Παράδειγµα ενός ηλεκτρικού συστήµατος

ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Εισαγωγή στα Σήµατα Εισαγωγή στα Συστήµατα Ανάπτυγµα - Μετασχηµατισµός Fourier Μετασχηµατισµός aplace Μετασχηµατισµός Z Εφαρµογές

Παράδειγµα ενός ηλεκτρικού συστήµατος A R B i( ) i ( ) υ i ( ) C ( ) i ( ) υ ou ( ) υ c R 2 Γ 2 Ζ E υ i ( ) 4 4 π 2π 3π Σύστηµα υ ou ( ) 2 2 π 2π 3π Παράδειγµα ενός µηχανικού συστήµατος F F απ x m F ελ k

. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΣΗΜΑΤΑ Γενική εικόνα τι είναι σήµα - Ορισµός. Ταξινόµηση σηµάτων. Βασικές ιδιότητες σηµάτων. Μετατροπές σήµατος ως προς το χρόνο. Στοιχειώδη σήµατα.

Τι είναι σήµα; Ωςσήµαορίζεταιέναφυσικόµέγεθοςτοοποίοµεταβάλλεταισεσχέσηµετο χρόνο ή το χώρο ή µε οποιαδήποτε άλλη ανεξάρτητη µεταβλητή ή µεταβλητές Παραδείγµατα: Σήµα οµιλίας Σήµα εικόνας Σεισµικά σήµατα Ιατρικά σήµατα... Από µαθηµατική άποψη, ένα σήµα εκφράζεται ως συνάρτηση µιας η περισσοτέρων ανεξαρτήτων µεταβλητών. x () Η ανεξάρτητη µεταβλητή είναι συνήθως ο χρόνος, ή οποία µπορεί να έχει και άλλη φυσική σηµασία. Με x() συµβολίζεται η τιµή του σήµατος τη χρονική στιγµή.

ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΣΗΜΑΤΩΝ α) Σήµατα Συνεχούς Χρόνου ή Αναλογικά Σήµατα. x( ) Γραφική αναπαράσταση ενός συνεχούς σήµατος Σε πολλές εφαρµογές είναι αναγκαίο να µεταδίδουµε ή να αποθηκεύουµε, ένα αναλογικό σήµα από τις τιµές των δειγµάτων του παρµένες κατά κατάλληλα χρονικά διαστήµατα. x a () ειγµατολήπτης x( ) x ( T ) a

β) Σήµατα ιακριτού Χρόνου x () T Γραφική αναπαράσταση ενός διακριτού σήµατος Το ζητούµενο είναι πόσο µεγάλη ή µικρή πρέπει να είναι η περίοδος δειγµατοληψίας Τ ώστε να µη χαθεί η πληροφορία, δηλαδή, να είναι δυνατή η ανακατασκευήτουαναλογικούσήµατος x a () απόταδείγµατα x().

ειγµατοληψία αναλογικών σηµάτων x a ( ) Το σήµα x α () είναι ένα αργά µεταβαλλόµενο σήµα. T S TS 2TS 3T S 4TS 5T S 6T S 7TS 8T S x a ( ) Τώρατοσήµα x α () είναιένασήµαµε γρήγορες µεταβολές. T S TS 2TS 3T S 4TS 5T S 6T S 7TS 8T S Είναι προφανές ότι η περίοδος δειγµατοληψίας για το δεύτερο σήµα πρέπει να είναι σηµαντικά µικρότερη.

β) Σήµατα ιακριτού Χρόνου x () T Γραφική αναπαράσταση ενός διακριτού σήµατος Η επίδραση του θορύβου του συστήµατος µπορεί να ελαχιστοποιηθεί µε την αναπαράσταση των δειγµάτων µ ένα πεπερασµένο πλήθος από προκαθορισµένες στάθµες και τη µετάδοση των αντιστοίχων τιµών. Η αναπαράσταση των αναλογικών δειγµατοληπτηµένων τιµών µε ένα πεπερασµένο σύνολο σταθµών λέγεται κβάντιση.

γ) ΨηφιακάΣήµατα x () 3 2 2 3 Γραφική αναπαράσταση ενός ψηφιακού σήµατος Αφού δειγµατοληπτηθεί και κβαντιστεί η έξοδος µιας αναλογικής πηγής πληροφορίας, δηµιουργείταιµιαακολουθίααπόκβαντισµένεςτιµές (στάθµες). Kάθεκβαντισµένηστάθµηκωδικοποιείταισεµια δυαδικήακολουθία µήκουςν, όπουν= 2 ν είναιοαριθµόςτωνσταθµώνκβάντισης (επιτρεπόµενεςτιµές).

Παλµοκωδική ιαµόρφωση (PCM) Η Παλµοκωδική διαµόρφωση (Pulse Code Modulaio (PCM)) είναι το απλούστερο σχήµα κωδικοποιήσης κυµατοµορφής. Ένας παλµοκωδικός διαµορφωτής παλµών αποτελείται από τρία βασικά µέρη: ένα δειγµατολήπτη, έναν κβαντιστή και ένα κωδικοποιητή. ΣΥΣΤΗΜΑ PC M ειγµατολήπτης Κβαντιστής Κωδικοποιητής x ( ) x () x () 4 5 6 7 8 9 2 3 2 3 4 5 6 7 8 9 2 3 2 3

Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΑΝΑΛΟΓΙΚΩΝ ΣΗΜΑΤΩΝ Περιοδικά και µη περιοδικά σήµατα x ( ) = x ( + T ) για κάθε τιµή του x () 2T T T 2T Περιοδικό σήµα συνεχούς χρόνου

Αιτιατά και µη αιτιατά σήµατα Ένα σήµα λέγεται αιτιατό αν x ( ) = για κάθε < x () x () (α) (β) Παράδειγµα: (α) Αιτιατού σήµατος και (β) µη αιτιατού σήµατος

Άρτια και περιττά σήµατα Ένα σήµα x() λέγεται άρτιο αν x ( ) = x ( ) Ένα σήµα x() λέγεται περιττό αν x ( ) = x ( ) x( ) x( ) Σήµα συνεχούς χρόνου που παρουσιάζει άρτια συµµετρία Σήµα συνεχούς χρόνου που παρουσιάζει περιττή συµµετρία

Σήµατα πεπερασµένα και σήµατα πεπερασµένης και άπειρης διάρκειας Ένα σήµα λέγεται πεπερασµένο αν x() <, για κάθε τιµή του χρόνου. Ένα σήµα λέγεται σήµα πεπερασµένης διάρκειας αν x ( ) =,, T T 2 όπου T και T 2, (T < T 2 ), είναιπεπερασµένοιαριθµοί. Αν τουλάχιστον ένα από τα T και T 2 γίνει ίσο µε το άπειρο τότε το σήµα έχει άπειρη διάρκεια.

Αιτιοκρατικά και τυχαία-στοχαστικά σήµατα ( ) ( π = π + ) x Acos 2 f 4 A 2 A 2 x () T A Παράδειγµα νοµοτελειακού σήµατος Παράδειγµα τυχαίου σήµατος

Ενεργειακά σήµατα - σήµατα ισχύος Ηενέργεια E x τουσήµατος x()δίνεταιαπότησχέση E x = lim + T T T x ( ) 2 d Ένα σήµα χαρακτηρίζεται ως ενεργειακό σήµα αν < E x < Η ενέργεια διακριτού σήµατος δίνεται από τη σχέση E x = = = x ( ) 2

Ηµέσηισχύς P x τουσήµατος x()δίνεταιαπότησχέση P x = lim T 2T + T T x ( ) 2 d Ένα σήµα χαρακτηρίζεται ως σήµα ισχύος αν < P x < Αν το σήµα είναι περιοδικό τότε P x = T T x ( ) 2 d Η µέση ισχύς διακριτού σήµατος δίνεται από τη σχέση P x = N = N x ( ) 2

Μετατροπές Σηµάτων ως προς το Χρόνο Αλλαγή Κλίµακας Χρόνου x( 2) x( ) ( ) x 2 2 2 2 2 Χρονική συστολή του σήµατος x() Χρονική διαστολή του σήµατος x().

Ανάκλαση x( ) x( ) x() (α) ένα σήµα συνεχούς χρόνου (β) η ανάκλασή του ωςπρος =

Χρονική Μετατόπιση x () x () x( ) (α) Τοσήµα x() (β) H χρονικάµετατοπισµένη µορφή του

ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΣΗΜΑΤΩΝ Σήµατα συνεχούς χρόνου ή αναλογικά σήµατα Σήµατα διακριτού χρόνου Ψηφιακά σήµατα Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΑΝΑΛΟΓΙΚΩΝ ΣΗΜΑΤΩΝ Περιοδικά και Μη Περιοδικά Σήµατα Αιτιατά και Μη Αιτιατά Σήµατα Σήµατα Πεπερασµένα και Σήµατα Πεπερασµένης και... Άπειρης ιάρκειας Άρτια και Περιττά σήµατα Ενεργειακά Σήµατα - Σήµατα Ισχύος Αιτιοκρατικά και Τυχαία-Στοχαστικά Σήµατα

ΜΕΤΑΤΡΟΠΕΣ ΣΗΜΑΤΟΣ ΩΣ ΠΡΟΣ ΤΟ ΧΡΟΝΟ Ανάκλαση Αλλαγή Κλίµακας Χρόνου ΧρονικήΜετατόπιση

ΣΤΟΙΧΕΙΩ Η ΣΗΜΑΤΑ Θα ορίσουµε ένα αριθµό στοιχειωδών σηµάτων που παίζουν κάποιο ιδιαίτερο ρόλο στη θεωρία Το µιγαδικό εκθετικό σήµα συνεχούς χρόνου x ( ) = c s e όπου c = c e jθ και s = σ+ jω

Το πραγµατικό εκθετικό σήµα συνεχούς χρόνου x ( ) = c e σ x( ) c σ < <σ x( ) c x( ) c σ = Το πραγµατικό εκθετικό σήµα για τις διάφορες τιµές της παραµέτρου σ.

Το συνηµιτονοειδές σήµα x ( ) = A cos ( ω + φ) x( ) = Acos( ω + ϕ) A Acosϕ T = 2 π ω Το συνηµιτονοειδές σήµα συνεχούς χρόνου

Ησυµπεριφοράτουσυνηµιτόνουγιαδιαφορετικέςσυχνότητεςω <ω 2 < ω 3 ή T > T 2 > T 3. x ( ) = cos( ω ) T x ( ) = cos( ω ) 2 2 T 2 x ( ) = cos( ω ) 3 3 T 3

x Το µιγαδικό εκθετικό σήµα s jθ ( ) όπου και s= + j = c e c= c e σ ω Οι γραφικές αναπαραστάσεις του πραγµατικού µέρους του µιγαδικού εκθετικού σήµατος για τις διάφορες τιµές της παραµέτρου σ είναι R e{ x( ) } = c cosω ( + θ) σ R e{ x( ) } = c e cos( ω + θ) σ R e{ x( ) } = c e cos( ω + θ) σ = Η περιβάλλουσα c e σ = c είναι σταθερή σ > Η περιβάλλουσα c e σ αυξάνεται εκθετικά σ < Η περιβάλλουσα c e σ µειώνεται εκθετικά

Το πραγµατικό εκθετικό σήµα διακριτού χρόνου x ( ) Όπου c και α πραγµατικοί αριθµοί. = c a Οι γραφικές αναπαραστάσεις του πραγµατικού εκθετικού σήµατος διακριτού χρόνου για τις διάφορες τιµές της παραµέτρου α είναι < a x( ) < a < x( ) a < x( ) < a < x( )

Το µιγαδικό εκθετικό σήµα διακριτού χρόνου x ( ) = c a όπου c = c e jθ και a= a e jω Οι γραφικές αναπαραστάσεις του πραγµατικού µέρους του µιγαδικού εκθετικού σήµατος διακριτού χρόνου για τις διάφορες τιµές της παραµέτρου α είναι Re{ x( ) } c a Re{ x( ) } c a a < < a

Η συνάρτηση µοναδιαίου βήµατος συνεχούς χρόνου. ( ) u u( ) =, <, > Ένας άλλος τρόπος να δούµε τη συνάρτηση u() είναι ως όριο µιας ακολουθίας συναρτήσεων, < u ( ) =, < <, u ( ) = lim u ( ) ( ) u

Ιδιαίτεροενδιαφέρονπαρουσιάζειηπαράγωγοςτηςσυνάρτησης u (). δ ( ) du ( ) = d, < < ( ) δ Η κρουστική συνάρτηση συνεχούς χρόνου ή Συνάρτηση δέλτα. δ( ) lim δ ( ) = δ( )

Ηδ() δενείναισυνάρτησηµετησυνήθηέννοιακαιορίζεταιµέσααπότις ιδιότητέςτης, δηλαδή ( ) =, δ δ( ) d= Ένας γενικότερος ορισµός της δ() είναι ( ) =, δ x ) ( ) d= x ( ) δ ( Μία βασική ιδιότητα της συνάρτησης δέλτα είναι δ ( ) =δ( )

Η µοναδιαία βηµατική ακολουθία u( ) = u(), <, Το µοναδιαίο δείγµα δ ( ) =, =, αλλιώς δ () Παρατηρούµε ότι u ( ) = δ ( k) δ ( ) = u ( ) u ( ) k=

Η συνάρτηση Ορθογώνιου Παλµού, < 2 Π ( ) =, = 2 2, αλλιώς Π () 2 2 Παρατηρούµε ότι ( + ) u( ) Π ( ) = u 2 2 Η συνάρτηση Τριγωνικού Παλµού Λ +, < ( ) = +, <, αλλιώς Λ ()

Η συνάρτηση Προσήµου sg ( ) =,,, > < = sg ( ) Παρατηρούµε ότι sg ( ) = 2 u ( )

Ανάπτυγµα σήµατος διακριτού χρόνου σε ολισθήσεις µοναδιαίου δείγµατος. 2 3 4 4 3 2 ( ) x 5 x( ) δ( + ) 4 3 2 2 3 4 5 x() Εποµένως κάθε σήµα µπορεί να αναπαρασταθεί σε άθροισµα από ολισθήσεις µοναδιαίου δείγµατος x( ) = x( k) δ ( k) k= x( ) δ( ) 4 3 2 2 3 4 5 x( ) δ( ) 4 3 2 2 3 4 5

Ανάπτυγµα αναλογικού σήµατος σε ολισθήσεις της κρουστικής συνάρτησης. Αναφέραµε ότι τα στοιχειώδη σήµατα είναι εργαλεία για τη µελέτη πολυπλοκοτέρων σηµάτων. Αποδεικνύεται ότι ένα τυχαίο σήµα x() µπορεί να περιγραφεί µε τη βοήθεια της συνάρτησης δ(). Πράγµατι κάθε αναλογικό σήµα, x(), µπορεί να αναπαρασταθεί σε άθροισµα από ολισθήσεις της κρουστικής συνάρτησης. x( ) = x( τ) δ( τ) dτ

Εφαρµογή h ( k) h ( k) = k 2, k 2, αλλι & ως 6 4 2 2 4 6 8 k h ( k+ 3) = h( k+3) k + 3 2,, 3 k αλλι & ως 6 4 2 2 4 6 8 k h ( k 3) = k 3 2,, 3 k 5 αλλι & ως 6 h 4 ( k 3) 2 2 4 6 8 k

h h h ( k) ( k) h ( 3 k) ( 3 k) k 2, k 2 =, αλλι & ως k 2, 2 k =, αλλι & ως 3 k 2, =, 3 2 =,, k 3 αλλι & ως 5 k 3 αλλι & ως h ( k) h( 3 k) 2 4 6 8 h( k) h( 3 k) k 6 6 6 6 4 4 4 4 2 2 2 2 2 4 6 8 2 4 6 8 2 4 6 8 k k k k