1 Δύο εισροές-μία εκροή

Ε8 ΜΕΓΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΚΕΡΔΟΥΣ II 1.Δύο εισροές-μί εκροή.πργωγή τύπου Cobb-Douglas 3.Δύο εκροές-μί εισροή 4.Συμφέρουσες τιμές 5.Διφοροποίηση τιμών 6.Ελστικότητες στην διφοροποίηση τιμών 7.Εξωτερικότητες 8.Εισροές-Εκροές Σε μι πργωγική διδικσί έχουμε συνήθως πολλούς συντελεστές πργωγής ως εισροές κι πολλά πργόμεν προϊόντ ως εκροές. Οι εισροές έχουν κόστος κι οι εκροές ποφέρουν έσοδο. Η διφορά τους δίνει το κέρδος. Θ σχοληθούμε με τ πρκάτω προλήμτ μεγιστοποίησης του κέρδους: 1. Στην πργωγή κι διάθεση ενός προϊόντος χρησιμοποιώντς δύο συντελεστές πργωγής με συνάρτηση πργωγής τύπου Cobb-Douglas, σε συνθήκες πλήρους ντγωνισμού όπου οι μοιές των συντελεστών κι η τιμή του προϊόντος είνι δοσμέν εξωγενώς ως πράμετροι. Στην πργωγή δύο προϊόντων με τετργωνική συνάρτηση κόστους, σε συνθήκες πλήρους ντγωνισμού όπου οι τιμές των προϊόντων είνι δοσμένες εξωγενώς ως πράμετροι. 3. Στη διάθεση ενός προϊόντος σε δύο γορές σε συνθήκες ελλιπούς ντγωνισμού όπου οι τιμές τους δεν είνι δοσμένες λλά εξρτώντι πό τη ζήτηση που μπορεί ν είνι διφορετική στις δύο γορές. 4. Τέλος θ εξετάσουμε κι μι πλή περίπτωση όπου εκτός πό προϊόντ έχουμε κι πργωγή μη γθών, όπως είνι ο ρύπος, που συνεπάγοντι εξωτερικά κόστη. 1 Δύο εισροές-μί εκροή Θεωρούμε μι πργωγική διδικσί με δύο συντελεστές πργωγής τους οποίους συμτικά θ ονομάσουμε κεφάλιο κι εργσί, ντίστοιχ: {K,L} Θ έχουμε κι έν πργόμενο προϊόν, με συνάρτηση πργωγής: Q= Q(K,L) Επίσης, θ υποθέσουμε ντγωνιστικές γορές στους συντελεστές κι στο προϊόν, με την έννοι ότι τ μονδιί κόστη των συντελεστών {v,w} κι η μονδιί τιμή του προϊόντος p είνι εξωγενώς κθορισμέν. Το στθερό κόστος, ν υπάρχει, θ το πρλείψουμε γι ευκολί, διότι ως γνωστό δεν επηρεάζει την λύση μέγιστου κέρδους. Κτεάζει μόνο το κέρδος κτά το μέγεθος της ζημιάς που ντιστοιχεί στο στθερό κόστος. Έτσι έχουμε κόστος κι έσοδο, ντίστοιχ: C= vk+ wl, R= pq(k,l) Το πρόλημ μεγιστοποίησης κέρδους τίθετι στη μορφή: max{π= R C= pq(k,l) vk wl K 0, L 0} K,L Η συνθήκη στσιμότητς γι εσωτερική λύση: {K> 0, L> 0}, γράφετι: ΠK = 0 RK = CK pqk = v Q K (K,L) = v / p ΠL = 0 RL = CL pql = w Q L(K,L) = w / p Δηλδή: η συμμετοχή του κάθε συντελεστή υξάνει μέχρι το ορικό έσοδό του ν κτέει στο ύψος του ντίστοιχου μονδιίου κόστους. Πρτήρηση. Όσον φορά τις συνθήκες κυρτότητς δεύτερης τάξης, υτές είνι ίδιες με τις συνθήκες κυρτότητς της συνάρτησης πργωγής, διότι το κόστος είνι γρμμική συνάρτηση κι οι δεύτερες πράγωγές του μηδενίζοντι. Επομένως στο εσωτερικό μέγιστο θ πρέπει ν ικνοποιούντι κι οι συνθήκες δεύτερης τάξης: Π 0 {Π 0,Π 0,Δ 0}, ή ισοδύνμ: Q 0 {Q 0, Q 0,Δ = Q Q Q 0} KK LL Π KK LL Q KK LL KL Μάλιστ, ν η συνάρτηση πργωγής ικνοποιεί τις πρπάνω συνθήκες σόλ τ σημεί τότε θ είνι κοίλη, οπότε η συνάρτηση κέρδους θ είνι επίσης κοίλη κι το στάσιμο θ είνι ολικό μέγιστο. Οι πρπάνω δύο εξισώσεις στσιμότητς περιέχουν εκτός των μετλητών επιλογής {K,L}, κι τις πρμέτρους {v,w,p}. Συμολίζοντς με μικρά γράμμτ τις πρμέτρους κθώς κι τις έλτιστες ποσότητες των διφόρων μεγεθών, η λύση θ εξρτάτι πό τις πρμέτρους κι θ εκφράζετι σε μορφή συνρτήσεων: k= K(v, w,p) : ζήτηση συντελεστών(factor demand) l= L(v, w,p) Αντικθιστώντς ρίσκουμε κι το μέγεθος: 1

q= Q(k,l) = q(v, w,p) : προσφορά προϊόντος (product supply) Πρτηρούμε ότι οι εξισώσεις στσιμότητς εξρτώντι μόνο πό τους λόγους: {v / p,w / p}. Συμπερίνουμε ότι το ίδιο θ ισχύει γι τις λύσεις, οπότε λέμε ότι: Η ζήτηση συντελεστών κι η προσφορά προϊόντος είνι ομογενείς συνρτήσεις μηδενικού θμού με την έννοι ότι εξρτώντι μόνο πό τους λόγους: v w, p p Εκφράζουμε την πρπάνω ιδιότητ λέγοντς ότι δεν υπάρχει ψευδίσθηση χρήμτος. Δηλδή ν εκφράσουμε το χρήμ σε διφορετικές μονάδες υτό δεν θ λλάξει την ζήτηση των συντελεστών κι την προσφορά του προιόντος. Τέλος, ντικθιστώντς στη συνάρτηση κέρδους, ρίσκουμε κι το μέγιστο κέρδος ως συνάρτηση των πρμέτρων: π= pq vk wl= π(v, w,p) : μέγιστο κέρδος (maximal profit) Πρτήρηση. Επισημίνουμε τη διφορά μετξύ των πρκάτω δύο συνρτήσεων κέρδους: Π(K,L) = pq(k,l) vk wl, π(v, w,p) = Π(k,l) = pq vk wl Η πρώτη κλείτι άμεση συνάρτηση κέρδους (direct profit function). Γι τις δεδομένες τιμές {v,w,p}, εκφράζει το δυνητικό κέρδος ν χρησιμοποιηθούν οι συντελεστές στις ποσότητες {K,L}. Η δεύτερη κλείτι έμμεση συνάρτηση κέρδους (indirect profit function) ή συνάρτηση μέγιστου κέρδους (maximal profit function). Γι τις δεδομένες τιμές {v,w,p} εκφράζει το πργμτοποιούμενο κέρδος, διότι στην πργμτικότητ οι συντελεστές θ χρησιμοποιηθούν στις έλτιστες ποσότητες {k,l}. Πράδειγμ. Q= K + L Π(K,L) = p( K + L) vk wlμε {p> 0, v> 0, w > 0} Είνι χωριζομένων μετλητών σε ορθογώνι περιοχή. Οι επιμέρους συνρτήσεις είνι κοίλες σε διάστημ, με λύση στάσιμη που δίνει ολικό μέγιστο: p p max{π 1(K) = p K vk K 0} Π 1= v= 0 k=, K v p p max{π 1(L) = p K wl L 0} Π 1(L) = w= 0 l=, L 4w Η προσφορά του προιόντος, το κόστος της πργωγής, κι το μέγιστο κέρδος, ως συνρτήσεις των πρμέτρων, είνι ντίστοιχ: 1 1 1 1 1 q= p( + ), c= p,π pq c p v w + v 4w = = + v 4w Ως συνάρτηση των πρμέτρων, η μέγιστη τιμή είνι: p ύξουσ κυρτή, {v,w} φθίνουσ κυρτή.. Πργωγή τύπου Cobb-Douglas (C-D) Θ μελετήσουμε το πρόλημ μεγιστοποίησης του κέρδους με ντγωνιστικές τιμές των συντελεστών κι του προϊόντος, κι με συνάρτηση πργωγής τύπου C-D : Q= K L Π= pk L vk wl με > 0, > 0 Θ εξετάσουμε χωριστά τις πρκάτω περιπτώσεις: 1.+ < 1, φθίνουσ πόδοσης κλίμκς. Η συνάρτηση κέρδους είνι κοίλη, γνήσι κοίλη στο εσωτερικό: K> 0,L > 0. Το μέγιστο κέρδος θ ρίσκετι στο στάσιμο..+ > 1, ύξουσ πόδοσης κλίμκς. Η συνάρτηση κέρδους έχει στάσιμο που είνι σγμτικό κι επομένως δεν είνι μέγιστο. Το μέγιστο κέρδος θ ρίσκετι στο άπειρο. 3. + = 1, στθερή πόδοσης κλίμκς. Η συνάρτηση κέρδους είνι κοίλη, όχι γνήσι. Υπό ορισμένες πολύ ειδικές συνθήκες η συνάρτηση κέρδους έχει ολόκληρη κτίν στάσιμων σημείων με μέγιστη τιμή μηδενική, λλιώς το μέγιστο ρίσκετι στο μηδέν ή στο άπειρο. Πράδειγμ Q = K L με + < 1 Η πργωγή είνι φθίνουσς πόδοσης κλίμκς. Δηλδή, ν υξήσουμε μφότερ τ {K,L} κτά κάποιο ποσοστό, το ίδιο, η πργωγή θ υξηθεί κτά γνήσι μικρότερο ποσοστό. H συνάρτηση πργωγής είνι κοίλη κι το μέγιστο κέρδος ρίσκετι στη στάσιμη εσωτερική λύση:

1 pqk = v pk L v ( 1)lnK + lnl= ln(v / p) 1 pql = w pk L w lnk + ( 1)lnL = ln(w / p) = = Πίρνοντς λογρίθμους κάνμε το σύστημ γρμμικό. Η λύση του μς δίνει τις συνρτήσεις ζήτησης: 1 1 1 1 v s 1 w s 1 v s 1 w s 1 1 s 1 s k= p, l p =, όπου s= + Τώρ η ζήτηση του κάθε συντελεστή είνι φθίνουσ συνάρτηση των τιμών μφοτέρων των συντελεστών. Αντικθιστώντς ρίσκουμε τη συνάρτηση προσφοράς του προϊόντος, κι τη συνάρτηση μέγιστου κέρδους: q s v s 1 p 1 s w s 1 s v s 1 =, π (1 s)p 1 s w = Πράδειγμ Q= K L με + > 1 Η πργωγή είνι ύξουσς πόδοσης κλίμκς. Δηλδή, ν υξήσουμε μφότερ τ {K,L} κτά κάποιο ποσοστό, το ίδιο, η πργωγή θ υξηθεί κτά γνήσι μεγλύτερο ποσοστό. Η συνάρτηση πργωγής δεν είνι κοίλη. Το στάσιμο του κέρδους είνι σγμτικό κι δεν δίνει μέγιστο. Το μέγιστο ρίσκετι στο άπειρο. Πράγμτι ν π.χ. χρησιμοποιήσουμε ίση ποσότητ εργσίς κι κεφλίου: L= K, το κέρδος θ είνι: + Π= pk (w+ v)k ότν K + διότι στο άπειρο υπερισχύει ο όρος με τον υψηλότερο θμό + > 1. Δηλδή, το κέρδος υξάνει περιόριστ κθώς L= K +. Πράδειγμ Q= K L, + = 1. Η πργωγή είνι στθερής πόδοσης κλίμκς. Δηλδή, ν υξήσουμε μφότερ τ {K,L} κτά κάποιο ποσοστό, το ίδιο, η πργωγή θ υξηθεί κτά το ίδιο υτό ποσοστό. Η συνάρτηση κέρδους είνι κοίλη κι επομένως τ στάσιμ σημεί, ν υπάρχουν δίνουν μέγιστο. Οι γενικές λύσεις που ρήκμε πρπάνω γι στάσιμο δεν ορίζοντι διότι έχουμε s= + = 1. Πρέπει ν ξνδούμε τις εξισώσεις στσιμότητς: s 1 ( 1)lnK + lnl= ln(v / p) lnk+ lnl= ln(v / p) lnk + ( 1)lnL = ln(w / p) lnk lnl= ln(w / p) 1=, 1=. Οι δύο εξισώσεις γράφοντι: διότι { } L 1 v L 1 w ln = ln, ln = ln, με + = 1 Κ p K p Έχουμε δύο εξισώσεις με το ίδιο ριστερό μέρος. Δικρίνουμε δύο περιπτώσεις, ως εξής: 3.1 Αν τ δεξιά μέρη είνι ίσ, δηλδή ικνοποιείτι η συνθήκη: 1 v 1 w v w ln = ln p p p = τότε οι δύο εξισώσεις συμπίπτουν κι οι στάσιμες λύσεις μέγιστου κέρδους σχημτίζουν μι ολόκληρη κτίν. Όλ τ σημεί της κτίνς δίνουν ολικό μέγιστο διότι η συνάρτηση είνι κοίλη, με την ίδι τιμή, που θ πρέπει ν είνι μηδενική όπως είνι κι στο σημείο (0,0) που νήκει στην κτίν. 3. Αν τ δεξιά μέρη δεν είνι ίσ, δηλδή ν δεν ικνοποιείτι η πρπάνω συνθήκη, τότε δεν υπάρχουν στάσιμ κι το μέγιστο ρίσκετι στο σύνορο ή στο άπειρο. Ειδικότερ: v w 3.() Αν > p τότε η τιμή του προιόντος είνι μη συμφέρουσ κι δεν θ υπάρξει πργωγή. Το μέγιστο θ ρίσκετι στο σύνορο (0,0) με μηδενικό κέρδος. v w 3.() Αν < p τότε η τιμή του προιόντος είνι συμφέρουσ, κι το μέγιστο θ ρίσκετι στο άπειρο με άπειρο κέρδος. Απόδειξη. Γι ευκολί θ δώσουμε την πόδειξη μόνο στην περίπτωση = = 1/. 1/ 1/ Π= pk L vk wl Γι κάθε συγκεκριμένο K το κέρδος είνι κοίλη συνάρτηση του L με μέγιστο στο σημείο της κτίνς: 3

1/ 1/ ΠL = pk L / w = 0 L = (p / w) K Αντικθιστώντς το L, ρίσκουμε μέγιστο κέρδος γι τυχόν K : Πɶ = K(p 4vw) / w Αν ο όρος στη πρένθεση είνι ρνητικός τότε το ολικό μέγιστο ρίσκετι στο (K = 0, L= 0). Αν είνι θετικός τότε το ολικό μέγιστο ρίσκετι στο άπειρο. Αν είνι μηδενικός τότε ρίσκετι σε ολόκληρη την κτίν: L = (p / w) K wl= vk, διότι p = 4vw Πρτήρηση. Σε προλήμτ μεγιστοποίησης κέρδους κόμη κι σε συνθήκες Κυρτού Προγρμμτισμού, η λύση μπορεί ν είνι συνορική, δηλδή κάποιος συντελεστής ν μη χρησιμοποιείτι ως σχετικά κριός ή κι μφότεροι ν μην χρησιμοποιούντι ν είνι σχετικά κριοί. Συτή την περίπτωση δεν θ ικνοποιούντι οι συνθήκες στσιμότητς, λλά συνορικές συνθήκες, όπως θ δούμε πρκάτω. 3. Δύο εκροές-μι εισροή Θεωρούμε τώρ μι σύνθετη πργωγή με δύο πργόμεν προϊόντ σε ποσότητες: {,}, με κόστος: C(,) Θ υποθέσουμε ντγωνιστικές γορές στ προϊόντ, με την έννοι ότι οι μονδιίες τιμές τους {v,w} είνι εξωγενώς κθορισμένες. Έτσι έχουμε έσοδο: R= v+ w κι το πρόλημ μεγιστοποίησης του κέρδους τίθετι στη μορφή: max{π= R C= v+ w C(, ) 0, 0}, Υποθέτοντς ότι στο μέγιστο κέρδος πράγοντι μφότερ τ προιόντ: {> 0, > 0}, η λύση θ ικνοποιεί την συνθήκη στσιμότητς: Π = 0 R = C v= C Π = 0 R = C w = C Δηλδή: η πργωγή του κάθε προϊόντος υξάνει μέχρι το ορικό του κόστος ν νέει στο ύψος της μονδιίς τιμής του. Πρτήρηση. Όσον φορά τις συνθήκες κυρτότητς δεύτερης τάξης υτές είνι ντίθετες πό τις συνθήκες κυρτότητς της συνάρτησης κόστους διότι το κόστος εμφνίζετι με ρνητικό πρόσημο. Επομένως στο στάσιμο θ πρέπει ν ικνοποιούντι κι οι συνθήκες: Π 0 {Π 0,Π 0,Δ 0} ή ισοδύνμ: C 0 {C 0, C 0,Δ = C C C 0} Π C Μάλιστ, ν η συνάρτηση κόστους ικνοποιεί τις πρπάνω συνθήκες σόλ τ σημεί τότε θ είνι κυρτή, οπότε η συνάρτηση κέρδους θ είνι κοίλη κι το στάσιμο θ είνι ολικό μέγιστο. Στις πρπάνω εξισώσεις εμφνίζοντι οι μετλητές επιλογής {,} κι οι πράμετροι {v,w}, οπότε η λύση θ εξρτάτι πό τις πρμέτρους. Συμολίζοντς με μικρά γράμμτ τις πρμέτρους κθώς κι τις έλτιστες ποσότητες των διφόρων μεγεθών, η λύση θ πριστάνετι με συνρτήσεις: x= x(v,w) : προσφορά προϊόντων (product supply) y= y(v, w) Αντικθιστώντς ρίσκουμε κι το ντίστοιχο κέρδος: π= vx+ wy C(x,y) = π(v,w) : μέγιστο κέρδος (maximal profit) Πρτήρηση. Όπως κι προηγουμένως, δικρίνουμε τις δύο συνρτήσεις κέρδους: Π(, ) = v+ w C(, ), π(v,w) = vx+ wy C(x,y) Η πρώτη είνι η άμεση συνάρτηση κέρδους (direct profit function). Γι τις δεδομένες τιμές {v,w}, εκφράζει το δυνητικό κέρδος, ν πρχθούν τ προϊόντ στις ποσότητες {,}. Η δεύτερη είνι η έμμεση συνάρτηση κέρδους ή συνάρτηση μέγιστου κέρδους. Γι τις δεδομένες τιμές {v,w}, εκφράζει το πργμτοποιούμενο κέρδος, διότι τελικά τ προϊόντ θ πρχθούν στις έλτιστες ποσότητες {x,y}. 4

4. Συμφέρουσες τιμές Σε ορισμένες περιπτώσεις έν προϊόν μπορεί ν μην πράγετι, ν η τιμή του δεν είνι συμφέρουσ, δηλδή ν είνι «χμηλή» σε σχέση με το ελάχιστο ορικό του κόστος. Τώρ εκτός των συνθηκών στσιμότητς θ έχουμε κι τις γνωστές συνορικές συνθήκες 1ης τάξης, οπότε δικρίνουμε τέσσερες περιπτώσεις, ως εξής: 1. Λύση εσωτερική στάσιμη. Πράγοντι μφότερ τ προϊόντ: Π = 0 με > 0 v= C με > 0 Π = 0 με > 0 w = C με > 0. Λύση συνορική με = 0. Πράγετι μόνο το προϊόν: = 0 μεπ 0 = 0 με v C Π = 0 με > 0 w = C με > 0 3. Λύση συνορική με = 0. Πράγετι μόνο το προϊόν: Π = 0 με 0 v= C με 0 = 0 μεπ 0 = 0 με w C 4. Λύση συνορική με {= 0, = 0}. Δεν πράγετι κνέν προϊόν: = 0 μεπ 0 = 0 με v C = 0 μεπ 0 = 0 με w C Το κάθε σύστημ ποτελείτι πό δύο εξισώσεις που μς δίνουν την λύση, κι δύο νισότητες που πρέπει ν ικνοποιούντι γι ν είνι η λύση ποδεκτή. Μάλιστ ν η συνάρτηση κόστους είνι κυρτή τότε η συνάρτηση κέρδους είνι κοίλη οπότε οιδήποτε πό τις πρπάνω συνθήκες 1 ης τάξης δίνει ολικό μέγιστο. Πράδειγμ. Θεωρούμε την πργωγή δύο προϊόντων με συνάρτηση κόστους: C= + + + κι με μονδιίες τιμές {v,w}. Η συνάρτηση κόστους είνι κυρτή, οπότε οι πρπάνω συνθήκες 1 ης τάξης δίνουν ολικό μέγιστο του κέρδους. Το πρόλημ μεγιστοποίησης του κέρδους max{π = (v+ w) (+ + + ) 0, 0} έχει τις πρκάτω λύσεις. Πρτηρούμε ότι τ ελάχιστ ορικά κόστη των {,} είνι {1,} ντίστοιχ. 1. Στάσιμη εσωτερική: Π = v 1 = 0 = (v 1) / ν > 0 v > 1 Π = w = 0 = (w ) / > 0 w> Αμφότερες οι τιμές είνι συμφέρουσες κι πράγοντι μφότερ τ προιόντ.. Συνορική με = 0 : = 0 = 0 Π = v 1 0 v 1 ν Π = w = 0 = (w ) / > 0 w> Η τιμή δεν είνι συμφέρουσ. Πράγετι μόνο το προιόν 3. Συνορική με = 0 : Π = v 1 = 0 = (v 1) / > 0 v> 1 ν = 0 = 0 Π = w 0 w Η τιμή δεν είνι συμφέρουσ. Πράγετι μόνο το προιόν 4. Συνορική με { = 0, = 0} = 0 Π = (v 1) = (v 1) 0 v 1 ν = 0 Π = (w ) = (w ) 0 w Αμφότερες οι τιμές είνι μη συμφέρουσες κι δεν πράγετι κνέν προιόν. Η διερεύνηση κάλυψε όλες τις δυντές τιμές των πρμέτρων {v,w}, κι είνι πάντοτε μονδική. Ειδικά, είνι εσωτερική κι πράγοντι μφότερ τ προϊόντ: {x> 0, y> 0} μόνο ν οι τιμές τους είνι ρκετά υψηλές: {v > 1, w > }. Πρτήρηση. Ενλλκτικά, διπιστώνουμε ότι το πρόλημ είνι του τύπου χωριζομένων μετλητων: Π = (v+ w) (+ + + ) = (v ) + (w + ) οπότε είνι ισοδύνμο με τ δύο πρκάτω, κι μπορεί ν λυθεί χωριστά ως προς κι ως προς : 5

max{π 1() = v 0} κι max{π () = w + } Συνδυάζοντς την λύση τους ρίσκουμε την λύση του ρχικού προλήμτος όπως κι προηγουμένως. Πρτήρηση. Μπορούμε ν ρούμε τη λύση κι γρφικά όπως στο πρκάτω σχήμ. v 1, w v 1, w v 1, w v 1, w x 0,y 0 x 0,y = 0 x= 0,y 0 x= 0,y = 0 συνορικά κρόττ Πρτηρούμε κτρχήν ότι η συνάρτηση κέρδους είνι μι προλική συνάρτηση σε ολόκληρο το επίπεδο με ολικό μέγιστο στο στάσιμο σημείο, το οποίο όμως δεν είνι πάντοτε στην περιοχή ελτιστοποίησης: x 0 = (v 1) /, y 0 = (w ) / Συμπληρώνοντς τ τετράγων ρίσκουμε ότι οι ισοστθμικές είνι ομόκεντροι κύκλοι με κέντρο το στάσιμο, κι με τιμή που μικρίνει κθώς πομκρυνόμστε. Έτσι νάλογ με το τετρτημόριο στο οποίο ρίσκετι το κέντρο το μέγιστο θ ρίσκετι στον μικρότερο κύκλο που συνντάει την θετική περιοχή. 5. Διφοροποίηση τιμών Το πρπάνω φορά συνθήκες πλήρους ντγωνισμού όπου οι τιμές των προϊόντων είνι δοσμένες. Στη γενικότερη περίπτωση του ελλιπούς ντγωνισμού οι τιμές μπορεί ν εξρτώντι πό τις ποσότητες σύμφων με κάποι εξίσωση ζήτησης, οπότε η συνάρτηση εσόδου θ έχει γενικότερη μορφή. Θ εξετάσουμε την περίπτωση όπου τ {,} φορούν στη πργμτικότητ ποσότητες του ίδιου προϊόντος οι οποίες διτίθεντι σε δύο διφορετικές γορές, ενδεχόμεν με διφορετικές μονδιίες τιμές. Θ μελετήσουμε έν τέτοιο πρόλημ, με έσοδο: R= V+ W υποθέτοντς ότι οι μονδιίες τιμές κθορίζοντι μόνο πό την ζήτηση στην ντίστοιχη γορά: V= V(), W = W() Δηλδή η συνάρτηση ζήτησης μπορεί ν είνι διφορετική στις δύο γορές λλά εξρτάτι μόνο πό την τιμή στην κάθε γορά. Μπορούμε ν εξετάσουμε δύο προλήμτ ελτιστοποίησης: 1. Μεγιστοποίηση του κέρδους με διφοροποίηση τιμών: max{π= R C= V()+ W() C(, )}. Μεγιστοποίηση του κέρδους με ενιί τιμή: max{π= R C= V()+ W() C(, ) V() = W()} Το πρώτο πρόλημ θ δώσει μεγλύτερο κέρδος διότι δεν έχει περιορισμούς οπότε επιτρέπει ευρύτερη επιλογή συνδυσμών {,}. Θ ρούμε τις συνθήκες που πρέπει ν ικνοποιεί η λύση του πρώτου προλήμτος υποθέτοντς ότι: 1. Το συνολικό κόστος εξρτάτι μόνο πό τη συνολική πργωγή: C= C(Q) όπου Q= +. Στη έλτιστη λύση διτίθεντι ποσότητες σε μφότερες τις γορές, δηλδή η λύση είνι εσωτερική κι επομένως στάσιμη. Οι συνθήκες γράφοντι: Π = 0 R = C R = R = C > 0 Π = 0 R = C διότι το ορικό κόστος C είνι γνήσι θετικό. Διπιστώνουμε ότι: Σε συνθήκες μεγιστοποίησης του κέρδους με διφοροποίηση τιμών κι υποθέτοντς διάθεση του προϊόντος σε μφότερες τις γορές, οι ποσότητες διάθεσης θ είνι τέτοιες ώστε το ορικό έσοδο στις δύο γορές θ είνι το ίδιο, θ είνι γνήσι θετικό κι ίσο με το ορικό κόστος πργωγής. Πρτήρηση. 1. Αν το ορικό κόστος είνι στθερό: C(Q) = Q+ C = 6

τότε οι πρπάνω συνθήκες στσιμότητς είνι στην πργμτικότητ οι συνθήκες μεγιστοποίησης του κέρδους χωριστά στην κάθε γορά. Εξάλλου συτή την περίπτωση η συνάρτηση κέρδους είνι χωριζομένων μετλητών: max{π= V()+ W() [(+ )] = [V() ] + [W() ] οπότε ρκεί ν λύσουμε τ πλά προλήμτ ελτιστοποίησης στην κάθε γορά χωριστά.. Αν η λύση είνι συνορική, οπότε το προϊόν διτίθετι μόνο στη μι γορά, π.χ. μόνο στη δεύτερη: {= 0, > 0}, τότε οι συνθήκες γίνοντι: Π (0,) 0 R (0) C () R (0) R () = C (), με R > 0 Π (0,) = 0 R () = C () Δηλδή, λειτουργώντς τη δεύτερη γορά σε συνθήκη μέγιστου κέρδους το ορικό έσοδο πρμένει μεγλύτερο πό το ρχικό ορικό έσοδο στην πρώτη γορά, οπότε δεν συμφέρει κθόλου η διάθεση στην πρώτη γορά. Πράδειγμ. Με γρμμικές συνρτήσεις ζήτησης κι κόστους: V= 4, W = 5, C(Q) = + Q, η συνάρτηση κέρδους γράφετι : Π= V+ W C(, ) = (4 ) + (5 ) [+ (+ )] = + + 3 Είνι χωριζομένων μετλητών κοίλη, με μέγιστο στο στάσιμο: Π = 4= 0 x= 0.5, v= 3 με π= 0.75 Π = 3 = 0 y= 1.5, w = 3.5 Η τιμή διάθεσης είνι μικρότερη στη πρώτη γορά. Πράδειγμ. Αν θεωρήσουμε μεγιστοποίηση κέρδους χωρίς διφοροποίηση τιμών τότε θ έχουμε το πρόλημ περιορισμένης ελτιστοποίησης με ισοτικό περιορισμό: max{π(, ) V() = W()} Γι το συγκεκριμένο πρόλημ του προηγούμενου πρδείγμτος μπορούμε ν το λύσουμε με πλή ντικτάστση πό τον περιορισμό: W() = V() (4 ) = (5 ) = 0 = 1+ Το κέρδος γράφετι : Π= + + 3(1+ ) (1+ ) (1+ ) κι έχει μέγιστο ότν Π () = + 6 4(1+ ) (1+ )= 4 1= 0 = 1/ 3 Η λύση είνι {xɶ = 0.33, yɶ = 1.66} με vɶ = wɶ = 3.33 κι πɶ = 6 / 9= 0.66 Πρτήρηση. Η ρχική συνάρτηση κέρδους Π(,) είνι έι η ίδι στις δύο περιπτώσεις, με ολικό μέγιστο στη λύση (x,y) που ρήκμε πρπάνω όπου οι τιμές ήτν ελεύθερες ν διφοροποιηθούν. Οι ισοστθμικές είνι ελλειπτικές, της τετργωνικής συνάρτησης: 3 1 3 Π= + + 3 = 4 Όπως φίνετι κι στο γράφημ, στη δεύτερη περίπτωση που οι τιμές πρέπει ν τυτίζοντι, το μέγιστο ρίσκετι στο σημείο επφής μις ισοστθμικής της Π(,) με την ευθεί του περιορισμού: = 1+ 6. Ελστικότητες στην διφοροποίηση τιμών. Το πρόλημ διφοροποίησης τιμών ντιμετωπίζετι πιο συστημτικά χρησιμοποιώντς τις ελστικότητες ζήτησης. Γι το σκοπό υτό, σε ντιστοιχί με τις συνρτήσεις ζήτησης στις δύο γορές: V= V(), W = W() θωρούμε κι τις ντίστοιχες ελστικότητες: yɶ y xɶ = 1+ x 7

V V W W ε = EV= = 0, ε = EW = = 0 V W Επνεξετάζουμε πάλι το πρόλημ μεγιστοποίησης του κέρδους με διφοροποίηση τιμών: max{π= R C= V()+ W() C(+ )} κι διπιστώνουμε τ εξής: Σε συνθήκες μεγιστοποίησης του κέρδους με διφοροποίηση τιμών, κι υποθέτοντς διάθεση του προϊόντος σε μφότερες τις γορές, ισχύουν τ πρκάτω : 1. Το ορικό έσοδο στις δύο γορές θ είνι ίδιο κι θετικό. Η ζήτηση θ είνι ελστική σε μφότερες τις γορές: ε > 1, ε > 1 3. Η τιμή διάθεσης θ είνι μικρότερη όπου η ελστικότητ της ζήτησης είνι μεγλύτερη: v< w ε > ε δηλδή η τιμή είνι μικρότερη στην γορά που είνι περισσότερο ευίσθητη στην τιμή. Απόδειξη. Υποθέτοντς γι ευκολί ότι το προιόν θ διτεθεί σε μφότερες τις γορές, δηλδή λύση εσωτερική, θ έχουμε πάλι την συνθήκη: Π = 0 R = C R = R = C > 0 Π = 0 R = C Γι το ορικό έσοδο στις δύο γορές ρίσκουμε: V 1 R = V+ V = V 1+ V 1 V = ε R= V()+ W() W 1 R = W+ W = V 1+ = W 1 W ε Η ιδιότητ: R = R = C > 0 μς δίνει όλ τ ζητούμεν. Υπενθυμίζουμε ότι γενικά: το ορικό έσοδο σε μι γορά είνι γνήσι θετικό η ζήτηση είνι ελστική ε > 0. Πράδειγμ. Στο προηγούμενο πράδειγμ, με γρμμικές συνρτήσεις ζήτησης κι κόστους: V= 4, W = 5, C(Q) = + Q, ρήκμε λύση: x= 0.5, v= 3, y= 1.5, w = 3.5 { } { } Οι ντίστοιχες ελστικότητες είνι: v 3 w 7 / 7 EV = = = 3, EW= = = =.33 xv 0.5( ) yw 3 / ( 1) 3 Η ζήτηση είνι ελστική σε μφότερες τις γορές. Είνι περισσότερο ελστική στην πρώτη όπου κι έχει τη μικρότερη τιμή. Πράδειγμ. Αν η ζήτηση είνι ελστική με στθερή ελστικότητ τότε η γορά με τη μεγλύτερη ελστικότητ της ζήτησης θ επιτύχει μικρότερη τιμή νεξάρτητ των έλτιστων ποσοτήτων που θ διτεθούν. Έτσι ν η ζήτηση στις δύο γορές είνι : 3 {= V με ε = } & {= W με ε = 3} ντίστοιχ, τότε η τιμή θ είνι μικρότερη στη δεύτερη γορά που έχει μεγλύτερη ελστικότητ ζήτησης: 1 1 3 V 1 = W 1 w = v. 3 4 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ 7 Εξωτερικότητες Βσικό χρκτηριστικό των πργόμενων προιόντων ως γθών είνι ότι η πργωγή τους έχει κόστος κι η διάθεσή τους ποφέρει έσοδο. Σε πολλές περιπτώσεις έχουμε πργόμεν προϊόντ που είνι μη γθά. Έν τέτοιο προϊόν είνι ο ρύπος. Θεωρούμε μι πργωγή η οποί εκτός πό έν πργόμενο γθό 8

πράγει κι ρύπο. Το κόστος της πργωγής είνι ύξουσ συνάρτηση της ποσότητς του πργόμενου γθού λλά συνήθως είνι φθίνουσ συνάρτηση της ποσότητς του πργόμενου ρύπου, τουλάχιστον στην ρχή, διότι η ελάττωσή του πιτεί την χρήση ντιρρυπντικής τεχνολογίς που υξάνει το κόστος: C= C(, ) με {C > 0, C < 0} Με μονδιί τιμή του προϊόντος p, το έσοδο πό την διάθεσή του θ είνι: R= p Το πρόλημ μεγιστοποίησης του κέρδους μς δίνει τις συνθήκες στσιμότητς: R = C p= C max{π= R C= p C(, )}, R = C 0= C Δηλδή, η μονάδ θ πράγει επιπλέον ρύπο εφόσον υτό μειώνει το κόστος μέχρι του επιπέδου που δεν επηρεάζει πλέον το κόστος. Εκφράζουμε το πρπάνω λέγοντς ότι η πργωγή του ρύπου δεν επιφέρει κόστος. Στην πργμτικότητ η πργωγή του ρύπου έχει κόστος σε άλλες δρστηριότητες οπότε λέμε ότι όσον φορά την συγκεκριμένη μονάδ το κόστος έχει εξωτερικευτεί. Η επιολή πρόστιμου t νά μονάδ εκπομπής ρύπου είνι ένς έμμεσος τρόπος εσωτερίκευσης του κόστους. Τώρ το έσοδο θ είνι: R= p t κι η μεγιστοποίηση του κέρδους θ μς δώσει τις συνθήκες: R = C p= C max{π= R C= p t C(, )}, R = C t= C Το ρνητικό του ορικού κόστους του ρύπου είνι θετικό κι μπορεί ν θεωρηθεί ως το ντίστοιχο ορικό έσοδο: C > 0 Έτσι, σύμφων με την πρπάνω συνθήκη, η μονάδ θ υξάνει τον ρύπο μέχρι το ορικό του όφελος C ν ντιστθμίζετι πό το ορικό του κόστος t που θ πρέπει ν συσχετίζετι με το προκλούμενο εξωτερικό κόστος. 8. Εισροές-Εκροές Γενικά, μι σύνθετη πργωγική διδικσί μπορεί ν φορά πολλές εισροές κι πολλές εκροές. Τις πριστάνουμε συνήθως με κάτω δείκτες, π.χ. { 1,, }, { 1, } γι τις εισροές κι εκροές ντίστοιχ, με ντίστοιχες τιμές σε συνθήκες πλήρους ντγωνισμού: {w 1,w, }, {p 1,p } Ενδεικτικά θεωρούμε μί πργωγική διδικσί με μί εισροή κι δύο εκροές, κι με ντίστοιχες συνρτήσεις πργωγής: 1 = Q 1( 1), = Q ( 1) Το πρόλημ μεγιστοποίησης του κέρδους τίθετι στη μορφή: max{π= p Q ( ) + p Q ( ) w 0} 1 1 1 1 1 1 1 1 Είνι έν πρόλημ ελεύθερης ελτιστοποίησης με μί νεξάρτητη μετλητή. Ενλλκτικά μπορούμε ν θεωρήσουμε ότι το σύνολο των μετλητών, εισροές κι εκροές, συνδέοντι μετξύ τους μέσω των σχέσεων πργωγής, οπότε η μεγιστοποίηση του κέρδους μπορεί ν διτυπωθεί ενλλκτικά στη μορφή: max Π= p + p w = Q ( ), = Q ( ), 0 1, 1, { } 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Τώρ έχουμε μι ισοδύνμη διτύπωση ως έν πρόλημ περιορισμένης ελτιστοποίησης με τρεις μετλητές κι δύο ισοτικούς περιορισμούς. Αν το λύσουμε με ντικτάστση των ισοτικών περιορισμών θ κτλήξουμε στη προηγούμενη μορφή. Η δεύτερη υτή μορφή έχει το πλεονέκτημ ότι μπορεί ν διτυπωθεί ώστε ν κλύψει κι τη γενικότερη περίπτωση των νισοτικών περιορισμών: max Π= p + p w Q ( ), Q ( ), 0 1, 1, { } 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Μπορεί ν γενικευτεί κι περιτέρω σε μι διτύπωση που δεν κάνει κτρχήν διάκριση μετξύ εισροών κι εκροών, θεωρώντς τις εισροές ως ρνητικές εκροές. Δηλδή, ντί των πρπάνω μετλητών χρησιμοποιούμε τις μετλητές: Z =, Z =, Z = 1 1 3 1 με μονδιίες τιμές: 9

p 1,p,p3 = w Τώρ το πρόλημ μπορεί ν διτυπωθεί στη γενική μορφή ενός προλήμτος μθημτικού προγρμμτισμού με τρεις μετλητές κι τρεις νισοτικούς περιορισμούς ως εξής: max Π= p Z + p Z + p Z E (Z,Z ) 0, E (Z,Z ) 0, Z 0 Z 1,Z,Z3 { } 1 1 3 3 1 1 3 3 3 όπου: E = Z Q ( Z ), E = Z Q ( Z ) 1 1 1 3 3 Η διτύπωση υτή είνι ιδιίτερ χρήσιμη στην γενική περίπτωση των σύνθετων πργωγικών διδικσιών που φορούν κλάδους της οικονομίς στις οποίες κάποι προϊόντ μπορεί ν είνι εισροές σε κάποι τμήμτ της πργωγής κι εκροές σε κάποι άλλ. Οι μετλητές Z i ντιστοιχούν τώρ στις κθρές εκροές/εισροές όσον φορά το σύνολο της πργωγής. Τελικά μι κθρή εκροή (net output) θ είνι γνήσι θετικό μέγεθος κι θ συμάλει στο έσοδο ενώ μι κθρή εισροή (net input) θ είνι γνήσι ρνητικό μέγεθος κι θ συμάλει στο κόστος. 10