AΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ 9 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ 5o ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΠΕΤΡΟΥΠΟΛΗΣ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ : Tέσσερις (4) ΘΕΜΑ A Α. Έστω f μια συνεχής συνάρτηση σ ένα διάστημα [α, β]. Αν G είναι μια παράγουσα συνάρτηση της f στο [α, β], τότε να αποδείξετε ότι β α ( t) f dt = G(β) G(α) ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Μονάδες 9 A. Πότε η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f λέμε ότι έχει: α) κατακόρυφη ασύμπτωτη την ευθεία = ; Μονάδες 3 β) ασύμπτωτη την ευθεία y = λ β στο ; Μονάδες 3 A3. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. α. Για κάθε ζεύγος μιγαδικών z, w ισχύει : z w = z w β. Αν lim f() = και lim Μονάδες lim g() =, τότε f ( ) =. g( ) Μονάδες γ. Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής στο [α, β] και Γ ΤΑΞΗ TESTan_alrv/CL
AΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ f(α) < f(β), τότε το σύνολο τιμών της είναι το διάστημα [f(α), f(β)]. Μονάδες δ. Αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σε διάστημα Δ με f γνησίως αύξουσα στο Δ τότε η f δεν έχει σημείο καμπής στο Δ. Μονάδες ε. Αν f είναι μια συνάρτηση συνεχής στο [α, β], τότε για β α κάθε α, β με α < β, είναι : ( ) f d. Μονάδες ΘΕΜΑ B Δίνεται μιγαδικός z για τον οποίο ισχύει : (3 4 i) v (z ) (3 4 i) v (z 6 i) =, v IN *. B. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων Μ(z) των μιγαδικών αριθμών z. Μονάδες B. Να υπολογίσετε την ελάχιστη τιμή του z. Μονάδες 7 B3. Να βρεθεί ο μιγαδικός αριθμός z του οποίου η εικόνα έχει την μικρότερη απόσταση από την εικόνα του μιγαδικού αριθμού w = i. Μονάδες 8 ΘΕΜΑ Γ ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ
AΡΧΗ 3ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Έστω η συνάρτηση f : (, ) IR δύο φορές παραγωγίσιμη για την οποία ισχύουν f() =, f () = και f () =, για κάθε (, ). Γ. Να δείξετε ότι οι συναρτήσεις g με g() = f() ln και h με h() = ln είναι ίσες. Γ. Να βρείτε τον τύπο της f. Μονάδες 5 Γ3. Αφού δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο (, ), υπολογίστε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη C f, τον άξονα και τις ευθείες =, = e. Μονάδες 8 Γ4. Δείξτε ότι η εξίσωση f() = που ανήκει στο (, ). έχει ακριβώς μία λύση ΘΕΜΑ Δ Δίνεται η συνάρτηση f : IR IR με f() = t dt ln( ). Δ. Να δείξετε ότι η f είναι κυρτή στο IR. Δ. Να δείξετε ότι f(), για κάθε IR. Δ3. Αν <, τότε να αποδείξετε ότι ΤΕΛΟΣ 3ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ
AΡΧΗ 4ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ t dt > Μονάδες 7 Δ4. Να δείξετε ότι υπάρχει λ (, ) ώστε : f (λ) = t dt ln5. ΟΔΗΓΙΕΣ (για τους εξεταζόμενους). Στο τετράδιό σας να γράψετε μόνο τα προκαταρκτικά (ημερομηνία, κατεύθυνση, εξεταζόμενο μάθημα). Τα θέματα να μην τα αντιγράψετε στο τετράδιο.. Να γράψετε το ονοματεπώνυμό σας στο πάνω μέρος των φωτοαντιγράφων αμέσως μόλις σας παραδοθούν. Καμμία άλλη σημείωση δεν επιτρέπεται να γράψετε. Κατά την αποχώρησή σας να παραδώσετε μαζί με το τετράδιο και τα φωτοαντίγραφα. 3. Να απαντήσετε στο τετράδιό σας σε όλα τα θέματα. 4. Κάθε λύση επιστημονικά τεκμηριωμένη είναι αποδεκτή. 5. Διάρκεια εξέτασης : Τρεις (3) ώρες μετά τη διανομή των φωτοαντιγράφων. 6. Χρόνος δυνατής αποχώρησης : Μία () ώρα μετά την διανομή των φωτοαντιγράφων. ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΛΥΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΝΑΛΥΣΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α ΤΕΛΟΣ 4ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ
AΡΧΗ 5ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Α. Θεωρία από το σχολικό βιβλίο, απόδειξη του Θεωρήματος, σελ. 335. Α. Θεωρία από το σχολικό βιβλίο, ορισμοί σελ. 79 και σελ. 8. Α3. α. Λάθος β. Λάθος γ. Λάθος δ. Σωστό ε. Λάθος ΘΕΜΑ Β Β. Η δεδομένη σχέση γίνεται Ι 3 4iI v Iz I = I3 4iI v Iz 6iI Iz I = Iz 6iI 3y 8 =. y Β. Λύνουμε το σύστημα 3y 8 = και έχουμε y = 3 8 3 8 (, y) =,, οπότε ε : 3y 8 = 8/3 N(w)(, ) M(8/, 4/) ΙzI min = 8. Iw zi min Β3. Λύνουμε το σύστημα y = 3 34 8 και έχουμε y = 3 3 (, y) = (, ), άρα ο ζητούμενος z = i. 8 K(z)(, ) ε : y = 3 34 IzI min ε : y = 3 ΘΕΜΑ Γ Γ. Είναι g () = f () και g () = f () f = ( ) = =, >, ομοίως h () = ln και h () =, >. Άρα g () = h () g () = h () c. Για =, g () = h () c c =. Οπότε g () = h () g() = h() c. Για = είναι g() = h() c c =, οπότε g() = h(), για κάθε >, άρα g = h. Γ. Από Γ δείξαμε ότι g() = h() f() ln = ln f() = ( )ln, >. Γ3. Είναι f () = ln, >, επίσης f () =, οπότε f (), άρα στη θέση = η f παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο (, ) και έτσι f () f () = > f () > για κάθε >, άρα η f (, ). Έτσι για κάθε > f() > f() = f() >, οπότε Ιf()I = f(), για κάθε >. f () f ελάχιστο e Συνεπώς το ζητούμενο εμβαδόν Ε είναι Ε = ( ) ln d = e ln d e e 5 ln d =... =. 4 Γ4. Αν φ() = f() = ( )ln, >, είναι φ συνεχής στο [, ] με φ() = < και φ() = 3ln >, (3ln = ln8 > lne = > ), οπότε από Θ.Bolzano έχουμε το ζητούμενο, αφού φ (, ) επειδή φ () = f () >, για κάθε >. ΘΕΜΑ Δ Δ. Η g() = είναι συνεχής για κάθε IR, και η f είναι παραγωγίσιμη ως άθροισμα ΤΕΛΟΣ 5ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ
AΡΧΗ 6ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ παραγωγίσιμων συναρτήσεων με f () = = dt t άρα f (), για κάθε IR, συνεπώς η f είναι κυρτή στο IR.. Επίσης f () = = ( ), Δ. Είναι f () = και η f κυρτή στο IR δηλ. f IR, άρα για < f () < f () = και για > f () > f () =. Η f παρουσιάζει στη θέση =, ολικό ελάχιστο το f() = δηλ. f(). f () f ελάχιστο Δ3. Είναι η f IR, άρα για κάθε < f ( ) < f ( ) dt t < dt t dt t dt < t dt < t dt > t. Δ4. Εφαρμόζουμε Θ.Μ.Τ. για την f στο [, ], οπότε υπάρχει λ (, ) ώστε f (λ) = f (λ) = f() f (λ) = dt ln5 t f ( ) f( ) ΤΕΛΟΣ 6ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ