Μέθοδος Επικόμβιων Μετατοπίσεων

Μέθοδος Επικόμβιων Μετατοπίσεων

Εισαγωγή Μέθοδος Επικόμβιων Μετατοπίσεων: Δ18-2 Τα περισσότερα προγράμματα Η/Υ έχουνωςθεμελιώδηβάση τους τη Μέθοδο Επικόμβιων Μετατοπίσεων. Στη Μέθοδο των Επικόμβιων Μετατοπίσεων, όπως και στις άλλες μεθόδους μετακινήσεων, οι εξισώσεις ισορροπίας γράφονται ως προς τις άγνωστες μετακινήσεις στους κόμβους. Αφού προσδιορίσουμε τους κινηματικά ελεύθερους κόμβους και ορίσουμε τους βαθμούς ελευθερίας κίνησής τους, το πρόγραμμα επιβάλλει αντίστοιχες μοναδιαίες μετακινήσεις καιυπολογίζειτουςσυντελεστέςακαμψίας, καταστρώνει και επιλύει τις εξισώσεις ισορροπίας, καιυπολογίζειτις αντιδράσεις, μετακινήσεις των κόμβων και δυνάμεις των μελών του φορέα.

Δ18-3 Η ανάλυση υπερστατικών φορέων με τη Μέθοδο Επικόμβιων Μετατοπίσεων βασίζεται στην επαλληλία δύο περιπτώσεων: (i) παγιωμένος φορέας υπό την επίδραση της δοσμένης φόρτισης, και (ii) αρχικός φορέας υπό την επίδραση διαδοχικών μοναδιαίων μετακινήσεων ξ n =1 (θ n =1 ή Δ n =1) για n=1,,ν Αναλυτικά, η μεθοδολογία συνοψίζεται στα εξής βήματα: 1. Μορφώνουμε τον παγιωμένο φορέα, ο οποίος προκύπτει ως συνδυασμός αμφίπακτων ή/και μονόπακτων μελών. Στη συνέχεια καθορίζουμε τις ανεξάρτητες στροφές και ανεξάρτητες μετατοπίσεις των κόμβων που δεσμεύτηκαν κατά την παγίωση του φορέα. Δηλαδή, η κινηματική αοριστία Ν του φορέα με τη ΜΕΜ εξαρτάται από τον τρόπο παγίωσης του φορέα (επιλογή αμφίπακτων ή/και μονόπακτων μελών). Κατά τη μόρφωση του παγιωμένου φορέα γίνεται συνήθως η παραδοχή ατένειας των μελών του φορέα, δηλαδή ότι αμελούνται οι αξονικές παραμορφώσεις.

Δ18-4 2. Φορτίζοντας τον παγιωμένο φορέα με τη δοσμένη φόρτιση, υπολογίζουμε (από πίνακες) τις ροπές Μ ik,0 (και ενδεχομένως τέμνουσες Q ik,0 και αξονικές δυνάμεις N ik,0 ), σταάκρατωνμελών Κατάσταση 0. Η σύμβαση προσήμου είναι η ίδια με αυτήν που υιοθετήθηκε στη Μέθοδο Γωνιών Στροφής: θετικές ροπές και στροφές στα άκρα των μελών θεωρούνται οι δεξιόστροφες. 3. Επιβάλλουμε διαδοχικά μοναδιαίους καταναγκασμούς ξ n =1 (n =1,,Ν). Όταν επιβάλλεται η δέσμευση ξ n =1, όλες οι άλλες μετακινήσεις ξ m με m n θεωρούνται μηδενικές. Σε κάθε μια κατάσταση ξ n =1 υπολογίζουμε (από πίνακες) τις ροπές ik,n (και ενδεχομένως τέμνουσες Q ik,n και αξονικές δυνάμεις N ik,n ), στα άκρα των μελών. Κατάσταση n. 4. Από τα εντατικά μεγέθη του βήματος 2 (Μ ik,0, Q ik,0, N ik,0 ) υπολογίζουμε τις αντιδράσεις Κ m0 (δυνάμεις, ροπές) στις Ν δεσμεύσεις με βάση τις συνθήκες ισορροπίας ΣΜ=0 στους κόμβους. Από τα εντατικά μεγέθη του βήματος 3 (Μ ik,n, Q ik,n, N ik,n ) υπολογίζουμε τις αντιδράσεις Κ mn (δυνάμεις, ροπές) στις Ν δεσμεύσεις με βάση τις συνθήκες ισορροπίας ΣΜ=0 στους κόμβους.

Δ18-5 Κ mn είναι η δύναμη κατά τη διεύθυνση της μετακίνησης ξ m όταν επιβάλλεται μοναδιαία μετακίνηση ξ n =1. 5. Καταστρώνουμε το γραμμικό σύστημα των εξισώσεων ισορροπίας { } { ξ } { } Km0 + Kmn m = 0 ( m, n = 1,2,..., N) το οποίο επιλύεται για να προκύψουν οι άγνωστες μετακινήσεις ξ. Η πιο πάνω εξίσωση βασίζεται στην αρχή της επαλληλίας και εκφράζει την απαίτηση μηδενισμού της ολικής αντίδρασης Κ m του αρχικού φορέα που εμφανίζεται κατά το β.ε. m. 6. Υπολογίζουμε τα τελικά εντατικά μεγέθη. Με γνωστές τις μετακινήσεις, υπολογίζουμε τις ροπές στα άκρα i- k των μελών χρησιμοποιώντας την αρχή της επαλληλίας ως = + ( iξ ) για n = 1,2,..., N ik ik,0 ik, n n Από τις τελικές ροπές υπολογίζουμε τις τέμνουσες και αξονικές δυνάμεις στα άκρα των στοιχείων i-k με τη βοήθεια των συνθηκών ισορροπίας.

Δ18-6 Η μεθοδολογία ανάλυσης με τη Μέθοδο Επικόμβιων Μετατοπίσεων θα δοθεί μέσα από ένα παράδειγμα μίας υπερστατικής δοκού με βαθμό κινηματικής αοριστίας ΒΚΑ=1. 1. Ως πρώτο βήμα της ανάλυσης προσδιορίζουμε το βαθμό κινηματικής αοριστίας του φορέα. Στο σχήμα φαίνεται μία συνεχής δοκός σταθερής διατομής. Οι κόμβοι 1 και 3 του φορέα είναι = 15 kips 8' 1 1 2 2 3 L AB = 16' L BC = 8' πλήρως πακτωμένοι και επομένως δεν μπορούν να εμφανίσουν ούτε μετατοπίσεις ούτε στροφές. Ο κόμβος2 δεν μπορεί να μετατοπιστεί κατακόρυφα λόγω της κύλισης, αλλά ούτε και οριζόντια, διότι αυτό θα σήμαινε μεταβολή του μήκους των δοκών 1-2 και 2-3, κάτι που απαγορεύει η παραδοχή της ατένειας. Επομένως, η μόνη άγνωστη κομβική μετακίνηση είναι η στροφή ξ 1 στον κόμβο 2, την οποία και δεσμεύω κατά τη μόρφωση του παγιωμένου φορέα. Άρα η δοκόςείναιμίαφοράκινηματικάαόριστη(βκα=1). (α) 1

Δ18-7 Άρα ο παγιωμένος φορέας προκύπτει πακτώνοντας τον κόμβο 2 του αρχικού φορέα (σχήμα (b)) Κατάσταση «0». = 15 kips clamp κατάσταση 0 1 2 3 12 (0) = -30 kip ft 21 (0) = 30 kip ft 16' 8' 2. Φορτίζοντας τον παγιωμένο φορέα με τη δοσμένη φόρτιση, υπολογίζουμε (από πίνακες) τις ροπές πάκτωσης, Μ ik,0, στα άκρα i-k των μελών: 12,0 21,0 PL 15(16) = = = 30 kip ft (αντιωρολογιακή) (1a) 8 8 PL 15(16) =+ = = 30 kip ft (ωρολογιακή) (1b) 8 8 Η σύμβαση προσήμου είναι η ίδια με αυτήν που υιοθετήθηκε στη Μέθοδο Γωνιών Στροφής: θετικές ροπές και στροφές στα άκρα των μελών θεωρούνται οι ωρολογιακές. Case 1 (b)

Δ18-8 3. Στη συνέχεια, αφού επιβάλλουμε μοναδιαία ωρολογιακή στροφή +1 rad στον κόμβο 2, παγιώνουμε τη δοκό στην παραμορφωμένηαυτήθέση- Κατάσταση «1» (σχήμα (d)). 1 = 1 κατάσταση 1 [ 1 ] * 1 = 1 12 (1) 21 (1) 23 (1) 32 (1) (d) ΗστροφήαυτήπροκαλείροπέςΜ ik,1 στα άκρα των μελών της δοκού που μπορούν να υπολογιστούν από τις σχέσεις ροπώνμετακινήσεων (δύο πρώτοι όροι) που χρησιμοποιήσαμε στη μέθοδο γωνιών στροφής ή από πίνακες: L ik, 1 = ( i + k ) 2θ θ

Δ18-9 12,1 21,1 23,1 32,1 EI = 2(0) + ( 1) = [0 + ( 1)] = (2a) L 16 8 EI = 2( 1) + 0 = [2( 1) + 0] = (2b) L 16 4 EI = 2( 1) + 0 = ( 2) = (2c) L 8 2 EI = 2(0) + ( 1) = ( 1) = (2d) L 8 4 4. Από την ισορροπία του κόμβου 2 ηαντίδραση(ροπή) Κ 11 που αναπτύσσεται στην πάκτωση λόγω της μοναδιαίας στροφής (κατάσταση 1 ), ισούται με το άθροισμα των ροπών + 21,1 23,1 : EI EI 3EI K11 = ( 21,1 + 23,1) = + = (3) 4 2 4

Δ18-10 Από την ισορροπία του κόμβου 2, η αντίδραση(ροπή) Κ 10 που αναπτύσσεται στην πάκτωση του κόμβου 2 στην κατάσταση 0, ισούται με 5. Η ολική αντίδραση Κ 1 που εμφανίζεται στον κόμβο 2 του αρχικού φορέα, προκύπτει από την εφαρμογή της αρχής της επαλληλίας Αφού στην πραγματική δοκό δεν υπάρχει αυτή η αντίδραση, τότε οφείλει να μηδενιστεί. Από την απαίτηση μηδενισμού της προκύπτει η τιμή της στροφής ξ 1 : K K10 = 21,0 = 30 kip ft (4) K1 = K11 ξ1 + K10 (5) 3EI ξ + K =0 ξ 30 = 0 4 40 ξ1= rad (ωρολογιακή) (6) EI 11 1 10 1

Δ18-11 6. Αφού υπολογιστεί η ξ 1, οι ροπές στα άκρα των μελών μπορούν να υπολογιστούν από την επαλληλία των βημάτων 2 και 3. Για παράδειγμα, για να υπολογίσουμε τη ροπή ακριβώς αριστερά από τον κόμβο 2, έχουμε την ακόλουθη εξίσωση επαλληλίας 21 = 21,0 + 21,1 ξ1 (7) EI 40 = 30 + = 20 kip ft (ωρολογιακή) 4 EI Ενώ για να υπολογίσουμε τη ροπή στην πάκτωση (κόμβος 3), = + ξ 32 32,0 32,1 1 EI 40 = 0 + = 10 kip ft (αντιωρολογιακή) (8) 4 EI Αφού υπολογιστούν οι ροπές στα άκρα των μελών, οι τέμνουσες δυνάμεις και οι αντιδράσεις υπολογίζονται από τα ΔΕΣ των μελών της δοκού.

Το διάγραμμα ροπών και οι τελικές τιμές των αντιδράσεων φαίνονται στα σχήματα (f) και (g), αντίστοιχα. Δ18-12 -35-20 oment diagram (kip*ft) 10 32.5 (f) 15 kips 35 kip*ft 10 kip*ft 8.438 kips 3.75 kips (g) 10.312 kips

Παράδειγμα Π18-1 Μέθοδος Επικόμβιων Μετατοπίσεων: Δ18-13 Να επιλυθεί το πλαίσιο με τη Μέθοδο Επικόμβιων Μετατοπίσεων. [ΕΙ=σταθερό] 1. Το πλαίσιο έχει βαθμό κινηματικής αοριστίας ΒΚΑ = 1. Η μόνη άγνωστη μετακίνηση είναι ηστροφήξ 1 στον κόμβο 2. Άρα χρειάζεται μία εξίσωση ισορροπίας στον κόμβο 2. 1 1 24 kn 24 kn 6 m 6 m 2 3 6 m Άρα Μορφώνουμε τον παγιωμένο φορέα, ο οποίος προκύπτει πακτώνοντας τον αδέσμευτο κόμβο 2 του αρχικού φορέα, σχήμα (b). 2. Φορτίζοντας τον παγιωμένο φορέα με τη δοσμένη φόρτιση, υπολογίζουμε (από πίνακες) τις ροπές πάκτωσης, Μ ik,0, στα άκρα του μέλους 2-3 (Kατάσταση 0 ). 1 18 m (α) κατάσταση 0 23, 0 32, 0 2PL 2( 24)( 18) = = = 96 kn m (αντιωρολογιακή) 9 9 2PL 2( 24)( 18) = = = 96 kn m (ωρολογιακή) 9 9 1 23 (1) 21 (1) 1 = 1 + κατάσταση 1 32 (1) 3 12 (1) (d) ΠΠΜ220: Στατική Ανάλυση Κατασκευών ΙI

Παράδειγμα Π18-1 (...) Μέθοδος Επικόμβιων Μετατοπίσεων: Δ18-14 3. Επιβάλλουμε μοναδιαία ωρολογιακή στροφή (1 rad) στον κόμβο 2 και πακτώνουμε τη δοκό στην παραμορφωμένη θέση - Κατάσταση 1. Ηστροφή αυτή προκαλεί ροπές στα άκρα των μελών της δοκού που υπολογίζονται από τις σχέσεις ροπών-μετακινήσεων (που χρησιμοποιήσαμε στη μέθοδο γωνιών στροφής) ή από πίνακες: L 2θ ik, 1 = ( i + θk ) Οι ροπές στα άκρα του μέλους 1-2 και 2-3, λόγω της μοναδιαίας στροφής στον κόμβο 2: 12,1 21,1 23,1 32,1 EI = (0 + 1) = 6 3 = 2(1) + 0 = 6 3 = 2(1) + 0 = 18 9 EI = 2(0) + 1 = 18 9 ΠΠΜ220: Στατική Ανάλυση Κατασκευών ΙI

Παράδειγμα Π18-1 (...) Μέθοδος Επικόμβιων Μετατοπίσεων: Δ18-15 4. Από την ισορροπία του κόμβου 2, υπολογίζουμε την αντίδραση (ροπή) K 11 που αναπτύσσεται στην πάκτωση στην κατάσταση 1, και ισούται με το άθροισμα τωνροπώντωνμελώνπουσυνδέονταιστονκόμβο2. 11 Οι δυνάμεις και μετακινήσεις που προκύπτουν απ αυτό το βήμα πολλαπλασιάζονται με το πραγματικό μέγεθος, ξ 1, της στροφής στον κόμβο 2. Ηαντίδραση(ροπή) Κ 10 που αναπτύσσεται στην πάκτωση του κόμβου 2 στην κατάσταση 0, από την ισορροπία ροπών ισούται με K10 = 23,0 = 96 k N m 5. Η ολική αντίδραση Κ 1 που εμφανίζεται στη θέση του κόμβου 2, προκύπτει από την εφαρμογή της αρχής της επαλληλίας K = K ξ + K 1 11 1 10 Αφού στην πραγματική δοκό δεν υπάρχει αυτή η αντίδραση, τότε οφείλει να μηδενιστεί. Από την απαίτηση μηδενισμού της προκύπτει η τιμή της στροφής ξ 1 : K 8EI K11 = 21,1 + 23,1 = + = 2 3 9 9 ξ + 8 EI K =0 ξ 96 = 0 ξ = 108 rad 9 EI 11 1 10 1 1 21 (1) 23 (1) ΠΠΜ220: Στατική Ανάλυση Κατασκευών ΙI

Παράδειγμα Π18-1 (...) Μέθοδος Επικόμβιων Μετατοπίσεων: Δ18-16 6. Με τη στροφή ξ 1 γνωστή, υπολογίζουμε τις ροπές στα άκρα κάθε μέλους από επαλληλία των δυνάμεων σε κάθε κόμβο από τα σχήματα (b) και (d). Δηλαδή, προσθέτουμε τις τιμές των ροπών λόγω της μοναδιαίας στροφής, αφού τις πολλαπλασιάσουμε με ξ 1, με τις ροπές πάκτωσης Μ ik,0. 108 EI 12 = 12,0 + 12,1 ξ1 = 0 + = 36 kn m (ωρολογιακή) EI 3 108 21 = 21,0 + 21,1 ξ1 = 0 + = 72 kn m (ωρολογιακή) EI 3 108 23 = 23,0 + 23,1 ξ1 = ( 96) + = 72 kn m (αντιωρολογιακή) EI 9 = + ξ 32 32,0 32,1 1 108 EI = 96 + = 108 kn m (ωρολογιακή) EI 9 ΠΠΜ220: Στατική Ανάλυση Κατασκευών ΙI

Παράδειγμα Π18-1 (...) Μέθοδος Επικόμβιων Μετατοπίσεων: Δ18-17 Χρησιμοποιώντας ΔΕΣ για κάθε μέλος του πλαισίου υπολογίζονται οι τέμνουσες δυνάμεις και οι αντιδράσεις του φορέα. Τα τελικά αποτελέσματα φαίνονται στο σχήμα (f). 24 kn 24 kn 108 knm 18 kn 72 knm 26 kn 18 kn 36 knm (f) 22 kn ΠΠΜ220: Στατική Ανάλυση Κατασκευών ΙI