( x ), x είναι ίσες. x,x είναι ίσες. x 5, x δεν είναι ίσες

(1). ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (Απαντήστε με σωστό ή λάθος) Να διευκρινίσουμε το εξής σημείο. Αν η ερώτηση είναι πχ, η συνάρτηση φ ικανοποιεί το τάδε, εννοείται η λέξη ΠΑΝΤΑ, οπότε αν υπάρχει έστω και μία φ που δεν ικανοποιεί, η απάντηση είναι (Λάθος) 1. Αν το πεδίο ορισμού είναι κλειστό διάστημα τότε και το σύνολο τιμών μιας συνάρτησης είναι και αυτό κλειστό διάστημα. 2. Αν f :R [, ) τότε η f έχει μια τουλάχιστον ρίζα. 3. Αν f :R (,) τότε η f δεν έχει καμιά ρίζα. 4. Αν δυο συναρτήσεις έχουν ίδιο τύπο τότε είναι ίσες. 5. Αν ορίζεται το άθροισμα δυο συναρτήσεων τότε αυτές υποχρεωτικά έχουν ίδιο πεδίο ορισμού. 6. Αν το πεδίο ορισμού του αθροίσματος f+g είναι όλο το R τότε υποχρεωτικά και οι δυο συναρτήσεις έχουν το ίδιο πεδίο ορισμού. 7. Οι συναρτήσεις με τύπους 2 ( ), είναι ίσες 8. Οι συναρτήσεις με τύπους 9. Οι συναρτήσεις με τύπους 1. Οι συναρτήσεις με τύπους 2, είναι ίσες 4 5, δεν είναι ίσες 5 4 4 5 4 5, δεν είναι ίσες 2 11. Ισχύει n( ) n( 1) n, R 12. Αν f ()g(), R τότε υποχρεωτικά θα είναι είτε f (), R είτε g( ), R 13. Αν 2 f (), R τότε υποχρεωτικά θα είναι f (), R 14. Αν ορίζεται η σύνθεση fog δυο συναρτήσεων τότε είναι δυνατόν τα πεδία ορισμού τους να μην έχουν κοινό στοιχείο. ΟΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 289 Ρ.ΜΠΟΡΗΣ

15. Αν f :AR,g:B R και g( B ) A τότε ορίζεται η σύνθεση fog 16. Αν f :AR,g:B R και ορίζεται η σύνθεση fog τότε υποχρεωτικά θα είναι g( B ) A 17. Αν ( fog)() τότε πεδίο ορισμού της σύνθεσης είναι το R 18. Αν f :RR,g:R R τότε πεδίο ορισμού της σύνθεσης είναι το R 19. Αν f :RR,g:RRμε f () 1,g() 1τότε fog gof 2. Δεν υπάρχει συνάρτηση f :R R ώστε 2 5 f ( ), R 21. Αν f :RR, b και είναι f () f(b) τότε f & 22. Αν f :[,b] R,f & τότε σύνολο τιμών είναι το [f(),f(b)] 23. Αν f ',g ' στο Α και ορίζεται η fog θα είναι fog & 24. Αν f & στο [,b]και f & στο [b,c] τότε θα είναι f & στο [,c] 25. Αν f & στο [,b]και f & στο [b,c] τότε θα είναι f & στο b 26. Αν f & στο [,b]και f & στο (b,c] τότε θα είναι f & στο [,c] 27. Αν ορίζεται το άθροισμα δυο γνήσια μονότονων συναρτήσεων που έχουν ίδιο είδος μονοτονίας τότε έχει και αυτό το ίδιο είδος μονοτονίας 28. Αν ορίζεται η διαφορά δυο γνήσια μονότονων συναρτήσεων που έχουν ίδιο είδος μονοτονίας τότε έχει και αυτή το ίδιο είδος μονοτονίας ΟΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 29 Ρ.ΜΠΟΡΗΣ

29. Αν ορίζεται η σύνθεση δυο γνήσια μονότονων συναρτήσεων που έχουν ίδιο είδος μονοτονίας τότε έχει και αυτή το ίδιο είδος μονοτονίας 3. Αν μια συνάρτηση είναι σταθερή είναι ταυτόχρονα και αύξουσα και φθίνουσα και αντιστρόφως 31. Αν f & στο R τότε έχει μια ακριβώς, ρίζα 32. Αν μια συνάρτηση έχει τουλάχιστον δυο ρίζες δεν μπορεί να είναι γνήσια μονότονη 33. Αν μια συνάρτηση είναι σταθερή τότε δεν έχει ακρότατα 34. Αν το μέγιστο και το ελάχιστο μιας συνάρτησης είναι ίσα τότε αυτή είναι σταθερή 35. Αν f :[,b] R τότε θα έχει και μέγιστο και ελάχιστο 36. Δεν υπάρχει συνάρτηση που να έχει άπειρα μέγιστα 37. f :[,b] R,f & τότε f (b) f(), [,b] 38. Αν f() 6, R τότε η συνάρτηση δεν έχει ακρότατα 39. Αν 1 f() 3, R τότε ελάχιστο της συνάρτησης είναι το 1 και μέγιστο είναι το 3 4. Αν το σύνολο τιμών μιας συνάρτησης είναι ανοικτό διάστημα και στα δυο του άκρα τότε η συνάρτηση δεν έχει ολικά ακρότατα, ενώ αν είναι κλειστό τότε έχει και μέγιστο και ελάχιστο 41. Αν μια συνάρτηση f :(,b) R έχει ελάχιστο τότε δεν μπορεί να είναι γνήσια μονότονη 42. Αν f :(,b) R και f & τότε μέγιστο της f είναι το f (b)και ελάχιστο της το f () 43. Η συνάρτηση f :R R με τύπο f () 2 δεν έχει ακρότατα ΟΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 291 Ρ.ΜΠΟΡΗΣ

44. Αν f :R R και ισχύει f () f( ), R τότε η γραφική παράσταση της συνάρτησης έχει υποχρεωτικά κέντρο συμμετρίας την αρχή των αξόνων 45. Μια άρτια συνάρτηση δεν μπορεί να είναι γνήσια μονότονη 46. Το γινόμενο δυο περιττών συναρτήσεων, με πεδίο ορισμού το R, είναι και αυτό περιττή συνάρτηση στο R 47. Αν f :R R περιττή τότε η f έχει μια τουλάχιστον ρίζα 48. Μια περιττή συνάρτηση είναι υποχρεωτικά γνήσια μονότονη 49. Αν μια συνάρτηση είναι 1-1 είναι και γνήσια μονότονη 5. Αν για κάθε 1,2 Af με f ( 1) f( 2 ) προκύπτει 1 2 τότε η f είναι 1-1 51. Αν η f είναι 1-1 τότε δεν έχει ρίζα 52. Αν για y στο σύνολο τιμών μιας συνάρτησης, υπάρχει μοναδικό, στο πεδίο ορισμού της : f () y τότε η f είναι 1-1 53. Αν η f είναι 1-1 και ισχύει f () f(b 1) τότε b 1 54. Αν f () f(1), R τότε η f είναι 1-1 55. Αν f :[,b] R μια συνάρτηση που είναι 1-1 και η οποία έχει και μέγιστο και ελάχιστο τότε θα έχει υποχρεωτικά τα ακρότατά της στα άκρα του διαστήματος 56. Η συνάρτηση με τύπο -2 f () (e 1) n(1) δεν μπορεί να είναι 1-1 57. Το άθροισμα δυο συναρτήσεων που η καθεμιά τους είναι 1-1 σε όλο το R είναι και αυτό συνάρτηση 1-1 58. Αν μια συνάρτηση είναι αντιστρέψιμη τότε η εξίσωση 1 f () f () είναι ισοδύναμη με την εξίσωση f () 59. Αν μια συνάρτηση f είναι αντιστρέψιμη και έχει πεδίο ορισμού το R τότε θα ισχύει ΟΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1 1 f (f ()) f (f()), R 292 Ρ.ΜΠΟΡΗΣ

(2). ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ (Απαντήστε με σωστό ή λάθος) 1. Το όριο μιας συνάρτησης είτε είναι κάποιος πραγματικός είτε είναι ίσο με 2. Όταν η μεταβλητή τείνει σε σημείο εκτός του πεδίου ορισμού λέμε πάντοτε ότι το όριο της συνάρτησης δεν υπάρχει 3. Δεν έχει νόημα το im 2 3 2 4. Ισχύει im 5. Αν το im f ( ) δεν υπάρχει τότε και τα πλευρικά όρια im f ( ), im f ( ) επίσης δεν υπάρχουν 6. Αν im f ( ), im f ( ) τότε το όριο im f ( ) υπάρχει 7. Η έκφραση «κοντά στο α» σημαίνει ότι η μεταβλητή ανήκει στο πεδίο ορισμού της συνάρτησης της οποίας αναζητούμε το im f ( ) 8. Αν im f ( ) 4 τότε : είτε im f ( ) 4, είτε im f ( ) 4 9. Ισχύει η ισοδυναμία : im f ( ) im f ( ) 1. Αν im f ( ) R τότε τα f () είναι αρνητικά, όταν το είναι κοντά στο 11. Αν L im f ( ) L και f () όταν το είναι κοντά στο τότε 12. Αν im f ( ) L R, im g( ) M R, και επιπλέον f () g() όταν το είναι κοντά στο τότε θα είναι και L<M ΟΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 293 Ρ.ΜΠΟΡΗΣ

13. Αν im f ( ) L R, im g( ) M R, L M επιπλέον f () h() g() όταν το είναι κοντά στο τότε το δεν υπάρχει 14. Το κριτήριο παρεμβολής απαιτεί στην ανισότητα : im h( ) f () h() g() να υπάρχουν και τα «ίσον» προκειμένου να ισχύει 15. Αν im f ( ) και f () g() όταν το είναι κοντά στο τότε δεν προκύπτει συμπέρασμα για την τιμή του im g( ) 16. Αν im f ( ) και f () g() όταν το είναι κοντά στο τότε και im g( ) 17. Αν P() πολυώνυμο τότε im P( ) 18. Αν P(),Q() πολυώνυμα τότε υπάρχει ημ 19. Είναι im 1 2. Ισχύει im n 21. Ισχύει im n 22. Είναι im e 23. Είναι im P( ) im μπορεί και να μην Q( ) 24. To 1 im (ημ ) δεν υπάρχει ΟΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 294 Ρ.ΜΠΟΡΗΣ

25. To 1 im (ημ ) 1 26. Η μορφή δεν είναι απροσδιόριστη 27. Η μορφή είναι απροσδιόριστη 28. Αν τα im f ( ), im g( ) υπάρχουν και im g( ) τότε θα f() im f ( ) ισχύει πάντα im g( ) im g( ) f() 29. Αν im L R και im g( ) τότε και g( ) 3. Τα im f ( ), im g( ) υπάρχουν τότε im f() g() im f() img() im f ( ) 31. Τα im f ( ), im g( ) δεν υπάρχουν τότε το im f() g() 32. Αν το im f() g() δεν θα υπάρχει και αυτό υπάρχει, ενώ δεν υπάρχει το im g( ), τότε δεν θα υπάρχει και το 33. Αν το im f ( )g( ) im f ( ) υπάρχει, υπάρχει και το im g( ), τότε θα υπάρχει και το im f ( ) ΟΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 295 Ρ.ΜΠΟΡΗΣ

34. Αν η f έχει την παρακάτω γραφική παράσταση τότε 9 5 2 Α) im f ( ) Β) δεν υπάρχει το im f ( ) Γ) Δ) im f ( ) 9 2 im f ( ) Ε) im f ( ) 5 35. Αν το σύνολο τιμών της f είναι κλειστό διάστημα τότε δεν υπάρχει αριθμός :imf() 36. Αν f γνήσια μονότονη στο R τότε θα υπάρχει το im f ( ), R 37. Αν f γνήσια μονότονη στο R τότε δεν υπάρχουν, : imf() im f() 1 2 1 2 38. Αν 39. Αν im f ( ) η f έχει ολικό μέγιστο το im f ( ) η f δεν έχει ολικό ελάχιστο 4. Υπάρχει περιοδική συνάρτηση στο R,που έχει όριο στο κάποιο L R 41. Αν im f ( ) και είναι το R im f ( ) τότε σύνολο τιμών της f 1 ΟΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 296 Ρ.ΜΠΟΡΗΣ

42. Αν σημείο του πεδίου ορισμού της f και im f ( ) f ( im ) τότε η f είναι συνεχής στο 2 43. Η συνάρτηση f() δεν είναι συνεχής στο 1 1 44. Αν f συνεχής στο [,b] πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι το [,b] 45. Αν f συνεχής στο [,b] είναι δυνατόν η f να είναι ασυνεχής και στο α και στο b 46. Αν η f έχει για γραφική παράσταση μια διακοπτόμενη γραμμή τότε είναι ασυνεχής 47. Αν im f ( ) η f είναι ασυνεχής στο 48. Αν ορίζεται το άθροισμα δυο συνεχών συναρτήσεων τότε αυτό είναι πάντοτε συνεχής συνάρτηση 49. Αν ορίζεται το γινόμενο δυο ασυνεχών συναρτήσεων τότε αυτό μπορεί να προκύψει συνεχής συνάρτηση 5. Η f είναι συνεχής στο και η η g είναι ασυνεχής στο τότε η f g είναι πάντοτε ασυνεχής συνάρτηση στο 51. Αν f είναι συνεχής και,b σημεία του πεδίου ορισμού της ώστε f ()f(b) τότε η γραφική παράσταση της f τέμνει σε ένα τουλάχιστον σημείο τον άξονα 52. Αν η f είναι συνεχής στο [,b], f ()f(b) και όχι γνήσια μονότονη τότε η f έχει δυο τουλάχιστον ρίζες στο (,b) 53. Αν η f είναι συνεχής στο(,b), f ()f(b) τότε η f έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο (,b) 54. Αν η f είναι συνεχής στο [,b], f ()f(b) τότε η f έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο [,b] ΟΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 297 Ρ.ΜΠΟΡΗΣ

55. Αν η f είναι συνεχής στο [,b], f ()f(b) τότε η f δεν έχει ρίζα στο (,b) 56. Κάθε πολυώνυμο περιττού βαθμού έχει μια τουλάχιστον πραγματική ρίζα 57. Κάθε πολυώνυμο αρτίου βαθμού έχει άρτιο πλήθος διαφορετικών μεταξύ τους πραγματικών ριζών 58. Υπάρχει πολυώνυμο τρίτου βαθμού το οποίο να τέμνει σε δυο ακριβώς σημεία τον άξονα 59. Αν η f είναι συνεχής στο [,b] η f δεν έχει ρίζα στο [,b] τότε f ()f(b) 6. Αν η f είναι συνεχής στο R και η εξίσωση f () 2 δεν έχει λύση ενώ f (2) 2 τότε η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από την ευθεία y 2 61. Αν f :[,b] R σύνολο τιμών της να είναι το ( p,q] συνεχής συνάρτηση τότε δεν είναι δυνατόν το 62. Αν f :(,b) Rσυνεχής συνάρτηση τότε δεν είναι δυνατόν το σύνολο τιμών της να είναι το [p,q] 63. Υπάρχει συνεχής στο R συνάρτηση ώστε το σύνολο τιμών της να μην είναι διάστημα 64. Αν f :(,b) Rσυνεχής και γνήσια μονότονη συνάρτηση τότε δεν είναι δυνατόν το σύνολο τιμών της να είναι το [p,q] 65. Αν f :(,b) Rσυνεχής συνάρτηση και γνήσια αύξουσα τότε το σύνολο τιμών της να είναι το ( f(),f(b)) 66. Αν f :(,b) Rσυνεχής συνάρτηση τότε η συνάρτηση δεν έχει ακρότατα ΟΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 298 Ρ.ΜΠΟΡΗΣ

67. Δεν είναι δυνατόν σύνολο τιμών μιας συνεχούς συνάρτησης με πεδίο ορισμού το [,b]να είναι το σύνολο [,1] [2,3] 68. Αν f : Rσυνεχής συνάρτηση, όπου Δ διάστημα και γνήσια μονότονη τότε το σύνολο τιμών είναι και αυτό διάστημα ίδιου είδους (π.χ ανοικτό) 69. Αν η f,g είναι συνεχείς στο R και η εξίσωση f () g() δεν έχει λύση τότε είτε f () g(), R, είτε f () g(), R 7. Αν μια συνάρτηση είναι συνεχής και ένα προς ένα είναι γνήσια μονότονη 71. Οι παρακάτω συναρτήσεις είναι συνεχείς Α) Β) ç ç 72. Οι παρακάτω συναρτήσεις είναι συνεχείς στο [,b] Α) Β) β β 73. Οι προηγούμενες συναρτήσεις είναι ασυνεχείς στο α και στο b 74. H παρακάτω συνάρτηση είναι συνεχής ç! ΟΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 299 Ρ.ΜΠΟΡΗΣ

(3). ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ (Απαντήστε με σωστό ή λάθος) 1. Αν μια συνάρτηση δεν είναι συνεχής στο, δεν είναι ούτε παραγωγίσιμη στο f ( h) f( h) 2. Παράγωγος αριθμός είναι το όριο: im h 2h 3. Η συνάρτηση με τύπο : f () δεν είναι παραγωγίσιμη στο α 4. Αν f 2 () παραγωγίσιμη στο, τότε και f () παραγωγίσιμη στο 5. Η 3 4 είναι μη παραγωγίσιμη συνάρτηση 6. Η f () είναι μη παραγωγίσιμη, για οποιαδήποτε συνάρτηση f () 7. Η συνάρτηση : f (), έχει γωνιακό σημείο 8. Αν μια συνάρτηση έχει κατακόρυφη εφαπτομένη στο, τότε δεν μπορεί να είναι παραγωγίσιμη στο 9. Αν η f είναι παραγωγίσιμη, τότε η f () είναι συνεχής 1. Ο παράγωγος αριθμός f( ) εφω, όπου ω η οξεία γωνία που σχηματίζει η εφαπτομένη της f στο, με τον άξονα των 11. Η εφαπτομένη της f στο, έχει μοναδικό σημείο τομής με την γραφική παράσταση της f, το σημείο επαφής 12. Αν υπάρχει ο αριθμός f (2), πρέπει η συνάρτηση f να είναι παραγωγίσιμη κοντά στο 2 13. Το πεδίο ορισμού της f (), είναι ίδιο με το πεδίο ορισμού της f () 14. Αν η f είναι παραγωγίσιμη, τότε ισχύει : f (1) 15. Αν η f είναι παραγωγίσιμη, τότε ισχύει πάντοτε f(1) : 2 f ( ) 2f ()

16. Ισχύει : ημ (26) συν, R 17. Είναι : 18. Είναι : ( 2) ( 2) n 2, R n, 19. Η νιοστή παράγωγος ενός πολυωνύμου νιοστού βαθμού με συντελεστές ακέραιους αριθμούς, είναι ακέραιος αριθμός R 2. Στιγμιαίος ρυθμός μεταβολής ενός μεγέθους y, είναι η παράγωγός του ως προς τον χρόνο και συμβολίζεται με dy dt 21. Ταχύτητα ενός κινητού είναι η παράγωγος ds, όπου s(t) dt το διανυόμενο διάστημα 22. Ο κανόνας της αλυσίδας εκφράζεται από την σχέση : dy dy d dt d dt 23. Αν 3 (t) y (t) ημ(z(t)) τότε d 2 3y dt συνz 24. Αν f παραγωγίσιμη στο [,b]και f () f(b) τότε, η f έχει μια τουλάχιστον ρίζα ανάμεσα στο α και στο b 25. Το θεώρημα Rolle είναι ειδική περίπτωση του θεωρήματος μέσης τιμής 26. Αν μια συνάρτηση είναι γνήσια μονότονη, τότε το ξ του θεωρήματος Rolle είναι μοναδικό 27. Αν μια ευθεία τέμνει την γραφική παράσταση μιας παραγωγίσιμης συνάρτησης σε τρία διαφορετικά σημεία, τότε υπάρχουν τουλάχιστον δυο παράλληλες εφαπτόμενες στην γραφική παράσταση της συνάρτησης 28. Αν f παραγωγίσιμη στο R και 1-1, τότε δεν υπάρχει διάστημα στο οποίο να ισχύει το θεώρημα Rolle 29. Αν f (), R, τότε η f () είναι 1-1 3. Αν f (), R*, τότε η f είναι σταθερή στο R*

31. Υπάρχει, μη σταθερή συνάρτηση με παράγωγο ίση με το μηδέν σε όλο το πεδίο ορισμού της 32. Ισχύει η ισοδυναμία : f () g() c, R f () g(), R 33. Αν f () f (), R, τότε f () ce, R και αντιστρόφως 34. Αν f () σε όλο το πεδίο ορισμού της f, τότε η f είναι γνήσια αύξουσα 35. Αν f () σε κάποιο διάστημα Δ, ανοικτό η κλειστό, τότε η f είναι γνήσια αύξουσα στο Δ 36. Αν f () στο (,b), τότε f () f(b) 37. Αν f () στο [,b], τότε f () f(b) 38. Αν f () στο (,b), τότε im f() im f() b 39. Αν f () στο [, ), τότε f () f(), 4. Αν η f είναι γνήσια αύξουσα και παραγωγίσιμη σε κάποιο διάστημα Δ, ανοικτό η κλειστό, τότε f () στο Δ 41. Αν f () στο (, ) (,b) και η f είναι συνεχής στο, τότε η f είναι γνήσια αύξουσα στο(, ) (,b) 42. Αν f () στο (, ) (,b) και f ( ) τότε η f δεν είναι γνήσια, αλλά είναι απλώς αύξουσα στο [,b] 43. Αν f() ημ, τότε η f δεν είναι γνήσια, αλλά είναι αύξουσα στο R 44. Αν f (), Rδεν αποκλείεται η f να είναι γνήσια αύξουσα στο R 45. Αν f :[,b] Rκαι f (), [,b], τότε σύνολο τιμών της f είναι το διάστημα [f(),f(b)] 46. Αν f () g(), R τότε f () g(), R 47. Αν f,g παραγωγίσιμες με f () g() στο [,b]τότε f () g(), [,b] 48. Αν f :[,b] Rκαι f (), [,b], τότε η f δεν έχει ακρότατα

49. Αν f παραγωγίσιμη και το f ( ) είναι ακρότατο της f, τότε f ( ) 5. Αν f :(,b) Rδυο φορές παραγωγίσιμη και τα f ( 1),f( 2 ) είναι ακρότατα της f, τότε η f () έχει μια τουλάχιστον ρίζα 51. Μεταξύ δυο διαδοχικών ριζών ενός πολυωνύμου υπάρχει μια τουλάχιστον ρίζα της παραγώγου του 52. Η παράγωγος ενός πολυωνύμου περιττού βαθμού, έχει μια τουλάχιστον ρίζα 53. Υπάρχει πάντα διάστημα [,b], ώστε να ισχύει το θεώρημα Rolle σε πολυώνυμο αρτίου βαθμού. 54. Αν f :(,b) Rπαραγωγίσιμη και f ( ), b, τότε το f ( ) είναι ακρότατο της f 55. Τα κρίσιμα σημεία μιας συνάρτησης είναι και θέσεις τοπικών ακροτάτων της 56. Μια γνήσια μονότονη συνάρτηση, δεν μπορεί να έχει τοπικά ακρότατα 57. Αν f () 2, R, τότε η συνάρτηση έχει ολικό ελάχιστο το 2 58. Ισχύει e 1, R 59. Ισχύει n 1, (, ) 6. Ισχύει ημ, R 61. Ένα τοπικό μέγιστο, είναι πάντα μεγαλύτερο από ένα τοπικό ελάχιστο 62. Είναι δυνατόν ο ίδιος αριθμός να παριστάνει και τοπικό μέγιστο και τοπικό ελάχιστο και να μην είναι τοπικό ακρότατο της ίδιας συνάρτησης 63. Αν το f ( ) είναι τοπικό ακρότατο της f τότε η διαφορά f () f( ) αλλάζει πρόσημο εκατέρωθεν του σε περιοχή του

64. Αν μια συνάρτηση είναι κυρτή, ή κοίλη στο διάστημα Δ, τότε είναι παραγωγίσιμη στο Δ 65. Μια κυρτή στο R συνάρτηση, δεν μπορεί να είναι γνήσια φθίνουσα 66. Μια κοίλη στο R συνάρτηση, δεν μπορεί να είναι 1-1 67. Μια κοίλη στο R συνάρτηση, δεν μπορεί να έχει ελάχιστο 68. Υπάρχει κυρτή συνάρτηση που έχει τρία ακριβώς διαφορετικά τοπικά ακρότατα 69. Αν f κοίλη στο Δ, τότε f () στο Δ 7. Αν f :(,b) Rδυο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση και κυρτή στο (,b), τότε f (), (,b) 71. Αν η εφαπτομένη μιας συνάρτησης, τέμνει την γραφική παράσταση της συνάρτησης και σε άλλο σημείο εκτός του σημείου επαφής, τότε η συνάρτηση δεν μπορεί να στρέφει τα κοίλα ούτε άνω ούτε κάτω 72. Η χορδή μιας κοίλης συνάρτησης, βρίσκεται «πάνω» από την γραφική παράσταση της συνάρτησης στο αντίστοιχο διάστημα 73. Αν (,f( ))σημείο καμπής της f, τότε υπάρχει η f ( ) 74. Αν f () b, τότε f και κοίλη και κυρτή στο R 75. Αν f :R R δυο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση της οποίας γραφική παράσταση δεν περιέχει τμήμα ευθείας, τότε μεταξύ δυο ακροτάτων της, υπάρχει σημείο καμπής 76. Μια συνάρτηση f :R R που δεν είναι δυο φορές παραγωγίσιμη, δεν μπορεί να έχει σημεία καμπής 77. Ένα πολυώνυμο τρίτου βαθμού, έχει ακριβώς ένα σημείο καμπής 78. Αν f :R R δυο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση που έχει τουλάχιστον τρεις ρίζες, τότε θα έχει ένα τουλάχιστον σημείο καμπής 79. Αν f :R R δυο φορές παραγωγίσιμη, περιττή συνάρτηση της οποίας γραφική παράσταση δεν περιέχει τμήμα ευθείας,

τότε η συνάρτηση θα έχει πάντα ένα τουλάχιστον σημείο καμπής 8. Αν f :R R κυρτή, τότε y f() f(y) f,,y R 2 2 f() 81. Αν f, g παραγωγίσιμες στο R και im L, τότε και g( ) f() im L g() 82. Αν f, g παραγωγίσιμες στο R και f () im δεν υπάρχει, g() f () τότε επίσης και το im δεν υπάρχει g( ) 83. Ο κανόνας του De l Hospitl εφαρμόζεται απευθείας, μόνο στην απροσδιόριστη μορφή 84. Το e im 26 85. Το im n 86. Η f() εφ, έχει άπειρες ασυμπτώτους 87. Αν η f () είναι άρτια και έχει μοναδική πλάγια ασύμπτωτο, τότε η ασύμπτωτος αυτή πρέπει να είναι οριζόντια f() 89. Τα πολυώνυμα δεν έχουν ασυμπτώτους 88. Αν im f ( ) b, τότε im,b im f() 9. Δεν υπάρχει συνάρτηση, που να τέμνει την πλάγια ασύμπτωτό της 91. Δεν υπάρχει συνάρτηση, που να τέμνει σε δύο σημεία την κατακόρυφη ασύμπτωτό της 92. Μια συνάρτηση f :A R που έχει δυο κατακόρυφες ασυμπτώτους δεν μπορεί να είναι 1-1 93. Μια συνάρτηση f :R* R που έχει μια κατακόρυφη ασύμπτωτη, δεν μπορεί να είναι γνήσια μονότονη

94. Μια κυρτή στο R συνάρτηση, δεν μπορεί να έχει κατακόρυφες ασυμπτώτους 95. Αν το σύνολο τιμών μιας συνάρτησης είναι το [1,4], τότε δεν μπορεί να έχει ασυμπτώτους 96. Η παρακάτω συνάρτηση Α) έχει δυο ασυμπτώτους Β) έχει τουλάχιστον δυο ρίζες Γ) έχει τρία ακρότατα Δ) έχει δυο σημεία καμπής Ε) η εξίσωση f () mέχει το πολύ δυο λύσεις 97. Η παρακάτω συνάρτηση ç! -2 Α) είναι συνεχής Β) είναι παραγωγίσιμη Γ) είναι άρτια Δ) είναι κοίλη Ε) είναι 1-1 ΣΤ) έχει τοπικό ελάχιστο Ζ) έχει ασύμπτωτο Η) έχει σταθερό πρόσημο Θ) έχει τοπικό μέγιστο Ι) γνήσια αύξουσα στο [ 2,] Κ) είναι γνήσια φθίνουσα Λ) είναι γνήσια φθίνουσα 2 (4).ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ (Απαντήστε με σωστό ή λάθος) ( Δ=διάστημα)

1. Αν f :R R και υπάρχει F:F() f(), R, τότε η F είναι μια αρχική της f στο R 2. Έστω f : Rόπου Δ ένα διάστημα. Τότε για να έχει η f αρχική στο Δ, πρέπει υποχρεωτικά να είναι συνεχής 3. Αν το πεδίο ορισμού της f είναι ένωση διαστημάτων, τότε η f δεν έχει αρχική 4. Αρχική είναι ένα σύνολο από άπειρες παραγωγίσιμες συναρτήσεις που η καθεμιά διαφέρει από την άλλη κατά ένα σταθερό αριθμό 5. Αν f συνεχής στο Δ,τότε αόριστο ολοκλήρωμα της f στο Δ είναι ένα απειροσύνολο Ι της μορφής: I {G: R/G() F() c} όπου F είναι μια αρχική της f στο Δ 6. Όταν το πεδίο ορισμού της συνεχούς f είναι ένωση διαστημάτων τότε δεν είναι υποχρεωτικό η σταθερά c στην σχέση I f()d F() cνα έχει την ίδια τιμή σε κάθε ένα από τα διαστήματα του πεδίου ορισμού 1 7. Έστω I d F( ) c, R* όπου το c δεν είναι αναγκαστικά το ίδιο στα διαστήματα του R*. Αν τότε I n c 1 ενώ αν είναι I n( ) c2 άρα I n c1 n( ) c2 n n( ) c2 c1 n c R,οπότε n( 1) R!!! 8. Όταν το πεδίο ορισμού της συνεχούς f είναι ένωση διαστημάτων τότε το f ()d είναι και αυτό ένωση συνόλων που περιέχουν συναρτήσεις και που μπορεί το καθένα από αυτά να μην έχει κανένα κοινό στοιχείο με τα άλλα 9. Αν το πεδίο ορισμού της f είναι ένωση διαστημάτων και η f έχει αρχική τότε η διαφορά δυο αρχικών της θα είναι πάντοτε η σταθερή συνάρτηση

1. Αν η f έχει αρχική στο Δ τότε ισχύουν οι : f ()d f()d f(). 11. Αν f παραγωγίσιμη στο διάστημα Δ τότε f ()d f() c 12. Όλα τα αόριστα ολοκληρώματα υπολογίζονται στοιχειωδώς (έστω και δύσκολα) 13. Αν η f () είναι παραγωγίσιμη στο Δ, τότε df ( ) f ( )d 14. Αν f,g συνεχείς στο Δ, τότε f ()g()d f()g() f()g()d 15. f,g συνεχείς στο R και f () g(), R,τότε : f ( )d g( )d, R 16. Προκειμένου να υπολογίσουμε το αλλαγή μεταβλητής 2 4 d κάνουμε την 2 y 4 κ.ο.κ. Αυτό είναι λάθος διότι η συνάρτηση 2 y 4 δεν είναι 1-1 17. Αν f () ρητή συνάρτηση (δηλαδή πηλίκο πολυωνύμων), τότε και το f ()d είναι ρητή συνάρτηση 18. Αν f συνεχής στο [,b], τότε το b f (t)dt παριστάνει το εμβαδό του χωρίου που ορίζεται από την C f, τις ευθείες =, =b και τον άξονα των 19. Αν f συνεχής στο Δ,,b και f(t), t τότε b f (t)dt 2. Αν f συνεχής στο [,b]και b f (t)dt τότε f (t), t [,b] 21. Αν f συνεχής στο [,b]και b f 2 (t)dt, τότε f (), [,b] 22. Αν f συνεχής στο [,b], τότε b f (t)dt

23. Αν f συνεχής στο Δ,,b,c, τότε η σχέση f ( t )dt f ( t )dt f ( t )dt ισχύει μόνον όταν το c βρίσκεται ανάμεσα στα, b : b c b c 24. Αν f,g συνεχείς στο Δ,,b,c, τότε : c b b c f (t)dt g(t)dt ( f(t) g(t))dt 21 25. Η συνάρτηση w( ) dt δεν είναι καλά ορισμένη 1 t 21 26. Αν f () dtπεδίο ορισμού της f είναι το R* 4 t 21 27. Αν f () dtπεδίο ορισμού της f είναι το 4 t (,2) (4, ) 21 3 1 21 28. Αν f () dtκαι g( ) dt dt 4 t 4 t 3 t f,g είναι ίσες τότε οι συναρτήσεις 21 1 1 21 29. Αν f () dt και h( ) dt dt 4 t 4t 1 t των f,h είναι η μηδενική συνάρτηση σε κάποιο σύνολο Α 21 3. Αν f () dtκαι 4 t f,p δεν είναι ίσες, τότε η διαφορά 2 p( ) n, τότε οι συναρτήσεις 4 21 31. Αν f () dtκαι q( ) n( 2 ) n( 4 ), τότε οι f,q δεν 4 t είναι ίσες 1 1 21 32. Αν h( ) dt dt 4t 1 t είναι ίσες και r() n(2) n(4) τότε δεν 33. Αν f συνεχής στο διάστημα Δ,,, τότε f(t)dt f() c, 34. Αν b g( ) f (t )dt, όπου f συνεχής στο R, τότε b g() f(t)dt

35. Το θεώρημα b f (t)dt F(b) F(),όπου f συνεχής και F μια αρχική της f, ισχύει ακόμη και όταν το πεδίο ορισμού της f είναι ένωση διαστημάτων 36. f,gσυνεχείς σε R b f ( )g( )d f (b )g(b ) f ( )g( ) f ( )g ( )d 37. Στον τύπο: b f ( g( t ))g ( )dt g(b) f ( y )dy γνήσια μονότονη g() b,πρέπει η g να είναι 38. Δεν υπάρχει f συνεχής στο R : f (t)dt 1 2 39. Δεν υπάρχει f συνεχής στο R : f (t)dt 4. Αν η f () είναι παραγωγίσιμη στο R και γνήσια αύξουσα τότε το f (t)dt είναι κυρτή συνάρτηση 41. Αν f συνεχής στο R : b τουλάχιστον ρίζα f (t)dt, b 42. Αν f,g συνεχείς στο [,b] τότε : b 2 b b 2 2 f (t)g(t)dt f (t)dt g (t)dt τότε η f έχει μια

(5).ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ 1. Να δώσετε παράδειγμα γραφικής παράστασης συνάρτησης f : το πεδίο ορισμού της να είναι ανοικτό διάστημα και το σύνολο τιμών της κλειστό

2. Να δώσετε παράδειγμα γραφικής παράστασης συνάρτησης f : το πεδίο ορισμού της να είναι κλειστό διάστημα και το σύνολο τιμών της ανοικτό 3. Να γράψετε τους τύπους δυο συναρτήσεων που το άθροισμα τους να ορίζεται μόνον για =1 4. Να κάνετε την γραφική παράσταση των συναρτήσεων f,g, h που έχουν τύπους : 2 2 f (),g() ( ),h() 5. Να δώσετε παράδειγμα γραφικής παράστασης συνάρτησης f ώστε να ισχύουν: A f (,1) (1,2), f & στο (,1) και στο (1,2), αλλά η συνάρτηση να μην είναι μονότονη 6. Να δώσετε παράδειγμα γραφικής παράστασης συνάρτησης f ώστε να ισχύουν: A f (,1) (1,2), f & 7. Να δώσετε παράδειγμα γραφικής παράστασης συνάρτησης f ώστε να είναι μονότονη και να έχει δυο τουλάχιστον ρίζες 8. Να δώσετε παράδειγμα γραφικής παράστασης συνάρτησης f ώστε να μην είναι μονότονη και να μην έχει ρίζα 9. Να δώσετε παράδειγμα γραφικής παράστασης συνάρτησης f : το πεδίο ορισμού της να είναι κλειστό διάστημα και να μην έχει ακρότατα 1. Να δώσετε παράδειγμα γραφικής παράστασης συνάρτησης f : το πεδίο ορισμού της να είναι ανοικτό διάστημα και να έχει ελάχιστο όχι όμως μέγιστο 11. Να δώσετε παράδειγμα γραφικής παράστασης συνάρτησης f : να έχει ελάχιστο ίσο με το μέγιστο της 12. Να δώσετε παράδειγμα τύπου και γραφικής παράστασης συνάρτησης f : να είναι περιττή και να μην διέρχεται από το (,) 13. Να δώσετε παράδειγμα τύπου και γραφικής παράστασης συνάρτησης f : να είναι άρτια και να έχει μια μόνον ρίζα 14. Να δώσετε παράδειγμα τύπου και γραφικής παράστασης συνάρτησης f : να είναι 1-1 και όχι γνήσια μονότονη

15. Να δώσετε παράδειγμα γραφικής παράστασης συνάρτησης f : πεδίο ορισμού να είναι το R {1,4} και η εξίσωση f () m να έχει τρεις ακριβώς λύσεις για κάθε τιμή του m 16. Να δώσετε παράδειγμα γραφικής παράστασης συνάρτησης f έτσι ώστε να είναι f () f(1), R 17. Να δώσετε παράδειγμα τύπου και γραφικής παράστασης συνάρτησης f : η C f να τέμνει μόνον σε ένα σημείο την y, η f να είναι αντιστρέψιμη στο R και η C 1 να f τέμνει την C f σε άπειρα σημεία 18. Να δώσετε παράδειγμα γραφικής παράστασης συνάρτησης f έτσι ώστε να μην υπάρχει το im f ( ) ενώ να υπάρχουν τα im f ( ), im f ( ) 19. Να δώσετε παράδειγμα γραφικής παράστασης συνάρτησης f έτσι ώστε να μην υπάρχουν τα im f ( ), im f ( ) ενώ να ορίζεται το f ( ) 2. Να δώσετε παράδειγμα γραφικής παράστασης συνάρτησης f έτσι ώστε να μην υπάρχει κανένα από τα im f ( ), im f ( ) 21. Να δώσετε παράδειγμα γραφικής παράστασης συνάρτησης f έτσι ώστε να ισχύουν im f(), im f() 1, im f() 1, im f() και ακόμη 2 να είναι im f ( ) 22. Να δώσετε παράδειγμα γραφικών παραστάσεων συναρτήσεων f και g έτσι ώστε f () g(), R και im f ( ) im g( ) 2 23. Να δώσετε παράδειγμα γραφικών παραστάσεων συναρτήσεων f και g έτσι ώστε f () g(), R και im f ( ) im g( ) 4 1 1 24. Να κάνετε την γραφική παράσταση των συναρτήσεων f και g με τύπους αντίστοιχα 2, f (), g() f() 2, και να

βρείτε από τις γραφικές τους παραστάσεις τα όρια im f ( ), im g( ) 25. Να δώσετε παράδειγμα γραφικών παραστάσεων συναρτήσεων f και g έτσι ώστε im f ( ), im g( ) να μην υπάρχουν ενώ το im f ( )g( ) να υπάρχει 26. Να δώσετε παράδειγμα γραφικών παραστάσεων συναρτήσεων f και g έτσι ώστε im f ( ), im g( ) να μην υπάρχουν ενώ το im f() g() να υπάρχει 27. Να δώσετε παράδειγμα τύπου και γραφικής παράστασης συνάρτησης f : η C f να είναι διακοπτόμενη γραμμή ενώ η συνάρτηση να είναι συνεχής 28. Να δώσετε παράδειγμα γραφικών παραστάσεων ασυνεχών συναρτήσεων f και g έτσι ώστε η f+g να είναι συνεχής 29. Να δώσετε παράδειγμα τύπου και γραφικής παράστασης συνάρτησης f : η f να είναι ασυνεχής στο ενώ η συνάρτηση f 2 να είναι συνεχής στο R 3. Να δώσετε παράδειγμα γραφικής παράστασης συνάρτησης f : η f να είναι συνεχής στο [,b] ενώ να είναι ασυνεχής και στο και στο b 31. Να δώσετε παράδειγμα γραφικής παράστασης συνάρτησης f : η f να είναι συνεχής στο (,b),f()f(b) και να μην έχει καμία ρίζα 32. Να δώσετε παράδειγμα τύπου και γραφικής παράστασης πολυωνύμου p : το p() να είναι τρίτου βαθμού και να τέμνει τον άξονα σε δύο σημεία ακριβώς 33. Να δώσετε παράδειγμα τύπου και γραφικής παράστασης πολυωνύμου p : το p() να είναι εκατοστού βαθμού και να τέμνει τον άξονα σε ένα σημείο ακριβώς

34. Να δώσετε παράδειγμα γραφικής παράστασης συνάρτησης f : η f να είναι συνεχής στο R,f()f(b) και να έχει άπειρες ρίζες στο (,b) 35. Να δώσετε παράδειγμα γραφικής παράστασης συνάρτησης f : η f να είναι συνεχής στο R και να έχει μέγιστο αλλά όχι ελάχιστο 36. Να δώσετε παράδειγμα γραφικής παράστασης συνάρτησης f : η f να είναι συνεχής στο R και να μην έχει μέγιστο αλλά ούτε και ελάχιστο 37. Να δώσετε παράδειγμα γραφικής παράστασης συνάρτησης f : η f να είναι συνεχής στο R και να έχει σύνολο τιμών το [1,6) 38. Να δώσετε παράδειγμα γραφικής παράστασης συνάρτησης f : η f να έχει πεδίο ορισμού το [,2],να είναι συνεχής και γνήσια αύξουσα στο (,2) να έχει μέγιστο στο και ελάχιστο στο 2 39. Να δώσετε παράδειγμα τύπου συνάρτησης f : η f να είναι συνεχής στο R,να μην έχει μέγιστο αλλά ούτε και ελάχιστο και im f() 1, im f() 1 4. Να δώσετε παράδειγμα τύπου συνάρτησης f : η f να μην είναι συνεχής σε κανένα σημείο του R 41. Να δώσετε παράδειγμα τύπου συνάρτησης f :R R η οποία να παρουσιάζει δυο ακριβώς γωνιακά σημεία 42. Να δώσετε παράδειγμα τύπου συνάρτησης f :R R που να μην είναι παραγωγίσιμη στο 1, αλλά η f 2 να είναι παραγωγίσιμη στο R 43. Να δώσετε παράδειγμα τύπου συνάρτησης f :R R που να είναι παραγωγίσιμη στο R, αλλά όχι δυο φορές παραγωγίσιμη στο R 44. Να δώσετε παράδειγμα τύπου συνάρτησης f :R R ώστε να αληθεύει η σχέση f (2) f(2)

45. Να δώσετε παράδειγμα τύπου συνάρτησης f :R R που να είναι παραγωγίσιμη αλλά να μην ισχύει το θεώρημα Rolle σε κανένα διάστημα 46. Να δώσετε παράδειγμα γραφικής παράστασης συνάρτησης f : η εφαπτομένη της να τέμνει την γραφική παράσταση σα άπειρα σημεία 47. Να δώσετε παράδειγμα γραφικής παράστασης πολυωνύμου p : το p() να έχει δυο διαφορετικές διπλές ρίζες 48. Να δώσετε παράδειγμα γραφικής παράστασης συνάρτησης f :ο τύπος της να είναι πολυώνυμο τρίτου βαθμού και να έχει τέσσερα ακρότατα 49. Να δώσετε παράδειγμα γραφικής παράστασης συνάρτησης f παραγωγίσιμης με παράγωγο παντού μηδέν στο πεδίο ορισμού της και όχι σταθερής 5. Να δώσετε παράδειγμα γραφικής παράστασης συνάρτησης f :R R παραγωγίσιμης με παράγωγο μηδέν σε άπειρα σημεία του πεδίο ορισμού της και κανένα τοπικό ακρότατο 51. Να δώσετε παράδειγμα γραφικής παράστασης συνάρτησης f παραγωγίσιμης με παράγωγο παντού αρνητική στο πεδίο ορισμού της και όχι γνήσιας φθίνουσας 52. Να δώσετε παράδειγμα γραφικής παράστασης παραγωγίσιμης συνάρτησης f ώστε να έχει ένα ακριβώς ακρότατο και η παράγωγό της να μην μηδενίζεται πουθενά στο πεδίο ορισμού της 53. Να δώσετε παράδειγμα γραφικής παράστασης συνάρτησης f ώστε να υπάρχουν δυο μόνον παράλληλες εφαπτόμενες στην γραφική της παράσταση 54. Να δώσετε παράδειγμα γραφικής παράστασης συνάρτησης f που να έχει τρία ακριβώς ακρότατα και καμία οριζόντια εφαπτομένη 55. Να δώσετε παράδειγμα γραφικής παράστασης και τύπου παραγωγίσιμης συνάρτησης f ώστε f ()f (), R

56. Να δώσετε παράδειγμα τύπου παραγωγίσιμης συνάρτησης f ώστε να ισχύει f () f (), R 57. Να δώσετε παράδειγμα γραφικής παράστασης συνάρτησης f που να μην είναι γνήσια αύξουσα αλλά να ισχύει f() f(), R {} 58. Να δώσετε παράδειγμα γραφικής παράστασης συνάρτησης f : f () και ακόμη 1 f () 2, R 59. Να δώσετε παράδειγμα γραφικής παράστασης συνάρτησης f ώστε η εξίσωση f () να έχει άπειρες ρίζες και η f να είναι γνήσια αύξουσα 6. Να δώσετε παράδειγμα τύπων δυο μη μηδενικών συναρτήσεων f και g έτσι ώστε να ισχύει σε όλο το R η σχέση f () f() g() g() 61. Να δώσετε παράδειγμα γραφικής παράστασης συνάρτησης f :R R η οποία να είναι παραγωγίσιμη, να έχει δυο ακρότατα και κανένα σημείο καμπής 62. Να δώσετε παράδειγμα γραφικής παράστασης συνάρτησης f :R R η οποία να είναι παραγωγίσιμη, να μην έχει ακρότατα και να έχει ένα σημείο καμπής 63. Να δώσετε παράδειγμα γραφικής παράστασης συνάρτησης f :R R η οποία να είναι παραγωγίσιμη, να είναι γνήσια αύξουσα και να έχει άπειρα σημεία καμπής 64. Να δώσετε παράδειγμα τύπου πολυωνύμου p : το p() να μην έχει σημεία καμπής 65. Να δώσετε παράδειγμα τύπου πολυωνύμου p : το p() να είναι περιττού βαθμού και να έχει τρία ακριβώς σημεία καμπής 66. Να δώσετε παράδειγμα γραφικής παράστασης συνάρτησης f :R R η οποία έχει γραφική παράσταση «πάνω» από μια εφαπτομένη της και δεν είναι ούτε κοίλη ούτε κυρτή

67. Να δώσετε παράδειγμα γραφικής παράστασης συνάρτησης f :R R η οποία είναι κοίλη και γνήσια φθίνουσα 68. Να δώσετε παράδειγμα τύπου και γραφικής παράστασης συνάρτησης f :R μονότονη R η οποία είναι κυρτή και όχι γνήσια 69. Να δώσετε παράδειγμα τύπου και γραφικής παράστασης y f() f( y) συνάρτησης f :R R ώστε να ισχύει f, y 2 2 7. Να δώσετε παράδειγμα τύπου και γραφικής παράστασης συνάρτησης f :R R ώστε στην γραφική της παράσταση να μην υπάρχουν τρία συνευθειακά σημεία 71. Να δώσετε παράδειγμα τύπων συναρτήσεων f και g έτσι f () ώστε το im να είναι της μορφής αλλά να μην g( ) ισχύει ο κανόνας De l Hospitl 72. Να δώσετε παράδειγμα τύπου πολυωνύμου p : το p() να έχει μία τουλάχιστον ασύμπτωτο 73. Να δώσετε παράδειγμα γραφικής παράστασης συνάρτησης f : η C f να έχει δυο διαφορετικές οριζόντιες ασυμπτώτους και να είναι γνήσια φθίνουσα 74. Να δώσετε παράδειγμα γραφικής παράστασης συνάρτησης f : η C f να έχει μια κατακόρυφη ασύμπτωτο και είναι 1-1 75. Να δώσετε παράδειγμα γραφικής παράστασης παραγωγίσιμης συνάρτησης f : η C f να έχει δυο διαφορετικές οριζόντιες ασυμπτώτους, να έχει και μέγιστο και ελάχιστο, η παράγωγός της να είναι μη αρνητική και να μην είναι μονότονη 76. Να δώσετε παράδειγμα γραφικής παράστασης παραγωγίσιμης συνάρτησης f : η εξίσωση f () b να έχει άπειρες λύσεις για οποιεσδήποτε τιμές των, b 77. Να δώσετε παράδειγμα γραφικής παράστασης συνεχούς συνάρτησης f : η συνάρτηση να έχει δυο τοπικά ακρότατα, δυο σημεία καμπής, τρεις ρίζες και σύνολο τιμών όλο το R

78. Να δώσετε παράδειγμα γραφικής παράστασης παραγωγίσιμης συνάρτησης f : η συνάρτηση να είναι περιττή, να μην διέρχεται από το (,) και η παράγωγός της να είναι επίσης περιττή 79. Αν δίνεται η γραφική παράσταση συνάρτησης f να κατασκευάσετε τις γραφικές παραστάσεις των 2 f(), 1 f(), f(2), f( 1),2 f(), 1 f() 8. Αν δίνεται η γραφική παράσταση συνάρτησης f να κατασκευάσετε τις γραφικές παραστάσεις των f (2),f( ), f(),f( ) 2 81. Να δώσετε παράδειγμα τύπου συνάρτησης f : το πεδίο ορισμού του f ()d να είναι ένωση διαστημάτων 82. Να δώσετε παράδειγμα τύπου ρητής συνάρτησης f : το f ()d να μην προκύπτει και αυτό ρητή συνάρτηση 83. Να δώσετε παράδειγμα τύπου συνάρτησης f : το f ()dc, R 84. Να δώσετε παράδειγμα τύπου συνάρτησης f ώστε αν f συνεχής στο [,b]τότε το b f (t)dt να μην παριστάνει το εμβαδό του χωρίου που ορίζεται από την C f, τις ευθείες =, =b και τον άξονα των 85. Αν f () g(), Rσυνεχείς συναρτήσεις, τότε να δώσετε παράδειγμα αριθμών,b : b f(t)dt b g(t)dt 86. Να δώσετε παράδειγμα αριθμού : η συνάρτηση 31 w( ) dt να μην είναι καλά ορισμένη t 87. Να δώσετε παράδειγμα αριθμού c: η σχέση b c b f ( t )dt f ( t )dt f ( t )dt να μην ισχύει όταν f :[,b] R c συνεχής

88. Να δώσετε παράδειγμα τύπου συνάρτησης f ώστε αν f συνεχής στο R τότε f(t)dt f(), R 89. Να δώσετε παράδειγμα τύπου συνάρτησης f ώστε να έχει αρχική F στο R και η αρχική να μην προκύπτει από το f ()d 9. Να δώσετε παράδειγμα τύπων συναρτήσεων f και g έτσι ώστε να μην ισχύει η σχέση b f ( )g( )d f (b )g(b ) f ( )g( ) f ( )g ( )d b