Kεφάλαιο 5. µετασχηµατισµού Laplace.

5 Εισαγωγή Kεφάλαιο 5 Ο µετασχηµατισµός Lplce Τόσο οι συνήθεις όσο και οι µερικές διαφορικές εξισώσεις περιγράφουν νόµους µε τους οποίους κάποιες ποσότητες µεταβάλλονται σε σχέση µε το χρόνο, όπως το ρεύµα σ ένα ηλεκτρικό κύκλωµα, οι ταλαντώσεις παλλόµενου ελατηρίου, η ροή θερµότητας σε µονωµένο αγωγό κλπ Αυτές οι εξισώσεις σε συνδυασµό µε τις αρχικές συνθήκες περιγράφουν την κατάσταση του συστήµατος κάθε χρονική στιγµή Μια σηµαντική µέθοδος για την επίλυση τέτοιων προβληµάτων είναι και η µέθοδος του µετασχηµατισµού Lplce Ο µετασχηµατισµός Lplce είναι σηµαντικός διότι: εφαρµόζεται σε µια µεγάλη ποικιλία συναρτήσεων και κυρίως σε συναρτήσεις/σήµατα βραχέας ή και στιγµιαίας διάρκειας Επιλύει σχετικά εύκολα µη οµογενείς γραµµικές δε µε σταθερούς συντελεστές (ή και συστήµατα δε) της µορφής ( n) ( n) n n y + y + + y + y= f, όπου η f µπορεί να µην είναι συνεχής (όπως απαιτείται στο Κεφ 3) αλλά και τµηµατικά συνεχής, ή και να είναι µια γενικευµένη συνάρτηση, όπως πχ η συνάρτηση Dirc Στη µελέτη του µετασχηµατισµού Lplce χρειάζονται κάποια στοιχεία της θεωρίας των γενικευµένων ολοκληρωµάτων και των µιγαδικών αριθµών που θα µας χρειασθούν Ο αναγνώστης µπορεί να θυµηθεί αυτές τις έννοιες ανατρέχοντας στις παραγράφους 3 και 4 του ου Κεφαλαίου 44

5 Ο µετασχηµατισµός Lplce Ορισµός 5 Εστω f :, [ ) Lplce της f, συµβολικά L ( f ) τη συνάρτηση + Καλούµε µετασχηµατισµό + b = = = F L f f() e d lim f() e d (5) b + για όλες τις τιµές του για τις οποίες το µη γνήσιο ολοκλήρωµα της f () e συγκλίνει Παρατηρήσεις (α) Ο µετασχηµατισµός Lplce ορίζεται και για f :, + ως µιγεδικές συναρτήσεις [ ) ( Re ) ( Im) L f = L f + i L f Στο εξής για απλότητα µελετούµε πραγµατικές συναρτήσεις (β) Ο µετασχηµατισµός Lplce απεικονίζει µια συνάρτηση f ορισµένη στο πεδίο του χρόνου σε µια νέα συνάρτηση F( ) ηλαδή: f L F (β) Εφόσον ο µετασχηµατισµός Lplce απεικονίζει συναρτήσεις σε συναρτήσεις, είναι λογικό να αναρωτηθούµε αν υπάρχει αντίστροφος µετασχηµατισµός L που να απεικονίζει το µετασχηµατισµό Lplce στην αρχική συνάρτηση f Πράγµατι υπό κατάλληλες συνθήκες υπάρχει ο αντίστροφος µετασχηµατισµός L όπως θα δούµε παρακάτω Ετσι για το µετασχηµατισµό Lplce γράφουµε: f L F Μια ικανή συνθήκη ύπαρξης του µετασχηµατισµού Lplce δίνει το ακόλουθο Θεώρηµα 5 Εστω f :, [ ) + είναι µια συνάρτηση: (i) τµηµατικά συνεχής (δηλαδή είναι συνεχής παντού πλην 45

πεπερασµένου πλήθος σηµείων,, N για τα οποία υπάρχουν τα πλευρικά όρια lim f ( ) και lim f ( ), i=,, N και είναι πεπερασµένα) και + i i (ii) εκθετικής τάξης α (δηλαδή είναι πραγµατικές σταθερές µε M, c > ) e f M > c, όπου M, c, Τότε ο µετασχηµατισµός Lplce της f ορίζεται για κάθε Re και επιπλέον lim F = Απόδ Εφόσον > έχουµε: f Me c () () + c () + = + c f e d f e d f e d > είναι To πρώτο ολοκλήρωµα υπάρχει, διότι η f ( ) e ολοκληρώσιµη ως τµηµατικά συνεχής στο [,c ] Για το δεύτερο ολοκλήρωµα έχουµε: c ( Re ) + + ( Re ) Me f () e d Me d =, Re > c c Re Aρα το δεύτερο ολοκλήρωµα συγκλίνει απόλυτα, (άρα συγκλίνει) Re > και έχουµε το ζητούµενο Το γεγονός ότι lim F = για είναι εύκολο Ας υπολογίσουµε το µετασχηµατισµό Lplce ορισµένων στοιχειωδών συναρτήσεων :, + : = f [ ) f ( ) Tότε Αρα: + e e d =, Re( ) = > + 46

f + f = :, [ ) : L () =, Re > Τότε µε ολοκλήρωση κατά παράγοντες παίρνουµε + + + e + e e d = e d, Re( ) + = = > Yπενθυµίζουµε εδώ ότι e, (, n ) lim n + = > όπως µπορεί εύκολα να δειχθεί µε εφαρµογή του κανόνα L Hopil n φορές Αρα Re lim e = lim e = Re > + + Ετσι: L () =,Re() > Σηµείωση Μπορεί να αποδειχθεί επαγωγικά ότι n! L =,Re() >, n n n +, ( ) f :, [ + ) : f() =ηµ ( ) Τότε µε ολοκλήρωση κατά παράγοντες δυο φορές παίρνουµε + + ηµ e + I = ηµ ( ) e d = + συν ( ) e d ( ) + συν e + = ηµσυν ( ) e d I = I I =, Re( ) + > 47

Υπενθυµίζουµε εδώ ότι µε χρήση του κριτηρίου παρεµβολής βρίσκουµε lim ηµ + ( ) e = και συν ( ) e, ( Re ) lim + = > Αρα L ( ηµ ( ) ) =,Re() + >, f :, [ + ) : f() = συν ( ) Εργαζόµαστε όπως στην περίπτωση του ηµ και βρίσκουµε L ( συν ( ) ) =,Re() + > f :, [ + ) : f() = e ( ) Τότε Αρα: ( ) + + ( ) e e e d = e d = =, Re( ) > Re( ) + L ( e ) =, Re( ) > Re( ) Ασκήσεις Υπολογίστε το µετασχηµατισµό Lplce των συναρτήσεων f = e, Απ F f ( ) =, Απ F =, Re > ( ) 4e + =, Re( ) > 48

u =,, > < () u () = e < Απ F F e Απ =, Re > e e = +, Re > 49

53 Ιδιότητες του µετασχηµατισµού Lplce Αν εξαιρέσουµε κάποιες στοιχειώδεις συναρτήσεις της προηγούµενης παραγράφου των οποίων ο µετασχηµατισµός Lplce υπολογίζεται από τον τύπο (5) µε απ ευθείας ολοκλήρωση, για συναρτήσεις µε πιο πολύπλοκο τύπο τα πράγµατα δυσκολεύουν στον υπολογισµό του ολοκληρώµατος (5) Απ την άλλη µεριά ένα κριτήριο χρησιµότητας ενός µετασχηµατισµού είναι οι ιδιότητες αυτού που διευκολύνουν τους υπολογισµούς Στην ενότητα αυτή αναφέρουµε τις ιδιότητες του (µονόπλευρου) µετασχηµατισµού Lplce A Γραµµικότητα Θεώρηµα 5 Εστω f, g :[, ) έχουν µετασχηµατισµούς Lplce L ( f ) και ( g ) + είναι δυο συναρτήσεις που L αντιστοίχως Τότε ορίζεται ο µετασχηµατισµός Lplce της συνάρτησης f () ± bg(),, b η και ισχύει ( f ± bg ) = ( f ) ± b ( g ) L L L για κάθε στο κοινό πεδίο ορισµού των L ( f ) και ( g ) L Απόδ Αµεση συνέπεια του τύπου 5 και της γραµµικότητας του ολοκληρώµατος Παράδειγµα Υπολογίστε το µετασχηµατισµό Lplce των f () inh g () coh h () = ηµ για συναρτήσεων =, = και,, b Λόγω γραµµικότητας έχουµε Επειδή e e L( f ) = L( inh( ) ) = L = L( e ) L ( e ),Re() L ( e ) = > και L e =,Re() > + 5

(βλέπε προηγούµενη ενότητα), παίρνουµε L ( inh ( ) ) = =, Re > + Tελικά: L ( inh ( ) ) =, Re > Mε παρόµοιο τρόπο υπολογίζουµε e + e L( f ) = L coh( ) = L = L e + L e = + =, Re > + Tελικά: L ( coh ( ) ) =, Re > Τέλος για την h ηµ ( ) αποτετραγωνισµού ηµ ( ) = χρησιµοποιούµε τον τύπο ( ) συν = και έχουµε ( ) συν L( h) = L ( ) = L = L L ( ηµ ) ( () ( συν ( )) ) =, Re = > + 4 + 4 Β Μετάθεση στο πεδίο των συχνοτήτων Θεώρηµα 53 Εστω ότι µια συνάρτηση f :, [ ) µετασχηµατισµό Lplce L ( f ) = F, Re >, ( ) ορίζεται ο µετασχηµατισµός Lplce της συνάρτησης ( b ) και ισχύει έχει Τότε f ( ) e b 5

b L f ( e ) = F b, Re > + Re( b) Απόδ Αµεση απ τον τύπο (5) Παράδειγµα Υπολογίστε το µετασχηµατισµό Lplce των συναρτήσεων f () = e b inh( ) και b h () = e ηµ ( ) για,, b Από το προηγούµενο παράδειγµα έχουµε L ( inh ( ) ) =, Re > Τότε από το θεώρ 53 έχουµε L e inh = L inh b =, Re Re( b) > b ( ) ( ) Τελικά: b ( ) b b L e inh =, Re > Re( b) + b Mε παρόµοιο τρόπο εργαζόµαστε για την h () e ηµ ( ) στο προηγούµενο παράδειγµα ότι = Είδαµε Τότε L b ( ηµ ) L ( ηµ ( ) ) =, Re > ( + 4 ) e =, Re Re( b) > b b + ( 4 ) Γ Μετάθεση στο πεδίο του χρόνου Θεώρηµα 54 Εστω ότι µια συνάρτηση f :, [ ) µετασχηµατισµό Lplce L ( f ) = F, Re >, ( ) ορίζεται ο µετασχηµατισµός Lplce της συνάρτησης έχει Τότε 5

και ισχύει ( ) f b b g() =,, b> < b ( ) b, Re() L g = e L f > Απόδ Αµεση απ τον τύπο (5) Σηµείωση Εστω, > b ub () =,, b>, < b είναι είναι η µοναδιαία συνάρτηση βήµατος Ηeviide και η f ορίζεται στο Τότε η παραπάνω ιδιότητα γράφεται ως εξής: b ( b ), R e L u f b = e L f > ιαστολή/στάθµιση Θεώρηµα 55 Εστω ότι µια συνάρτηση f :, [ ) έχει µετασχηµατισµό Lplce L ( f ) = F, Re >, ( ) Τότε ορίζεται ο µετασχηµατισµός Lplce της συνάρτησης f ( b) ( b> ) και ισχύει L ( f ( b) ) = F, Re > b b b Απόδ Από τον τύπο (5) µε αλλαγή µεταβλητής b L y b f b f b e d f y e dy b + + / ( ) = = = y έχουµε + Re y b = f ye dy F, b = > b b b Ε Momen Θεώρηµα 56 Εστω ότι µια συνάρτηση f :, [ ) έχει 53

µετασχηµατισµό Lplce L ( f ) = F, Re >, ( ) Τότε n oρίζεται ο µετασχηµατισµός Lplce της συνάρτησης f() ( n ) και ισχύει Aπόδ Για n = έχουµε n n ( n) L f() = ( ) F (), Re() > F = f e d = f e d = F + ( () ) + (), (λόγω οµοιόµορφης σύγκλισης του ολοκληρώµατος ως προς ) Αρα η πρόταση ισχύει για n = Στη συνέχεια εργαζόµαστε επαγωγικά Παράδειγµα Υπολογίστε το µετασχηµατισµό Lplce της f () = συν για, συνάρτησης Λαµβάνοντας υπόψη το θεώρηµα 56 και το γεγονός ότι L + ( συν ( ) ) = F =,Re() > όπως είδαµε σε προηγούµενο παράδειγµα, παίρνουµε ( συν ( ) ) ( ) F L = =, Re = > + + Παράδειγµα Υπολογίστε το µετασχηµατισµό Lplce της συνάρτησης f () = e για, Λαµβάνοντας υπόψη το θεώρηµα 56 και το γεγονός ότι L e = F =,Re() > Re() όπως είδαµε σε προηγούµενο παράδειγµα, παίρνουµε 54

L( e ) = ( ) F = =, Re > Re( ) 3 ΣΤ ΑΝΤΙΠΑΡΑΓΩΓΟΣ στο πεδίο του χρόνου Τότε ορίζεται ο µετασχηµα- Θεώρηµα 57 Εστω ότι µια συνάρτηση f :, [ ) ολοκληρώσιµη στο [,+ ) και έχει µετασχηµατισµό L ( f ) = F, Re >, ( ) τισµός Lplce της συνάρτησης g() f ( u) du F ( ) είναι Lplce = και ισχύει { } L f udu =, > mx, Απόδ Αµεση απ τον τύπο (5) Ζ ΑΝΤΙΠΑΡΑΓΩΓΟΣ στο πεδίο των συχνοτήτων Θεώρηµα 58 Εστω ότι µια συνάρτηση f :, [ ) ολοκληρώσιµη στο [,+ ) και έχει µετασχηµατισµό L ( f ) = F, Re >, ( ) Αν υπάρχει το όριο τότε ορίζεται ο µετασχηµατισµός Lplce της συνάρτησης ισχύει f L = F( ω) dω,re() > είναι Lplce lim + f () f Απόδ Ξεκινούµε απ το δεξιό µέλος της παραπάνω χρησιµοποιώντας τον τύπο (5) Η ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ Θεώρηµα 59 Εστω ότι µια συνάρτηση f :, [ ), και είναι n φορές παραγωγίσιµη µε εκθετικής τάξης παραγώγους ( n) ( n) f,, f για κάθε και τµηµατικά συνεχή παράγωγο f Αν F = L f > είναι ο µετασχηµατισµός Lplce της, Re 55

f, τότε ορίζεται ο µετασχηµατισµός Lplce των παραγώγων ( k συναρτήσεων f ), k =,, n και ισχύει L ( k) k k ( k) ( k) L f = f f f f, Re > Απόδ Χρησιµοποιούµε παραγοντική ολοκλήρωση n φορές στον τύπο (5) Παράδειγµα Εστω παραγωγίσιµη συνάρτηση y :, [ ) ικανοποιεί το πρόβληµα αρχικών τιµών y + y= e y = 3 Υπολογίστε το µετασχηµατισµό Lplce της y + που Παίρνουµε το µετασχηµατισµό Lplce και στα δυο µέλη της δε και έχουµε 3 3 ( ) ( y + y = e ) ( y ) + ( y) = ( e ) L L L L L Επειδή ( y ) = ( y) y L L και ( e ) 3 L =, Re( ) > 3 έχουµε + 3 L( y) y + L ( y) =, Re >3 + 3 ( + ) L ( y) =, Re >3 + 3 + 4 L =, Re >3 ( y) ( + )( + 3) Παράδειγµα Εστω συνάρτηση y :, [ ) πρόβληµα αρχικών τιµών + που ικανοποιεί το 56

y + y 3y= y = y = Υπολογίστε το µετασχηµατισµό Lplce της y Παίρνουµε το µετασχηµατισµό Lplce και στα δυο µέλη της δε και έχουµε ( y + y 3y) = ( y ) + ( y ) 3 ( y) = L L L L L L Επειδή L( y ) = L ( y) y y και ( y ) = ( y) y L () =, Re >, έχουµε ( ) L L και L y y y + L y y 3 L y =, Re > ( ) L y + L y 3 L y =, Re > L + y = + + > ( y) 3 5, Re + 5+ L =, Re( ) > ( )( + 3) Θ ΣΥΝΕΛΙΞΗ Ορισµός 54 Εστω f, g :[, + ) είναι τµηµατικά συνεχείς σε κάθε διάστηµα [, ], > Καλούµε συνέλιξη των f, g, συµβολικά f g να είναι η συνάρτηση () f g = f ω g ω dω Η παραπάνω συνάρτηση είναι καλά ορισµένη Με χρήση του ορισµού είναι εύκολο να δούµε ότι η συνέλιξη ικανοποιεί τις ακόλουθες ιδιότητες: 57

f g = g f (αντιµεταθετική) ( f g) h( ) = f ( g h)( ) (προσεταιριστική) f ( g + h) = f g + f h (επιµεριστική) Θεώρηµα 5 Εστω f, g :[, ) εκθετικής τάξης και L ( f ), ( g ) + είναι τµηµατικά συνεχείς και L είναι οι µετασχηµατισµοί Lplce των f και g αντιστοίχως Τότε ορίζεται ο µετασχη- µατισµός Lplce της f g και ισχύει, Re L f g = L f L g > Απόδ Ξεκινούµε απ το δεύτερο µέλος και θυµόµαστε ότι g u = u< Εχουµε, + + u ( ) L f L g f e d g u e du = u ( ) () () + + + + u ( + ) g u e du f e d f g u e dud = = Θέτουµε (για το εσωτερικό ολοκλήρωµα) u+ = w και έχουµε () + + + + () u ( + ) w f g u e dud = f g w e dwd Επειδή όµως g( w ) =, w< µπορούµε να γράψουµε w () ( ) = () ( ) + + + + w f g w e dwd f g w e dwd w Λόγω απόλυτης σύγκλισης του διπλού ολοκληρώµατος µπορούµε να εναλλάξουµε την ολοκλήρωση και έχουµε w ( ) = ( ) + + + + w f g w e dwd f g w e ddw w w w + w + w f g w e ddw f g w d e dw = = 58

( f g) = L Παράδειγµα Υπολογίστε το µετασχηµατισµό Lplce της συνέλιξης ( b e e )( ) για,, b Εχουµε L b b e e = L e L e =, Re( ) mx { Re( ),Re( b ) } b > Παράδειγµα Για y :, [ ) Lplce της ολοκληρωτικής εξίσωσης +, υπολογίστε το µετασχηµατισµό Εχουµε () = + ( ) y e yω ηµ ω dω ( ω ηµ ω ω) ( ηµ ) L y = L e + L y d = L e + L y L + L( y) = + L( y) L ( y) =, Re( ) > + + + Ι ΠΕΡΙΟ ΙΚΟΤΗΤΑ Θεώρηµα 5 Εστω f :, [ + ) R είναι περιοδική συνάρτηση µε περίοδο T, έτσι ώστε η f να είναι τµηµατικά συνεχής και εκθετικής τάξης στο [,T ] Τότε ο µετασχηµατισµός Lplce της f ικανοποιεί τη σχέση T L ( f ) = f () e d, Re > T e Απόδ Χρησιµοποιούµε τον ορισµό και την περιοδικότητα της f Ασκήσεις Με χρήση ιδιοτήτων υπολογίστε το µετασχηµατισµό Lplce των παρακάτω συναρτήσεων για : 59

f () = + Απ F () =, Re() + > 3 f () = + 3ηµ Απ F () = +, Re() > 3 + () = + Απ F () = +, Re() > + + 4 f ηµ συν( ) f () = + Απ F () = +, Re() > 3 f () = e Απ F () =, Re() > ( ) f () e ηµ ( 5) = Απ 5 F () =, Re() > 5 + + ( ) 5 f () = e ηµ ( 5) Απ F () =, Re() + 5+ > 3 3 f () = e συν Απ F () =, Re() > 3 + ( 3) e e f () =, f περιοδική Απ F () =, Re() > e, < < f() =,, < < f περιοδική Απ e e + F () =, Re() > ( e ) Υπολογίστε το µετασχηµατισµό Lplce των ακολούθων προβληµάτων αρχικών τιµών y + y= y = Απ F = ( + ) 6

y + y=συν y = 3 y + 4y= = = y y y + y + y= e y = y = Απ F Απ F = F 3 + + 3 ( + ) = + 4 Απ = + 4 + 3 ( + ) ( ) 3 Υπολογίστε το µετασχηµατισµό Lplce των ολοκληρωτικών εξισώσεων y () = + y( ω) συν ( ω) dω Απ F = + ( + ) e = y( ω) y( ω) dω Απ F =±, Re > Re( ) ( ) 6

54 Ο αντίστροφος µετασχηµατισµός Lplce Ορισµός 5 Εστω F: A : F = F Αν υπάρχει συνάρτηση f :, [ + ) : f = f() τέτοια ώστε L ( f ) = F, τότε η f καλείται αντίστροφος µετασχηµατισµός Lplce της F και γράφουµε f = L F Άρα L f = F L F = f Παρατηρήσεις (α) εν ορίζεται πάντοτε ο αντίστροφος µετασχηµατισµός Lplce συνάρτησης F (β) Αν µια συνάρτηση f έχει µετασχηµατισµό Lplce F = F(), τότε ο αντίστροφος µετασχηµατισµός Lplce της F ορίζεται µέσω του τύπου ir f () = γ lim e F d π i +, R γ ir όπου γ οποιοσδήποτε πραγµατικός αριθµός που εκλέγεται έτσι ώστε η κατακόρυφος Re = γ να περιέχει όλους τους πόλους της F στο αριστερό της µέρος Ο τύπος αυτός είναι ο τύπος αντιστροφής του µετασχηµατισµού Lplce και η χρήση του απαιτεί γνώσεις µιγαδικής ανάλυσης που ξεφεύγουν από το στόχο αυτών των σηµειώσεων Στο εξής για την εύρεση του αντιστρόφου µετασχηµατισµού Lplce θα χρησιµοποιούµε στοιχειώδους µεθόδους που θα αναπτύξουµε παρακάτω (γ) Οσον αφορά στο ερώτηµα αν υπάρχουν δυο διαφορετικοί αντίστροφοι µετασχηµατισµοί Lplce που αντιστοιχούν στην ίδια συνάρτηση f, η απάντηση είναι πως όχι αν η αρχική συνάρτηση f είναι συνεχής Πράγµατι ισχύει το Θεώρηµα (Lerch): Aν f, g είναι συνεχείς συναρτήσεις τέτοιες ώστε να υπάρχουν οι µετασχηµατισµοί Lplce αυτών, τότε L f = L g f = g Με άλλα λόγια αν υπάρχει µια συνεχής συνάρτηση f µε 6

µετασχηµατισµό Lplce F, τότε αυτή (η f ) είναι η µοναδική συνεχής συνάρτηση µ αυτό το µετασχηµατισµό Προφανώς αν ορίσουµε µια τµηµατικά συνεχή συνάρτηση () f, g =, f = τότε και αυτή η συνάρτηση έχει µετασχηµατισµό Lplce F Αυτό οφείλεται στον ορισµό του µετασχηµατισµού Lplce, διότι το ολοκλήρωµα έχει µηδενική µάζα σε σηµεία Εστω ότι ορίζονται οι µετασχηµατισµοί Lplce FG, δυο συνεχών συναρτήσεων f, g :[, + ) Με τη βοήθεια των ιδιοτήτων του µετασχηµατισµού Lplce αποδεικνύονται άµεσα οι ακόλουθες ιδιότητες του αντίστροφου µετασχηµατισµού Lplce: Α Γραµµικότητα Πράγµατι: ( F ± bg) = ( F ) ± b ( G) L L L ( F ± bg) = ( ( f ) ± b ( g )) = ( ( f ± bg ) ) L L L L L L Β Μετάθεση στο πεδίο συχνοτήτων ( ( f bg )) f bg ( F ) b ( G) = ± = ± = ± L L L L ( ) b L F b = f() e, Πράγµατι: ( ) ( ( b ) ) b L F b = L L f() e = f() e Γ Μετάθεση στο πεδίο χρόνου 4 ιαστολή L ( b e F ) = u f( b), (, b> ) b 63

5 Momen ( ) L F b = f,, b> b b L ( ) n F n = n f( ), 6 Αντιπαράγωγος 7 Συνέλιξη f ( ) ( ω) L F dω =, ( ( ω) ( ω) ) L F G = f g Παράδειγµα Να βρεθεί ο αντίστροφος µετασχηµατισµός Lplce της συνάρτησης F = + 9 Χρησιµοποιώντας τις ιδιότητες του αντίστροφου µετασχηµατισµού Lplce και λαµβάνοντας υπόψη το µετασχηµατισµό Lplce των ηµ έχουµε στοιχειωδών συναρτήσεων συν και L = συν = ( 3) ηµ ( 3 ), + 9 L + 9 L + 9 Παράδειγµα Υπολογίστε τον αντίστροφο µετασχηµατισµό Lplce της συνάρτησης F () = 3+ Χρησιµοποιούµε τη µέθοδο ανάλυσης σε απλά κλάσµατα Εχουµε A B = = + 3 + ( )( ) 64

= A( ) + B( ) (5) A+ B= A= A B= B= Σηµείωση Στην παραπάνω σχέση = A( ) + B( ) (βλέπε (5)) µπορούµε να θέσουµε κατευθείαν =, οπότε = A( ) + B() A=, =, οπότε = A( ) + B() B= Μ αυτόν τον τρόπο υπολογίζουµε πιο γρήγορα και εύκολα τους συντελεστές A και B Τελικά F () = = + L = L + 3+ 3+ L e e, L = + = + Παράδειγµα Υπολογίστε τον αντίστροφο µετασχηµατισµό Lplce της συνάρτησης Εφόσον έχουµε F () =, Re() 3 6+ 9 > F () = = 6+ 9 3 3 L ( F) = L e, = ( 3), Παράδειγµα Υπολογίστε τον αντίστροφο µετασχηµατισµό Lplce της συνάρτησης 65

Εχουµε Αρα F () =, Re() > ( + ) 3 + F () = = = ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) 3 3 3 e L ( F) = L e, L 3 = ( + ) ( + ) Παράδειγµα Υπολογίστε τον αντίστροφο µετασχηµατισµό Lplce της συνάρτησης ος τρόπος: F () = + 5 Το τριώνυµο του παρονοµαστή έχει αρνητική διακρίνουσα Με συµπλήρωση τετραγώνων παίρνουµε Αρα = + 5 ( ) + 4 L ( F) = L = = eηµ ( ), ( ) + 4 ( ) + 4 L ος τρόπος: Eργαζόµαστε µε τη µέθοδο των απλών κλασµάτων Ετσι έχουµε A B = = + 5 ( ) + + i i + i i ( ) = A i + B + i, AB,, Στην παραπάνω ισότητα θέτουµε όπου καθεµιά από τις ρίζες του τριωνύµου: 66

Τότε =, οπότε ( ) ( ) i i i = B( i + i ) B= =, 4i 4 i = A( + i i ) A= = 4i 4 = +, οπότε ( ) ( ) L ( F ) i i = 4 L + ( + i) 4 L ( i) i i i i ( i ) ( i ) ie ( e e + ) i i iee iee = e + e = + = 4 4 4 4 4 Aπό τον τύπο Euler έχουµε Άρα i i e e iηµ = L ie iηµ i eηµ eηµ, = = = + 5 4 Παράδειγµα Υπολογίστε τον αντίστροφο µετασχηµατισµό Lplce της συνάρτησης F () =, Re() > ( ) Με ανάλυση σε µερικά κλάσµατα έχουµε A B F () = = + + Στην (53) θέτουµε Γ ( ) ( ) = A + B +Γ (53) 67

= (απλή ρίζα παρονοµαστή), οπότε A = = (διπλή ρίζα παρονοµαστή), οπότε Γ = Πως θα βρούµε όµως τη σταθερά B ; Παραγωγίζουµε την (53) και αντικαθιστούµε τις τιµές των A και Γ που βρήκαµε Ετσι έχουµε A=, Γ= = A + B + B+Γ = + B + B+ Ετσι Στη συνέχεια για πχ = βρίσκουµε άµεσα B = ( ) L F = L + L + L = + e + e, Ασκήσεις Υπολογίστε τον αντίστροφο µετασχηµατισµό Lplce των ακολούθων συναρτήσεων F () =, Re() >6 + 6 F () = + 5 Απ L ( F) Απ L ( F ) = e 6 ηµ = ( 5 ) 5 + 3 F () = Απ L ( F ) συν = 3 F () = + + Απ L / 3 F = e ηµ 3 68

55 Εφαρµογή του µετασχηµατισµού Lplce στην επίλυση διαφορικών και ολοκληρωτικών εξισώσεων Μια σηµαντική εφαρµογή του µετασχηµατισµού Lplce είναι στην επίλυση διαφορικών εξισώσεων και ολοκληρωτικών εξισώσεων Η διαδικασία είναι η εξής: υπολογίζουµε το µετασχηµατισµό Lplce της άγνωστης συνάρτησης y και στη συνέχεια υπολογίζουµε την y µέσω του αντιστρόφου µετασχηµατισµού Παράδειγµα Να λυθεί το πρόβληµα αρχικών τιµών y y=, y = Εφαρµόζουµε το µετασχηµατισµό Lplce και στα δυο µέλη της δε και έχουµε ( y y) ( y ) ( y) L = L() L L = L () L( y) y() L( y) = L () ( ) L( y) = y() + L () Αρα + ( y) = ( ) Re > L, + y () = L ( ) Αναλύουµε το µετασχηµατισµό Lplce σε απλά κλάσµατα και έχουµε Ετσι + A B = + A( ) + B= + ( ) Για = στην παραπάνω ισότητα βρίσκουµε B = 3/ Για = στην παραπάνω ισότητα βρίσκουµε A = / 69

+ 3 3 = + = + e ( ) L L L, Παράδειγµα Να λυθεί η διαφορική εξίσωση y 5y + 6y= e Εστω y = A και y = B Εχουµε L( y 5y + 6 y) = L( e ) L( y ) 5 L( y ) + 6 L( y) = L ( e ) ( ( y) y() y ()) L ( ( y) A B) L 5 L( y) y() + 6 L( y) = L ( e ) 5 L( y) A + 6 L ( y) = ( 6 ) ( 5 ) ( 5+ 6)( ) A + B A + A+ B L ( y) = Αρα = ( 6 ) ( 5 ) ( )( )( 3) A + B A + A+ B ( )( )( 3) A B 6A 5A B y () + + + = L Εστω bc,, έτσι ώστε ( 6 ) ( 5 ) + + + = + + 3 3 A B A A B b c ( 6 ) ( 5 ) ( 3) A + B A + A+ B = Στην τελευταία ισότητα θέτουµε διαδοχικά =, οπότε παίρνουµε = /, ( 3) + b + c 7

Ετσι =, οπότε παίρνουµε = 3, οπότε παίρνουµε 3A+ B+ b =, 4A+ B+ c = ( )( )( 3) A B 6A 5A B y () + + + = L 3A+ B+ 4A+ B+ y = L + + L L 3 3A+ B+ 4A+ B+ 3 3 y= e + e + e = e + ce + ce Αν και κανονικά θα πρέπει να θεωρήσουµε, εν τούτοις παρατηρούµε µε επαλήθευση ότι η λύση ισχύει Παράδειγµα Να λυθεί το πρόβληµα αρχικών τιµών y + x= x =, x y= y = Εφαρµόζουµε το µετασχηµατισµό Lplce ταυτόχρονα και στις δυο παραπάνω ισότητες και έχουµε L( y ) + L( x) = L( ) L( x ) L( y) = L() L( y) y() + L( x) = L( ) L( x) x() L( y) = L() L( y) + L( x) = L( ) + L( x) L( y) = L() + L( x) + L( y) = + L( x) L( y) = + 7

+ + L( x) = ( + ) L( y) = + Αλλά: 3 L y = y= = + L + L + L + y= ηµ συν Για τη x εργαζόµαστε τη µέθοδο απλών κλασµάτων (βλέπε παραπάνω) και βρίσκουµε Τελικά: x = + συν+ ηµ x= + συν+ ηµ, y= ηµ συν Παράδειγµα Να λυθεί η ολοκληροδιαφορική εξίσωση Εστω y () ( ω) ω y = e + y e dω, = c Τότε έχουµε ( ω) ω ( ω) L y = L e + L y e d = L e + L y L e ( c+ + )( ) L( y) y = + L( y) L ( y) = + + ( y) ( c+ + )( ) ( )( + ) L =, > Με ανάλυση σε απλά κλάσµατα παίρνουµε: 7

( c+ + )( ) A B Γ = + + ( )( + ) + ( + ) ( c )( ) A( ) B( )( ) ( ) + + = + + + +Γ Αρα: L Για = παίρνουµε A ( c ) = + 3/9 Για = παίρνουµε Γ = c /3 Παραγωγίζουµε την (54) και έχουµε ( y) ( c ) ( ) A( ) B ( ) ( ) + + + = + + + + +Γ, οπότε για πχ = παίρνουµε B ( c) c+ 3 6c c = + + 9 9 + 3 + = 6 /9 c+ 3 6c c L L L 9 9 + 3 ( + ) y = + + c+ 3 6c c 9 9 3 y= e + e + ηµ Παράδειγµα Να λυθεί το πρόβληµα αρχικών τιµών y + y y= 4 y =, y = Εφαρµόζουµε το µετασχηµατισµό Lplce και στα δυο µέλη της δε και έχουµε ( y y y) ( y ) ( y ) ( y) L + = L(4) L + L L = L (4) 73

( ) F y y F + F F =, >, 4 διότι d y =( ) = ( + ) Αρα: d L y F y F F 3 4 F + F = H τλευταία είναι µια γραµµική δε ης τάξης µε γενική λύση Eπειδή όµως F F / Ce = + 3 3 lim = θα πρέπει C =, συνεπώς F = y= L 3 3 = Ασκήσεις Να λυθούν οι κάτωθι δε µε χρήση του µετασχηµατισµoύ Lplce y + y= y = y + y=συν y = 3 y + y=συν y = 3 + = + = = y y y y Απ y= 3e + Απ y= e + συν+ ηµ Απ y= e + συν+ ηµ Απ y= + + συν ηµ 74

+ + = = = y y y ( ) e y y e 8 Απ y= ( 7+ e + 4e + e ) Με χρήση του µετασχηµατισµoύ Lplce να λυθούν τα ακόλουθα συστήµατα δε y + x= x =, x y= y = Απ () = x = y x + y= x =, x y = y = x = 3 x + y =, x = x y= e y = x = 3ηµ Απ y () = + 3συν 6+ e + συν3ηµ x () = 6 Απ e + συν+ 3ηµ y () = 75

56 O τελεστής Dirc Ο τελεστής (ή «γενικευµένη συνάρτηση» Dirc µοντελοποιεί µε µαθηµατικό τρόπο ξαφνικές και στιγµιαίες φυσικές µεταβολές όπως πχ το στιγµιαίο χτύπηµα µε σφυρί σε σύστηµα µάζαςελατηρίου ή την ξαφνική αλλαγή τάσης λόγω κεραυνού Ο τελεστής Dirc ορίζεται «φορµαλιστικά» από τη σχέση () δ (), + f x d = f x x Τότε: L ( δ ) + δ b b = e d = e, b> b Ειδικά για b = ορίζουµε Ισχύει επίσης L ( δ ) δ = e d = δ + δ = b b Σηµειώνουµε ότι αν ub, b είναι η µοναδιαία συνάρτηση βήµατος Ηeviide, τότε b e L ( ub ) =, Re > Παράδειγµα Να λυθεί το πρόβληµα αρχικών τιµών: δ y =, y = Παίρνουµε το µετασχηµατισµό Lplce και στα δυο µέλη και έχουµε L y = L δ Επειδή στο αριστερό µέλος ισχύει τελικά παίρνουµε ( y ) = ( y ) = ( y) y = ( y) L L L L, 76

L( y) = L ( y) = y=, ( > ) Για να ικανοποιείται και η αρχική συνθήκη έχουµε Η συνάρτηση Γάµµα Ας θυµηθούµε ότι > y = n n! + n n! L ( ) = e d = n+ n+ Για να επεκτείνουµε το παραπάνω αποτέλεσµα και για µη ακεραίους εκθέτες ας θεωρήσουµε ότι + x x L = e d, x> Θεωρούµε x >, διότι για x το µεταβλητής y=, > παίρονυµε lim + x e d + = Με αλλαγή x L + x y y + x y ( ) = e dy y e dy x+ = Η συνάρτηση + x y Γ x = y e dy, x> καλείται Γάµµα συνάρτηση Τότε: ( x ) + x x y Γ + L ( ) = y e dy=, x>, > x+ x+ H συνάρτηση γάµµα επεκτείνεται και σε όλους τους µιγαδικούς αριθµούς αρκεί να µην είναι αρνητικοί ακέραιοι,, 3, Ικανοποιεί δε την 77

( x ) x ( x) Γ + = Γ δηλαδή είναι µια γενίκευση του παραγοντικού Παράδειγµα Να λυθεί το πρόβληµα αρχικών τιµών: Εχουµε: y + y= u, y =, y =, > ( ) ( ) L y + y = L u L y y y + L y = ή ισοδύναµα e e ( + ) L( y) = + L ( y) = + + + L ( y) = + e + + ηµ συν y = + u,, () y e ηµ < = ηµ + ( συν ( ) ) Παράδειγµα Να λυθεί το πρόβληµα αρχικών τιµών:, π y + y=, y = y = > π Μπορούµε να γράψουµε: συνεπώς:, π u () uπ () =, > π ( π ) L L ( π ) y + y= ηµ u u y + y = u u 78

( ) e L y y y + L y = π e π L ( y) = = ( e ) + + ( ) L = + + + π π ( y) e e ( συν ) συν ( π ) π y= u + u, π Aσκήσεις Να λυθούν τα προβλήµατα αρχικών τιµών π y ( ) + y + y= δ π ( ), y = y = Απ ( π y= u e ) ( ) y ( ) y y e δ ( ) y y + + = +, = = Να λυθεί το πρόβληµα αρχικών τιµών y y y y e π ηµ π y u u e Απ = () + 3 ()( ) ( ), π + =, = = > π y= συν u u + u συν π, Απ π π 79

ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ LAPLACE ΣΤΟΙΧΕΙΩ ΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΚΑΙ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ Αρχική συνάρτηση f (), Μετασχηµατισµός Lplce F () = L f () f, Re > e, Re > Re( ) ηµ ( ), Re( ) > + inh( ), Re( ) > συν ( ), Re( ) > + coh( ), Re( ) > n n n!,re( ) > + x, x> ( b ) δ, b ( x ) Γ + x, Re( ) > + e b u, b b b e / n f() n ( n) ( ) F f + bg F() + bg() ub f ( b), b> b e F() e f() F ( ) f ( u) du F / + f ( ) F( ω) dω ( n f ) () n n F () f() ( n) ( n) f () f () f g L( f ) L ( g ) ειναι T περιοδικη T f T () e d e 8

ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ LAPLACE ΣΤΟΙΧΕΙΩ ΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΚΑΙ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ Μετασχηµατισµός Lplce L ( f ) = F Αντίστροφος Μετασχηµατισµός Lplce L F = f,, Re > e, Re > Re( ), Re( ) > + ηµ ( ), Re( ) > inh( ), Re( ) > + συν ( ), Re coh( ) > n n!,re( ) > + n Γ ( x + ) x, Re( ) > x, x> + b e, b δ b b e /, b u b F() + bg() f + bg b e F(), b ub f b F ( ) e f() n ( n) F > n f() F( ω ) dω f ( ) / F () f u du F G f g 8