Τ προτεινόμεν θέμτ είνι πό τις γενικές σκσεις προβλμτ το Ι. Δ. Στμτόπολο ποκλειστικά γι το site (δεν κκλοφορούν στο εμπόριο) Θέμ 6 ο Ομογενς σφίρ μάζς m κι κτίνς R, ισορροπεί πάνω σε κεκλιμένο επίπεδο γωνίς κλίσης φ 6 με τη βοθει νμτος πο είνι οριζόντιο, όπως στο σχμ. ) Ν δείξετε ότι μετξύ δπέδο κι σφίρς πάρχει τριβ. β) Ν πολογίσετε την δύνμη πο τείνετι το νμ. Ξφνικά το νμ σπάει στο σημείο πο σγκρτεί τη σφίρ κι η σφίρ κτέρχετι στο κεκλιμένο επίπεδο κτά h χωρίς ν ολισθίνει, ν πολογίσετε γ) την τχύτητ το κέντρο μάζς της σφίρς. δ) την επιτάχνση το κέντρο μάζς της σφίρς κι ε) το μέτρο της τριβς. Δίνετι η ροπ της σφίρς I k mr κι το g m/s 5 Λύση Αν δεν πάρχει τριβ μετξύ σφίρς κι κλίνδρο τότε η δύνμη Α θ περνούσε πό το κέντρο Κ. Ατό όμως είνι δύντο φού στη σφίρ σκούντι τρεις δνάμεις το βάρος W mg, η Ν κι η δύνμη Α. Αλλά το βάρος W κι η δύνμη πό το νμ Ν διέρχοντι πό σημείο Γ άρ κι η Α θ διέρχετι πό το Γ ώστε η σνιστμένη των δύο ν είνι ντίθετη της τρίτης δύνμης Α. Επομένως η Α δεν είνι κάθετος στο κεκλιμένο επίπεδο άρ δίνει σνιστώσ πο είνι η τριβ. β) Αν πάρομε τις ροπές των δνάμεων πο σκούντι στη σφίρ ως προς το σημείο Α έχομε: ΑΖ Στ Ν(ΑΕ)-W(ΑΖ) Ν W () Από το σχμ έχομε: ΑΕ ΑΕ ΖΓ ΑΕ ΖΚ + ΚΓ ΑΕ Rσνφ + R () κι ΖΑ Rημφ (). Από () λόγω () κι Wημφ (): Ν (4) + σνφ γ) Ότν η σφίρ ρχίζει ν κτέρχετι τότε έχομε με Α.Δ.Ε.: cm mcm + Ιω mgh mcm + mr άρ: cm gh mgh 5 R cm δ) Αλλά ΤR I οπότε: ΤR mr Τ mcm (6) 5 R 5 Από τη μετφορικ κίνηση της σφίρς έχομε: mgημφ-t m cm κι λόγω (6) έχομε: 7 mgημφ- mcm mcm οπότε: gημφ cm άρ: 5 5 (5) 7 Σημντικά Σχόλι ) Ότν σε στερεό σκούντι τρεις δνάμεις τότε οι φορείς το διέρχοντι πό το ίδιο σημείο β) Η τριβ είνι ντίθετη της ολίσθησης το σώμτος κι όχι στην κίνηση το σώμτος.
5 cm gημφ (7) 7 ε) Η σχέση (6) λόγω (7) δίνει: Τ mgημφ 7 Πρτρηση: Η γωνικ επιτάχνση γων με τη γρμμικ επιτάχνση cm σνδέοντι με τη σχέση: γων cm R
Θέμ 7 ο Δύο δίσκοι με κτίνες R κι R κι μάζες m κι m στρέφοντι με γωνικές τχύτητες ω κι ω ντίστοιχ. Οι άξονες περιστροφς των δύο δίσκων σμπίπτον. Κάποι στιγμ ο επάνω δίσκος πέφτει πό μικρό ύψος στον κάτω δίσκο κι κολλάει σε τόν. Ν πολογιστούν: ) Η κοιν γωνικ τχύτητ των δύο δίσκων μετά την επφ τος. β) Η μετβολ της στροφορμς κάθε δίσκο λλά κι το σστμτος. γ) Η μετβολ της κινητικς ενέργεις το σστμτος των δίσκων. Πώς δικιολογείτι η μετβολ τ; Δίνετι Ι δ mr Λύση Α) Ότν ω κι ω ομόρροπες: ) μετά την πτώση το δίσκο το σύστημ ποκτά κοιν γωνικ τχύτητ ω. Στο σύστημ δεν σκούντι εξωτερικές ροπές άρ η στροφικ το σστμτος διτηρείτι. Οπότε L L Ιω + Ι ω Ι + Ι ρχ ( ) τελ άρ: mr 5 οπότε: ω ω + ω m(r) ω mr + m(r) ω β) ΔL L L Ιω Ιω τελ ρχ 5 8 ΔL Ι ω ω mr ω 8 άρ: Δ L mr ω Σημντικό Σχόλιο: ) Κτά την κρούση οι ροπές πο νπτύσσοντι στο σύστημ των ΔL δίσκων έχον Σ (εσωτερικές) Lτελ Lρχ ΔL Ιω Ιω β) Ο άξονς περιστροφς το 5 σστμτος των δύο δίσκων δεν m(r) ω ω λλάζει άρ η ΔL σστ 8 άρ: Δ L mr ω Άρ ΔL + ΔL (ρχ διτρησης της στροφορμς)
Ι + Ι ω Ιω + Ι ω γ) ( ) ( ) ΔΚ Κ τελ Κ ρχ ΔΚ mr + 5 m(r) ω mr ω + m4r ω οπότε: ΔΚ,88mR ω Το ρνητικό πρόσημο δηλώνει ότι η ενέργει το σστμτος ελττώνετι. Η ελάττωση οφείλετι στο ότι κτά την πτώση το πάνω δίσκο κι μέχρι ν ποκτσον κοιν γωνικ τχύτητ μετξύ των δίσκων νπτύσσετι τριβ οπότε έχομε πώλει ενέργεις. Β) Ότν οι γωνικές τχύτητες έχον ντίθετες φορές. L ρχ L τελ Ιω Ιω Ι + Ι ω m(r) ω m4r + mr ω άρ: ω mr ω mr ω ) Έχομε: ( ) ΔL 6 ω οπότε: Δ L mr ω +Ιω + Ιω mr + ΔL Ι ω Ι ω Ι 6 άρ: Δ L mr ω οπότε: ΔL + ΔL ΔΚ Κ τελ Κ ρχ Ι + Ι ω Ιω + Ι (ω άρ: ΔΚ,55mR ω 4 ( ω ω ) Ι ω ω Ι ω β) ( ) Πρτρηση Δ L L L τελ ρχ ) Δ L Lτελ ( Lρχ ) άρ: ΔL L τελ + L ρχ
Θέμ 8 ο Σημεικ πηγ Σ μονοχρωμτικς κτινοβολίς βρίσκετι στον πθμέν δοχείο ύψος H m πο είνι γεμάτο με γρό πο έχει δείκτη διάθλσης n. Φωτειν κτίν πό το σημείο Σ μετά τη διάθλσ της στην επιφάνει το γρού φτάνει στο μάτι πρτηρητ πο βρίσκετι σε ύψος h m κι πό γωνί φ ως προς την επιφάνει το γρού. Α. Ν πολογίσετε :. τις γωνίες πρόσπτωσης κι διάθλσης της κτίνς. β. το μκος της διδρομς της κτίνς πό την πηγ ως το μάτι το πρτηρητ. γ. το χρόνο πο χρειάζετι η κτίν ν πάει πό την πηγ στον πρτηρητ. δ. τη φινόμενη νύψωση της φωτεινς πηγς στο γρό. Β. Ν ποδείξετε ότι ο χρόνος πο πιτείτι γι ν πάει πό την πηγ στον πρτηρητ είνι ο ελάχιστος δντός ( Θεώρημ το Femat ). Λύση: Α.. Αφού φ άρ: θ b 6 Από το νόμο Snell έχομε : ημθb n ημθ ημθb άρ ημθ n ημθ ημθ άρ: θ h Μ Δ τ ρ ω φ Κ θ b ρ Α θ φ Γ Σ β. Από το τρίγωνο ΑΕΣ έχομε : ΑΕ σνθ ΑΣ ΑΣ m άρ: ΑΣ m ΑΕ ΑΣ σνθ Από το τρίγωνο ΜΔΑ έχομε οπότε ΜΔ ημφ ΜΑ ΜΔ h ΜΑ ΜΑ ημφ ημ Ε θ ω Σ οπότε MΑ m, άρ το τρίγωνο ΜΑΣ είνι ισοσκελές φού ΜΑ ΑΣ m. γ. Ο χρόνος πο χρειάζετι η κτίν πό το Σ στο M είνι t ΣΑΜ t ΣΑ + t ΑΜ ΣΑ ΑΜ t ΣΑΜ + c c άρ: n ΣΑ + ΑΜ t ΣΑΜ c t ΣΑΜ m + m m 8 s άρ: t ΣΑΜ,8-8 s.
δ. Η φινόμενη νύψωση της πηγς γι τον πρτηρητ είνι : ΣΣ ΣΓ ΓΣ (). Αλλά ΑΓ ΑΣ ημθ ΑΣ ΑΓ άρ ΑΓ m. Από το τρίγωνο ΑΓΣ έχομε ΓΣ εφφ ΑΓ ΓΣ ΑΓ εφ οπότε ΓΣ m (). Η () λόγω της () δίνει : ΣΣ H - m οπότε ΣΣ - m ΣΣ m άρ: ΣΣ,5 m Β. Η μικρότερη διδρομ της κτίνς θ τν ν πγινε π εθείς πό το σημείο Σ στο Μ δηλδ η διδρομ ΣΜ. Αλλά ΣΜ ΣΚ + ΚΜ () Η διδρομ ΣΚ γίνετι στο γρό ενώ η ΚΜ στον έρ οπότε : ΣK KΜ n ΣΚ + ΚΜ t ΣΜ t ΣK + t KΜ t ΣΜ + άρ t ΣΜ c c c (4) Το τρίγωνο ΜΑΣ είνι ισοσκελές με γωνί ΜΑΣ 5 ω 5 άρ τ 45 κι ρ 45. άρ η γωνί KΣ Από το τρίγωνο ΚΑΣ έχομε : ΑΣ ΑΣ ημ KΣ ημ ημρ ημ45 m ημ6 KΣ ημ45 οπότε m KΣ άρ KΣ m (5) Από το τρίγωνο ΜΚΔ έχομε : ΜΔ ΜΔ σντ ΚΜ ΜΚ σν45 οπότε m KΜ άρ KΜ m (6) Η (4) λόγω (5) κι (6) γίνετι ΣΜ t + m m 8 s οπότε + t ΣΜ s 8 6 + t s ΣΜ 8 4 t ΣΜ 8 s άρ: -8 t,88 s ΣΜ Από τ ριθμητικά ποτελέσμτ έχομε t < t Άρ ο δρόμος ΣΑΜ είνι ο σντομότερος χρονικά δρόμος. ( Η πόδειξη τ ποτελεί το θεώρημ το Femat ) ΣAΜ ΣΜ
Θέμ ο Ένς άνθρωπος μάζς m 8 kg στέκετι στην περιφέρει οριζόντις πλτφόρμς μάζς M 4 kg κι κτίνς R m πο περιστρέφετι γύρω πό κτκόρφο άξον πο διέρχετι πό το κέντρο μάζς της πλτφόρμς με γωνικ τχύτητ ω ad/s. Σε κάποι πόστση πό το κέντρο περιστροφς της πλτφόρμς πάρχει ηχητικ πηγ πο εκπέμπει χο σχνότητς f s 68 Hz.Κτά την περιστροφ της πλτφόρμς ο άνθρωπος κούει χο οξύτερο κι βρύτερο. Α) Ν πολογίσετε την τιμ το οξύτερο κι βρύτερο χο. Β) Ο άνθρωπος ρχίζει ν κινείτι προς το κέντρο της πλτφόρμς κι διπιστώνει ότι ο οξύτερος κι ο βρύτερος χος ξάνει κι μειώνετι ντίστοιχ. Ν πολογίσετε:. τη θέση πό το κέντρο Κ της πλτφόρμς πο ο άνθρωπος κούει το μέγιστο οξύτερο κι τον ελάχιστο βρύτερο χο. β. τη μέγιστη κι την ελάχιστη τιμ το οξύτερο κι το βρύτερο χο ντίστοιχ. Δίνετι η ροπ δράνεις της πλτφόρμς ως προς τον άξον περιστροφς της I MR κι ηχ 4 m/s. Λύση: Α. Η γρμμικ τχύτητ περιστροφς το νθρώπο είνι: Α ωr άρ: m/s Έστω Ε τχί θέση το νθρώπο κτά την περιστροφ της πλτφόρμς, τότε η σχνότητ πο ντιλμβάνετι ο πρτηρητς είνι: σνφ Α fa fs () Από την () προκύπτει ότι f A min ότν Α σνφ κι τό γίνετι ότν σνφ άρ φ Ατό σμβίνει ότν η τχύτητ έχει τη διεύθνση της εθείς διπσών πρτηρητς, τό όμως γίνετι ότν ο πρτηρητς βρίσκετι στη θέση Δ, όπο ΑΔ εφάπτετι της πλτφόρμς, οπότε η σχέση () γίνετι: ( f ) Α A min s f άρ: ( f ) A min 64Hz Στο τμμ ΓΔ Γ ο πρτηρητς πομκρύνετι πό το διπσών άρ η σχνότητ πο ντιλμβάνετι ο πρτηρητς μειώνετι, με ελάχιστο στο σημείο Δ.
Στο τμμ το κύκλο Γ Δ Γ ο άνθρωπος πλησιάζει το διπσών άρ η σχνότητ το ντιλμβάνετι ξάνει με τη μέγιστη ότν βρίσκετι στη θέση Δ, όπο ΑΔ εφάπτετι της πλτφόρμς οπότε η μέγιστη σχνότητ στη θέση Δ είνι: ( f ) + Α A s f () άρ: ( f ) A 7 Hz Β.. Κθώς ο άνθρωπος κινείτι προς το κέντρο Κ της πλτφόρμς εκτελεί κύκλος μικρότερης κτίνς λλά με μεγλύτερη γωνικ τχύτητ φού η ροπ δράνεις το σστμτος πλτφόρμ νθρώπο μειώνετι. Έτσι η γρμμικ τχύτητ περιστροφς θ είνι: ωx (4) όπο x η κτίν περιστροφς το πρτηρητ κι ω η γωνικ τχύτητ περιστροφς της πλτφόρμς. Η στροφορμ το σστμτος μένει στθερ, άρ: L ρχ L τελ οπότε ( ) ( ) ( + ) I+ mr ω Ι+ mxω ω ( + ) Ι mr ω Ι + mx οπότε η (4) γίνετι I mr ω x Ι + mx ( I+ mr ) ωx Ι + mx MR + mx MR + MR ωx λλά m M έχομε: Mx MR + MR ωx+ MR 4x 5R ωx+ R 4 5 γι ν έχει λύση η εξίσωση πρέπει: Δ 5R ω 6 R άρ ( ) Rω 4 (5) 5R ω β οπότε: ( ) 5 m / s κι η λύση της είνι x x κι λόγω (5) 8 έχομε: 5R ω x άρ: x R 5 8 Rω 4 γ. Ο πρτηρητς κούει τον οξύτερο κι το βρύτερο χο είνι ντίστοιχ οι θέσεις Π κι Π, οπότε έχομε: +, ( f A) f s άρ: ( f A ) 7 Hz, ( f A) f min s άρ: ( f A ) 6Hz min Πρτρηση: Ο πρτηρητς κούει τον πργμτικό χο της πηγς στις θέσεις Γ κι Γ
Θέμ ο Σφιρίδιο μάζς m, kg είνι δεμένο στην άκρη βρούς κι μη εκτκτού νμτος κι περιστρέφετι σε λείο οριζόντιο επίπεδο εκτελώντς ομλ κκλικ κίνηση κτίνς,5 m κι έχοντς τχύτητ 4 m/s. Το νμ περνάει πό μι τρύπ Ο το επιπέδο κι στο άκρο σκείτι δύνμη F πο μετβάλλει την κτίν περιστροφς το σφιριδίο. Α) Ν πολογιστούν: ) Το μέτρο της τχύτητς ότν η κτίν της κκλικς τροχιάς ποδιπλσιστεί. β) Το μέτρο της στροφορμς το σφιριδίο. γ) Το μέτρο της δύνμης πο σκείτι στο σφιρίδιο στη νέ θέση περιστροφς το. δ) Το έργο πο πιτείτι γι ν μειωθεί η κτίν περιστροφς στο μισό της ρχικς της τιμς. Β) Ότν το σφιρίδιο βρίσκετι στη θέση Γ εκτελώντς κτίν / το νμ κόβετι κι το σφιρίδιο κινείτι εθύγρμμ οπότε σγκρούετι ελστικά με σώμ μάζς m πο είνι δεμένο στην άκρη ελτηρίο στθεράς Κ Ν/m πο μπορεί ν κινηθεί σε λείο οριζόντιο δάπεδο. Ν πολογιστούν: ) Οι τχύτητες των σωμάτων μετά την κρούση. β) Η μέγιστη σσπείρωση το ελτηρίο. γ) Ο χρόνος πο το σώμ μάζς m επνέρχετι γι πρώτη φορά στην ρχικ το θέση. δ) Το όριο θρύσης το νμτος. Λύση: Το σφιρίδιο εκτελεί κκλικ με την επίδρση της δύνμης Τ πο σκεί το νμ πο ποτελεί κι την κεντρομόλο δύνμη. Ο φορές της δύνμης Τ διέρχετι πό κέντρο περιστροφς Ο, άρ η στροφορμ το σφιριδίο διτηρείτι. Αν η τχύτητ το σφιριδίο ότν η κτίν το ποδιπλσιστεί ( /) τότε έχομε: L ρχ L τελ οπότε: m m οπότε: () άρ: 8 m/s β) Η στροφορμ είνι στθερ οπότε: L ρχ L τελ m () άρ: L τελ,4 kgm /s γ) Το νμ είνι βρές άρ η δύνμη F πο σκείτι στο ελεύθερο άκρο το νμτος είνι ίση με την δύνμη Τ πο σκεί το νμ στο σφιρίδιο κι ποτελεί
m την κεντρομόλο δύνμη άρ: F Τ κι λόγω () κι 8m F () οπότε: F 5, Ν έχομε: δ) Το πιτούμενο έργο γι τη μείωση της κτίνς στο μισό της ρχικς τιμς είνι ίσο με τη μετβολ της κινητικς ενέργεις το σφιριδίο, δηλδ: W Κ τελ - Κ ρχ m m κι λόγω () δίνει: W m (4) άρ: W 4,8 J Β) ) Αν κι οι τχύτητες το σφιριδίο κι το σώμτος m μετά την κρούση τότε τές είνι: m - m m κι οπότε: (5) κι (6) m + m m + m β) Η κινητικ ενέργει το σώμτος m γίνετι τελικά δνμικ ενέργει το ελτηρίο. Γι μέγιστη σσπείρωση το ελτηρίο κτά x τότε με Α.Δ. έχομε: m Κx κι λόγω () κι (6) έχομε: x, m άρ: x, cm m x (7) οπότε: Κ m γ) Το σώμ εκτελεί Α.Α.Τ. με περίοδο Τ π,s K Η σσπείρωση το ελτηρίο x ποτελεί κι το πλάτος της Α.Α.Τ. άρ ο χρόνος πο το σώμ επνέρχετι στην ρχικ θέση είνι: Τ t οπότε: t, s δ) Το όριο θρύσης το νμτος είνι ίσο με το μέτρο της δύνμης F, σχέση () άρ: F 5, Ν