc(r) locl slope logc(r) locl slope n=94 () = 5 () 5 () - 4 4 Henon - -3 = 3 = 3-4 = Henon + % λευκό θόρυβο Αποδόσεις Γενικού δείκτη..5.9.5 λευκός θόρυβος -5 - -.5 - -.5.5 logr - - -3-4 () = = -5 - -.5 - -.5.5 logr () - - -3-4 -5 = = -4-3.5-3 -.5 - -.5 - logr () - - -3 = - -.5 - -.5.5 log r 5 4 3 () = = - -.5 - -.5.5 log r () 8 6 4 = = -4-3.5-3 -.5 - -.5 - log r () 8 6 4 = 4 6 8 () 5 4 3 4 6 8 8 6 4 4 6 8 () 8 6 4 () -4-5 = -4-3.5-3 -.5 - -.5 - logr = -4-3.5-3 -.5 - -.5 - log r 4 6 8

Εκθέτες Lypunov Οι εκθέτες Lypunov μετράνε το μέσο βαθμό απόκλισης και σύγκλισης των τροχιών στον ελκυστή, στις κατευθύνσεις του τοπικά αναλυμένου χώρου καταστάσεων Lypunov spectru: l > απόκλιση l < σύγκλιση... l = κατεύθυνση ροής Σύστημα απώλειας ενέργειας: Αν l > και το σύστημα είναι αιτιοκρατικό χάος

Μέγιστος εκθέτης Lypunov λ Αρχική απόσταση d = - δύο κοντινών τροχιών θα πρέπει να μεγαλώνει εκθετικά με το χρόνο. Μετά από χρόνο t: d t = +t - +t Αν t e t λ είναι ο μέγιστος εκθέτης Lypunov Υπολογισμός: ln N t, j Nt j, j +t d d t +t

Παράδειγμα: -Lorenz χωρίς θόρυβο με %-θόρυβο Η εκτίμηση του λ εξαρτάται από: τ,, θόρυβο Άλλα χαρακτηριστικά / μέτρα: 3 Προσεγγιστική εντροπία (pprote entropy): παρουσίαση, παραδείγματα, εφαρμογές Κάποιο άλλο μη-γραμμικό χαρακτηριστικό / μέτρο

Μοντέλα πρόβλεψης Το σύστημα που παράγει τη χρονοσειρά: s f ( s ) s.4s s s απεικόνιση Henon,,,.3s,, s (, ) f s s s,,, (, ) s f f s s s,,,

Το σύστημα που παράγει τη χρονοσειρά: Μοντέλα πρόβλεψης s f ( s ) άγνωστο F( Το ανακατασκευασμένο σύστημα από τη χρονοσειρά: εκτίμηση? Το πρόβλημα της μοντελοποίησης / πρόβλεψης χρονοσειρών: δίνονται,,, εκτίμηση / πρόβλεψη του + ) Ανακατασκευή του χώρου καταστάσεων με τη μέθοδο των υστερήσεων: = [, -t, -(-)t ] Η συνάρτηση που μας ενδιαφέρει να εκτιμήσουμε για χρονοσειρές είναι: F( ) F : F( ) =, τ = F : F(, )

Μη-γραμμικά μοντέλα πρόβλεψης Σφαιρικά μοντέλα, π.χ. πολυώνυμα η F έχει αναλυτική μορφή και ίδια για όλο το πεδίο ορισμού Τοπικά μοντέλα, π.χ. τοπικό γραμμικό μοντέλο η F ορίζεται διαφορετικά για κάθε σημείο του χώρου Ημι-τοπικά μοντέλα, π.χ. νευρωνικά δίκτυα η F έχει μια μορφή που ορίζεται ως σταθμισμένο άθροισμα τοπικών στοιχειωδών συναρτήσεων 4 Πρόβλεψη χρονοσειρών με νευρωνικά δίκτυα: παρουσίαση, παραδείγματα, εφαρμογές

Πρόβλεψη με την εύρεση όμοιων τμημάτων της χρονοσειράς Πρόβλεψη για χρόνο +T από τις εικόνες για Τ χρονικά βήματα «όμοιων» τμημάτων της χρονοσειράς από το παρελθόν

Τοπικά Μοντέλα Πρόβλεψης Εφαρμογή της ιδέας «όμοιων» τμημάτων: τμήματα χρονοσειράς ανακατασκευασμένα σημεία Κοντινότερα γειτονικά σημεία του :{ ( ), (),..., ( K )} Πρόβλεψη του +T από τις εικόνες των γειτόνων:,,..., } Πρόβλεψη μηδενικής τάξης: Πρόβλεψη μέσου όρου: ˆ ( T) T ( T) () T K ( j) T K j { ( ) T () T ( K ) T

Τοπικά γραμμική πρόβλεψη Υποθέτουμε ότι για τη «γειτονιά» του ισχύει το τοπικά γραμμικό μοντέλο : ' F F ) ( ) ( ),,, ( ) ( ()+T = + () ()+T = + () (K)+T = + (K) Το μοντέλο ισχύει για τα ) ( () ) (,...,, K K j j j j ) ( ) ( ) ( ) (,,, ) ( n Εκτίμηση παραμέτρων (μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων),,,

Εκτίμηση λάθους πρόβλεψης Χωρίζουμε τη χρονοσειρά σε δύο μέρη: Προβλέψεις ˆ,,,,,, N N N N,, ˆ N ( T) e ˆ T T T σφάλμα πρόβλεψης Σύνολο εκμάθησης του μοντέλου Σύνολο για τον έλεγχο του μοντέλου Στατιστική για το σφάλμα πρόβλεψης N T N tn NRM SE( T ) N N N T tt ˆ tt

Παράδειγμα: -Lorenz τοπικό γραμμικό μοντέλο πρόβλεψης (LLP) Πρόβλεψη με:, 5, K πρόβλεψη τοπικού μέσου όρου (LAP) χωρίς θόρυβο με %-θόρυβο

nrse() τετραμηνιαίος ρυθμός μεταβολής ΑΕΠ των ΗΠΑ την περίοδο 947 99 Πρόβλεψη με - γραμμικό μοντέλο AR - τοπικό μοντέλο μέσου όρου, LAM - τοπικό γραμμικό μοντέλο, LLM. Σφάλμα πρόβλεψης (nrse) για τα 3 τελευταία τετράμηνα ()..5. Προβλέψεις με αφετηρία το πρώτο τετράμηνο του 989 και ορίζοντα τα 6 τελευταία τετράμηνα () rel AR(3) LAM(=5,K=5) LLM(=5,K=5).9.5.8 AR LAM(K=5) LLM(K=5).7 4 6 8 -.5 -. 64 66 68 7 7 74 76

returns of nde close nde Γενικός δείκτης ΧΑΑ την περίοδο...9.5 Πρόβλεψη με - γραμμικό μοντέλο AR - τοπικό μοντέλο μέσου όρου, LAM Αποδόσεις y γενικού δείκτη Πρόβλεψη με αφετηρία την.9.5 και για μέχρι 6 μέρες μπροστά t t t t Γενικός δείκτης.5. () 345 34 () generl nde n (T), AR(7) n (T), LAM(=7,K=).5 335 -.5 -. generl nde returns y n (T), AR(7) y n (T), LAM(=7,K=) -.5 8 5 9 6 dy 33 35 3 8 5 9 6 dy

nde return close nde Γενικός δείκτης ΧΑΑ την περίοδο...9.5 - συνέχεια.5..5 Πρόβλεψη με - γραμμικό μοντέλο AR - τοπικό μοντέλο μέσου όρου, LAM Αποδόσεις y γενικού δείκτη () Πρόβλεψη ενός βήματος μπροστά για την περίοδο.9.5..5 t t t t 345 34 335 Γενικός δείκτης () generl nde n () AR(7) n () LAM(=7,K=) -.5 -. generl nde y n () AR(7) y n () LAM(=7,K=) -.5 8 5 9 6 dy 33 35 3 8 5 9 6 dy