ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΈΝΝΟΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΣΥΖΥΓΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ i. ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΖΥΓΩΝ ΕΠΙΛΥΣΗ ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΑΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ [Κεφ..: Η Έννοια του Μιγαδικού Αριθμού - Κεφ..: Πράξεις στο Σύνολο C των Μιγαδικών του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση. Να βρείτε τον αριθμό x R όταν ΘΕΜΑ Β x + 5 + (x 5x + ) i = 6 + 7i. Πρέπει x + 5= 6 () και Από την () έχουμε x 5x + = 7 (). x =, οπότε η () γίνεται 5x + = 7 x =
Άσκηση. Να βρείτε τους x, y R ώστε να ισχύουν οι ισότητες: i) x 3+ 4yi = 3 + (y 8)i ii) 4x + 3y + + (5x + y + )i = x + y + (3x + y + 7)i i) Πρέπει: x 3 = 3 x= 6 4y = y 8 y = 8 x = 3 και y = 4 ii) Πρέπει: 4 x+ 3 y+ = x+ y 3 x+ y = 3 ( ) 5x+ y+ = 3x+ y+ 7 x y = 5 ( ) (): y = x 5 (3) Άρα από (), (3) έχουμε : 3x+ (x 5) = 3 3x+ 4x 0= 3 7x= 7 x = Από (3): y = 5 y = 3
Άσκηση 3. Να βρείτε τους αριθμούς α, β R έτσι ώστε οι μιγαδικοί: z =α+β i και z + 8i 5 + 3i = + 3i 3i να είναι ίσοι. Φέρνουμε πρώτα τον z στη μορφή γ+δ i : + 8i + 3i 5 + 3i i z = + = 3i + 3i 3i i 4 + 36i + 6i 4 5i + 3i + = (3i) 3 i 5i 3 + 5i + = 4 + 9 3 5i 4i 4i 4i 0i 3 + = + = = + z = z α+β i = + 0i α= και β= 0
Άσκηση 4. Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς αβ, έτσι ώστε να ισχύει ( α+β i) = (4 3i) i. α β = ( α + β i) = (4 3i) i ( α β ) + αβ i = 3+ 4i αβ = 3 () () Από τη () προκύπτει α 0, β 0 και α, β ομόσημοι. Από τη () έχουμε β= α (3) Αντικαθιστούμε στη () και παίρνουμε την εξίσωση 4 4 4 α = 3 α 4= 3α α 3α 4= 0 α (4) Θέτουμε α = t > 0 και η (4) γίνεται: t 3t 4 = 0 t = 4 ή t = (απορρίπτεται) Επομένως α = 4 α= ή α= Για α= από την (3) έχουμε β= Για α= από την (3) έχουμε β=
Άσκηση 5. Να κάνετε τις πράξεις: i) ( 3 i)( 4 5i) + 3i ii) 8 + 3i 3i + 4 iii) 3 i iv) 3+ i i(6 3i) + i Οι μιγαδικοί είναι: i) ( 3 i)( 4 5i) + 3i = 5i 8i 0 + 3i = 0i, ii) 8 + 3i 8 + 3i 4 3i 3 4i + i + 9 4 i 4 = = = = i + + 4 3i ( ) 3i 4 4 3i 4 3i 5 5 5 iii) iv) 3 3 3 3 3 3 i i i i i = + = = 4 4 3+ i 3+ i+ i i(6 3i) + = i + 6 + = i i + i 3 + 3i + i + 4i 6 + i + = 6 + i + = i 6 + i + + i = 7 + 4i
Άσκηση 6. Να γράψετε τον αριθμό 4 3i + i z = + 3 + 4i i στη μορφή α+βi, α, β R. 4 3i + i 4 3i 3 4i + i + i z = + = + = 3 + 4i i 3 + 4i 3 4i i + i 6i 9i + 4i + i 5i 5i + = + = + i i = 0 = 0 + 0i 3 4i i 5 5 ( ) ( )
Άσκηση 7. Να βρείτε τα x, y R ώστε οι μιγαδικοί: ( ) συζυγείς. z = x + 3x + y i και z = y 9i να είναι Πρέπει x = y x y = ( xy, ) = (, 3) 3x+ y = 9 3x+ y = 9
Άσκηση 8. Να αποδείξετε ότι ο z z w = είναι φανταστικός z z Επειδή z = z z, ο w είναι φανταστικός ως διαφορά δύο συζυγών μιγαδικών. z
Άσκηση 9. 4 Για τους μιγαδικούς z και w ισχύει w = z,z 0. Να αποδείξετε ότι ο w είναι z φανταστικός αν και μόνο αν z z = 4 ή z φανταστικός. O w είναι φανταστικός αν και μόνο αν 4 4 w = w z = z z z 4 4 z = z+ z z z z z 4z = z z z+ 4z z z z+ z z z 4z 4z = 0 z z( z+ z) 4( z+ z) = 0 ( z + z ) ( z z 4) = 0 z z 4 = 0 ή z+ z = 0 z z = 4 ή z= z
Άσκηση 0. Αν z C, να δείξετε ότι ο z z w = είναι φανταστικός αριθμός. + z z Αρκεί να δείξουμε ότι w = w z z z z z z w = = = = w + z z + z z + z z Άρα ο w είναι φανταστικός
Άσκηση. Να αποδείξετε ότι: ν ν+ ν+ ν+ 3 i i i i 0, + + + = ν N ν ν+ ν+ ν+ 3 i + i + i + i = ν ν ν ν 3 i + i i + i i + i i = 3 ( ) ν i + i+ i + i = ( ) ν ν i + i i = i 0 = 0
Άσκηση. Να βρείτε τις τιμές των παραστάσεων i) ( + i) 600 ii) ( i) 6 600 300 300 i) ( i) ( i) ( i) + = + = = 300 300 300 0 300 i = i =. 6 60 ii) ( i) ( i ) ( i) = = 30 ( i ) ( i) = ( ) ( ) ( ) 30 30 30 i i = i ( i) = ( ) = ( ) 30 i i 30 i
Άσκηση 3. Να γράψετε τον 8 39 3i + i z = + 3 + i i στη μορφή α+βi, α, β R. 3i 3i 3 i 6 4i 9i 6 3i = = = = i 3 + i 3 + i 3 i 9 + 4 3 + i + i + i + 4i + i 5i = = = = i i i + i + 4 5 8 8 Επομένως ( ) ( ) ( ) 39 8 39 3 z = i + i = i + i = i + i = i i = i = 0 i
Άσκηση 4. Να λύσετε την εξίσωση: 3z + 4i = z i + 6i 3z + 4i = z i + 6i 3z i z = 6i 4i + + i 3 i z = + i z = 3 i ( ) + i 3 + i 6 + i + 6i z = z= 3 i 3+ i 3 i 4 + 8i 4 8 z= z= + i 0 0 0 4 z= + i 5 5
Άσκηση 5. Να λύσετε την εξίσωση: 3z 4 ( z + 5 ) i = iz 3z 4 ( z + 5) i = iz 3z 4 zi 5i = iz 3z zi zi = 4 + 5i 3z 4zi = 4 + 5i 4 + 5i 3 4i z = 4 + 5i z = 3 4i ( ) 4 + 5i 3+ 4i + 6i + 5i 0 z = z= = ( ) 3 4i 3 + 4i 3 4i 8 + 3i 8 + 3i = 9 + 6 5 Άρα 8 3 z = + i 5 5
Άσκηση 6. Να λύσετε στο C τις εξισώσεις: i) ii) z z + 5 = 0 z + = 0 iii) z+ = z i) Βρίσκουμε την διακρίνουσα: = ( ) 4 5 = 4 0 = 6 < 0 Άρα η εξίσωση θα έχει ρίζες τους: ± i 6 ± 4i z, = = = ± i Δηλαδή z = + i και z = i Α' τρόπος: ii) z + = 0 = 0 4 = 4 0 ± i 4 ± i Άρα z, = = = ± i Β' τρόπος: ( )( ) z 0 z i 0 z i z i 0 + = = + = z i= 0 ή z+ i= 0 z= i ή z= i iii) + = + = + + = z z 0 z z z z z 0 = 4 = 4 8 = 4 ± i 4 ± i Άρα z, = = = ± i Άρα z = + i και z= i
Άσκηση 7. Να λύσετε τις εξισώσεις: i) ii) 3 z + = 0 3 z z + z = 0 3 3 3 i) z + = 0 z + = 0 z+ z z+ = 0 z+ = 0 ή ( )( ) Έχουμε: z+ = 0 z= ± i 3 z z+ = 0 z, = z z+ = 0. Άρα οι λύσεις της εξίσωσης είναι οι αριθμοί, + i 3 και i 3. z z + z = 0 z z + z = 0 3 ii) ( ) ( ) ( )( ) + = + = ή z = 0 z z 0 z 0 z= ή z = z= ή z= i ή z= i Άρα οι λύσεις της εξίσωσης είναι οι αριθμοί, i και i
Άσκηση 8. Να λύσετε την εξίσωση: z + z = 0 Έστω z = x + yi, x, y R Τότε έχουμε: ( ) ( ) x + yi + x yi = 0 x y + xyi + x yi = 0 ( ) ( ) x y + x + xy y i= 0 x y + x = 0 () και xy y = 0 () () y( x ) = 0 y = 0 ή x = Η () για y= 0 γίνεται: x + x = 0 = 4 ( ) = + 8 = 9 ± 3 Άρα x, =.Δηλαδή x = ή x = Επομένως z = + 0i = και z = + 0i = Η () για x = γίνεται: 4 3 y + = 0 y = 0 4 4y 6 = 0 y =. Αδύνατη. 4 Άρα οι λύσεις της εξίσωσης είναι οι z = και z = 5
Άσκηση 9. x 5x 6 + x 0x + 9 i = 3 + 3i Να βρείτε το x R όταν: ( ) Πρέπει: x 5x 6 0, και από το πρόσημο του τριωνύμου: προκύπτει x ή x 6 Επίσης πρέπει: x 5x 6 = 8 + = x 0x + 6 = 0 x 5x 6 = 3 x 0x 9 3 = x = 8 ή x = 3 + = x = 8 ή x = x 5x 4 0 x 0x 6 0 Άρα x = 8
Άσκηση 0. Να βρείτε το λ R ώστε ο αριθμός λ+ 3i z = να είναι πραγματικός. λ λ i ( ) Πρέπει: λ ( λ i ) 0. Αν ( i ) 0 λ λ = τότε λ= 0 και λ= αδύνατο. Άρα ο z ορίζεται για κάθε λ R. Έχουμε ( ) ( ) λ+ 3i λ+ λ+ λ z = = = λ ( λ )i λ + λ λ + ( λ ) ( ) ( ) ( ) ( 3i) i λ +λ( λ )i + 3λi 3 λ λ 3λ+ 4 + λ +λ i λ 3λ+ 4 λ+λ = = + i λ + λ λ + λ λ + λ ( ) ( ) ( ) Για να είναι ο z πραγματικός πρέπει Im(z) = 0, δηλαδή ( ) λ +λ= 0 λ λ+ = 0 λ= 0 ή λ= λ +λ= 0. Είναι
Άσκηση. Να αποδείξετε ότι για κάθε i + i + i + i = + + + i i i i * ν N ισχύει: 3 ν 3 ν+ 3 ν+ 3 ν+ 3 3ν 3ν+ 3ν+ 3ν+ 3 Κάνοντας πράξεις στο ο μέλος, έχουμε: 3ν 3ν+ 3ν+ 3ν+ 3 i + i + i + i = 3ν 3ν 3ν 3ν 3 i + i i + i i + i i = 3ν 3 i ( i i i ) + + + = 3ν 3ν i (+ i i) = i 0 = 0 Ομοίως για το ο μέλος, ισχύει: + + + = 3ν 3ν+ 3ν+ 3ν+ 3 i i i i + + + = 3ν 3ν 3ν 3ν 3 i i i i i i i 3ν + + + 3 = i i i i 0 0 3ν + = = 3ν i i i i Άρα ισχύει η δοθείσα σχέση.
Άσκηση. Αν z C, λ R και λ+ z Im = 0, όπου z λ z λ, να δείξετε ότι ο z είναι πραγματικός. λ+ z λ+ z λ+ z λ+ z λ+ z λ+ z Im = 0 R = = λ z λ z λ z λ z λ z λ z ( λ+ z) ( λ z) = ( λ+ z) ( λ z) λ λ z + λz 4zz =λ λ z + λz 4zz λ 0 4λ z= 4λz z= z z R
Άσκηση 3. Δίνεται το πολυώνυμο Να βρείτε το P(i). 003 00 349 4 P(x) = x 4 x + x x. 003 00 349 4 P(i) = i 4 i + i i Κάνοντας τις ευκλείδειες διαιρέσεις των εκθετών με το 4, προκύπτουν: 003 = 4 500 + 3 00 = 4 50 + 349 = 4 87 + 4 = 4 56 + 0 Άρα 3 0 P(i) = i 4 i + i i = i + 4 + i = 3 Άρα P(i) = 3
Άσκηση 4. Να βρείτε τους x, y R ώστε να ισχύουν οι ισότητες: i) x (3 + 6xi) = y( + 4i) 6i ii) x (x y) + (x y)i = 3 y i i) x (3 + 6xi) = y( + 4i) 6i 3x + 6x i = y + 4yi 6i 3x + 6x i = y + (y 3)i Άρα θα πρέπει: 3x = y y = 3x y = 3x y = 3x 6x = (y 3) 3x = y 3 3x = 3x 3 3x 6x + 3 = 0 y= 3x y= 3x y= 3x y= 3 x x+ = 0 (x ) = 0 x = x = Άρα (x, y) = (,3) ii) x (x y) + (x y)i = 3 y i x xy + (x y)i = 3 y i Άρα πρέπει: x y= x = y x = y x xy = 3 y x xy+ y = 3 (y ) + y (y )y = 3 x = y x = y y y+ + y y + y= 3 y y = 0 y= ή x = y y= x = y y= x = ή y = x = Άρα (x, y) = (, ) ή (x, y) = (, ).
Άσκηση 5. Να βρείτε τα x, y R έτσι ώστε ο z = ( i)(x + y) (3 + i)(x y) + 6 να είναι ίσος με το μηδέν. z = 0 ( i)(x + y) (3 + i)(x y) + 6 = 0 x + y xi yi 3x + 6y xi + 4yi + 6 = 0 ( x + 7y + 6) + ( 4x + y) i = 0 Επομένως x 7y 6 0 x 7y 6 ( ) 4x 4y ( + ) + + = + = = 4x + y = 0 4x + y = 0 4x + y = 0 y = y = y = 4x + y = 0 4x + ( ) = 0 4x = 0 y= y= 4x = x =
Άσκηση 6. Να κάνετε τις πράξεις: i) ( + i) (i + i) (3 + i ) (3 i ) ( + i) ( i) ( + i) ( i) ii) [ ] i) ( + i) (i + i) (3 + i ) (3 i ) = ( + i) ( + i) (3 ) (3 + ) = (i ) 4 = 8 ( ) = 6 ( + i) ( i) ( + i) ( i) = ii) [ ] ( + 4i + i ) ( i + i ) ( i + i i ) = (4 + 4i ) ( i ) ( i + i + ) = (3 + 4i) ( i) (3 + i) = 6i 8i 3 i 3 i = 6i + 8 9 + 6i = i.
Άσκηση 7. Να αποδείξετε ότι ν ν α+ i i α + = ( ) α i +αi ν Μετατρέπουμε τα κλάσματα: ( α + ) α+ i α+ i +αi α+α i + i α α i + i i = = = = = i αi α i +α i +α +α +α ( +α ) i α i α α i i +α α+α i i +α i i = = = = = i +α i +αi α i +α +α +α Άρα: ν ν α+ i i α ν + = + = ( ) + ( ) = α i +αi ν ν ν ν i i ( )
Άσκηση 8. Δίνονται οι μιγαδικοί z,z με z z = z z = 4. Να δείξετε ότι ο z z w = z z 3 είναι φανταστικός. 4 4 Αρκεί να δείξουμε ότι w = w. Επειδή z, z 0, z = και z =, έχουμε z z w 3 3 3 z z 3 z z z z z z = = = = = z z z z z z z z 3 4 4 3 3 3 z z z z z z z z = w 4 4 = = = z z z z z z z z Άρα o w είναι φανταστικός.
Άσκηση 9. Να περιγράψετε γεωμετρικά το σύνολο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών z που ικανοποιούν τις σχέσεις: i) Re(z) = 5 ii) Im(z) = 3 iii) Re(z) = Im(z) i) Re(z) = 5 άρα z = 5 + yi. Επομένως οι εικόνες του z είναι τα σημεία M(5, y), δηλαδή σημεία της ευθείας x = 5 που είναι στον x'x ii) Im(z) = 3 άρα z = x 3i. Επομένως οι εικόνες του z είναι τα σημεία M(x, 3), δηλαδή σημεία της ευθείας y= 3 που είναι στον x'x iii) Re(z) = Im(z) άρα z = x xi. Επομένως οι εικόνες του z είναι τα σημεία M(x, x) δηλαδή σημεία της ευθείας y= x που είναι η διχοτόμος της ης και 4 ης γωνίας των αξόνων.
Άσκηση 30. Σε κάθε μία από τις παρακάτω περιπτώσεις να εκτελέσετε τις πράξεις: i) (4 3i) + ( 6 + i) ii) ( 3i) (4 i) iii) ( 3i) (3 + 4i) iv) i (4 i) v) i ( + i) (3 i) vi) (3 4i) (3 + 4i) vii) ( i) (+ i) i) (4 3i) + ( 6+ i) = 4 3i 6+ i= i ii) ( 3i) (4 i) = 3i 4+ i= i iii) iv) v) vi) vii) ( 3i) (3 + 4i) = 6 + 8i 9i i = 6 i + = 8 i i (4 i) = 4i + i = 4i = 4i i ( + i) (3 i) = (i )(3 i) = 6i i 3 + i = 6i + 3 + i = + 7i (3 4i) (3 + 4i) = 3 (4i) = 3 4 i = 9 + 6 = 5 ( i) (+ i) = i = + =
Άσκηση 3. Να λύσετε την εξίσωση: z z + 3iz 3i 5 = 0 Έστω z = x + yi, x, y R Τότε η εξίσωση γίνεται: ( x + yi)( x yi) + 3i ( x + yi) 3i 5 = 0 x + y + 3xi 3y 3i 5 = 0 ( ) ( ) x + y 3y 5 + 3 x i = 0 Άρα x = 0 x = x = x + y 3y 5 = 0 x + y 3y 5 = 0 + y 3y 5 = 0 x = y 3y 4 = 0 y= x = ή y = 4 x = Άρα οι λύσεις της εξίσωσης είναι οι μιγαδικοί: z= i και z = + 4i.
Άσκηση 3. Να βρείτε τις τιμές των παραστάσεων i) ii) (+ i) 3 ( i) i) ii) ( + i) = + i + i = + i = i 3 3 3 ( i) = 3 i + 3 i i = 8 i 6 + i = i
Άσκηση 33. λ α β R και ισχύει: ( i) ( i) ( i ii ) ( i)( i) Αν,, ότι: α = 3β α+β + α β λ= +λ + α+β α β, να αποδείξετε α β + αβ i+α β αβi λ= λ+α +β α 3β = α = 3β α β λ=α +β λ
Άσκηση 34. Δίνεται ο μιγαδικός z = ( 3 + i) x + ( y ) i 4, x, y R. Αν Re( z) Im ( z) x = y+ = να αποδείξετε ότι: z = 3x + xi + yi i 4 z = ( 3x 4) + ( x + y ) i Επομένως Re( z) = 3x 4 και Im ( z) = x + y. Οπότε από την συνθήκη Re( z) Im ( z) 3x 4 = x + y x = y + = έχουμε:
Άσκηση 35. Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς αβγ,, ώστε οι μιγαδικοί z= α + β + αβ i και w = γ+ +γ i να είναι ίσοι. ( ) ( ) z= w α + β + αβ i= γ + + γ i α+β= γ γ= α β γ = α β αβ = + γ αβ = + γ αβ = + ( α β) { { { γ = α β { { γ = α β ( ) ( ) αβ = + + α + β α β + αβ α + β = 0 γ= α β γ= α = και β = α = και β = { {
Άσκηση 36. Έστω z = x + yi με x, y R και y 0 x< 0 >. Αν ισχύει Re ( z + ) zi > Im ( z) να αποδείξετε ότι ( ) ( ) ( ) z + zi = x + + yi x + yi i = ( ) ( ) ( ) ( ) x+ + yi xi y = x x+ i y x+ + xyi y i= x i + xi xy y xy y i = ( ) + ( + ) xy y x x y i Οπότε από την συνθήκη έχουμε: xy y > y xy > 0 xy < 0 xy < 0 και επειδή y> 0 έπεται ότι x< 0
Άσκηση 37. Αν * z C και Re(z) > 0 να αποδείξετε ότι Re > 0 z Έστω z = x + yi, x, y R με x > 0. x yi x yi x y = = = = i z x + yi x + yi x yi x + y x + y x + y Έχουμε x Re = 0 > z x + y διότι x + y > 0 για κάθε x, y R και x > 0 από την υπόθεση.
Άσκηση 38. Αν z C με Re( z ) < Re( z + ) να αποδείξετε ότι x< 3 Έστω z = x + yi με x, y R. Τότε έχουμε: z = ( x yi) = ( x ) yi z + = x + yi + = ( x + ) + yi και από την δοσμένη συνθήκη ισχύει x < x + x < 3
Άσκηση 39. Να λύσετε την εξίσωση 3 z + z + 0 = 0 z + z + 0 = 0 z + z z + 5 = 0 3 Από το σχήμα Horner έχουμε ( )( ) άρα z= ή z z + 5 = 0 και = ( ) 4 5 = 4 0 = 6 ± i 6 ± 4i Άρα z, = = = ± i. Επομένως οι λύσεις της εξίσωσης είναι, + i, i.
ΘΕΜΑ Γ Άσκηση. Αν α, β R και ( ) ( ) * ν N, να αποδείξετε ότι: 4ν+ 4ν+ α+β i + β α i = 0 Α' Τρόπος: 4 4 ν+ ν+ ν+ ν+ ( i) ( i) ( i) ( i) α+β + β α = α+β + β α = ( ) ν+ [ ] ν+ α β + αβ i + β α αβ i = ν+ ( i) [ ( i) ] ν+ α β + αβ + α β + αβ = ν+ ( i) ( ) ( i) ν+ ν+ α β + αβ + α β + αβ = ( ) ( ) α β + αβi α β + αβ i = 0 Διότι ( ) ν+ Β' Τρόπος: = επειδή ο ν+ είναι περιττός. ( i) ( i) 4 ν+ 4 ν+ α+β + β α = ( ) 4 ν+ i ( i ) ( i) 4 ν+ α+β + α+β = ( i ) ( i) 4ν+ 4ν+ α+β + = ν+ ν ( i ) ( i ) ( i) 4 4 α+β + = 4ν+ ( ) ( ) α+βi = 0 Γ Τρόπος: Αν β α i= 0, τότε α=β= 0 και ισχύει Αν β αi 0, τότε έχουμε:
( α+β i) + ( β α i) = 0 ( α+β i) = ( β αi) 4ν+ 4ν+ 4ν+ 4ν+ 4 ν+ ( )( ) 4 ν+ α+βi β+αi α+βi = = β αi β +α ( ) 4 ν+ α +β 4 ν+ αβ + α i+ β i αβ i = = α +β α +β 4ν+ i = i = που ισχύει.
Άσκηση. Να βρείτε τη μορφή των θετικών ακέραιων ν για τους οποίους ισχύει: ν ( ) ( ) + i + i = 0. ν ( + i) + ( i) = 0 ( + i) = ( i) ν ν ν ν ν ( + i)( + i) + i = = i 5 ν + i + 4i 5i ν = = i = 5 5 Άραν= 4κ+, κ Ν. ν ν
Άσκηση 3. Δίνεται ο μιγαδικός z ( ) i, [ 0, ] =ηµϑ + συνϑ+ ϑ π. Να αποδείξετε ότι οι εικόνες M(z) ανήκουν σε κύκλο για τον οποίον να βρεθούν το κέντρο και η ακτίνα. Έστω z = x + yi x, y R Τότε: x = ηµϑ ηµϑ = x+ x + yi =ηµϑ + ( συνϑ+ ) i y= συνϑ + συνϑ = y Όμως ηµ θ + συν θ =. Επομένως (x + ) + (y ) =. Άρα οι εικόνες M(z) ανήκουν σε κύκλο με κέντρο K(, ) και ακτίνα ρ=.
Άσκηση 4. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων του z για τους οποίους ισχύει: i) ii) Re z + = 0Re(z). z Im z + + 5Im(z) = 0. z Πρέπει z 0, δηλαδή αν z = x + yi, x, y R, τότε πρέπει x 0 ή y 0 z + = x + yi + = z x + yi x yi x + yi + = x + yi x yi x yi x + yi + = x + y x y x + + y i x + y x + y Επομένως z + = x + y i +, z x + y x + y που σημαίνει ότι Re z + = x + και Im z + = y z x + y z x + y i) Re z + = 0Re(z) z x + 0 x = x + y 0x x + 0 = x + y x 0 0 = x + y x 9 0 x 0 = = x + y ( ) + y ή 9= ( x = 0) x ή x + y = = 9 3
Άρα ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του z αποτελείται από τον άξονα y y, χωρίς το σημείο O(0,0) και τον κύκλο με κέντρο O(0,0) και ακτίνα ρ=. 3 ii) y 5y 0 + = x + y y + 5 0 = x + y y 6 0 = x + y Άρα y= 0 ή 6 0 x + y = y= 0 ή 6 x + y = y= 0 ή x + y = 6 Άρα ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του z αποτελείται από τον άξονα χ χ, εκτός του 6 σημείου Ο (0, 0) και τον κύκλο με κέντρο O(0,0) και ακτίνα ρ= 6 = 6.
Άσκηση 5. Αν ο αριθμός κύκλο. z i w = είναι φανταστικός να δείξετε ότι οι εικόνες M(z) βρίσκονται σε z+ Πρέπει z+ 0 z. z i z + i w I w = w = ( z i)( z + ) = ( z i)( z + ) z+ z+ z z + z zi 4i = z z z zi 4i zz + z + z + zi zi = 0 z z+ z+ z+ ( z z) i= 0 (Θέτουμε z = x + yi ) ( x + yi)( x yi) + x + yi i = 0 x + y + x y = 0 ( ) ( ) x+ + y =. Άρα οι εικόνες του z βρίσκονται στον κύκλο με κέντρο το K (,) και ακτίνα ρ= εκτός του σημείου A (,0).
Άσκηση 6. Αν οι εικόνες των μιγαδικών z στο μιγαδικό επίπεδο βρίσκονται στην ευθεία :y= x 3 να βρείτε που βρίσκονται οι εικόνες των μιγαδικών w = iz + ( i) z + 3. Έστω z = x + yi με y= x 3. Τότε z = x + (x 3)i w= i x + x 3i + i x x 3i + 3 Επομένως ( ) ( ) ( ) = xi (x 3) + x (x 3)i xi (x 3) + 3 = xi x + + x xi + 6x xi x + 3+ 3 = ( x) + ( 6 x) i Αν λοιπόν είναι w = u + vi, τότε έχουμε: u = x v = 6 x και με απαλοιφή του χ προκύπτει u v= 6 v= u 6 Άρα οι εικόνες του w βρίσκονται στην ευθεία δ :y= x 6
Άσκηση 7. Να λύσετε την εξίσωση: zz + z z + = 4 6i Αν z = x + yi με x,y R η εξίσωση γίνεται: (x yi)(x + yi) + x + yi (x yi) + = 4 6i x + y + x + yi x + yi + = 4 6i x + y + yi = 3 6i Άρα: x + y = 3 x + y = 3 x + ( 3) = 3 x = 4 x = y= 6 y= 3 y= 3 y= 3 y= 3 ή x = y= 3. Άρα οι λύσεις της εξίσωσης είναι οι αριθμοί: z = 3i, z = 3i
Άσκηση 8. Να βρείτε το σύνολο των εικόνων των μιγαδικών z στις περιπτώσεις κατά τις οποίες ο αριθμός z 3 w = είναι: z + 4i i) φανταστικός ii) πραγματικός Αν z = x + yi, με x,y R, τότε ο w γίνεται: x 3 + yi (x 3) + yi x (y + 4)i x(x 3) (x 3)(y + 4)i + xyi y(y + 4)i w = = = = x + (y+ 4)i x + (y+ 4)i x (y+ 4)i x + (y+ 4) x 3x y 4y xy xy 4x 3y x 3x y 4y 4x 3y + + + + + i= + + + + + x + (y + 4) x + (y + 4) x + (y + 4) x + (y + 4) Επομένως: i i) Ο w είναι φανταστικός αν και μόνο αν x 3x + y + 4y Re(w) = 0 = 0 x + (y + 4) Δηλαδή αν και μόνο αν x 3x + y + 4y = 0 () και x + (y + 4) 0 Η εξίσωση () με τη μέθοδο συμπλήρωσης τετραγώνου μετασχηματίζεται στην 3 5 x + ( y+ ) = και (x, y) (0, 4) Άρα το σύνολο των εικόνων του z είναι τα σημεία του κύκλου με κέντρο το 5 ακτίνα ρ= με εξαίρεση το σημείο A(0, 4). 4x + 3y + ii) w R Im(w) = 0 = 0 και x + (y + 4) x + (y + 4) 0 3 K, και Δηλαδή 4x + 3y + = 0 και (x, y) (0, 4) Άρα το σύνολο των εικόνων του z ειναι τα σημεία της ευθείας με εξίσωση 4x + 3y + = 0 με εξαίρεση το σημείο A(0, 4).
Άσκηση 9. Δίνεται η εξίσωση i) Να λύσετε την εξίσωση. z + z συνϑ + = 0, ϑ [0, π) ii) Να αποδείξετε ότι οι εικόνες των ριζών της εξίσωσης ανήκουν στο μοναδιαίο κύκλο. i) Βρίσκουμε τη διακρίνουσα Δ της εξίσωσης = β 4 αγ = ( συνϑ) 4 = 4συν ϑ 4 = 4( συν ϑ ) = 4ηµ ϑ 0 Διότι ηµ ϑ + συν ϑ = Άρα z, συνϑ ± i 4ηµ ϑ συνϑ ± i ηµϑ συνϑ + i ηµϑ = = = συνϑ i ηµϑ όπου ϑ [ 0, π) Επομένως z = συνϑ + ηµϑ i ή z = συνϑ ηµϑ i ii) Για z = x + yi, x, y R έχουμε: x + yi = συνϑ + ηµϑ i, Άρα x = συνϑ x = συν ϑ y = ηµϑ y = ηµ ϑ ( + ) + = x y Δηλαδή η εικόνα του z = συνϑ + ηµϑ i ανήκει στο μοναδιαίο κύκλο. Ομοίως x + yi = συνϑ ηµϑ i, Άρα x = συνϑ x = συν ϑ y = ηµϑ y = ηµ ϑ ( + ) + = x y Δηλαδή και η εικόνα του z = συνϑ ηµϑ i ανήκει στον μοναδιαίο κύκλο.
Άσκηση 0. Να αναλύσετε το μιγαδικό z = 5 + 3i σε άθροισμα δύο μιγαδικών z και z που οι εικόνες τους βρίσκονται στις ευθείες :y= x+, :y= x αντίστοιχα. Έστω z =α+β i και z =γ+δ i Επειδή οι εικόνες των z,z ανήκουν στις, αντίστοιχα θα ισχύουν: β=α+ και δ= γ Άρα z =α+ ( α+ )i και z =γ+ (γ )i Επίσης θα ισχύει z= z+ z 5 + 3i =α+ ( α+ ) i +γ+ (γ ) i 5 + 3i = ( α+γ ) + ( α+ γ ) i Άρα: α+γ= 5 α= 5 γ α= 5 γ α= 5 γ α= 7 α+ γ= 3 α+ γ= 3 5 γ+ γ= 3 γ= γ= Επομένως οι δύο μιγαδικοί είναι οι z = 7 + 8i και z = 5i
Άσκηση. Να γράψετε το μιγαδικό z = + 6i ως διαφορά δύο μιγαδικών z και z των οποίων οι εικόνες βρίσκονται στις ευθείες :y= x 3, :y= x αντίστοιχα. Έστω z =α+β i και z =γ+δ i Επειδή οι εικόνες των z,z ανήκουν στις, αντίστοιχα θα ισχύουν: β=α 3 και δ = γ Άρα ο z ( ) =α+ α 3iκαι z Επίσης θα ισχύει z= z z =γ γ i + 6i =α+ ( α 3) i ( γ γi) + 6i =α+ ( α 3) i γ+γi + 6i = ( α γ ) + ( α+γ 3) i Άρα: α γ= ( + ) α γ= α= 0 α= 5 α+γ 3= 6 α+γ= 9 α+γ= 9 γ= 4 Άρα οι δύο μιγαδικοί είναι οι z = 5 + i, z = 4 4i.
Άσκηση. Να αποδείξετε ότι η τιμή της παράστασης ν ν + i i A = + i + i είναι ίση με ( ) ν. Φέρνουμε τα δύο κλάσματα στη μορφή z = x + yi, δηλαδή + i + i + i + 4i + i 5i = = = = i i i + i + 5 και i i i i + + 4i 5i = = = = i + i + i i + 5 Άρα η παράσταση Α θα είναι ίση με: ( ) ( ) ( ) ( ) ν ν A i i i ν i ν ν ν ν ( ) = + = + = + =
Άσκηση 3. Αν z, w C και ισχύει: z + w = 0 να αποδείξετε ότι: 4λ+ 4λ+ z w 0, + = λ N ( ) ( ) 4λ+ 4λ+ 4λ+ λ+ 4λ+ λ+ z + w = z + w = z + z ( ) λ+ = = = 4λ+ 4λ+ 4λ+ z z z z 0
Άσκηση 4. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών z αν οι εικόνες των μιγαδικών, iz, z είναι σημεία συνευθειακά. Έστω z = x + yi, x, y R iz = i ( x + yi) = y + xi που έχει εικόνα το σημείο A( y, x) ( ) ( ) z x yi x y xyi x y xyi = + = + = + που έχει εικόνα το σημείο B( x y, xy) +. Τέλος η εικόνα του αριθμού είναι το σημείο Γ (, 0). Επίσης A ( y, x ), B ( x y, xy) Γ= + Γ=. y+ x A, B, Γ συνευθειακά, επομένως A Γ BΓ = 0 x y xy ( )( ) ( ) y + xy + x x y = 0 3 xy + xy + x xy = 0 ( ) x y + y+ x y = 0 ( ) x x + y + y = 0 ( x 0) = ή ( x y y 0) ( x 0) x+ y+ =. + + = = ή ( ) Άρα ο γεωμετρικός τόπος είναι η ευθεία x = 0 και ο κύκλος x + (y + ) =.
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ - ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΡΟΥ [Κεφ..3: Μέτρο Μιγαδικού Αριθμού σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β Άσκηση. Να βρείτε τα μέτρα των μιγαδικών: z = 3 4i (6+ 8i) α) ( ) z = 3+ i β) ( ) γ) z 3 5 i = + i z = 3 4i 6+ 8i = 3 4i 6+ 8i = α) Έχουμε ( )( ) ( ) 3 + 4 6 + 8 = 5 00 = 5 0 = 50. β) Έχουμε ( ) ( ) γ) Έχουμε z = 3+ i = 3+ i = 3 + = 4. z 3 5 i 5 i = = = i + + i ( 5) + ( ) 5 i 9 = =. + i + 5 ( )
Άσκηση. Να βρείτε τα μέτρα των μιγαδικών: α) β) z z = ( + i) ( 3 i) ( 4 3i) 3 = i 00 α) Έχουμε z ( + i ) 3 ( i) ( ) ( ) ( ) ( ) + i 3 i + i 3 i = = = = 4 3i 4 3i 4 3i ( ) + i 3 i + 3 + 0 = =. 4 3i 4 + 3 5 ( ) β) Έχουμε 00 00 3 3 3 z = i i = = + = 00 00 3 + = = 4 4 00.
Άσκηση 3. Να βρείτε τα μέτρα των μιγαδικών: α) β) 00 α i z =, α R α+ i 0 9+ 6αi α z =, α R 9 +α α) Έχουμε z 00 00 00 α i α i α+ i = = = = α+ i i α+ α+ i 00 =. β) Έχουμε ( ) ( ) z 0 ( 3+αi) ( ) 0 9+ 6αi α = = = 9 +α 9 +α 0 ( ) ( ) 0 0 3+α i 9 +α = =. 0 0 9+α 9+α
Άσκηση 4. Δίνεται z = z +, όπου z z x yi, x, y * = + R. Να δείξετε ότι Re( z ) =. 4 Είναι z = z + 4 z = z + 4z z = z + z + z z z z z z z z = + + + + + = + + = z z z z z z z z 4zz 4z z 0 z z 0 ( z + z ) = z + z = Re( z ) = Re( z ) =. 4
Άσκηση 5. Αν για τον μιγαδικό z ισχύει 3 z z, > να δείξετε ότι Re( z) 3 <. 4 Είναι ( ) ( ) 3 z > 4 z 3 z 3 z > 4z z 9 6z 6z + 4z z > 4z z 9 9 9 3 6z + 6z < 9 ( z + z) < Re( z) < Re( z) < Re( z ) <. 6 6 4
Άσκηση 6. Αν για τους μιγαδικούς z,w με z z w u = (z w) 0 0 0 είναι φανταστικός. w ισχύει z = w =, να δείξετε ότι ο μιγαδικός Ισχύει 4 4 z = z =,w = w =. z w Πρέπει u = u. 0 0 4 4 0 0 0 4 0 0 z w z w z w u = = = = 0 0 0 ( z w) 4 4 0 4 z w z w 0 0 0 0 w z w z = = u. 0 0 (w z) (z w) Άρα u I.
Άσκηση 7. Αν για το μιγαδικό z ισχύει 4 z = 7z, να δείξετε ότι 5 z R. Α' Τρόπος: 4 Έχουμε z = 7z () 4 4 4 3 άρα z = 7 z z = 7 z z = 7 z z ( z 7) = 0 (z = 0 ή 3 3 z = 3 ) (z = 0 ή z = 3). Αν z = 0 τότε z=0 και 9 5 z = 0 R. Αν z = 3 z = 9 z =. z 4 4 8 9 4 9 4 9 5 3 5 Οπότε η () γίνεται ( ) = 7z = 7z z z = z = = 3 R. 4 3 z z 7 3 5 Άρα z R. B' Τρόπος: Αν z= 0, τότε Αν z 0, τότε: 5 z = 0 R ( ) ( ) z = 7 z 4 8 4 4 5 4 5 8 5 5 z z z = 7 z z z = 7 z z = 7 z z = R. 7
Άσκηση 8. Να βρείτε τον z C, αν ισχύει: z+ = z και z = 5. Έχουμε z + = z z ( + 0i) = z ( + 0i). Επομένως η εικόνα του z = x + yi ανήκει στη μεσοκάθετο του τμήματος ΑΒ με άκρα A(, 0) και B(,0). Άρα ανήκει στην ευθεία x = (). Επειδή z = 5 η εικόνα των z ανήκει και στον κύκλο με εξίσωση x + y = 5 (). Επομένως έχουμε το σύστημα 9 x + y = 5 + y = 5 y = 4 4 x = x = x = Επομένως ( x = και 9 y = ) ή ( x = και 9 y = ) 9 9 Άρα οι ζητούμενοι μιγαδικοί είναι z = + i και z = i
Άσκηση 9. Να βρείτε τους μιγαδικούς z = x + yi, με x,y R για τους οποίους ισχύει: α) z i = 4z β) z (z + z)i = 8. α) Έχουμε z i = 4z x + yi i = 4( x yi) x + ( y ) i = 4x 4yi 4x + (y ) = 4x 4yi + = + = 4y= 0 y= 0 4x (y ) 4x 4x 4x Προφανώς πρέπει x 0 και έχουμε ισοδύναμα 4x + = 6x x = x = x = y= 0 y= 0 y 0 = y= 0 Άρα 3 z = + 0i = 6 β) z = x + y,z+ z= x. Άρα z (z + z)i = 8 (x + y ) xi = 8. Θα πρέπει ((x y ) 8 + = και x = 0). x = 0) (x + y = 4 και x = 0) (y = 4 και x = 0) (y =± και Άρα z = ± i. z R Άρα οι λύσεις της εξίσωσης είναι z + = i και z = i
Άσκηση 0. Να λύσετε την εξίσωση: z + (i + ) + z + = 0, z C. Έστω z = x + yi, με x,y R, τότε x + yi + i + + (x + ) + yi = 0 (x + ) + yi = (x + ) (y + )i ( x y ( x ) ( y ) + ) + = + i ( y = 0 και ( x ) y x ) + + = (y = και ( x ) x ) + + =, από τη δεύτερη ισότητα προκύπτει ότι x > 0 x<, οπότε: (y = και ( x + ) + = x ) (y = και ( ) ( ) (y = και Άρα z = i. x+ + = x ) x + 4 + 4x + = x + x + ) (y = και x = < ).
Άσκηση. Να υπολογίσετε τα μέτρα των παρακάτω μιγαδικών : α) z = ( 3 i) ( i) 3 5+ i β) z i = + i 00 z = + i + 3 7i γ) ( ) 3 3 α) z ( ) 3 3 ( ) ( ) ( 3 i) ( i) 3 ( ) 3 i i + + ( ) = = = = 5+ i 5+ i 5 + 3 3 6 = = = 6 6 5 β) 00 00 00 i i i z = 00 i = = = + + i + i z = + i + 3 7i = + 3i + 3i + i + 3 7i = + 3i 3 i + 3 7i = 5i. γ) Έχουμε ( ) 3 3 Άρα ( ) 3 3 z = + 5 = 6.
Άσκηση. Αν για το μιγαδικό z ισχύει z =, να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης Α= z+ i + iz+. ( ) ( ) ( ) ( ) Α= z + i + iz + = z + i z i + iz + iz + = = zz zi + zi + 4 + zz + zi zi + 4 = z + 8 = 0.
Άσκηση 3. Αν z, να δείξετε ότι: α) z + i = z 3i Im(z) = β) z + = z 4 Re(z) =. α) Α Τρόπος: z + i = z 3i z + i = z 3i ( z + i) ( z i) = ( z 3i) ( z + 3i) z z zi + zi + 4 = z z + 3zi 3zi + 9 ( ) 5zi = 5zi 5 z z i = Im(z) =. Β Τρόπος: Έχουμε z + i = z 3i z ( 0 i) = z ( 0 + 3i). Επομένως η εικόνα M(z) ανήκει στη μεσοκάθετο του ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ με άκρα A ( 0, ) και ( ) στην ευθεία + 3 y = =. Άρα Im(z) =. B 0,3. Επομένως ανήκει β) Α Τρόπος: z+ = z 4 z+ = z 4 ( z+ ) ( z+ ) = ( z 4) ( z 4) z z + z + z + 4 = z z 4z 4z + 6 6z+ 6z= z+ z= Re(z) = Re(z) =.
Β Τρόπος: Έχουμε z + = z 4 z ( + 0i) = z ( 4 + 0i). Επομένως η εικόνα M(z) ανήκει στη μεσοκάθετο του ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ με άκρα A ( 3, 0) και ( ) στην ευθεία + 4 x = =. Άρα Re(z) = B 4,0. Επομένως ανήκει
Άσκηση 4. Αν για τους μιγαδικούς αριθμούς z, w ισχύει z+ w = z + w, να δείξετε ότι Re(zw) 0. ( ) z+ w = z + w z+ w = z + w ( ) ( ) z+ w z+ w = z + z w + w zz + zw + wz + ww = z + z w + w zw + wz = z w zw + (zw) = z w Re(zw) = z w. Άρα Re(zw) 0.
Άσκηση 5. Να δείξετε ότι ο μιγαδικός αριθμός είναι φανταστικός ή z =. w = z με z 0 είναι φανταστικός αν και μόνο αν ο z z Ο w = z είναι φανταστικός αν και μόνο αν z w = w z z z = + z zz z zz z = + zz z zz z 0 + = zz( z+ z) ( z+ z) = 0 ( ) ( ) z + z zz = 0 z = z ή z =. Δηλαδή, ο z είναι φανταστικός ή z =.
Άσκηση 6. Να λυθούν στο οι εξισώσεις : α) z i = i z β) z z= 3 i α) Έστω z = x + yi με x,y. Τότε έχουμε: z i = i z x + yi i = i ( x yi) x + (y ) = y + xi x + (y ) = y (y ) = y y = y x = 0 x = 0 x = 0 Με y 0, y+ = y y= x = 0 x = 0. Άρα z= i. β) Έστω z = x + yi με x,y. Τότε έχουμε: z z= 3 i x + y x yi= 3 i + = + = + y = y = x y x 3 x x 3 ( ) με x + = x+ 3, x 3 x + = x + 6x + 9 y= y = 4 x = 3. Άρα y= 4 z= + i. 3
Άσκηση 7. Να λυθούν στο οι εξισώσεις : α) ( ) z+ i z+ z + 4= 0 β) z zi + zi + = 0 α) Έστω z = x + yi με x,y. Τότε έχουμε: ( ) ( ) z+ i z+ z + 4= 0 x + y+ 4x+ 4= 0 ( ) ( ) x + y+ = 0 x = και y=. Άρα z= i. β) Έστω z = x + yi με x,y. Τότε έχουμε: ( ) z zi+ zi+ = 0 z z z i+ = 0 ( ) x y yi 0 x y 0 x 0 και y Άρα z + + = + + = = =. = i.
ΘΕΜΑ Γ Άσκηση. Δίνονται οι μιγαδικοί z,w με z = και 4 3 z w = 6z 3 με 6z 3 0 z. Να βρείτε το + 3w. Έχουμε w ( 6z 3) = 3 z 6zw 3w = 3 z 6zw + z = 3+ 3w 3 + 3w 6w + z = 3 + 3w z =, w. 6w + 3 ( ) Άρα 3+ 3w 3+ 3w 3+ 3w 3w z = = = = 4 6w+ 4 3w+ 4 3w+ 4 ( ) ( ) = 3w + = 4. 3w + 4
Άσκηση. Να βρείτε το μέτρο του μιγαδικού z, αν ισχύει: z i = z + i. Επίσης αν z + i = z + + i να βρείτε το z+. Ισχύει z i z i ( z i ) ( z i) ( z i ) ( z i) = + + = + 4zz + zi zi + = z z zi + zi + 4 3zz = 3 z z = z = z =. Έστω w = z+ z= w έτσι z + i = z + + i ( w ) + i = w + + i w + i = w + i w i = w + i. Με βάση το προηγούμενο ερώτημα w = z + =.
Άσκηση 3. Αν για τους μιγαδικούς z,w ισχύει: z = 3w = z 3w. Να δείξετε ότι: 5 z + w = z. 3 Ισχύει: z = 3w = z 3w 4zz = 9ww = (z 3w)(z 3w) 4zz = 9ww = 4zz + 9ww 6wz 6wz 4 4zz = 4zz + 4zz 6(wz + zw) 6(wz + zw) = 4zz wz + zw = z () 6 Επίσης ισχύει: 4 4z = 9w w = z () 9 Άρα () () 4 z + w = (z + w)(z + w) = 4zz + ww + zw + zw = 4 z + z + (zw + zw) = 9 4 4 4 4 5 4 z + z + z = 4 z + z + z = z. 9 6 9 3 9 Άρα 5 z + w = z. 3
Άσκηση 4. Αν για τους μιγαδικούς z,z ισχύει: z+ z = z z. 3 z + z = 3z z. Να δείξετε ότι: Έστω M και M οι εικόνες των μιγαδικών 3 z και z αντιστοίχως. Το δεδομένο γράφεται 3 z + z = 3 z z και σημαίνει ότι ( OM ) ( OM ) ( M M ) + =. Επομένως M ˆ OM = 90 και το OMM3M είναι ορθογώνιο παραλληλόγραμμο. M M = OM. Επομένως ( ) ( ) 3 Άρα 3 z+ z = z 3 z 3 z + z = z 3 z ( 3 z z )( 3 z z ) ( z 3 z )( z 3 z ) + + = 3zz + 6zz + 6zz + zz = zz 6zz 6zz 3zz + 6zz + 6zz = 0 zz + zz = 0 () Η ισότητα που θέλουμε να αποδείξουμε γράφεται ισοδύναμα + = + = z z z z z z z z ( z z )( z z ) ( z z )( z z ) + + = zz + zz + zz + zz = zz zz zz + zz zz + zz = 0 zz + zz = 0 που ισχύει λόγω της ()
Άσκηση 5. Δίνονται οι μιγαδικοί z, w με z για τους οποίους ισχύουν: z = και z w = z +. Να υπολογιστεί το w. z w = w z + = z z+ Είναι ( ) w+ wz z = w z =, w. w Όμως ισχύει w+ z = = w w = w = w w ( ) ( ) ( ) ( ) w = w w w = w w 4ww w w + = ww w w + 4 3ww = 3 w = w =.
Άσκηση 6. Αν για το μιγαδικό z ισχύει z + i = z + + i, να βρείτε το z+. Θέτω w = z+ z= w. Τότε έχουμε w i = w + + i w i = w+ i ( ) ( ) ( ) ( ) w i = w i w i w + i = w i w + i w w + wi wi + 4 = 4w w + wi wi + 3w w = 3 w = w =. Άρα z+ =.
Άσκηση 7. Αν για το μιγαδικό z ισχύει z i= z+ i, να βρείτε το 3z + 5i. Θέτω w 5i w = 3z + 5i z =. Τότε έχουμε 3 w 5i w 5i z i = z+ i i = + i w 8i = w i 3 3 ( ) ( ) ( ) ( ) w 8i = 4 w i w 8i w + 8i = 4 w i w + i w w + 8wi 8wi + 64 = 4w w + 8wi 8wi + 6 3w w = 48 w = 6 w = 4. Άρα 3z + 5i = 4.
Άσκηση 8. 7 7 Αν για τον z ισχύει ( i) z = ( z + ) α) 5z= z+ να δείξετε ότι: β) z = 5 α) ( i) z 7 ( z ) ( i) z 7 ( z ) 7 7 = + = + 7 7 ( ) ( ) i z = z + i z = z + i z = z+ 5 z = z+. β) Θέτω w+ w = z z =. Τότε από την ισότητα του α) ερωτήματος έχουμε w+ w+ 5z= z+ 5 = + ( ) ( ) ( ) ( ) 5 w+ = w+ 5 5 w+ w+ = w+ 5 w+ 5 5ww + 5w + 5w + 5 = ww + 5w + 5w + 5 4ww = 0 w = 5 w = 5. Άρα z = 5.
Άσκηση 9. Αν για τους μιγαδικούς z, z ισχύει z = z = 3, να δείξετε ότι : α) ο β) ο w = u = z z 4 4 4 ( z z ) z + z ν ν ν ( z + z ) z με z με z, είναι φανταστικός. z, είναι πραγματικός. Επειδή 9 9 z = 3 z = 9 z z = 9 z =. Ομοίως προκύπτει z =. z z α) 4 4 9 9 z z 4 4 4 4 4 ( z 4 4 ) ( z) 9 z z z z ( z ) 9 9 4 ( z z) z w = = = = 4 4 4 z z 9 z z 4 4 z z z z = = = w 4 4 4 4 4 4 ( z z ) ( z z ). Άρα ο w είναι φανταστικός. β) ν 9 9 z + z ν ν ν + ( z) + ( z) 9 ν ν z z z z ( z ) 9 9 ( z z) + z ν + u = = = = z ν ν ν ν + z ν 9 z z ν ν ν z + z = = u. Άρα ο u είναι πραγματικός. ν ν ν ( z + z )
Άσκηση 0. Δίνονται οι μιγαδικοί z,z,z3 με z = z = z3 = ότι z + z + z 3 = 0. και z z z 3. Να δείξετε 3 Re + + = z z 3 z Επειδή z = z = z z = z =. Ομοίως προκύπτει z = και z3 =. z z z 3 Οπότε έχουμε: ( ) ( ) z + z + z = z + z + z z + z + z = 3 3 3 ( ) ( ) = z + z + z z + z + z = z z + z z + z z + z z + z z + z z + z z + z z + z z = 3 3 3 3 3 3 3 3 = z + z + z + zz + zz + zz + zz + zz + zz = 3 3 3 3 3 ( ) ( 3) ( 3 ) = 3+ Re z z + Re z z + Re z z = ( ) = 3+ Re zz + zz3+ z3z = 3+ Re z + z + z3 = z z3 z z z z 3 = 3+ Re + + = 3 3 = 0. z z3 z Επομένως z+ z + z3 = 0 z+ z + z3 = 0. Σημείωση: Απόδειξη της σχέσης Re(zz + zz3+ z3z ) = Re(zz ) + Re(zz 3) + Re(z3z ). Έστω z = x+ yi, z = x + yi και z3 = x3 + yi 3 με x,y,x,y,x 3,y3. Τότε z z = (x + y i)(x y i) = (x x + y y ) + (x y x y )i (). Ομοίως zz 3 = (xx 3+ yy) 3 + (xy 3 xy)i (), 3 zz 3 = (xx 3 + yy) 3 + (xy 3 xy)i (3). 3 Άρα z z + z z 3 + z 3 z = (x x + y y + x x 3 + y y 3 + x 3 x + y 3 y ) + (xy xy + xy 3 xy 3 + xy 3 xy)i 3. Οπότε (),(),(3) Re(zz + zz3+ z3z ) = xx + yy + x x3 + yy3+ x3x+ y3y = Re(zz ) + Re(zz 3) + Re(z3z ).
Άσκηση. Αν για τους μιγαδικούς z,z ισχύει z z = z = z, να δείξετε ότι z+ z = 9 z. Είναι z z = z = z z z = z ( ) ( ) z z z z = z z zz zz zz + zz = zz zz + zz = z () ( ) ( ) z + z = z + z z + z = zz+ zz + zz+ 4zz = ( ) () + + + = z zz z z 4z z + z + 6 z = 9 z z + z = 9 z.
Άσκηση. 3 Αν για τους μιγαδικούς z,z,z 3 ισχύει z = z = z 3 = 3 και z+ z + z3 =, τότε να δείξετε ότι zz + zz 3+ zz 3= 3z+ z+ z3 3. Για το μιγαδικό 9 z = 3 z = 9 z z = 9 z = z. z ισχύει: ( ) ( ) 9 9 Ομοίως ισχύουν z = και z3 = z z. 3 Τότε έχουμε: 3z+ z + z3 3= 3z + z + z3 = ( z ) ( z3 ) + ( z ) ( z3 ) + ( z ) ( z ) ( ) ( ) ( ) 9 9 9 3 + + = 7 = z z z z z z 3 3 3 ( ) zz + zz 3 + zz 3 z+ z + z3 + 3 = 7 = z z z 3 = (zz + zz 3 + zz 3) z ( + z + z3) + 3= ( zz + zz 3+ zz 3) + 3 = = zz + zz 3+ zz 3= zz + zz 3+ zz 3.
Άσκηση 3. Να βρεθεί ο μιγαδικός αριθμός z για τον οποίο ισχύουν ταυτόχρονα : z+ 3 = z+ 3i και z+ i = z i. = +. Τότε x yi 3 x yi 3i ( x 3) y x ( y 3) Έστω z x yi ( x 3) y x ( y 3) + + = + + + + = + + + + = + + x + 6x + 9 + y = x + y + 6y + 9 x = y () και ( ) ( ) ( ) x yi i x yi i x y x y + + = + + + = + ( ) ( ) ( ) x y x y + + = + x + y + y+ = x x + + y 4y+ 4 x+ 6y= 4 x+ 3y= (). Λύνοντας το σύστημα των εξισώσεων () και () προκύπτει ότι x = y=. Άρα z= + i.
Άσκηση 4. Να βρεθεί ο μιγαδικός αριθμός z για τον οποίο ισχύει: z = z i =. Είναι z = και z i =. Αν z = x + yi, τότε έχουμε : x + y = x + y = x + y = x + ( y ) = x + ( y ) = x + y y+ = 3 3 x + = x + y = x = ή x = 4. y = y = y = Άρα 3 3 z= + i ή z= + i.
Άσκηση 5. Να βρεθεί ο μιγαδικός αριθμός z για τον οποίο ισχύει: z i + z i = z + 3i i +. z i + z i = z + 3i i + z i = ( ) και z = z + 3i (). Αντικαθιστώντας z = x + yi έχουμε: () (x ) + (y ) = x x + + y 4y + 4 = 8 x + y x 4y = 3 (3) () (x ) + y = (x + ) + (y 3) x 4x + 4 + y = x + x + + y 6y + 9 y = x + (4) Λύνοντας το σύστημα των εξισώσεων (3) και (4) προκύπτει (x = 3 και y = 4) ή ( x = και y = 0). Άρα z = 3 + 4i ή z =.
Άσκηση 6. Για οποιουσδήποτε μιγαδικούς z, w να δείξετε ότι z+ w 6z + 3w. Είναι z+ w 6z + 3w ( z+ w) ( z+ w) 6zz 3ww 0 zz + zw + wz + ww 6zz 3ww 0 4zz zw wz + ww 0 z( z w) w ( z w) 0 ( z w) ( z w) 0 ( ) ( ) z w z w 0 z w 0 που ισχύει.
Άσκηση 7. Αν για τους μιγαδικούς z, w ισχύει z και w, να δείξετε ότι z + w + zw. z+ w + zw z + w + zw ( z+ w) ( z+ w) ( + zw) ( + zw) 0 zz+ zw + wz + ww wz zw zw zw 0 + zwzw zz ww 0 zz ww( zz) 0 ( zz) ( ww) 0 ( ) ( ) z w 0 που ισχύει διότι z z z 0 και w w w 0.
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΤΟΥ ΜΕΤΡΟΥ - ΤΡΙΓΩΝΙΚΗ ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ [Κεφ..3: Μέτρο Μιγαδικού Αριθμού του σχολικού βιβλίου] ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση. ΘΕΜΑ Β Δίνονται οι μιγαδικοί z,w με z = 3 και w = 6 + 8i. Να δείξετε ότι: 7 z + w 3 Ισχύει z w z+ w z+ w. Όμως z = 3 και Άρα 3 0 z + w 3 + 0 7 z + w 3 w = 6 + 8 = 0.
Άσκηση. Δίνονται οι μιγαδικοί z,w με z = 4 και w = 3 4i. Να δείξετε ότι: z w 9 Ισχύει z w z+ w z + w (). Ακόμα w = 9 + 6 = 5. Θέτουμε στην () όπου w το -w και έχουμε: z w z w z + w. Όμως w = w, έτσι: z w z w z + w δηλαδή 4 5 z w 4+ 5 z w 9
Άσκηση 3. Αν για τον μιγαδικό z ισχύει z 3i = 3, να δείξετε ότι: z 4 8 Γράφουμε z 4 = ( z 3i) + ( 3i 4 ), οπότε z 3i 3i 4 ( z 3i) + ( 3i 4) z 3i + 3i 4 δηλαδή 3 5 z 4 3+ 5 z 4 8
Άσκηση 4. Αν για τον μιγαδικό z ισχύει z 6i 4 να δείξετε ότι: 6 z + 8 4 Είναι z + 8 = ( z 6i) + ( 6i + 8 ). Άρα z 6i 8 + 6i ( z 6i) + ( 6i + 8) z 6i + 8 + 6i (). Όμως z 6i 4 z 6i 0 6 z 6i 8 + 6i 6 άρα 6 z 6i 8 + 6i () και z 6i 4 z 6i + 0 4 z 6i + 8 + 6i 4 (3) Από τις (),(),(3) προκύπτει ότι 6 z 6i (z 6i) + (6i + 8) z 6i + 6i + 8 4 Δηλαδή 6 z + 8 4. Β τρόπος επίλυσης Ο σκιασμένος κυκλικός δίσκος με κέντρο Κ (0, 6) και ακτίνα 4, είναι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών z για τους οποίους ισχύει: z 6i 4 Το σημείο Α αντιστοιχεί στον μιγαδικό 8+ 0i Τα Β και Γ είναι τα σημεία τομής του κύκλου με την ευθεία ΑΚ. Έχουμε ( ΑΚ ) = 8 + 6 = 0, (ΑΒ) = 0-4 = 6 και (ΑΓ) = 0 + 4 = 4
Όμως (ΑΒ) (ΑΜ) (ΑΓ) Άρα 6 z + 8 4
Άσκηση 5. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών z για τον οποίο ισχύει: α) z 3 = z+ 4 β) z 3 z+ 4 γ) 3 4 +,z 0 z z δ) z 4i = z 0i και Re(z) 3 Έστω z= x+ yi,x,y R α) Έχουμε z 3 = z+ 4 z 3 = z+ 4 (z 3)(z 3) = (z+ 4)(z+ 4) zz 3z 3z + 9 = zz + 4z + 4z + 6 7(z + z) = 7 z + z = Re(z) = Re(z) = x =. Άρα οι εικόνες του z κινούνται στην ευθεία x =. β) Έχουμε z 3 z+ 4 ή z (3 + 0i) z ( 4 + 0i). Άρα ο γεωμετρικός τόπος είναι το ημιεπίπεδο που ορίζει η μεσοκάθετος του ΑΒ όταν Α(3,0) και Β(-4,0) δηλαδή η ευθεία x = όπως βρήκαμε και στο α) ερώτημα με το σημείο Α(3,0). γ) Είναι 3 4 z 3 z+ 4 + z 3 z+ 4,z 0. Δηλαδή έχουμε το β) ερώτημα. z z z z δ) Είναι z 4i = z 0i (z 4i)(z + 4i) = (z 0i)(z + 0i) zz + 4zi 4zi + 6 = zz 0zi + 0zi + 00 6(z z)i = 84 6i Im(z) = 84 y = 84 y = 7. Άρα οι εικόνες του z κινούνται στην ευθεία y=7. Όμως Re(z) 3 για αυτό τελικά οι εικόνες κινούνται στην ημιευθεία y=7 με αρχή Α(3,7).
Άσκηση 6. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών z για τον οποίο ισχύει: α) z = 3 β) z 4 = 3 γ) z 4i = 3 δ) z (4 + 4i) = 3 α) Έστω z= x+ yi,x,y R τοτε κύκλος κέντρου K (0,0) και ακτίνας ρ = 3. z = 3 x + y = 3. Έτσι ο γεωμετρικός τόπος είναι β) Είναι z (4 + 0i) = 3. Άρα ο γεωμετρικός τόπος είναι κύκλος κέντρου K (4,0) και ακτίνας ρ = 3 δηλαδή ο κύκλος με εξίσωση (x 4) + y = 9. γ) Είναι z (0 + 4i) = 3. Άρα ο γεωμετρικός τόπος είναι κύκλος κέντρου K 3(0, 4) και ακτίνας ρ 3 = 3 δηλαδή ο κύκλος με εξίσωση x + (y 4) = 9. δ) Είναι z (4 + 4i) = 3. Άρα ο γεωμετρικός τόπος είναι κύκλος κέντρου K 4(4, 4) και ακτίνας ρ 4 = 3 δηλαδή ο κύκλος με εξίσωση (x 4) + (y 4) = 9.
Άσκηση 7. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των Μ(x,y) για τα οποία ισχύουν: z= ( x ) + ( y+ i ) και z 4 + 3i = 6 Είναι z 4 + 3i = 6 ( x ) + ( y + ) i 4 + 3i = 6 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x 5 + y+ 5 i = 6 x 5 + y+ 5 i = 6 x 5 + y+ 5 = 6. Άρα ο γεωμετρικός τόπος είναι κύκλος κέντρου Κ(5,-5) και ακτίνας 6.
Άσκηση 8. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων του μιγαδικού z για τον οποίο ισχύει: α) z < 3 β) < z + 6i < 4 α) Είναι z < 3. Έστω z=x+yi x, y R τότε x + y < 9. Άρα ο γεωμετρικός τόπος είναι όλα τα σημεία τα εσωτερικά του κύκλου κέντρου Ο(0,0) και ακτίνας 3. β) Είναι < z + 6i < 4 < z + 3i < < z ( 3i) <. Άρα ο γεωμετρικός τόπος είναι τα σημεία του κυκλικού δακτυλίου που δημιουργείται από δύο ομόκεντρους κύκλους κέντρου Κ(,-3) και ακτίνων ρ = και ρ =.
Άσκηση 9. 00 00 Αν για το μιγαδικό z ισχύει ( z ) ( z ) = + να αποδείξετε ότι η εικόνα του ανήκει σε κύκλο του οποίου να υπολογίσετε το κέντρο Κ και την ακτίνα ρ. Έστω z= x+ yi,x,y R 00 00 Έχουμε ( z ) ( z ) = + τότε 00 00 z = z + ( ) ( ) ( ) ( ) z = z + z = z + z z = z + z + ( ) 4 z z z+ = z + z+ z+ 3 z 3 z+ z = 0 3x + 3y 3 x = 0 x + y x = 0 (x ) + y = Άρα ο γεωμετρικός τόπος είναι κύκλος με κέντρο Κ(,0) και ακτίνα ρ=
Άσκηση 0. Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί z, w με z = 4 και w = 5 + i. Να αποδείξετε ότι 9 z + w 7. Από τριγωνική ανισότητα έχουμε: z w z+ w z + w () Είναι z = 4 και w = ( 5) + = 69 = 3, οπότε από () έχουμε: 4 3 z + w 4 + 3 9 z + w 7
Άσκηση. Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί z, w με z = 8 + 6i και w = 3. Να αποδείξετε ότι 4 3z + w 36. Από τριγωνική ανισότητα έχουμε: 3z w 3z + w 3z + w 3z w 3z+ w 3z+ w () Είναι z = ( 8) + 6 = 00 = 0 και w = 3, οπότε από () έχουμε: 3 0 3 3z + w 3 0 + 3 4 3z + w 36
Άσκηση. Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί z, w με z = και w = 3+ i. Να αποδείξετε ότι z w 3. Από τριγωνική ανισότητα έχουμε: z w z+ w z + w () Αν στην () θέσουμε, όπου w το z w z + ( w) z + w w έχουμε: Είναι w = w, οπότε ισχύει: z w z w z + w () Είναι z = και ( ) w = 3 + = 4 =, οπότε από () έχουμε: z w + z w 3
Άσκηση 3. Αν z και z + 3i =, να αποδείξετε ότι 3 z 5 + 7i 7. Είναι z 5+ 7i = (z + 3i) + ( 3+ 4i) = z+ z, όπου z = z + 3i και z = 3 + 4i. Από τριγωνική ανισότητα έχουμε: z z z+ z z + z () Είναι z = z + 3i = και 5 z+ z + 5 3 z 5 7i 7 z 3 4i ( 3) 4 5 5 = + = + = =, οπότε από () έχουμε:
Άσκηση 4. Αν z και z+ i = 6, να αποδείξετε ότι 4 z + 9 4i 6. Έχουμε z + i = z + + i = z + + i = z + + i. Άρα z + + i = 6. Είναι z + 9 4i = (z+ + i) + (8 6i) = z+ z, όπου z = z+ + i και z = 8 6i. Από τριγωνική ανισότητα έχουμε: z z z+ z z + z () Είναι z = z+ + i = 6 και z 8 6i 8 ( 6) 00 0 = = + = =, οπότε από () έχουμε: 6 0 z+ z 6 + 0 4 z + 9 4i 6
Άσκηση 5. Αν z και z 4 i 3, να αποδείξετε ότι z + i 8. Είναι z+ i = (z 4 i) + (4 + 3i) = z+ z, όπου z = z 4 i και z = 4 + 3i. Από τριγωνική ανισότητα έχουμε: z z z+ z z + z () Είναι z = z 4 i 3 z 5, άρα z 5 και οπότε από () έχουμε: z 4 3i 4 3 5 5 = + = + = =, z 5 z+ z z + 5 3 5 z+ z 3+ 5 z+ i 8
Άσκηση 6. Αν z,w, z + i 3 και w 4 + 5i, να αποδείξετε ότι z w 9. Είναι z w = (z+ i) (w 4 + 5i) + ( 4 + 3i) = z z + z3, όπου z = z+ i, z = w 4 + 5i και z3 = 4+ 3i. Από τριγωνική ανισότητα έχουμε: ( ) z z + z = z z + z z z + z z + z + z, για κάθε z,z,z3 () 3 3 3 3 Είναι z = z+ i 3, z = w 4 + 5i και z3 = 4 + 3i = ( 4) + 3 = 5 = 5, οπότε από () έχουμε: z z + z3 3+ + 5 z w 9
Άσκηση 7. Να αποδείξετε ότι οι εικόνες των ριζών της εξίσωσης κορυφές ισοπλεύρου τριγώνου. 3 z 8= 0 στο μιγαδικό επίπεδο είναι Είναι: ( )( ) ( )( ) 3 3 3 z 8 0 z 0 z z z 0 z z z 4 0 = = + + = + + = ± i 3 z = 0 ή z + z+ 4= 0 z= ή z= z= ή z= ± i 3 Άρα η εξίσωση 3 z 8= 0 έχει ρίζες τους αριθμούς z =, z = + i 3 και z3 = i 3. Έστω Α, Β, Γ οι εικόνες των μιγαδικών z, z και z 3 αντίστοιχα στο μιγαδικό επίπεδο. Είναι: ( ) ( ) ( ΑΒ ) = z z = + i 3 = 3 i 3 = 3 + 3 = = 3 () 3 ( ) ( ) ( ΒΓ ) = z z = + i 3 i 3 = 3i = 3 i = 3 () 3 ( ) ( ) ( ΓΑ ) = z z = i 3 = 3 i 3 = ( 3) + 3 = = 3 (3) Από (), () και (3) έχουμε ( ΑΒ ) = ( ΒΓ ) = ( ΓΑ ), οπότε το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισόπλευρο.
Άσκηση 8. Έστω z μιγαδικός αριθμός τέτοιος ώστε z και έστω w z 4. α) Να δείξετε ότι οι εικόνες του w στο μιγαδικό επίπεδο ανήκουν σε κύκλο του οποίου να βρεθεί η εξίσωση. β) Να βρείτε την ελάχιστη και τη μέγιστη τιμή του μέτρου z w. w 4 α) Έχουμε w z 4 z. Επομένως w 4 z z w 4 w 4 w ( 4 0i). Άρα οι εικόνες του w στο μιγαδικό επίπεδο ανήκουν στον κύκλο με κέντρο K( 4,0) και ακτίνα R. Ο κύκλος αυτός έχει εξίσωση x 4 y β) Επειδή ισχύει z, ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του z στο μιγαδικό επίπεδο είναι ο κύκλος με κέντρο O(0,0) και ακτίνα. Επειδή z w z (z 4) z 4 z 4, η απόσταση των εικόνων των z και w είναι ίση με την απόσταση της εικόνας του z από το σημείο M(4,0). Άρα η ελάχιστη τιμή του μέτρου z w είναι ίση με 3 και η μέγιστη τιμή του z w είναι ίση με 5 (όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα) Σχόλιο: Επειδή ο w εξαρτάται από τον z, δεν μπορούμε να πούμε ότι το ελάχιστο του z w είναι ίσο με το μήκος του τμήματος ΒΓ, δηλαδή ίσο με (όπως ίσως μπορεί λαθεμένα να συμπεράνει κάποιος βασιζόμενος μόνο στο σχήμα ), αφού, όταν ο z έχει την εικόνα του στο Β (δηλαδή είναι z ), τότε w ( ) 4 6, οπότε ο w έχει την εικόνα του στο σημείο Δ. Αντίστοιχες σκέψεις ισχύουν και για το μέγιστο του z w.
ΘΕΜΑ Γ Άσκηση. Αν z,w, να αποδείξετε ότι: α) z z w + z+ w β) w z w + z+ w γ) z + w z w + z+ w α) Από τριγωνική ανισότητα έχουμε: z+ z z + z, για κάθε z,z C () Αν θέσουμε z = z wκαι z = z+ w, τότε από τη σχέση () έχουμε: (z w) + (z+ w) z w + z+ w z z w + z+ w z w + z+ w z z w+ z+ w z () β) Από τριγωνική ανισότητα έχουμε: z z z + z, για κάθε z,z C (3) Αν θέσουμε z = z w και z = z+ w, τότε από τη σχέση (3) έχουμε: (z w) (z+ w) z w + z+ w w z w + z+ w z w + z+ w w z w+ z+ w w (4) γ) Αν προσθέσουμε κατά μέλη τις σχέσεις () και (4) έχουμε: z w + z+ w z + w z + w z w + z+ w
Άσκηση. Έστω Α, Β, Γ οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών z,w,uαντίστοιχα στο επίπεδο. Αν 00w + u z = () και w u, να αποδείξετε ότι: 0 α) Τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά. β) w z < w u γ) Το σημείο Α είναι εσωτερικό σημείο του ευθυγράμμου τμήματος ΒΓ. α) Αρκεί να δείξουμε ότι: Τα σημεία Α, Β, Γ είναι διαφορετικά μεταξύ τους ανά δύο. ( ΒΑ ) + ( ΑΓ ) = ( ΒΓ ) δηλαδή w z + z u = w u. Είναι: Από υπόθεση είναι w u, άρα Β Γ. Αν υποθέσουμε ότι z = w, τότε από τη σχέση () έχουμε 00w + u w = 0 0w = 00w + u w = u, άτοπο. Άρα z w, οπότε Α Β. Αν υποθέσουμε ότι z = u, τότε από τη σχέση () έχουμε 00w + u u = 0 00w + u = 0u 00w = 00u w = u, άτοπο. Άρα z w, οπότε Α Γ. Επομένως τα Α, Β, Γ είναι τρία σημεία διαφορετικά μεταξύ τους ανά δύο. 00w + u 00w + u ( ΒΑ ) + ( ΑΓ ) = w z + z u = w + u = 0 0 0w 00w u 00w + u 0u w u 00 w u = + = + = 0 0 0 0 0 w u = = w u = ( ΒΓ ) 0
β) Τα σημεία Α, Β, Γ είναι διαφορετικά μεταξύ τους ανά δύο και ικανοποιούν τη σχέση ( ΒΑ ) + ( ΑΓ ) = ( ΒΓ ) (), άρα ( ΒΑ ) < ( ΒΓ ) (3), οπότε w z < w u. γ) Από τις σχέσεις () και (3) συμπεραίνουμε ότι το Α είναι εσωτερικό σημείο του ευθυγράμμου τμήματος ΒΓ.
Άσκηση 3. Έστω οι μιγαδικοί αριθμοί z = +συν( π t) + ( 5 +ηµ ( πt) ) i, t [ 0, + ). α) Να αποδείξετε ότι z 5i =. β) Να βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή του z. γ) Να εξετάσετε αν υπάρχει t [ 0, + ) τέτοιος, ώστε η εικόνα του z να βρίσκεται πάνω στην ευθεία με εξίσωση δ :y= x. δ) Έστω w τέτοιος, ώστε w = w i. Να αποδείξετε ότι 3 z w. α) Είναι z 5i = συν( π t) + i ηµ ( π t) = συν ( π t) + ηµ ( π t) =. β) Επειδή z ( + 5i) =, η εικόνα M(z) κινείται στον κύκλο C με κέντρο K (,5) και ακτίνα ρ=. Καθώς η εικόνα M(z) κινείται στον κύκλο C, διαπιστώνουμε ότι ισχύει : ( OM ) ( OM) ( OM ) ( OM ) z ( OM ), όπου M,M είναι τα σημεία τομής της ευθείας ΟΚ και του κύκλου C. Επομένως: Η ελάχιστη τιμή του z είναι: min z = ( OK) ρ= 9 Η μέγιστη τιμή του z είναι max z = ( OK) +ρ= 9 +
5 3 γ) Βρίσκουμε την απόσταση d(k, δ ) = = > =ρ, άρα ο κύκλος C και η ευθεία δ δεν έχουν κοινό σημείο, επομένως δεν υπάρχει εικόνα M(z) η οποία να ανήκει στην ευθεία δ. δ) Επειδή w = w i, η εικόνα N(w) κινείται στην ευθεία δ : y= x. Καθώς η εικόνα M(z) κινείται στον κύκλο C και η εικόνα N(w) κινείται στην ευθεία δ : y ότι η ελάχιστη τιμή του z w = ( MN) είναι 3 3 min z w = ( M0N0) = d ( K, δ ) ρ= =. = x διαπιστώνουμε Επομένως ισχύει: 3 z w.
ΘΕΜΑ Δ Άσκηση. Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί z,z,z 3,διαφορετικοί ανά δύο, που ικανοποιούν τη σχέση z z 3 = i z z3. Αν ΑΒΓ,, οι εικόνες τους αντίστοιχα στο μιγαδικό επίπεδο, να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισόπλευρο. Είναι: 3 z 3 z 3 = i = i = + z z z z z z3 z z3 z z3 z z z z 3 = z z = z z ( ΑΒ ) = ( ΒΓ) (). 3 Χρησιμοποιώντας τη γνωστή ιδιότητα των αναλογιών έχουμε: α γ α+β γ+δ = = β δ β δ, με βδ, 0, z z 3i z z + z z 3i+ z z 3i z z z z z z 3 3 = = = 3 3 3 3 3 z z3 3 z z 3 z z = i = + = z z3 z z3 z z3 z z3 = z z 3 ( ΑΓ ) = ( ΒΓ ) (). Από () και () έχουμε ( ΑΒ ) = ( ΒΓ ) = ( ΑΓ ), οπότε το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισόπλευρο.
Άσκηση. Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί z, w, οι οποίοι ικανοποιούν τη σχέση z i w =,z i. iz + α) Να αποδείξετε ότι (w + i)(z i) =. β) Αν η εικόνα του z κινείται στον κύκλο γραμμή πάνω στην οποία κινείται η εικόνα του w. γ) Να αποδείξετε ότι z w 5. δ) Να αποδείξετε ότι z+ w 3. C με κέντρο ( 0,) Κ και ακτίνα ρ =, να βρείτε τη α) Είναι: z i z i (z i) i w + i = + i = = = i(z i) i(z i) i(z i) z i Άρα (w + i)( z i) = (z i) =. z i β) Είναι: z (0 + i) = z i = και από το (α) ερώτημα έχουμε (w + i)(z i) = w + i z i = w + i =. Άρα η εικόνα του w κινείται στον κύκλο C με κέντρο ( 0, ) Λ και ακτίνα ρ =. γ) Ο αριθμός z w εκφράζει την απόσταση ενός σημείου του κύκλου C από ένα σημείο του κύκλου C. Είναι ( OB) z w ( AΓ) d ( ρ +ρ) z w d + ( ρ +ρ) z w 5 αφού d = ( ΚΛ ) = 3 και ρ +ρ = + =.
δ) Έχουμε z + w 3 z ( w) 3. Οι εικόνες των μιγαδικών w και w στο μιγαδικό επίπεδο είναι σημεία συμμετρικά ως προς την αρχή των αξόνων Ο ( 0,0), οπότε οι εικόνες των μιγαδικών w κινούνται σε κύκλο 3 C με κέντρο ( 0,) ίδια συμμετρία. Α και ακτίνα ρ= 3, που είναι ο συμμετρικός κύκλος του C στην Η μέγιστη απόσταση των κύκλων C, C 3 είναι η ( Ο ) = 3, οπότε z+ w 3.
Άσκηση 3. Έστω z,w C με zw 0 και z zw + w = 0 (). Να αποδείξετε ότι: α) z+ w 0 και 3 3 z + w = 0. β) Οι εικόνες Α, Β αντίστοιχα των μιγαδικών z,w και η αρχή των αξόνων O(0, 0) είναι κορυφές ισοπλεύρου τριγώνου. γ) Οι εικόνες Α, Β, Γ αντίστοιχα των μιγαδικών z,w, w είναι κορυφές ορθογωνίου τριγώνου με υποτείνουσα την ΒΓ. δ) 0 0 z w + = w z α) Αν υποθέσουμε ότι z+ w = 0, τότε z= wκαι από τη σχέση () έχουμε: ( w) ( w) w + w = 0 3w = 0 w = 0, που είναι άτοπο. Άρα z+ w 0. Αν πολλαπλασιάσουμε και τα δύο μέλη της σχέσης () με z+ w 0έχουμε: 3 3 (z + w)(z zw + w ) = 0 (z + w) z + w = 0 () 3 3 β) Από τη σχέση () έχουμε z = w, οπότε 3 3 3 3 3 3 z = w z = w z = w z = w (3). Αν αφαιρέσουμε και από τα δύο μέλη της () το zw έχουμε: z zw + w = zw (z w) = zw, οπότε (z w) zw z w zw = = (3) z w = z w z w = z = w z w = z = w (AB) = (OA) = (OB). Άρα το τρίγωνο ΟΑΒ είναι ισόπλευρο.
γ) Αρκεί να δείξουμε ότι (AB) + (A Γ ) = ( ΒΓ ), όπου (AB) = z w, (A Γ ) = z+ w και ( ΒΓ ) = w. Είναι: (AB) (A ) z w z w + Γ = + + = = (z w)(z w) + (z+ w)(z+ w) = = (z w)(z w) + (z+ w)(z + w) = ( ) = zz zw zw+ ww+ zz+ zw+ zw+ ww= z + w = 4w = w = ( ΒΓ ) δ) Είναι 3 3 3 3 3 3 z z z + w = 0 z = w = = 3 0 3 670 670 = = ( ) = z z z z z w w w w w w w, ομοίως w z, οπότε 0 w =. z Άρα 0 0 () z w z w z + w zw + = + = = =. w z w z zw zw
Άσκηση 4. Έστω z,w με zw 0, 4z + w = και z = (). Να αποδείξετε ότι: w z α) z w =± i 3z. β) Οι εικόνες Α, Β αντίστοιχα των μιγαδικών z,w και αρχή των αξόνων O(0, 0) είναι κορυφές ορθογωνίου τριγώνου. γ) δ) 3 3 z w = = w z 0 0 z w + = w z α) Είναι 4z w 4z w zw 3z z zw w 0 3z (z w) 0 w + = + = + + = + = z (z w) = 3z (z w) = (i 3z) z w =± i 3z (). β) Από τη σχέση () έχουμε: () z w= ± i 3z z w= 3 i z z w = 3 (AB) = 3 z± i 3z= w w = (± i 3)z (3), οπότε w = (± i 3)z w = ± i 3 z w = w = (OB) = Είναι (AB) + (OA) = z w + z = ( 3 ) + = 4 και (OB) = w = = 4, άρα (AB) + (OA) = (OB), οπότε το τρίγωνο ΟΑΒ είναι ορθογώνιο. γ) Από τη σχέση (3) έχουμε: w i 3 z = + ή w i 3 z =. Αν w i 3 z = +, τότε: w 3 = + i και z 3 3 w 3 3 3 9 3 3 8 = + i = + i i = = z 8 8 8 8 8
z ( i 3) ( i 3) 3 = = = = i w + i 3 (+ i 3) ( i 3) 4, οπότε 3 3 z 3 3 3 9 3 3 8 = i = i + i = = w 8 8 8 8 8 Αν w i 3 z =, τότε ομοίως βρίσκουμε ότι 3 3 z w = =. w z δ) Είναι 0 0 3 670 3 670 z w z z w w + = + = w z w w z z 670 z 670 w z w z w 4z w = ( ) + ( ) = + = + = + = = w z w z w z w z
Άσκηση 5. Έστω z μιγαδικός αριθμός. Θεωρούμε τη συνάρτηση f ( z) = iz. =, να αποδείξετε ότι o z είναι πραγματικός. =, να βρείτε το γεωμετρικό τόπο της εικόνας του z. γ) Aν z,z είναι δύο μιγαδικοί με f( z) = f( z) =, να αποδείξετε ότι z z. i δ) Θεωρούμε τον μιγαδικό w =. Nα βρείτε τους μιγαδικούς z που ικανοποιούν τις α) Aν ισχύει f( z) f( z) β) Αν f( z) σχέσεις f( z) = και z-w =. α) Από τη σχέση f( z) f( z) = έχουμε ( )( ) ( )( ) iz = iz iz = iz iz iz = iz iz z = x + yi iz iz = 0 i z z = 0 z = z x + yi = x yi yi = 0 y = 0, άρα z. ( ) β) f( z) = z = x + yi iz = i(z+ i) = i z+ i = z+ i = z ( i) = ( ) x + y+ = (), άρα ο γεωμετρικός τόπος της εικόνας του z είναι κύκλος με κέντρο το 4 σημείο K( 0, ) και ακτίνας ρ=. γ) Οι μιγαδικοί z,z ανήκουν στον παραπάνω κύκλο, επομένως το z z εκφράζει το μήκος της χορδής με άκρα τις εικόνες των z,z, που είναι μικρότερο ή ίσο της διαμέτρου του παραπάνω κύκλου. Δηλαδή z z. i δ) H σχέση z w =, δηλαδή z = «δηλώνει» κύκλο κέντρου R =. Eπομένως αρκεί να βρούμε τα κοινά σημεία των κύκλων: Λ 0, και ακτίνας ( ) + + = και 4 C:x y C :x + y =
3 3 Κατ αρχάς παρατηρούμε ότι ( ΚΛ ) = (0 0) + + = και ρ+ R = + = δηλαδή ( ΚΛ ) = ρ + R, οπότε οι δύο κύκλοι εφάπτονται και μάλιστα εξωτερικά. Λύνουμε το σύστημα: ( ) x + y+ = 4 + = x y και βρίσκουμε ένα κοινό σημείο το Μ 0,, δηλαδή z= 0 i= i.
Άσκηση 6. Αν για το μιγαδικό αριθμό z ισχύει z 4 3i =, τότε: α) Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο της εικόνας του z. β) Να βρείτε την ελάχιστη και τη μέγιστη τιμή του z. γ) Ποιος μιγαδικός αριθμός z έχει το ελάχιστο και ποιος το μέγιστο μέτρο; δ) Αν z,z είναι δύο μιγαδικοί του προηγούμενου γεωμετρικού τόπου, να αποδείξετε ότι z z 4. ε) Αν z,z είναι δύο μιγαδικοί του προηγούμενου γεωμετρικού τόπου τέτοιοι, ώστε z z = 4, να αποδείξετε ότι z+ z = 0. α) Έστω z = x+ yi, x,y με εικόνα στο επίπεδο το σημείο M(x, y). Είναι z 4 3i = z ( 4 + 3i ) = ( ΜΚ ) =, όπου Μ=Μ(z) η εικόνα του z και Κ (4,3). Παρατηρούμε ότι η εικόνα Μ του μιγαδικού αριθμού z απέχει από το σταθερό σημείο Κ (4,3), σταθερή απόσταση. Επομένως ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών αριθμών z είναι ο κύκλος με κέντρο το σημείο Κ (4,3) και ακτίνα ρ=, που έχει εξίσωση (x 4) + (y 3) = 4. β) Είναι ( ΟΚ ) = (4 0) + (3 0) = 5. Η ευθεία ΟΚ τέμνει τον κύκλο στα σημεία Α, Β, όπως φαίνεται στο παραπάνω σχήμα. Είναι γνωστό από τη Γεωμετρία ότι για οποιοδήποτε σημείο Μ του κύκλου ισχύει ( ΟΑ) ( ΟΜ) ( ΟΒ ). Άρα ο μιγαδικός με το ελάχιστο μέτρο έχει εικόνα το σημείο Α και ο μιγαδικός με το μέγιστο μέτρο έχει εικόνα το σημείο Β. Επομένως έχουμε: min z = ( ΟΑ ) = ( ΟΚ) ρ = 5 = 3 max z = ( Ο B) = ( ΟΚ ) + ρ = 5 + = 7