Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο

Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο Σύνοψη Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζεται η ιδέα του συμπτωτικού πολυωνύμου, του πολυωνύμου, δηλαδή, που είναι του μικρότερου δυνατού βαθμού και που, για συγκεκριμένες, δεδομένες, τιμές του, έχει συγκεκριμένες, δεδομένες, τιμές του. Στο παρόν κεφάλαιο παρουσιάζεται η πιο απλή, από την πλευρά της μαθηματικής κατανόησης, μέθοδος υπολογισμού του. Προαπαιτούμενη γνώση Το κεφάλαιο προϋποθέτει ότι ο αναγνώστης έχει γνώσεις Μαθηματικών Γ λυκείου και Μαθηματικών Ι του Α Εξαμήνου σπουδών. 5.. Γενικά για τα πολυώνυμα. Οι πολυωνυμικές συναρτήσεις ή τα πολυώνυμα, όπως θα τις λέμε στο εξής χάρη της συντομίας, είναι συναρτήσεις πολύ χρήσιμες στην Αριθμητική Ανάλυση, λόγω της απλότητάς τους (σε σύγκριση βέβαια με άλλες ιδιαίτερα πολύπλοκες συναρτήσεις). Πριν όμως εξετάσουμε αναλυτικότερα τον τρόπο με τον οποίο χρησιμοποιεί τα πολυώνυμα η Αριθμητική Ανάλυση, αξίζει να ξαναθυμηθούμε μερικές ιδιότητές τους και να εξηγήσουμε το γιατί είναι τόσο αγαπητά. Ας ξεκινήσουμε από το δεύτερο... Είναι λοιπόν τα πολυώνυμα ιδιαίτερα αγαπητά γιατί:. Είναι συναρτήσεις συνεχείς σε όλο το R.. Είναι συναρτήσεις παραγωγίσιμες σε όλο το R και η παράγωγός τους υπολογίζεται αναλυτικά, πολύ εύκολα. 3. Είναι συναρτήσεις ολοκληρώσιμες στο πεδίο ορισμού τους και το ολοκλήρωμά τους υπολογίζεται αναλυτικά, πολύ εύκολα. 4. Υπάρχουν αναλυτικές μέθοδοι για τον υπολογισμό των ριζών ενός πολυωνύμου μέχρι και τέταρτου βαθμού. 5. Η επιστήμη της Αριθμητικής Ανάλυσης έχει εύκολες και γρήγορες μεθόδους ακριβούς υπολογισμού των πραγματικών ριζών τους. 6. Η γενική συμπεριφορά τους είναι πολύ καλά γνωστή. 5.. Ιδιότητες των πολυωνύμων. Οι πολυωνυμικές συναρτήσεις (π.σ.) έχουν πολλές και σημαντικές ιδιότητες, από τις οποίες αναφέρουμε κάποιες, που θα μας φανούν ιδιαίτερα χρήσιμες στη συνέχεια:. Η γενική μορφή μιας πολυωνυμικής συνάρτησης (π.σ.) ν οστού βαθμού είναι η: p() a a a a a 0. Το όριο της p, ( ) όταν το τείνει στο άπειρο, ισούται με το όριο του μεγιστοβάθμιου όρου της p: ( ) 00

lim p ( ) lim a 3. Μία π.σ. ν ου βαθμού έχει ακριβώς ν ρίζες (πραγματικές ή μιγαδικές). 4. Αν μία π.σ. έχει ως ρίζα τον μιγαδικό αριθμό z a ib, τότε θα δέχεται ως ρίζα και τον συζυγή του z a ib. Η ιδιότητα αυτή στηρίζεται στην ιδιότητα των συζυγών μιγαδικών, το γινόμενό τους να είναι πραγματικός αριθμός. Επομένως ισχύει για κάθε π.σ. που έχει πραγματικούς (και όχι μιγαδικούς) συντελεστές. 5. (Πόρισμα της προηγούμενης πρότασης) Αν μία π.σ. είναι περιττού βαθμού, τότε θα δέχεται υποχρεωτικά μία τουλάχιστον πραγματική ρίζα. 6. Αν η π.σ. p ( ) δέχεται ως ρίζες τους αριθμούς,,,, τότε γράφεται με τους παρακάτω δύο ισοδύναμους τρόπους (όπου τον δεύτερο τον ονομάζουμε «γινόμενο παραγόντων»): p( ) a a a a a a ( )( ) ( ) 0 7. Αν η τιμή ρ είναι ρίζα της π.σ., τότε αυτή θα διαιρείται με το ( ), πράγμα που φαίνεται αμέσως εάν βάλουμε στο κλάσμα p( ) ( ), το p ( ) σαν γινόμενο παραγόντων. 8. Για τον καθορισμό μιας π.σ. ν ου βαθμού, χρειάζονται ν+ τυχαία σημεία του επιπέδου O (από τα οποία να μην διέρχεται πολυώνυμο μικρότερου του ν βαθμού). Έτσι δύο σημεία ορίζουν μία π.σ. ου βαθμού (ευθεία), 3 σημεία μια π.σ. ου βαθμού (παραβολή) κ.ο.κ.. 9. Εάν αναλύοντας σε γινόμενο παραγόντων την π.σ. προκύψει η επόμενη ανάλυση: p( ) a ( ) ( ) ( )( ) ( ) 3 4 3 4 τότε λέμε πως η ρίζα είναι βαθμού πολλαπλότητας δύο (διπλή), η είναι βαθμού πολλαπλότητας τρία (τριπλή), η 4 είναι βαθμού πολλαπλότητας τέσσερα (τετραπλή), ενώ οι 3 και είναι απλές. Σχήμα 5. Γραφική παράσταση μιας π.σ. 0 ου βαθμού, με ρίζες τη ρ = (διπλή), ρ = 0 (τριπλή), ρ 3 = (απλή) και ρ 4 =3 (τριπλή) και ρ 5 =4 (απλή) 0

0. Η γραφική παράσταση της p ( ) γύρω από μια ρίζα εξαρτάται από το βαθμό πολλαπλότητας της ρίζας (βλέπε Σχήμα 5.) Στη γραφική παράσταση του Σχήματος 5. παρατηρούμε πως η γραφική παράσταση της p ( ) : στις απλές ρίζες τέμνει τον άξονα των υπό γωνία, στις διπλές (όπως και στις τετραπλές, εξαπλές άρα άρτιας τάξης ρίζες), εφάπτεται σ αυτόν χωρίς η π.σ. να αλλάξει πρόσημο, ενώ στις τριπλές (όπως και στις πενταπλές, επταπλές άρα περιττής τάξης ρίζες), εφάπτεται σ αυτόν αλλάζοντας όμως πρόσημο (με τη μορφή του s). Παράδειγμα o Έστω τα σημεία Μ =(,) και Μ =(,3) του επιπέδου O.. Τι βαθμού είναι η πολυωνυμική συνάρτηση που p( ) περνάει από τα σημεία αυτά;. Υπάρχει άλλο πολυώνυμο ου βαθμού που να περνά από τα σημεία Μ και Μ; 3. Υπάρχει πολυώνυμο ου βαθμού που να περνά από τα σημεία Μ και Μ; Λύση: ) Σύμφωνα με την ιδιότητα (8) της προηγούμενης παραγράφου, δύο σημεία του επιπέδου O ορίζουν μία πολυωνυμική συνάρτηση ου βαθμού, έστω την p() a b. Το ότι η a b περνάει από τα σημεία Μ και Μ, σημαίνει ότι οι συντεταγμένες τους την επαληθεύουν. Άρα ισχύει το παρακάτω σύστημα εξισώσεων: M, : M,3 : a b a b a a b 3 a b b Επομένως, η πολυωνυμική συνάρτηση που επαληθεύεται από τις συντεταγμένες των σημείων Μ και Μ είναι. Σημείωση: Η λύση του παραπάνω συστήματος, στη γενική της μορφή, για κάθε ζεύγος σημείων (, ) και (, ) είναι: a a b b Αφαιρώντας κατά μέλη την πρώτη σχέση από τη δεύτερη έχουμε: a a a( ) a Αντικαθιστώντας το a στην πρώτη σχέση έχουμε: a b b b b ( ) ( ) b 0

b Καταλήγουμε δηλαδή στις γνωστές σχέσεις: και a b Αν αντικαταστήσουμε τους συντελεστές και a b από τις σχέσεις που βρήκαμε προηγουμένως, στη γενική εξίσωση μιας ευθείας a b τότε έχουμε: a b ( ) Από την οποία καταλήγουμε στην πολύ απλή σχέση: που μας δίνει την εξίσωση της ευθείας που περνά από τα σημεία (, ) και (, ). ) Αν και το θέμα αυτό αποτελεί βασικό θεώρημα των πολυωνύμων εμείς θα επισημάνουμε τη μοναδικότητα της λύσης του συστήματος. Πράγματι, εάν υπήρχε και άλλη πολυωνυμική συνάρτηση a b, με a a και b b, που να επαληθεύονταν από τις συντεταγμένες των σημείων Μ και Μ, τότε τα a και b θα αποτελούσαν μια δεύτερη λύση του συστήματος, πράγμα άτοπο (Αυτό θα ήταν ισοδύναμο με το ότι δύο διαφορετικές ευθείες μπορούν να τέμνονται σε δύο σημεία). Φθάνουμε επομένως στο συμπέρασμα: Η πολυωνυμική συνάρτηση είναι η μοναδική πρωτοβάθμια πολυωνυμική συνάρτηση που περνάει από τα δύο σημεία Μ και Μ του επιπέδου Ο. 3) Μία πολυωνυμική συνάρτηση ου βαθμού έχει τη μορφή p( ) Θα προσπαθήσουμε να υπολογίσουμε τους συντελεστές α, β και γ έτσι ώστε το πολυώνυμο p ( ) να περνά από τα σημεία Μ =(,) και Μ =(,3). Όπως και προηγουμένως έχουμε M, : M,3 : 3 4 4 3 03

Έχουμε δηλαδή ένα σύστημα δύο εξισώσεων με τρεις αγνώστους! Προφανώς το σύστημα δεν έχει μια μοναδική λύση, αλλά άπειρες λύσεις. Για να βρούμε τις λύσεις του συστήματος, περνάμε έναν από τους αγνώστους (έστω το α) στο δεξιό μέλος των εξισώσεων: a 4 3 3 4a Αφαιρώντας κατά μέλη την πρώτη από τη δεύτερη έχουμε: 3 και αντικαθιστώντας στην πρώτη έχουμε a 3 a a Όπως βλέπουμε οι συντελεστές β και γ εξαρτώνται από το α, και το α μπορεί να πάρει οποιαδήποτε τιμή. Έχουμε λοιπόν μια απειρία λύσεων. σχέση: Οι πολυωνυμικές συναρτήσεις ου βαθμού που περνούν από τα σημεία Μ και Μ δίνονται από τη p ( ) ( 3 ) και αποτελούν (όπως θα λέγαμε στα Μαθηματικά) μια μονοπαραμετρική οικογένεια καμπύλων. Για κάθε τιμή του α παίρνουμε και μια διαφορετική συνάρτηση p ( ) που περνά από τα σημεία Μ και Μ. Στο Σχήμα 5. βλέπουμε δύο τέτοιες συναρτήσεις για 4 και 3. Για 0 το πολυώνυμο αντιστοιχεί στην ευθεία που βρήκαμε προηγουμένως. Σχήμα 5. Γραφικές παραστάσεις των πολυωνυμικών συναρτήσεων ου βαθμού για α=4 (πράσινη) και για α= 3 (κόκκινη) που διέρχονται από τα σημεία Μ και Μ. Αν α=0, το πολυώνυμο ου βαθμού αντιστοιχεί στην ευθεία = (μπλέ). 04

Παράδειγμα o Έστω οι πραγματικοί αριθμοί 0,, 3 και 4, πάνω στον άξονα των τετμημένων (των ). Να βρεθεί μία πολυωνυμική συνάρτηση με μοναδικές, απλές ρίζες, τους πιο πάνω αριθμούς. Λύση: Η ουσία της ερώτησης είναι: Να υπολογισθεί μια πολυωνυμική συνάρτηση που να διέρχεται από τα τέσσερα σημεία: Μ (0,0), Μ (,0), Μ 3 (3,0) και Μ 4 (4,0). Πρόκειται λοιπόν για μία πολυωνυμική συνάρτηση 3ου βαθμού; Όχι. Γιατί τα τέσσερα σημεία είναι συνευθειακά (είναι πάνω στην ίδια ευθεία). Αν λοιπόν δεν θέλουμε την τετριμμένη λύση της ευθείας p( ) 0, τότε κάθε φορά που έχουμε ν συνευθειακά σημεία, δεν μπορούμε να τα προσεγγίσουμε με πολυώνυμο ν βαθμού, αλλά με πολυώνυμο ν οστού βαθμού. Επειδή όμως έχουμε μόνον ν σημεία, οδηγούμαστε όχι σε ένα μοναδικό πολυώνυμο ως λύση, αλλά σε μία απειρία πολυωνύμων. Χρησιμοποιώντας τη μορφή γραφής της 6 ης p( ) a( )( )( )( ) 8 4 3 3 a ( 0)( )( 3)( 4) a 9 Παρατηρούμε πως το πολυώνυμο: 4 3 p( ) a( )( 3)( 4) a 8 9 4 ιδιότητας της προηγούμενης παραγράφου έχουμε: περνάει από τα σημεία (0,0), (,0), (3,0) και (4,0), όποια και αν είναι η τιμή της παραμέτρου α, που δεν είναι παρά μία πολλαπλασιαστική παράμετρος (βλέπε και Σχήμα 5.3). Σχήμα 5.3 Γραφική παράσταση της πολυωνυμικής συνάρτησης του Παραδείγματος για διάφορες τιμές της παραμέτρου α. (α= μπλε, α=4 πράσινη, α= 4 κόκκινη). 05

5.3. Το συμπτωτικό πολυώνυμο. Ας υποθέσουμε πως σε ένα πίνακα τιμών (ή σε μία γραφική παράσταση), δίνονται οι τιμές που παίρνει μία μη πολυωνυμική συνάρτηση =(), για κάποιες τιμές της μεταβλητής. 0 3 4 0 3 4 Προφανώς ο πιο πάνω πίνακας περιέχει ν+ σημεία του επιπέδου Ο, τα ( 0, 0), (, ),, (, ) που ορίζουν μια πολυωνυμική συνάρτηση ν οστού βαθμού. Με τον όρο συμπτωτικό πολυώνυμο εννοούμε ένα πολυώνυμο p, ( ) που να παίρνει τις ίδιες ακριβώς τιμές με τη συνάρτηση f( ) σε κάποιες από τις τιμές του (ή σε όλες) που υπάρχουν στον πίνακα. Παρατήρηση Εάν υποθέσουμε πως το πλήθος των σημείων σύμπτωσης είναι ν, τότε το συμπτωτικό πολυώνυμο θα είναι ν βαθμού. Ονομάζεται συμπτωτικό μια και οι τιμές που παίρνει συμπίπτουν μ αυτές της συνάρτησης, φυσικά μόνο στα σημεία σύμπτωσης. Ταυτόχρονα πρέπει να τονισθεί πως κάθε μεταβολή του πλήθους ή των σημείων της συνάρτησης που επιλέγουμε για να ορίσουμε το συμπτωτικό πολυώνυμο, το μεταβάλλει εντελώς. Για το συμπτωτικό πολυώνυμο θα μιλήσουμε πολλές φορές στη συνέχεια. Άλλωστε και στις προηγούμενες παραγράφους και ιδιαίτερα στο ο από τα παραδείγματα ουσιαστικά ασχοληθήκαμε με το πρόβλημα του συμπτωτικού πολυωνύμου και δείξαμε την πιο κλασσική μέθοδο υπολογισμού του. Στην παράγραφο αυτή θα ασχοληθούμε με μία άλλη μέθοδο υπολογισμού του συμπτωτικού πολυώνυμου, με τη βοήθεια ενός παραδείγματος. Θεωρητικό παράδειγμα Ο παρακάτω πίνακας περιέχει τις τιμές μιας συνάρτησης f( ) σε τέσσερις τιμές του. Θέλουμε να υπολογίσουμε ένα πολυώνυμο που να παίρνει τις ίδιες τιμές με τη συνάρτηση f( ), στις ίδιες τιμές του. 3 7 3 9 Πρέπει να υπολογίσουμε μια πολυωνυμική συνάρτηση που να προσεγγίζει τέσσερα σημεία του επιπέδου O. Επομένως το πολυώνυμο αυτό θα είναι 3ου βαθμού, οπότε θα χρειαστεί να προσδιορίσουμε την τιμή τεσσάρων παραμέτρων. Η προηγούμενη μέθοδος μας οδηγεί σε ένα σύστημα 4 γραμμικών εξισώσεων με 4 αγνώστους, η λύση του οποίου απαιτεί πολλές αριθμητικές πράξεις. Ας εξετάσουμε λοιπόν μία ταχύτερη και ευκολότερη μέθοδο. Ορίζουμε το πολυώνυμο 3 ου βαθμού p( ) a a ( ) a ( )( ) a ( )( )( ) 0 3 3 και θέτουμε,, 3 και 4 3 06

p( ) a a ( ) a ( )( ) a ( )( )( ) 0 3 Αυτή η γενική μορφή ενός πολυωνύμου, χρησιμοποιείται συχνά λόγω της ιδιότητάς της Όλοι οι όροι από τον ο και μετά να μηδενίζονται για Όλοι οι όροι από τον 3 ο και μετά να μηδενίζονται για Ο 4 ος όρος μηδενίζεται για 3 Εκμεταλλευόμενοι την ιδιότητα αυτή του πολυωνύμου υπολογίζουμε τις τιμές των παραμέτρων α 0, α, α και α 3, δίνοντας στο τις τέσσερις τιμές του πίνακα και εξισώνοντας κάθε φορά την τιμή του πολυωνύμου p ( ) με την τιμή της συνάρτησης f( ), όπως αυτή δίνεται στον παραπάνω πίνακα. Με τον πρώτο υπολογισμό καθορίζουμε την τιμή της παραμέτρου a 0. Στον δεύτερο, χρησιμοποιώντας την τιμή του a 0 που μόλις βρήκαμε, καθορίζουμε την τιμή της a κ.ο.κ. p( ) 7 a a 7 0 0 p() 3 7 a a p() 7 7 6 3a 3a a 0 3 p(3) 9 7 8 8a 8a a Άρα η πολυωνυμική συνάρτηση p( ) ισούται με: 0 3 3 7 3 p( ) a a ( ) a ( )( ) a ( )( )( ) 7 ( ) 0( )( ) ( )( )( ) 3 3 Γενική περίπτωση Στη γενική περίπτωση που έχουμε ν+ σημεία (, ), (, ), ( 3, 3),, (, ), τότε από αυτά διέρχεται μία πολυωνυμική συνάρτηση ν οστού βαθμού της μορφής: p( ) a a ( ) a ( )( ) a ( )( )( )... 0 3 3 a ( )( )( ) ( ) 3 και οι συντελεστές του a0, a, a, a3,, a δίνονται από τις σχέσεις: a 0 a a a 0 3 0 3 a a 3 3... a... a a a 0 3 07

Παράδειγμα Δίνεται ο παρακάτω πίνακας της συνάρτησης cos( ), για 4 σημεία..3.5.7.9 cos() 0.67499 0.070737 0.884 0.339 Να υπολογισθεί το συμπτωτικό πολυώνυμο και να γίνει η γραφική παράσταση της συνάρτησης, του συμπτωτικού πολυωνύμου αλλά και των σημείων σύμπτωσης. Λύση Αρχικά ορίζουμε τη μορφή του συμπτωτικού πολυωνύμου p( ) a a ( ) a ( )( ) a ( )( )( ) 0 3 3 a a (.3) a (.3)(.5) a (.3)(.5)(.7) 0 3 Κάνοντας τις πράξεις εύκολα υπολογίζουμε p(.3) 0.67499 a 0.67499 p(.5) 0.070737 a 0.983808 p(.7) 0. 884 a 0.0355 p(.9) 0.339 a 0.65764 0 3 Αντικαθιστώντας τις τιμές των α j στο συμπτωτικό πολυώνυμο έχουμε: p( ) 0.67499 0.983808(.3) 0.0355(.3)(. 5) 0.65764(.3)(.5)(.7) Η γραφική παράσταση του συμπτωτικού πολυωνύμου p( ) παρουσιάζεται στο Σχήμα 5.4 Σχήμα 5.4 Γραφικές παραστάσεις της συνάρτησης =cos() (μπλε) και του συμπτωτικού πολυωνύμου p() (κόκκινη). Τα σημεία σύμπτωσης εμφανίζονται με κύκλους. 08

Παρατηρούμε πως το συμπτωτικό πολυώνυμο σχεδόν ταυτίζεται με τη συνάρτηση στις περιοχές που είναι σχετικά κοντά στα σημεία σύμπτωσης (για.5 ), ενώ εκτός του διαστήματος αυτού οι δύο γραφικές παραστάσεις αποκλίνουν έντονα. Αντίθετα με το προηγούμενο παράδειγμα, εάν τα σημεία σύμπτωσης είναι πιο απομακρυσμένα μεταξύ τους, τότε η διαφορά τιμών ανάμεσα στη συνάρτηση και το συμπτωτικό πολυώνυμο, στα υπόλοιπα σημεία είναι αισθητά μεγαλύτερη. Αυτό γίνεται φανερό στο παρακάτω γράφημα (Σχήμα 5.5), στο οποίο τα σημεία σύμπτωσης είναι 4 5 cos() 0.540303 0.540303 0.6536436 0.83669 και οι συντελεστές του συμπτωτικού πολυωνύμου: a 0 3 0.5403030586840 a 0 a 0.0795963955450 a 0.06890305676545 Σχήμα 5.5 Γραφικές παραστάσεις της συνάρτησης =cos() (μπλε) και του συμπτωτικού πολυωνύμου p() (κόκκινη). Στην περίπτωση αυτή η ταύτιση των δύο συναρτήσεων δεν είναι καλή. Τα σημεία σύμπτωσης εμφανίζονται με κύκλους. 09

Κριτήρια αξιολόγησης Κριτήριο αξιολόγησης Στη παρακάτω γραφική παράσταση εμφανίζεται μία πολυωνυμική συνάρτηση, της οποίας όλες οι ρίζες είναι πραγματικές. Να βρεθούν: Ο βαθμός της πολυωνυμικής συνάρτησης. Το πλήθος και το είδος των ριζών της. Σχήμα 5.6 Γραφική παράσταση της συνάρτησης του Κριτηρίου αξιολόγησης. Κριτήριο αξιολόγησης Να υπολογισθεί το συμπτωτικό πολυώνυμο της συνάρτησης του παρακάτω πίνακα 0 3 3 3 3 3 Κριτήριο αξιολόγησης 3 Σχεδιάστε, χοντρικά, τη μορφή των πολυώνυμων των οποίων ο βαθμός, καθώς και το πλήθος και το είδος των ριζών τους (οι οποίες είναι όλες πραγματικές) δίνονται στον επόμενο πίνακα (θεωρήστε ότι όλα τα πολυώνυμα ισχύει p(0) 0 ) : 0

Βαθμός Είδος πραγματικών ριζών ος (διπλή) στο = 3ος (απλή) στο = και (διπλή) στο = 3 3ος (τριπλή) στο = 4 4ος (διπλές) στο = και στο = 5 4ος (απλή) στο = και (τριπλή) στο =3