ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ MICHEL ROLLE Μία μορφή του θεωρήματος Rolle δόθηκε από τον Ινδό αστρονόμο Bhaskara II τον 1 ο αιώνα. Η απόδειξη όμως δόθηκε από τον Michel Rolle σε ένα κείμενο - Démonstration d'une Méthode pour resoudre les Egalitez de tous les degrez - που δημοσιεύτηκε στο Παρίσι το 1691. Το όνομα «Θεώρημα του Rolle» χρησιμοποιήθηκε αρχικά από το Γερμανό Μ.W.Drobisch το 1834 και από τον Ιταλό Giusto Bellavitis το 1846. ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE Αν μία συνάρτηση f είναι Συνεχής στο κλειστό διάστημα [ αβ, ] Παραγωγίσιμη στο ανοικτό διάστημα ( αβ, ) f( α ) = f( β ) Τότε υπάρχει τουλάχιστον ένα x 0 αβ (, ) τέτοιο ώστε f (x 0) = 0 1
Προσοχή: 1. Αν για μία συνάρτηση f ισχύουν οι υποθέσεις του θεωρήματος Rolle σε ένα κλειστό διάστημα [ αβ, ] τότε σε ότι αφορά στο συμπέρασμα του, οι παρακάτω προτάσεις είναι ισοδύναμες: υπάρχει τουλάχιστον ένα x 0 αβ (, ) τέτοιο ώστε f (x 0) = 0 η εξίσωση f (x) = 0 έχει τουλάχιστον μία πραγματική ρίζα στο ανοικτό διάστημα ( αβ, ) η f έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο ανοικτό διάστημα ( αβ, ) (ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ του θεωρήματος Rolle) η γραφική παράσταση της f τέμνει τον άξονα xx τουλάχιστον σε ένα σημείο. υπάρχει τουλάχιστον ένα x 0 αβ (, ) τέτοιο ώστε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο Μ (x 0,f(x 0)) να είναι παράλληλη στον άξονα xx [Σχήματα (α), (β), (γ)]. (ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ του θεωρήματος Rolle) i. Αν η συνάρτηση είναι σταθερή έχουμε f ( x) = 0 για κάθε x αβ [, ] ii.
iii.. Αν ένα σώμα κινούμενο πάνω σε ένα άξονα διέρχεται από το σημείο Α τη χρονική στιγμή t 1 και επιστρέφει στο Α τη χρονική στιγμή t, τότε υπάρχει χρονική στιγμή t 0 μεταξύ των t 1, t που η ταχύτητα είναι μηδέν. (ΦΥΣΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ του θεωρήματος Rolle) ΑΠΟΔΕΙΞΗ: Αν S(t) η συνάρτηση θέσης του κινητού τότε παρατηρούμε ότι S(t) είναι συνεχής, παραγωγίσιμη και S(t 1) = S(t ), άρα για τη συνάρτηση S ισχύουν οι συνθήκες του θεωρήματος Rolle στο διάστημα [t 1,t ], οπότε υπάρχει χρονική στιγμή t 0 (t 1,t ) τέτοια ώστε S (t 0) = 0 δηλαδή η ταχύτητα του κινητού γίνεται 0. 3
Σημαντικές παρατηρήσεις 1. Οι υποθέσεις του θεωρήματος Rolle πρέπει να ελέγχονται πολύ προσεκτικά διότι αν κάποια από αυτές δεν ισχύει τότε δεν ισχύει και το θεώρημα. Π.χ. (α) Έστω η συνάρτηση 3 x αν 1< x f(x) = 8 αν x = 1. Η συνάρτηση είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο (1, ) με = = =. f (x) 3x και f (1) f () 8 Επειδή όμως η συνάρτηση δεν είναι συνεχής στο 1 δεν πληρούνται οι υποθέσεις του θεωρήματος Rolle. Π.χ. (β) Έστω η συνάρτηση f (x) = x, x [0,1] η οποία είναι συνεχής στο [0,1] και παραγωγίσιμη στο (0,1). Όμως f(0) = 0 1= f(1). Άρα δεν πληρούνται οι υποθέσεις του θεωρήματος Rolle. 4
x+ 1 αν 1 x Π.χ. (γ) Έστω η συνάρτηση f(x) = x 3 αν < x 3 διότι οι δύο κλάδοι είναι πολυωνυμικές συναρτήσεις και είναι συνεχής στο [1,3] lim ( x + 1) = lim (x 3) = f () = 1. + x x Επίσης f(1) = f(3) = 0. Η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στον κάθε κλάδο ως πολυωνυμική αλλά δεν είναι παραγωγίσιμη στο x0 = διότι ( ) f x f () ( x + 1) f () ( x + 1) ( 1) lim = lim = lim = 1 x x x x x x ενώ ( ) f x f () (x 3) f () (x 3) ( 1) lim = lim = lim = 1 x x x + + + x x x Άρα δεν πληρούνται οι υποθέσεις του θεωρήματος Rolle.. Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο κλειστό διάστημα [ αβ, ] (άρα θα είναι και συνεχής στο [ αβ),, ] για να εφαρμόσουμε το Θεώρημα Rolle αρκεί να ισχύει f( α ) = f( β ) 3. Το αντίστροφο του θεωρήματος Rolle δεν ισχύει κατ ανάγκη. Δηλαδή αν η παράγωγος μιας συνάρτησης f μηδενίζεται σε ένα εσωτερικό σημείο του πεδίου ορισμού της f δεν σημαίνει ότι πληρούνται αναγκαία οι υποθέσεις του θεωρήματος Rolle (Σχήματα 1,,3). 5
4. Αν η f είναι παραγωγίσιμη στο και έχει δύο ρίζες τότε η f έχει τουλάχιστον μία ρίζα. ΑΠΟΔΕΙΞΗ: Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο, άρα είναι και συνεχής στο και έστω ρ1, ρ με ρ 1 <ροι δύο ρίζες της f με f ( ρ 1) = f ( ρ ) = 0. Τότε στο κλειστό διάστημα [ ρ1, ρ] ισχύουν για την f οι υποθέσεις του θεωρήματος Rolle. Άρα υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ ( ρ, ρ ) τέτοιο ώστε f ( ξ ) = 0που είναι και το ζητούμενο. 1 5. Αν η f είναι παραγωγίσιμη στο τότε ανάμεσα σε δύο διαδοχικές ρίζες της f υπάρχει το πολύ μία ρίζα της συνάρτησης f 6
ΑΠΟΔΕΙΞΗ: Έστω ρ1, ρ με ρ 1 <ρ οι δύο διαδοχικές ρίζες της f. Έστω ότι η συνάρτηση f έχει δύο ρίζες στο διάστημα ( 1, ) θα έχουμε f( x1) = f( x) = 0 Εφαρμόζουμε το Θεώρημα του Rolle στο [ x 1,x ] ρ ρ τις x 1,x με x1 < x άρα f x = f x = 0. Έχουμε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο, άρα και συνεχής στο με ( ) ( ) 1 Επομένως ισχύουν για την f στο [ x 1,x] οι υποθέσεις του θεωρήματος Rolle. Άρα υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ (x,x ) ( ρ, ρ ) τέτοιο ώστε f ( ξ ) = 0. 1 1 Συνεπώς η f έχει ρίζα ανάμεσα στις διαδοχικές της ρ1, ρ άτοπο, άρα η f δεν έχει δύο ρίζες άρα θα έχει το πολύ μία ρίζα ανάμεσα σε δύο διαδοχικές ρίζες της f 6. Αν η f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο και έχει τρείς ρίζες τότε η f έχει δύο τουλάχιστον ρίζες και η f τουλάχιστον μία. ΑΠΟΔΕΙΞΗ: Η f είναι παραγωγίσιμη στο, άρα και συνεχής σε αυτό και έστω ρ1, ρ, ρ 3 τρείς διαδοχικές ρίζες της f με f ( ρ 1) = f ( ρ ) = f ( ρ 3) = 0 ( ρ 1 <ρ <ρ 3). Τότε στα κλειστά διαστήματα [ ρ1, ρ ] και [ ρ, ρ 3] ισχύουν για την f οι υποθέσεις του θεωρήματος Rolle. Άρα υπάρχουν τουλάχιστον ξ ρ 1 ( 1, ρ ) και ξ ρ (, ρ 3) τέτοιοι ώστε f( ξ 1) = 0και f( ξ ) = 0, δηλαδή η f έχει δυο τουλάχιστον ρίζες. Επειδή η f είναι δυο φορές παραγωγίσιμη στο συνεπάγεται ότι η f είναι συνεχής στο [ ξ1, ξ ] και παραγωγίσιμη στο ( ξ1, ξ ) και επειδή ισχύει f( ξ 1) = f( ξ ) = 0, η f ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του θεωρήματος Rolle. Επομένως υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ ( ξ1, ξ ) τέτοιο ώστε f ( ξ ) = 0, δηλαδή η f έχει μία τουλάχιστον ρίζα. 7. Γενικότερα, αν μία συνάρτηση f είναι ν -φορές παραγωγίσιμη ( ν με ν 1) και έχει ν+ 1 ρίζες τότε η ( ) f ν (νιοστή παράγωγος) έχει μία τουλάχιστον ρίζα. 8. Αν f ( x) 0 για κάθε x τότε η f έχει το πολύ μία ρίζα. 7
ΑΠΟΔΕΙΞΗ: Έστω ότι η συνάρτηση f έχει δύο ρίζες τις x 1,x με x1 < x άρα θα έχουμε f x f x 0 x,x. Έχουμε ότι η f είναι ( 1) = ( ) =. Εφαρμόζουμε το Θεώρημα του Rolle στο [ 1 ] παραγωγίσιμη στο, άρα και συνεχής στο με f( x ) f( x ) 0 = =. 1 Άρα ισχύουν για την f στο [ x 1,x] οι υποθέσεις του θεωρήματος Rolle. Άρα υπάρχει ξ = άτοπο γιατί f ( x) 0 για κάθε x τουλάχιστον ένα ξ (x 1,x ) τέτοιο ώστε f ( ) 0 9. Αν f (x) 0 για κάθε x τότε η f έχει δύο το πολύ ρίζες. 8
ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ - ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ 1. Αν στα ζητούμενα μιας άσκησης υπάρχει η εξίσωση f ( ξ ) = 0ή f ( ξ ) = 0 αυτό είναι μία πρώτη ένδειξη ότι για τη λύση της άσκησης θα κάνουμε χρήση του θεωρήματος Rolle για την f ή την f.. Αν μας ζητούν να αποδείξουμε ότι υπάρχει ξ ( α, β ) έτσι ώστε f( ξ ) = cή f ( ξ ) = c όπου c = σταθερά, τότε μπορούμε να εφαρμόσουμε το θεώρημα Bolzano για τη συνάρτηση g(x) = f (x) c ή την h(x) = f (x) c ή να εφαρμόσουμε το θεώρημα Rolle για τη συνάρτηση g(x) = f(x) cx ή την h(x) = f (x) cx + c1. 3. Κάνουμε χρήση του Θεωρήματος του Rolle αν μας ζητούν να αποδείξουμε ότι: Η εξίσωση f(x) = 0 έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα ( αβ, ) Η εξίσωση f(x) = 0 έχει το πολύ μία ρίζα στο διάστημα ( αβ, ) Η εξίσωση f(x) = 0 έχει ακριβώς μία ρίζα στο διάστημα ( αβ, ) Η εξίσωση f(x) = 0 έχει το πολύ κ ρίζες στο διάστημα ( αβ, ) Η εξίσωση f(x) = 0 έχει ακριβώς κ ρίζες Η εξίσωση f(x) = 0 έχει τουλάχιστον κ-ρίζες Η εξίσωση f(x) = 0 δεν έχει ρίζα στο διάστημα ( αβ, ) Πρέπει να λάβουμε υπόψη ότι πολλές από αυτές τις περιπτώσεις επιλύονται με το θεώρημα Bolzano ή με εύρεση του συνόλου τιμών και εφαρμογή του Θεωρήματος ενδιάμεσων τιμών, ή βρίσκοντας την προφανή ρίζα της f (αν υπάρχει). Το Θεώρημα Rolle μερικές φορές το χρησιμοποιούμε για την F δηλαδή την παράγουσα της συνάρτησης f, όπως θα δούμε και στο κεφάλαιο 4. 4. Για να αποδείξουμε ότι υπάρχει ξ ( α, β ) έτσι ώστε να ισχύει κάποια ισότητα αρκεί να αποδείξουμε ότι, η εξίσωση που προκύπτει από την ισότητα αν θέσουμε όπου ξ το x, έχει τουλάχιστον μία ρίζα. Π.χ. Δίνεται συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο [ π, π ] και άρτια. Να δειχτεί ότι υπάρχει ξ ( π, π ) ώστε να ισχύει : Λύση 3 f( ξ) 4ξ = 3ηµξ. Θέτουμε στη σχέση που μας δίνεται όπου ξ το x και έχουμε την εξίσωση: 3 f (x) 4x + 3ηµ x = 0. 9
4 Θεωρούμε τη συνάρτηση h(x) = f(x) 3συνx x η οποία είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο [ π, π ]. 4 4 Παρατηρούμε επίσης ότι h( π ) = f( π) 3συν ( π) π = f( π ) + 3 π (διότι f άρτια) και 4 4 h( π ) = f( π) 3συν( π) π = f( π ) + 3 π. Δηλαδή h( π ) = h( π ). Άρα ισχύουν οι συνθήκες του Θεωρήματος Rolle για τη συνάρτηση h στο [ π, π ]. Οπότε υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ ( π, π ) τέτοιο ώστε ξ = ξ ξ + ηµξ = ξ ξ = ηµξ 3 3 h ( ) 0 f ( ) 4 3 0 f ( ) 4 3 Ημερομηνία τροποποίησης: 31/8/011 10