ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, --, ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ #: ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Σ Βαρούτης Ποια είναι η γενική μορφή των πολυωνύμων παρεμβολής των μεθόδων Newto και grge; Τα πολυώνυμα παρεμβολής που προκύπτουν όταν εφαρµόσουµε τις δύο μεθόδους στην ίδια ομάδα δεδομένων είναι τα ίδια ή διαφορετικά και γιατί; Ποιο είναι το µειονέκτηµα της παρεμβολής grge σε σχέση µε την παρεμβολή Newto; Η γενική μορφή των πολυωνύμων παρεμβολής Newto είναι η εξής: N P () N ενώ η αντίστοιχη γενική σχέση για την παρεμβολή grge είναι, όπου P Βασικό πλεονέκτημα της μορφής Newto είναι ότι αφού υπολογισθούν οι συντελεστές, τότε η τιμή του πολυωνύμου παρεμβολής σε ένα δεδομένο σημείο υπολογίζεται με O πολλαπλασιασμούς και προσθέσεις με βάση το σχήμα Horer (βλέπε βιβλίο Γ Ακρίβης-Β Δουγαλής, Εισαγωγή στην Αριθμητική Ανάλυση, σελ-) () Βασικό πλεονέκτημα της μεθόδου grge είναι η απλότητα της Εξ (), κάτι που την καθιστά χρήσιμη για θεωρητικούς σκοπούς Όμως, παρεμβολή σε ένα επιπλέον σημείο, δηλαδή παρεμβολή στα σημεία,, και, απαιτεί τον υπολογισμό των νέων πολυωνύμων grge εξ αρχής, γεγονός το οποίο καθιστά την μέθοδο αυτή ασύμφορη στην πράξη Επιπλέον ο υπολογισμός της τιμής του πολυωνύμου σε ένα σημείο στη μορφή grge απαιτεί περισσότερες πράξεις απ ότι στην μορφή του Newto (βλέπε βιβλίο Γ Ακρίβης-Β Δουγαλής, Εισαγωγή στην Αριθμητική Ανάλυση, σελ- )
Να χρησιμοποιηθούν οι μέθοδοι παρεμβολής grge, Newto και κυβικές sples, στον πίνακα δεδομένων: - - ώστε να εκτιμηθούν οι τιμές των και Παρεμβολή Newto Σύμφωνα με την μέθοδο Newto το πολυώνυμο παρεμβολής είναι p () Οι συντελεστές δίνονται από τις σχέσεις Αντικαθιστώντας τις αντίστοιχες τιμές των συντελεστών στην Εξ () προκύπτει το πολυώνυμο παρεμβολής p Η πρώτη παράγωγος είναι p Επομένως: p και p Στο Σχήμα απεικονίζεται το πολυώνυμο παρεμβολής Newto καθώς και οι αρχικές τιμές του πίνακα της εκφώνησης Παρατηρούμε ότι το πολυώνυμο διέρχεται από τις δοθείσες τιμές
Παρεμβολή grge Σύμφωνα με την μέθοδο grge το πολυώνυμο παρεμβολής είναι p όπου Για τα έχουμε και το πολυώνυμο παρεμβολής που προκύπτει είναι: p Όπως αναμένουμε είναι ακριβώς το ίδιο πολυώνυμο με νωρίτερα Στο Σχήμα απεικονίζεται το πολυώνυμο παρεμβολής grge - - - Σχήμα : Πολυώνυμο παρεμβολής Newto και grge
Παρεμβολή με κυβικές ples Τα πολυώνυμα τα οποία αντιστοιχούν στα τρία υποδιαστήματα είναι: Οι όροι είναι: Οι όροι Δ είναι: Θέτοντας, προκύπτει το τριδιαγώνιο σύστημα και Αντικαθιστώντας στα πολυώνυμα,, τις αντίστοιχες ποσότητες προκύπτει Για τον υπολογισμό της τιμής στο επιλεγούμε το πολυώνυμο, το οποίο αντιστοιχεί στο διάστημα [, ] Τότε και
- - - Σχήμα : Παρεμβολή με Κυβικές ples Να χρησιμοποιηθούν οι μέθοδοι παρεμβολής grge και κυβικές sples, και να βρεθεί η συνάρτηση παρεμβολής στον πίνακα δεδομένων: Μέθοδος παρεμβολής grge Εφαρμόζοντας την ίδια μεθοδολογία όπως στην Άσκηση, για την παρεμβολή grge, το πολυώνυμο παρεμβολής είναι P όπου
Το πολυώνυμο παρεμβολής που προκύπτει είναι P Η γραφική παράσταση του πολυωνύμου παρεμβολής συναρτήσει των αρχικών σημείων παρεμβολής απεικονίζεται στο Σχήμα Μέθοδος παρεμβολής με κυβικές ples Οι ποσότητες και που απαιτούνται για των υπολογισμό των πολυωνύμων συναρτήσει των και φαίνονται παρακάτω:
Οι όροι Δ είναι Τα πολυώνυμα για τα αντίστοιχα υποδιαστήματα είναι τα παρακάτω Υποθέτουμε ότι ενώ τα υπόλοιπα υπολογίζονται από την επίλυση του τριδιαγώνιου συστήματος
Οι τιμές των που προκύπτουν από την επίλυση του παραπάνω τριδιαγώνιου συστήματος είναι:,,,,,,,, Τα πολυώνυμα που προκύπτουν για τα αντίστοιχα υποδιαστήματα είναι: Η γραφική παράσταση των παραπάνω πολυωνύμων στα διάφορα υποδιαστήματα συναρτήσει των αρχικών σημείων παρεμβολής απεικονίζεται στο Σχήμα - - - - Σχήμα : Παρεμβολή grge
Σχήμα : Παρεμβολή με Κυβικές ples Να εφαρμοσθεί η μέθοδος των ελάχιστων τετραγώνων στον πίνακα δεδομένων: Επιλέγουμε την χρήση ενός πολυωνύμου ου βαθμού, τότε το σύστημα που προκύπτει είναι Η επίλυση του συστήματος γίνεται με την βοήθεια του Mtemtc και η αντίστοιχη συνάρτηση παρεμβολής που προκύπτει είναι και η γραφική παράσταση απεικονίζεται στο Σχήμα α Όμοια εάν επιλέξουμε την χρήση ενός πολυωνύμου ου βαθμού, τότε το σύστημα που προκύπτει είναι
Η αντίστοιχη συνάρτηση παρεμβολής που προκύπτει είναι και η γραφική παράσταση απεικονίζεται στο Σχήμα β Σχήμα α: Παρεμβολή με πολυώνυμο ου βαθμού Σχήμα β: Παρεμβολή με πολυώνυμο ου βαθμού
Να βρεθεί η συνάρτηση που προσεγγίζει την δυνατόν τρόπο στο διάστημα [-,] µε τον καλύτερο Βλέπε Άσκηση, Εργασία #-Απαντήσεις Έστω ότι ζητούμε να προσεγγίσουμε (παρεµβάλουµε) µία συνάρτηση,b µε ένα γραµμικό συνδυασμό της μορφής: P c όπου οι συναρτήσεις βάσεις δηλαδή Φ () Φ είναι ορθογώνια πολυώνυμα στο[α,b], () Με βάση την μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων και την ορθογωνιότητα των συναρτήσεων βάσης βρείτε εκφράσεις κλειστής μορφής για τους άγνωστους συντελεστές, c,,, N Ορίζουμε το υπόλοιπο N,,, r c () όπου ο αριθμός των σημείων παρεμβολής και N η τάξη του πολυωνύμου Για να μπορέσουμε να εφαρμόσουμε ορθογωνιότητα πρέπει να ελαχιστοποιήσουμε την ποσότητα m w r () όπου w οι συναρτήσεις βαρύτητας στα σημεία Αναγκαίες συνθήκες για την ελαχιστοποίηση είναι
N w c w r c c c k k k N w c N w c k, ck οι οποίες οδηγούν στο γραμμικό σύστημα N k N () wk c wk, () ή N wk c wk, k N () Το σύστημα () είναι στη μορφή A άγνωστους συντελεστές b και επιλύεται αναλυτικά για τους c Εφαρμόζοντας τις σχέσεις ορθγωνιότητας () υπό μορφή αθροισμάτων αντί ολοκληρωμάτων ο πίνακας A ανάγεται σε διαγώνιο πίνακα και επομένως c k w k w k, k N ()