ΑΣΚΗΣΕΙΣ 7 ης ΕΒΔΟΜΑΔΑΣ

ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Ακαδηµαϊκό έτος 5-6 ΜΑΘΗΜΑ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Καθηγητής: Σ Πνευµατικός ΑΣΚΗΣΕΙΣ 7 ης ΕΒΔΟΜΑΔΑΣ ΟΙ ΚΑΝΟΝΙΚΕΣ ΜΟΡΦΕΣ JORDAN Θεωρούµε ένα n-διάστατο διανυσµατικό χώρο E στο σώµα Κ = ή και συµβολίζουµε L(E) το σύνολο των Κ-γραµµικών απεικονίσεων (ενδοµορφισµών) του Ε στον εαυτό του Σηµείωση Αν L(E) και Sp( f ) = {,,λ } Κ µε αντίστοιχες πολλαπλότητες p,, p, τότε: (Χ) = ( ) n (Χ ) p (Χ λ ) p, m f (Χ) = (Χ ) p (Χ λ ) p, p i p i, i =,, Οι ρίζες του ελάχιστου πολυωνύµου είναι ακριβώς οι ρίζες του χαρακτηριστικού πολυωνύµου, δηλαδή οι ιδιοτιµές του ενδοµορφισµού, όµως όχι πάντα µε την ίδια πολλαπλότητα Ο ενδοµορφισµός διατηρεί αναλλοίωτους τους ιδιόχωρους και τους χαρακτηριστικούς χώρους κάθε ιδιοτιµής και κάθε ιδιόχωρος εγκλείεται στον αντίστοιχο χαρακτηριστικό χώρο χωρίς όµως να ταυτίζεται οπωσδήποτε µε αυτόν: E λi = Ker( f λ i id), N λi = Ker( f λ i id) p i, f (E λi ) E λi, f (N λi ) N λi, E λi N λi, i =,, Από το λήµµα διάσπασης του πυρήνα προκύπτει ότι ο χώρος Ε διασπάται σε ευθύ άθροισµα των χαρακτηριστικών χώρων: E = N λ i Η διάσπαση αυτή δεν ισχύει για τους ιδιόχωρους εκτός αν το ελάχιστο πολυώνυµο έχει όλες τις ρίζες του απλές στο Κ : i= m f (Χ) = (Χ )(Χ λ ) E = E λ i Η διάσπαση σε ιδιόχωρους σηµαίνει (και αντίστροφα) ότι υπάρχει βάση ιδιοδιανυσµάτων στο χώρο Ε και τότε, στη βάση αυτή, ο πίνακας του ενδοµορφισµού είναι διαγώνιος (και αντίστροφα) Αν η διαγωνιοποίηση δεν είναι εφικτή τότε τίθεται το ερώτηµα της ύπαρξης και κατασκευής µιας βάσης στην οποία ο πίνακας του ενδοµορφισµού αποκτά τριγωνική έκφραση Άσκηση Διαπιστώστε ότι ο πίνακας κάθε ενδοµορφισµού f L(E) µπορεί σε κατάλληλη βάση να αποκτήσει τριγωνική έκφραση στο αλλά όχι πάντα στο : i= = λ n Σηµείωση Στην διαγώνιο του τριγωνικού πίνακα εµφανίζονται οι ιδιοτιµές, δηλαδή οι n ρίζες που το χαρακτηριστικό πολυώνυµο (Θεώρηµα D Alembert) Η τριγωνοποίηση είναι εφικτή στο πραγµατικό πλαίσιο µόνο αν όλες οι ιδιοτιµές είναι πραγµατικές Η κατασκευή της βάσης στην οποία τριγωνοποιείται ο πίνακας γίνεται επαγωγικά στη διάσταση του χώρου Ε Συντάξτε την απόδειξη που θα δοθεί στο µάθηµα ή εκείνη που θα επιλέξετε από τη βιβλιογραφία και τριγωνοποιείστε κάποιους πίνακες της επιλογής σας στο µιγαδικό ή εφόσον είναι εφικτό στο πραγµατικό πλαίσιο - Αν f L(E) µε ιδιοτιµές,,λ n, διακριτές ή όχι, διαπιστώστε ότι: Tr( f ) = + + λ n και det( f ) = λ n

Λήµµα αναλλοίωτων υπόχωρων Αν f L(E) και E = E E µε f (E i ) E i, i =,,, τότε οι υπόχωροι E i διαθέτουν αντίστοιχες βάσεις B i, i =,,, τέτοιες ώστε στη βάση B = B,B ο πίνακας του ενδοµορφισµού εκφράζεται ως εξής: { } του E = M M M i = Μ( f E i ) Bi Σηµείωση Η απόδειξη δεν είναι δύσκολη και βασίζεται στο αναλλοίωτο των υπόχωρων που υπεισέρχονται στη διάσπαση του Ε - Διαπιστώστε ότι η συνθήκη f (E i ) E i είναι αναγκαία και ικανή για να οριστεί η απεικόνιση f E i : E i E i - Με τον τρόπο αυτό ορίζεται η προβολή pr i : E E i, i =,,, παράλληλα προς τον υπόχωρο E, j =,, j j i Θεώρηµα Αν f L(E) και Sp( f ) ={,,λ } Κ µε αντίστοιχες πολλαπλότητες p,, p, τότε οι χαρακτηριστικοί χώροι N λi B = B,B διαθέτουν αντίστοιχες βάσεις B i τέτοιες ώστε στη βάση { } του E ο πίνακας του ενδοµορφισµού εκφράζεται ως εξής: = λ λ λ i M i = = Μ( f N λi ) Bi λ i Σηµείωση Η απόδειξη δεν είναι δύσκολη και προκύπτει από το προηγούµενο λήµµα θέτοντας στην αποσύνθεση τους χαρακτηριστικούς χώρους του ενδοµορφισµού οι οποίοι όπως ξέρετε διατηρούνται αναλλοίωτοι Για κάθε i =,, ισχύει: N λi = Ker( f λ i id) p i ( f λ i id) p i (x) =, x N λ i (Χ λ i ) p i ( f i ) =, f i = f N λ i m fi (Χ) = (Χ λ i ) p, p p P i i fi (Χ) = ( ) p i (Χ λ ) p i, p p i i i Άρα το χαρακτηριστικό πολυώνυµο του περιορισµού f i = f N λi έχει τις ρίζες του στο Κ µια ρίζα λ i πολλαπλότητας p i οπότε ο πίνακάς του M i είναι διαγωνιοποιήσιµος στο Κ και στη διαγώνιο εµφανίζεται p i φορές η ιδιοτιµή λ i Αρκεί πλέον να διαπιστώσετε ότι p i = p i και αυτό προκύπτει µε έναν απλό υπολογισµό: (Χ) = det( M XI) det( M XI) = (Χ) (Χ) = ( ) n (Χ λ i ) p (Χ λ ) p αφού λάβετε υπόψη σας την έκφραση του χαρακτηριστικού πολυωνύµου του ενδοµορφισµού f : (Χ) = ( ) n (Χ λ i ) p (Χ λ ) p Προφανώς, το πλήθος των blocs που υπεισέρχονται στην έκφραση του τριγωνικού πίνακα που υποδεικνύει το θεώρηµα είναι ίδιο µε εκείνο των χαρακτηριστικών χώρων, δηλαδή µε το πλήθος των διαφορετικών ιδιοτιµών του ενδοµορφισµού και το µέγεθος κάθε bloc είναι ίδιο µε τη διάσταση του αντίστοιχου χαρακτηριστικού χώρου Στη διαγώνιο του πίνακα εµφανίζονται οι ιδιοτιµές, µιγαδικές ή πραγµατικές, του ενδοµορφισµού µε τις αντίστοιχες πολλαπλότητές τους Αποµένει να εξοικειωθείτε µε τη διαδικασία κατασκευής της κατάλληλης βάσης κάθε χαρακτηριστικού χώρου ώστε να συγκροτηθεί η βάση του Ε στην οποία ισχύει η τριγωνική έκφραση Άσκηση Εφαρµόστε το θεώρηµα στον ενδοµορφισµό που στην κανονική βάση ορίζεται ως εξής: =

Υπόδειξη Χαρακτηριστικό πολυώνυµο : (Χ) = Χ (Χ ) =, λ =, ν( ) = ν(λ ) = Το θεώρηµα υποδεικνύει την ύπαρξη βάσης B = v,v 3,v 4 { } του 4 στην οποία ο πίνακας του ενδοµορφισµού εκφράζεται ως εξής: = a b Ο προσδιορισµός αυτής της βάσης και ο υπολογισµός των σταθερών a και b είναι πλέον εύκολη διαδικασία: f (v ) = v f (v ) = av + v f (v 3 ) = f (v 4 ) = bv 3 M v = v ( M I)v = av M v 3 = M v 4 = bv 3 v = t [,,,] v = t [,,,] v 3 = t [,,,] v 4 = t [,,,] = - Παρατηρείστε ότι οι χαρακτηριστικοί χώροι είναι: N λ= = < v >, N λ= = < v 3,v 4 > και 4 = N λ= N λ= - Γιατί ο πίνακας αυτού του ενδοµορφισµού δεν είναι διαγωνιοποιήσιµος; Ποιοι είναι οι ιδιόχωροι και το ελάχιστο πολυώνυµο; - Πώς θα µπορούσατε να αξιοποιήσετε αυτό το θεώρηµα για τον υπολογισµό της m οστής δύναµης του πίνακα ; Υπόδειξη Σε ένα γενικό πλαίσιο, χρησιµοποιείστε την αλλαγή βάσης = P P και δείξτε ότι: λ λ m = m λ λ Αν δεν καταφέρατε να φτάσετε στο τελικό συµπέρασµα της συγκεκριµένης ερώτησης παρατηρείστε ότι: m λ i M i = Μ( f N i ) Bi = = λ i + λ i Για τον υπολογισµό του M m i = ( λ i I + J ) m, θα χρειαστείτε τον τύπο του διωνύµου: Α,Β M(n,n), ΑΒ = ΒΑ Α + Β ( ) n n = C n Α Β n = : M i = λ i I + J Για την ολοκλήρωση του υπολογισµού παρατηρείστε ότι το χαρακτηριστικό πολυώνυµο του J είναι P J (X) = ( ) n X n και το ελάχιστο πολυώνυµο m J (X) = X m όπου m n, και επειδή m J (J ) = θα ισχύει J m =, κλπ Σηµείωση Η κατασκευή της βάσης στην οποία ο πίνακας ενός ενδοµορφισµού αποκτά την τριγωνική έκφραση που υποδεικνύει το θεώρηµα είναι γενικά επαρκής για τις εφαρµογές Εντούτοις, µια τελευταία αναγωγή µπορεί να επιτευχθεί ώστε ο πίνακας να αποκτήσει την απλούστερη δυνατή έκφραση στην οποία υπεισέρχονται blocs Jordan, δηλαδή τετραγωνικοί πίνακες της µορφής: J(λ) = = λ λ + = λ I + J(), λ Κ - Πώς εκφράζεται ο ενδοµορφισµός f : n n που ο πίνακάς του στην κανονική βάση είναι τύπου Jordan; - Ποιος είναι ο πυρήνας, η εικόνα, το χαρακτηριστικό και το ελάχιστο πολυώνυµο αυτού του ενδοµορφισµού; - Ποιος είναι ο ιδιόχωρος και ο χαρακτηριστικός χώρος της ιδιοτιµής αυτού του ενδοµορφισµού; - Παρατηρείστε ότι ο πίνακας J() είναι µηδενοδύναµος, δηλαδή υπάρχει ν : J() ν = Υπόδειξη P J (λ) (X) = ( ) n (X λ) n, m J (λ) (X) = (X λ) n, dim E λ = 3

Λήµµα Jordan Αν f L(E) µε (Χ) = ( ) n (Χ λ) n, m f (Χ) = (Χ λ) m, dim E λ =, υπάρχει βάση B του E στην οποία ο πίνακάς του συγκροτείται από υποπίνακες τύπου Jordan ως εξής: = J (λ) J (λ) όπου J i (λ) =, i =,, λ Σηµείωση Ο ενδοµορφισµός αυτός προφανώς έχει µια µόνο ιδιοτιµή λ Κ πολλαπλότητας n, οπότε υπάρχει βάση στην οποία ο πίνακάς του είναι τριγωνικός µε επαναλαµβανόµενη αυτή την ιδιοτιµή στη διαγώνιό του που επιδέχεται την ακόλουθη αποσύνθεση: Μ( f ) B = λ λ = λ + Συµβολίζουµε αυτή την αποσύνθεση A = λ I + N ή αν προτιµάτε f = λid + u Ο ενδοµορφισµός u L(E) προφανώς είναι µηδενοδύναµος, δηλαδή υπάρχει p : u p = Επειδή ο πίνακας λ I του λid δεν επηρεάζεται από την επιλογή της βάσης, αρκεί για την απόδειξη του λήµµατος να επικεντρωθούµε στους µηδενοδύναµους ενδοµορφισµούς και να προσθέσουµε το λ I Η σηµαντική ιδιότητα κάθε µηδενοδύναµου ενδοµορφισµού u L(E) είναι η διάσπαση του χώρου Ε σε ευθύ άθροισµα αναλλοίωτων υπόχωρων και ότι ο περιορισµός του σε κάθε τέτοιον αναλλοίωτο υπόχωρο είναι κυκλικός ενδοµορφισµός Σχόλιο Στην περίπτωση του λήµµατος θα διαπιστώσουµε ότι η διάσταση του ιδιόχωρου της µοναδικής ιδιοτιµής του θεωρούµενου ενδοµορφισµού υποδεικνύει το πλήθος των blocs Jordan που θα υπεισέλθουν στον τελικό του πίνακα και αυτό οφείλεται στο ότι κάθε bloc Jordan έχει µοναδική ιδιοτιµή και µονοδιάστατο ιδιόχωρο Το µέγεθος του µεγαλύτερου bloc Jordan µέσα στον τελικό πίνακα του ενδοµορφισµού δηλώνεται από τον βαθµό m του ελάχιστου πολυωνύµου Αυτό γίνεται αντιληπτό στην απόδειξη του λήµµατος Παράδειγµα Έστω f L( 5 ) µε (Χ) = (Χ λ) 5 και m f (Χ) = (Χ λ) 3 Αν dim E λ = 3 ή αν dim E λ = τότε υπάρχει βάση B του E στην οποία ο πίνακας του ενδοµορφισµού θα εκφραστεί αντίστοιχα: = λ λ λ = λ λ - Εξετάστε αν σε αυτόν τον ενδοµορφισµό θα µπορούσε να εµφανιστεί η περίπτωση dim E λ = ή dim E λ = 4 ή dim E λ = 5 Σχόλιο για τους µηδενοδύναµους ενδοµορφισµούς Αν f L(E) είναι m-µηδενοδύναµος ενδοµορφισµός τότε: - Το χαρακτηριστικό και το ελάχιστο πολυώνυµό του είναι αντίστοιχα (X) = ( ) n X n και m f (X) = X m - Υπάρχει x E τέτοιο ώστε f ν (x) και τα διανύσµατα x, f (x),, f p (x) είναι γραµµικά ανεξάρτητα - Ο ενδοµορφισµός αφήνει αναλλοίωτο τον p-διάστατο διανυσµατικό υπόχωρο C f (x) = < x, f (x),, f p (x) > E - Ο περιορισµός του ενδοµορφισµού στον υπόχωρο C f (x) είναι p-µηδενοδύναµος - Ο περιορισµός αυτός εκφράζεται στη βάση B = { f p (x),, f (x),x} µε τον p p πίνακα: = Σηµείωση Στην περίπτωση m = n συγκροτείται η αντίστοιχη κυκλική βάση B = { f n (x),, f (x),x} του χώρου Ε - Αποδείξτε τις προαναφερόµενες ιδιότητες των µηδενοδύναµων ενδοµορφισµών και µε τη συµβολή της βιβλιογραφίας επιχειρείστε να ολοκληρώσετε την απόδειξη του λήµµατος Jordan Άσκηση 3 Προσδιορίστε τη µορφή Jordan του ενδοµορφισµού f L( 3 ) που στην κανονική βάση εκφράζεται µε τον πίνακα: = = Α 4

Υπόδειξη Χαρακτηριστικό πολυώνυµο : (Χ) = (Χ ) 3 λ =, ν(λ) = 3 (περίπτωση λήµµατος Jordan) Ιδιόχωρος E λ = Ker( f λid) = < (,,) > dim E λ = ένα bloc Jordan Χαρακτηριστικός χώρος N λ = Ker( f λid) 3 = 3 (Cayley-Hamilton: ( f ) = ( f λid) 3 = N λ = 3 ) Ελάχιστο πολυώνυµο : m f (Χ) = ; Λήµµα Jordan υπάρχει βάση B του 3 στην οποία ο πίνακας του ενδοµορφισµού εκφράζεται ως εξής: = Πώς κατασκευάζεται αυτή η βάση B = {v,v 3 } ; Αναζητούµε αυτά τα διανύσµατα έτσι ώστε: Αv = v, Αv = v + v, Αv 3 = v + v 3 Συνεπώς, το διάνυσµα v ανήκει στον ιδιόχωρο E λ = < (,,) >, δηλαδή στη διανυσµατική ευθεία που στο ευκλείδειο σύστηµα = Β συντεταγµένων ορίζεται από τις εξισώσεις y =, x = z Το διάνυσµα v = (x, y,z) ορίζεται από τις εξισώσεις x y = + x, x z = y, x + z = + z, δηλαδή από τις εξισώσεις y =, x z = Επιλέγουµε λοιπόν v = (,,) και v = (,,) Το διάνυσµα v 3 = (x, y,z) ορίζεται από τις εξισώσεις x y = x, x z = y, x + z = z, δηλαδή από τις εξισώσεις y =, x = z και επιλέγουµε v 3 = (,,) Καθορίζεται έτσι ο ακόλουθος πίνακας µετάβασης P που είναι αντιστρέψιµος και πληροί τη συνθήκη Α = PΒP Β = P ΑP : P = Εφαρµογή Υπολογίστε τις λύσεις του συστήµατος των γραµµικών διαφορικών εξισώσεων: dx = x y, dy = x z, dz = x + z Θεώρηµα Jordan Αν f L(E) µε ιδιοτιµές,,λ Κ αντίστοιχης πολλαπλότητας p,, p : (Χ) = ( ) n (Χ ) p (Χ λ ) p, ( λ i λ j, p + + p = n ), τότε υπάρχει βάση B του E στην οποία ο πίνακας του ενδοµορφισµού f εκφράζεται ως εξής: = J ( ) J (λ ) όπου οι πίνακες J ( ),, J (λ ) έχουν αντίστοιχες διαστάσεις p,, p και δίνονται από το λήµµα Jordan: J (λ i ) = J (λ i ) J i (λ i ) Σηµείωση Η απόδειξη του θεωρήµατος βασίζεται στη διάσπαση του χώρου Ε σε ευθύ άθροισµα των χαρακτηριστικών χώρων και στην απευθείας εφαρµογή για κάθε χαρακτηριστικό χώρο του λήµµατος Jordan Άσκηση 4 Προσδιορίστε τη µορφή Jordan του ενδοµορφισµού f L( 3 ) που στην κανονική βάση εκφράζεται µε τον πίνακα: 3 4 = 3 = Α 3 5

Υπόδειξη (Χ) = (Χ +)(Χ ) =, λ =, ν( ) =, ν(λ ) = (εφαρµογή θεωρήµατος Jordan) Ιδιόχωροι: E λ = Ker( f id) = < (,, ) > dim E λ =, E λ = Ker( f λ id) = < (,, ) > dim E λ = Ελάχιστο πολυώνυµο: m f (Χ) = (Χ +)(Χ ) Χαρακτηριστικοί χώροι: N λ = Ker( f id) = E λ, N λ = Ker( f λ id) = {(x, y,z) 3 / x + z = } Θεώρηµα Jordan υπάρχει βάση B του 3 στην οποία ο πίνακας του ενδοµορφισµού εκφράζεται ως εξής: = = Β Για την κατασκευή της βάσης B = {v,v 3 } αναζητούµε τα διανύσµατα έτσι ώστε: Αv = v, Αv = v, Αv 3 = v + v 3 Τα ιδιοδιανύσµατα v = (,, ) και v = (,, ) ανταποκρίνονται και συµπληρώνονται µε το διάνυσµα v 3 = (x, y,z) N λ που πληροί τη συνθήκη Αv 3 = v + v 3, δηλαδή την εξίσωση y + z = και επιλέγουµε v 3 = (,,) Καθορίζεται έτσι ο ακόλουθος πίνακας µετάβασης P που είναι αντιστρέψιµος και πληροί τη συνθήκη Α = PΒP Β = P ΑP : P = P = Εφαρµογή Υπολογίστε τις λύσεις του συστήµατος των γραµµικών διαφορικών εξισώσεων: dx dy = 3x + y + 4z, dz = x + 3y z, = x y 3z Άσκηση 5 Προσδιορίστε τη µορφή Jordan του ενδοµορφισµού f L( 3 ) που στην κανονική βάση εκφράζεται µε τον πίνακα: 3 = 5 = Α 4 Εφαρµογή Υπολογίστε τις λύσεις του συστήµατος των γραµµικών διαφορικών εξισώσεων: dx dy = 3x + y z, dz = x + 5z, = x y + 4z Απάντηση = Άσκηση 6 Θεωρούµε έναν ενδοµορφισµό f L( 4 ) του οποίου ο πίνακας στην κανονική βάση είναι: Α = α 3 4 α 4 Για τις διάφορες τιµές της παραµέτρου α προσδιορίστε την αντίστοιχη κανονική µορφή Jordan Εφαρµογή: Υπολογίστε τις λύσεις του συστήµατος των γραµµικών διαφορικών εξισώσεων: X(t) = A(α)X(t) Υπόδειξη (Χ) = (Χ ) 4 λ =, ν(λ) = 4 (περίπτωση λήµµατος Jordan), m f (Χ) = (Χ ) E λ = Ker( f λid) = {(x,x,x 3,x 4 ) 4 / αy =, x + x + x 3 + x 4 = } dim E = 3 αν α = 3 blocs jordan λ dim E λ = αν α blocs jordan 6

α = J = J = P AP, P = α J = J = P AP, P = / α / α Άσκηση 7 Προσδιορίστε τη µορφή Jordan των ενδοµορφισµών που στην κανονική βάση εκφράζονται αντίστοιχα µε τους πίνακες: 3 3 4 3 3 3 6 3 7 Άσκηση 8 Θεωρούµε τον διανυσµατικό χώρο E = {ax + bx + c / a,b,c K} και τον ενδοµορφισµό: f : E E, f (P) = P P Προσδιορίστε τη βάση Jordan και τον πίνακα αυτού του ενδοµορφισµού σε αυτή τη βάση του Ε Απάντηση = Άσκηση 9 Ποιες είναι οι ενδεχόµενες κανονικές µορφές Jordan ενός ενδοµορφισµού f L( 6 ) για τον οποίο γνωρίζουµε µόνο το χαρακτηριστικό και το ελάχιστο πολυώνυµο: (Χ) = (Χ ) 4 (Χ ), m f (Χ) = (Χ ) (Χ ) Απάντηση 7