Ασύµπτωτες γραφικής παραστάσεως συναρτήσεως Ασύµπτωτες της γραφικής παραστάσεως συναρτήσεως y f ( ) ονοµάζονται οι ευθείες που για πολύ µικρές ή µεγάλες τιµές των, y προσεγγίζουν ικανοποιητικά την γραφική παράσταση της f Η ευθεία α είναι κατακόρυφη ασύµπτωτη της γραφικής παραστάσεως της f όταν ένα τουλάχιστον από τα f ( ), f ( ), f ( ) είναι + ή a Πχ 0 παραστάσεως της f, f ( ) + a a + Άρα η ευθεία 0 είναι κατακόρυφη ασύµπτωτη της γραφικής Η ευθεία y β είναι οριζόντια ασύµπτωτη της γραφικής παραστάσεως της f όταν f ( ) β ± Πχ Άρα η ευθεία y είναι οριζόντια ασύµπτωτη της γραφικής + + παραστάσεως της f, f ( ) σε µία περιοχή του + + Η ευθεία y λ+ β είναι πλάγια ασύµπτωτη της γραφικής παραστάσεως της f όταν f ( λ β) ( ) + 0 ± Η ασύµπτωτη είναι πλάγια όταν λ 0 και οριζόντια όταν λ 0 + Πχ 0 Άρα η ευθεία y είναι πλάγια ασύµπτωτη της ± ± + γραφικής παραστάσεως της f, f ( ) Η εύρεση της οριζόντιας ή πλάγιας ασύµπτωτης γίνεται µε χρήση της προτάσεως: Η ευθεία y λ+ β είναι ασύµπτωτη της γραφικής παραστάσεως της f, αν και µόνο f ( ) αν λ και β [ f ( ) ], όπου λ, β R ± ± Παρατηρήσεις Οι γραφικές παραστάσεις ρητών συναρτήσεων έχουν κατακόρυφες ασύµπτωτες της µορφής a, όπου a ρίζα του παρονοµαστή µόνο Αν το a είναι ρίζα και του αριθµητή, για να είναι η ευθεία a κατακόρυφη ασύµπτωτη πρέπει το a να είναι ρίζα του παρονοµαστή µε µεγαλύτερη πολλαπλότητα από αυτήν του αριθµητή Καθώς + (ή ) δεν είναι δυνατό να υπάρχει οριζόντια και πλάγια ασύµπτωτη της γραφικής παραστάσεως Εποµένως έχοµε το πολύ δύο ασύµπτωτες της µορφής y λ+ β
Η γραφική παράσταση πολυωνυµικών συναρτήσεων µε βαθµό ν δεν έχει οριζόντια ούτε πλάγια ασύµπτωτη Πράγµατι αν f, f ( ) a ν + a + + a + a, όπου a ν 0και ν, τότε ν ν ν 0 f ( ) a ± ν ν ν ν ( aν ) aν ± ± ± ± Άρα η γραφική παράσταση της f, f ( ) a+ β που είναι η ευθεία y a+ β έχει ασύµπτωτη την ίδια την ευθεία 4 δυνατό η γραφική παράσταση συναρτήσεως να τέµνει µία ασύµπτωτη της, σε ένα τουλάχιστον σηµείο 5 Για τη γραφική παράσταση ρητών συναρτήσεων ισχύει ένα από τα παρακάτω: (α) Όταν ο βαθµός αριθµητή είναι µικρότερος ή ίσος του βαθµού παρονοµαστή, υπάρχει µόνο µία οριζόντια ασύµπτωτη (β) Όταν ο βαθµός αριθµητή είναι κατά ένα µεγαλύτερος του βαθµού παρονοµαστή, υπάρχει µόνο µία πλάγια ασύµπτωτη (γ) Όταν ο αριθµητής έχει βαθµό τουλάχιστον κατά δυο µεγαλύτερο από τον παρονοµαστή, δεν υπάρχουν ούτε οριζόντια ούτε πλάγια ασύµπτωτη 6 Αν f ( ) λ+ β+ g( ) µε g( ) 0, η y λ+ β είναι ασύµπτωτη της ± γραφικής παραστάσεως της f, διότι ( λ β) f ( ) + g( ) 0 ± ± Παραδείγµατα Βρείτε τις ασύµπτωτες της γραφικής παραστάσεως της Λύση 4 0 ± f, f ( ) 5 4 f ( ) f ( ) +, + + f ( ) f ( ) Άρα οι ευθείες ± είναι κατακόρυφες ασύµπτωτες της γραφικής παραστάσεως της f f ( ) + Άρα δεν υπάρχουν οριζόντια ούτε πλάγια ασύµπτωτη της ± γραφικής παραστάσεως της f Βρείτε τις ασύµπτωτες της γραφικής παραστάσεως της Λύση Εύρεση κατακόρυφης ασύµπτωτης f, f ( ) + +
Για κάθε R είναι + + > 0 Άρα δεν υπάρχει a R ώστε f ( ) ± ή f ( ) ± ή f ( ) ± a + a a Συνεπώς η γραφική παράσταση της f δεν έχει κατακόρυφες ασύµπτωτες f ( ) λ + Εύρεση οριζόντιας ασύµπτωτης και [ f λ] ( ) β + Άρα η ευθεία y είναι πλάγια ασύµπτωτη της γραφικής παραστάσεως της f σε µία περιοχή του + f ( ) λ και [ f λ] ( ) β Άρα η ευθεία y είναι πλάγια ασύµπτωτη της γραφικής παραστάσεως της f σε µία περιοχή του Βρείτε τις ασύµπτωτες της γραφικής παραστάσεως της Λύση + f, f ( ) + Εύρεση κατακόρυφης ασύµπτωτης ( + ) 0και + 6> 0 Συνεπώς είναι f ( ) + και + f ( ) Άρα η είναι κατακόρυφη ασύµπτωτη της γραφικής παραστάσεως της f Η γραφική παράσταση προσεγγίζει την από δεξιά και αριστερά Εύρεση οριζόντιας-πλάγιας ασύµπτωτης +, 0 + f, f ( ) 5, < 0 και + f ( ) λ 0 + και [ f λ] ( ) β + Άρα η y είναι οριζόντια ασύµπτωτη της γραφικής παραστάσεως της f σε µία περιοχή του +
4 f ( ) λ 0 και [ f λ] ( ) β 5 Άρα η y 5 είναι οριζόντια ασύµπτωτη της γραφικής παραστάσεως της f σε µία περιοχή του 4 Βρείτε τις ασύµπτωτες της γραφικής παραστάσεως της f : (, + ) R µε f ( ) D( f ) (, + ) Λύση Εύρεση κατακόρυφης ασύµπτωτης Πιθανή κατακόρυφη ασύµπτωτη της γραφικής παραστάσεως της f είναι η + f ( ) + + + Άρα η ευθεία είναι κατακόρυφη ασύµπτωτη γραφικής παραστάσεως της f Εύρεση οριζόντιας ασύµπτωτης f ( ) + λ, + + [ f ( ) λ] β + + + + + Άρα η ευθεία y + είναι πλάγια ασύµπτωτη της γραφικής παραστάσεως της f 5 Βρείτε τους a, β R για τους οποίους ισχύει ότι + a+ β 0 + Αν είναι f ( ) + + Λύση, τότε [ a β f ] [ f a β ] + ( ) 0 ( ) ( + ) 0 Άρα η y a+ β είναι ασύµπτωτη της γραφικής παραστάσεως της f καθώς Άρα a f ( ) και β [ f a] ( ) Παρατήρηση
5 Έστω συνάρτηση f, f ( ) Η ευθεία y a+ β ονοµάζεται πλάγια ασύµπτωτη της f αν και µόνο αν f ( ) a β ± + ή ισοδύναµα [ f a β] ( ) 0 ± Εύρεση των α, β f ( ) a και [ f ( ) a] β ± ± Μελέτη περιπτώσεων Όταν a 0 και β 0, υπάρχει οριζόντια ασύµπτωτη που είναι ο άξονας Όταν a 0 και β 0, υπάρχει οριζόντια ασύµπτωτη που είναι η ευθεία y β Όταν a 0 και β 0, υπάρχει πλάγια ασύµπτωτη που είναι η ευθεία y a Όταν a 0 και β 0, υπάρχει πλάγια ασύµπτωτη που είναι η ευθεία y a+ β 6 Να βρεθεί η ασύµπτωτη y a+ β της γραφικής παραστάσεως της f, f ( ) + + + 9 + σε µία περιοχή του + Λύση f ( ) a+ β f ( ) a β 0 Άρα [ ] + + + + + + a β 9 + β + + + 9 + a ( + )(4 a) + Όταν 4 a> 0 4> a, είναι [ f ( ) a β] + + Όταν 4 a< 0 4< a, είναι [ f ( ) a β] + Όταν 4 a 0 4 a, είναι [ f ( ) a β] ( + )0 (?) Απροσδιόριστη µορφή + Συνεπώς + + + + β 9 4 + + + + + β 9 + + Χρησιµοποιώντας δυο φορές συζυγή παράσταση έχοµε ότι
6 Άρα [ β] + + + + β + β β 9 0 0 + + f ( ) a 0 a 4, β 0 + ΑΣΚΗΣΗ 7 5 Βρείτε τους a, β R για τους οποίους + ( a + β ) 0 + + a+ β + + 0 και ΑΣΚΗΣΗ 8 Βρείτε τους a, β R ώστε η γραφική παράσταση της f, f ( ) 5 + a+ β να έχει κατακόρυφες ασύµπτωτες τις ευθείες, Στη συνέχεια εξετάστε αν η γραφική παράσταση έχει οριζόντια ή πλάγια ασύµπτωτη ΑΣΚΗΣΗ 9 Ποιες οι ασύµπτωτες των γραφικών παραστάσεων των παρακάτω συναρτήσεων; (α) f ( ) + 5, (β) + f ( ), (γ) f ( ), (δ) f ( ) +, (ε) f ( ) +, (στ) + f ( ), (ζ) συν f ( ) +, (η) f ( ) (θ) ηµ f ( ), (ι) f ( ), (κ) f ( ) +,