ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 8 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 4965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ 6

64

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Η έννοια της παραγώγου Ερωτήσεις θεωρίας. Τι καλείται συνάρτηση θέσεως ενός κινητού ; Ποια είναι η μέση ταχύτητα ενός κινητού; Τι καλούμαι στιγμιαία ταχύτητα του κινητού και πότε ένα κινητό κινείται προς τα αριστερά ή προς τα δεξιά ; Ας θεωρήσουμε ένα σώμα που κινείται κατά μήκος ενός άξονα και ας υποθέσουμε ότι S St είναι η τετμημένη του σώματος αυτού τη χρονική στιμή t. H συνάρτηση S καθορίζει τη θέση του σώματος τη χρονική στιγμή t και ονομάζεται συνάρτηση θέσης του κινητού. O A St St M M St Ας υποθέσουμε, τώρα, ότι κάποια χρονική στιγμή t το κινητό βρίσκεται στη θέση M και ότι μετά από παρέλευση χρόνου h, δηλαδή τη χρονική στιγμή t t h, βρίσκεται στη θέση Μ. Σχ.. Στο χρονικό διάστημα από t έως t η μετατόπιση του κινητού είναι ίση με S t S t. Άρα, η μέση ταχύτητα του κινητού σ αυτό το χρονικό διάστημα είναι S t S t t t μετατόπιση χρόνος Όσο το t είναι πλησιέστερα στο t, τόσο η μέση ταχύτητα του κινητού δίνει με καλύτερη προσέγγιση το ρ υ θ μ ό α λ λ α γ ή ς της θέσης του κινητού κοντά στο t. Για το λόγο αυτό το όριο της μέσης ταχύτητας, καθώς το t τείνει στο t, το ονομάζουμε στιγμιαία ταχύτητα του κινητού τη χρονική στιγμή t και τη S t S t συμβολίζουμε με υ t. Δηλαδή: υ t t. t t t. Για παράδειγμα, αν S t t 4t είναι η συνάρτηση θέσης ενός κινητού Σχ.β, 4 t4 t O α 4 t St O 4 β St t 65

τότε η στιγμιαία ταχύτητα του κινητού κατά τις χρονικές στιγμές t, t και t είναι αντιστοίχως: S t S t 4t t t υ t t t t t t S t S t 4t 4 t t υ t t t t t t S t S t 4t t t υ. t t t t t t S t S t Οταν ένα κινητό κινείται προς τα δεξιά, τότε κοντά στο t ισχύει, t t οπότε είναι υ t, ενώ, όταν το κινητό κινείται προς τα αριστερά κοντά στο t S t S t ισχύει, οπότε είναι υ t. t t. Γιατί δεν μπορεί να εφαρμοσθεί ο ορισμός της εφαπτομένης κύκλου της Ευκλείδειας Γεωμετρίας σε οποιαδήποτε καμπύλη ; Είναι γνωστό από την Ευκλείδεια Γεωμετρία ότι εφαπτομένη ενός κύκλου σε ένα σημείο του Α ονομάζουμε την ευθεία η οποία έχει με τον κύκλο ένα μόνο κοινό σημείο, το Α. Ο ορισμός αυτός δεν μπορεί να γενικευτεί για οποιαδήποτε καμπύλη, γιατί, με έναν τέτοιο ορισμό η παραβολή y θα είχε στο σημείο A, δύο εφαπτόμενες ε και ζ Σχ. 4α, ενώ η y δεν θα είχε στο σημείο A, καμία εφαπτομένη Σχ. 4β. y y O Α 4 ε A, y A, y Ο Ο ε ζ α β 66

. Δώστε ορισμό της εφαπτομένης του κύκλου, ο οποίος να μπορεί να γενικευτεί για όλες τις καμπύλες. Θεωρούμε, λοιπόν, ένα άλλο σημείο Μ του κύκλου Σχ. 5. Τα σημεία A, M ορίζουν μια 5 τέμνουσα του κύκλου, την ευθεία AM. Καθώς Μ το σημείο Μ, κινούμενο πάνω στον κύκλο O Μ πλησιάζει στο Α, η τέμνουσα ΑΜ φαίνεται να Μ εφαπτομένη έχει ως οριακή θέση την εφαπτομένη του στο Α Α κύκλου στο Α. Τη διαπίστωση αυτή θα δούμε, τώρα, πως μπορούμε να την αξιοποιήσουμε για να ορίσουμε την εφαπτομένη της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης σε ένα σημείο της. Έστω μία συνάρτηση και A, ένα σημείο της γραφικής της παράστασης. y M, y 6 C C A, M ε M, M A, ε O α O β Αν πάρουμε ένα ακόμη σημείο M,,, της γραφικής παράστασης της και την ευθεία ΑΜ που ορίζουν τα σημεία Α και M, παρατηρούμε ότι: Καθώς το τείνει στο με, η τέμνουσα ΑΜ φαίνεται να παίρνει μια οριακή θέση ε Σχ. 6α. Την ίδια οριακή θέση φαίνεται να παίρνει και όταν το τείνει στο με Σχ. 6β. Την οριακή θέση της ΑΜ θα μπορούσαμε να την ονομάσουμε εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της στο Α. Επειδή η κλίση της τέμνουσας ΑΜ είναι ίση με, είναι λογικό να αναμένουμε ότι η εφαπτομένη της C στο σημείο A, θα έχει κλίση το. 4. Δώστε τον ορισμό του συντελεστή διεύθυνσης της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης σε ένα σημείο της A, καθώς και τον τύπο που μας δίνει την εξίσωση της εφαπτομένης στο ίδιο σημείο. ΟΡΙΣΜΟΣ: Έστω μια συνάρτηση και A, ένα σημείο της C. Αν υπάρχει το και είναι ένας πραγματικός αριθμός λ, τότε ορίζουμε ως 67

εφαπτομένη της C στο σημείο της Α, την ευθεία ε που διέρχεται από το Α και έχει συντελεστή διεύθυνσης λ. Επομένως, η εξίσωση της εφαπτομένης στο σημείο A, είναι όπου λ. y λ, Για παράδειγμα, έστω η συνάρτηση και το σημείο της A,. Επειδή ορίζεται εφαπτομένη της C στο σημείο της A,. Η εφαπτομένη αυτή έχει συντελεστή διεύθυνσης λ και εξίσωση y., y y O A, 7 5. Να δοθεί ο ορισμός παραγώγου συνάρτησης σε σημείο χ ο του πεδίου ορισμού της κατόπιν να δοθεί ένα παράδειγμα. ΟΡΙΣΜΟΣ: Μια συνάρτηση λέμε ότι είναι παραγωγίσιμη σ ένα σημείο του πεδίου ορισμού της, αν υπάρχει το και είναι πραγματικός αριθμός. Το όριο αυτό ονομάζεται παράγωγος της στο και συμβολίζεται με. Δηλαδή:. Για παράδειγμα, αν, τότε στο έχουμε Επομένως,.. 6. Να δοθεί ο εναλλακτικός ορισμός παραγώγου συνάρτησης σε σημείο χ ο του πεδίου ορισμού της κατόπιν να δοθούν όλες οι γνωστές μορφές της παρουσίασης του ορισμού αυτού ; Αν, τώρα, στην ισότητα θέσουμε 68 h h h. h, τότε έχουμε Πολλές φορές το h συμβολίζεται με Δ, ενώ το h Δ συμβολίζεται με Δ, οπότε ο παραπάνω τύπος γράφεται:

Δ. Δ Δ Η τελευταία ισότητα οδήγησε το Leibniz να συμβολίσει την παράγωγο στο με d d ή d d Larane.. Ο συμβολισμός είναι μεταγενέστερος και οφείλεται στον 7. Πότε μια συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο εσωτερικό σημείο ενός διαστήματος του πεδίου ορισμού της ; Να δοθούν παραδείγματα. Είναι φανερό ότι, αν το είναι εσωτερικό σημείο ενός διαστήματος του πεδίου ορισμού της, τότε: Η είναι παραγωγίσιμη στο, αν και μόνο αν υπάρχουν στο τα όρια, και είναι ίσα. Για παράδειγμα,, η συνάρτηση είναι, παραγωγίσιμη στο με, αφού και, ενώ, η συνάρτηση δεν είναι 5, παραγωγίσιμη στο, αφού και 5 5. y y y 8 y O y 9 y5 O 8. Ποια είναι η στιγμιαία ταχύτητα ενός κινητού, τη χρονική στιγμή t ; Ποιος ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης ε της C μιας παραγωγίσιμης συνάρτησης, στο σημείο A, ; Ποια είναι η εξίσωση της ε φ α π τ ο μ έ ν η ς στο σημείο αυτό και τι καλούμαι κλίση της C στο Α ή κλίση της στο. 69

Η στιγμιαία ταχύτητα ενός κινητού, τη χρονική στιγμή t, είναι η παράγωγος της συνάρτησης θέσης St τη χρονική στιγμή t. Δηλαδή, είναι υ S. t t Ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης ε της C μιας παραγωγίσιμης συνάρτησης, στο σημείο A, είναι η παράγωγος της στο. Δηλαδή, είναι λ, οπότε η εξίσωση της ε φ α π τ ο μ έ ν η ς ε είναι: y Την κλίση της εφαπτομένης ε στο A, θα τη λέμε και κλίση της C στο Α ή κλίση της στο. 9. Να εξετάσετε αν η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο ; Τι παρατηρείτε ; Έστω η συνάρτηση. Η είναι συνεχής στο, αλλά δεν είναι παραγωγίσιμη σ αυτό, αφού y 4, ενώ. O Παρατηρούμε, δηλαδή, ότι μια συνάρτηση μπορεί να είναι συνεχής σ ένα σημείο χωρίς να είναι παραγωγίσιμη σ αυτό.. Να διατυπώσετε και να αποδείξετε το θεώρημα που συνδέει την παραγωγισιμότητα μιας συνάρτησης με την συνέχειά της σε ένα σημείο ; Ποιο σχόλιο θα κάνατε σύμφωνα με το θεώρημα αυτό ; ΘΕΩΡΗΜΑ Αν μια συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη σ ένα σημείο, τότε είναι και συνεχής στο σημείο αυτό. ΑΠΟΔΕΙΞΗ Για έχουμε οπότε, 7

7 ] [, αφού η είναι παραγωγίσιμη στο. Επομένως,, δηλαδή η είναι συνεχής στο. ΣΧΟΛΙΟ Αν μια συνάρτηση δεν είναι συνεχής σ ένα σημείο, τότε, σύμφωνα με το προηγούμενο θεώρημα, δεν μπορεί να είναι παραγωγίσιμη στο.. Για ποιες τιμές του α, η συνάρτηση,, α α είναι: i συνεχής στο ; ii παραγωγίσιμη στο ; ΛΥΣΗ i Η είναι συνεχής στο, αν και μόνο αν ή, ισοδύναμα, α α ή α. ii Διακρίνουμε τις εξής περιπτώσεις: Αν, α, η συνάρτηση δεν είναι συνεχής και επομένως δεν είναι παραγωγίσιμη. Αν α, η συνάρτηση γράφεται,,. Για, έχουμε, οπότε. Για έχουμε, οπότε

7. Άρα και επομένως, για α η είναι παραγωγίσιμη στο. Αν α, η συνάρτηση γράφεται,, Για, έχουμε, οπότε. Για έχουμε, οπότε. Άρα και επομένως, για α η δεν είναι παραγωγίσιμη στο.

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Η έννοια της παραγώγου Ασκήσεις σχολικού βιβλίου. A Oμάδας.i Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης D + στο.ii Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης D * στο.iii Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης D Κοντά στο είναι στο ημ 7

. ημ..i Να βρείτε αν υπάρχει την παράγωγο της συνάρτησης D Για είναι στο.ii Να βρείτε αν υπάρχει την παράγωγο της συνάρτησης D Για είναι στο Από τις, συμπεραίνουμε ότι η δεν είναι παραγωγίσιμη στο.iii Να βρείτε αν υπάρχει την παράγωγο της συνάρτησης στο D Πρόσημο του τριωνύμου - + + - + Κοντά στο είναι. 74

.iv Να βρείτε αν υπάρχει την παράγωγο της συνάρτησης, στο, + + Από και έχουμε. Αν η συνάρτηση είναι συνεχής στο, να αποδείξετε ότι η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο. είναι συνεχής στο Για είναι Άρα. 4.i Αφού μελετήσετε ως προς τη συνέχεια στο τη συνάρτηση,, να εξετάσετε αν είναι παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό. + και Άρα δεν υπάρχει το παραγωγίσιμη σ αυτό., οπότε η δεν είναι συνεχής στο, άρα ούτε 4.ii Αφού μελετήσετε ως προς τη συνέχεια στο τη συνάρτηση + να εξετάσετε αν είναι παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό. D 75

Άρα Για < είναι Οπότε + και +, οπότε συνεχής στο Για > είναι Οπότε Από, συμπεραίνουμε ότι η δεν είναι παραγωγίσιμη στο 5. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της C αν ορίζεται στο σημείο Α, για κάθε μία των ασκήσεων και. Για την άσκηση i, αποδείχθηκε. και Οπότε ε : y y y Για την άσκηση ii, αποδείχθηκε -. και Οπότε ε : y y y + y + Για την άσκηση iii, αποδείχθηκε. και Οπότε ε : y y y Για την άσκηση i, αποδείχθηκε. και Οπότε ε : y y y Για την άσκηση ii, αποδείχθηκε ότι η δεν είναι παραγωγίσιμη στο άρα δεν ορίζεται εφαπτομένη της C στο σημείο,, Για την άσκηση iii, αποδείχθηκε. και Οπότε ε : y y y y + Για την άσκηση iv, αποδείχθηκε. και Οπότε ε : y y y + 76

B Oμάδας. Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης + ημ στο σημείο D Κοντά στο είναι +ημ +ημ + ημ.αν για μια συνάρτηση ισχύει + h + h + h + h, για κάθε h, να αποδείξετε ότι : i ii i Για h, η υπόθεση δίνει h ii Για κάθε h είναι h h h + h + h h h Άρα + h + h + + h.αν,,, να αποδείξετε ότι ορίζεται εφαπτομένη της C στο σημείο Α, και σχηματίζει με τον άξονα των γωνία 4 Για < είναι Άρα Για > είναι Άρα 77

Από, Άρα, στο σημείο Α, ορίζεται εφαπτομένη της εφ 4 C με συντελεστή διεύθυνσης 4. Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης Για είναι.,, στο 5.Αν + i ii iii i + + για κάθε, να αποδείξετε ότι : + για κάθε < + για κάθε > και Για η υπόθεση ii + + + + Για <, η + + + + 78

Για >, η + iii Επειδή +, με κριτήριο παρεμβολής στη θα έχουμε 4 Ομοίως, με κριτήριο παρεμβολής στη θα έχουμε 5 Από τις 4, 5 6. Αν μια συνάρτηση είναι συνεχής στο σημείο και για κάθε ισχύει 4 να αποδείξετε ότι : i i συνεχής στο σημείο Αρκεί να βρούμε το 79 + 4 ii 4 Για >, η υπόθεση - ημ - Αλλά ημ. ημ. Με το κριτήριο παρεμβολής στη θα έχουμε ii Για η υπόθεση Αλλά [ 4 + ημ + 4 + ] Με κριτήριο παρεμβολής στην θα έχουμε Άρα 4 +

7.Αν η συνάρτηση είναι συνεχής στο και ότι : i ii 4 i είναι συνεχής στο ii [. 4 4, να αποδείξετε ] 4. 8.Να αποδείξετε ότι, αν μια συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο, τότε h i ii i h h h h h h παραγωγίσιμη στο h ii h h h h h h h u, i h u u u h h u u όπου - h θέτουμε u οπότε και u h h h h h - ] h h h h - h h h [ h h 9. Στο παρακάτω σχήμα δίνονται οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων θέσεως τριών κινητών που κινήθηκαν πάνω στον άξονα στο χρονικό διάστημα από sec έως 8sec. Να βρείτε: 8

St κινητό Γ κινητό Α O 4 5 6 7 8 κινητό Β t sec i το Β. ii το Γ. i Ποιο κινητό ξεκίνησε από την αρχή του άξονα κίνησης; ii Ποιο κινητό κινήθηκε μόνο προς τα δεξιά; iii Ποιο κινητό άλλαξε φορά κίνησης τη χρονική στιγμή t sec, ποιο τη χρονική στιγμή t 4 sec και ποιο τη χρονική στιγμή t 5 sec; iv Ποιο κινητό κινήθηκε προς τα αριστερά σε όλο το χρονικό διάστημα από sec έως 4sec; v Ποιο κινητό τερμάτισε πιο κοντά στην αρχή του άξονα κίνησης; vi Ποιο κινητό διάνυσε το μεγαλύτερο διάστημα; iii t, αλλάζει το A, t 4 το Β και t 5 κανένα iv το Β v το Β vi το Α. 8

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Παραγωγίσιμες συναρτήσεις Παράγωγος συνάρτηση Ερωτήσεις θεωρίας. Πότε μία συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α είναι παραγωγίσιμη στο Α; Πότε η είναι παραγωγίσιμη σε ένα ανοικτό διάστημα α, β του πεδίου ορισμού της και πότε η είναι παραγωγίσιμη σε ένα κλειστό διάστημα [ α, β] του πεδίου ορισμού της ; Έστω μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α. Θα λέμε ότι: H είναι παραγωγίσιμη στο Α ή, απλά, παραγωγίσιμη, όταν είναι παραγωγίσιμη σε κάθε σημείο A. Η είναι παραγωγίσιμη σε ένα ανοικτό διάστημα α, β του πεδίου ορισμού της, όταν είναι παραγωγίσιμη σε κάθε σημείο α,. β Η είναι παραγωγίσιμη σε ένα κλειστό διάστημα [ α, β] του πεδίου ορισμού της, όταν είναι παραγωγίσιμη στο α, β και επιπλέον ισχύει και.. Πως ορίζεται και πως συμβολίζεται η πρώτη παράγωγος της συνάρτησης με πεδίο ορισμού το Α ; Πως ορίζεται και πως συμβολίζεται η δεύτερη παράγωγος της συνάρτησης με πεδίο ορισμού το Α και πως ορίζεται και πως συμβολίζεται η νιοστή παράγωγος της συνάρτησης με πεδίο ορισμού το Α ; Έστω μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού Α και A τo σύνολο των σημείων του Α στα οποία αυτή είναι παραγωγίσιμη. Αντιστοιχίζοντας κάθε A στο, ορίζουμε τη συνάρτηση : A R, η οποία ονομάζεται πρώτη παράγωγος της ή απλά παράγωγος της. H πρώτη d παράγωγος της συμβολίζεται και με που διαβάζεται ντε εφ προς ντε χι. Για d πρακτικούς λόγους την παράγωγο συνάρτηση y θα τη συμβολίζουμε και με y. Αν υποθέσουμε ότι το Α είναι διάστημα ή ένωση διαστημάτων, τότε η παράγωγος της, αν υπάρχει, λέγεται δεύτερη παράγωγος της και συμβολίζεται με. 8

ν Επαγωγικά ορίζεται η νιοστή παράγωγος της, με ν, και συμβολίζεται με. Δηλαδή ν ν [ ], ν. Σχόλιο: Η εύρεση της παραγώγου συνάρτησης, με βάση τον ορισμό που δώσαμε, δεν είναι πάντα εύκολη. Στη συνέχεια θα δούμε μερικές βασικές περιπτώσεις παραγώγισης συναρτήσεων, που θα τις χρησιμοποιούμε στην εύρεση παραγώγου συναρτήσεων αντί να χρησιμοποιούμε τον ορισμό κάθε φορά.. Να αποδείξετε ότι η σταθερή συνάρτηση c, c είναι παραγωγίσιμη στο χ ο ϵr και ισχύει, δηλαδή : c Πράγματι, αν είναι ένα σημείο του R, τότε για ισχύει: Επομένως, δηλαδή c. c c., 4. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση. Η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο χ ο ϵr και ισχύει, δηλαδή Πράγματι, αν είναι ένα σημείο του R, τότε για ισχύει: Επομένως, δηλαδή.., ν 5. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση, {,}. Η συνάρτηση ν είναι παραγωγίσιμη στο χ ο ϵr και ισχύει ν, δηλαδή Πράγματι, αν είναι ένα σημείο του R, τότε για ισχύει: 8

84 ν ν ν ν ν ν ν ν, οπότε ν ν ν ν ν ν ν ν, δηλαδή ν ν ν. 6. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο, και ισχύει, δηλαδή Πράγματι, αν είναι ένα σημείο του,, τότε για ισχύει:, οπότε, δηλαδή. Όπως είδαμε η δεν είναι παραγωγίσιμη στο. 7. Έστω συνάρτηση ημ. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο R και ισχύει συν, δηλαδή συν ημ Πράγματι, για κάθε R και h ισχύει h h h h h h h ημ ημ συν συν ημ ημ ημ h h h h ημ συν συν ημ. Επειδή ημ h h h και συν h h h, έχουμε h h h συν συν ημ.

Δηλαδή, ημ συν. 8. Έστω η συνάρτηση συν. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο R και ισχύει ημ, δηλαδή συν ημ Πράγματι, για κάθε R και h ισχύει: h συν h συν συν συνh ημ ημh συν h h h οπότε Δηλαδή, συνh ημh συν ημ, h h h συνh συν h h h h συν ημ. συν ημ ημ. ημ h ημh h 9. Πως συνδέονται τα όρια ημ συν,, με την παράγωγο των συναρτήσεων ημ, συν ημ συν Τα όρια,, τα οποία χρησιμοποιήσαμε για να υπολογίσουμε την παράγωγο των συναρτήσεων συν είναι η παράγωγος στο των συναρτήσεων, αντιστοίχως, αφού ημ ημ ημ ημ, συν συν συν.. Να βρεθούν οι παράγωγοι των συναρτήσεων e και ln. Έστω η συνάρτηση e, δηλαδή e. Αποδεικνύεται ότι η είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει e e 85

Έστω η συνάρτηση, δηλαδή ln. Αποδεικνύεται ότι η είναι παραγωγίσιμη στο, και ισχύει ln. Να βρεθεί το σημείο της γραφικής παράστασης της συνάρτησης ln, στο οποίο η εφαπτομένη διέρχεται από την αρχή των αξόνων. ΛΥΣΗ Επειδή ln, η εξίσωση της εφαπτομένης ε της C σε ένα σημείο M, είναι y ln. Η ευθεία ε διέρχεται από την αρχή των αξόνων O,, αν και μόνο αν Άρα, το ζητούμενο σημείο είναι το M e,. ln ln e. y O Μ e. Στο διπλανό σχήμα οι ευθείες ε και y ε είναι οι εφαπτόμενες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης ημ στα σημεία O, και A π, αντιστοίχως. Να βρεθούν: i Οι εξισώσεις των ε και ε ii Το εμβαδόν του τριγώνου που O, ε σχηματίζουν οι ε, ε και ο άξονας των. ΛΥΣΗ i Επειδή ημ συν, είναι και π οπότε οι ε, ε έχουν εξισώσεις αντιστοίχως. y και y π Β Aπ, ε ii Αν λύσουμε το σύστημα των παραπάνω δύο εξισώσεων βρίσκουμε ότι οι ευθείες ε, ε τέμνονται στο σημείο π π Ε π. 4 π π Β,. Άρα, το τρίγωνο ΟΑΒ έχει εμβαδόν 86

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Παραγωγίσιμες συναρτήσεις Παράγωγος συνάρτηση Ασκήσεις σχολικού βιβλίου. A Oμάδας. Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης στο σημείο όταν : i iii 4, - ii, 9 συν, 6 v e, n iv n, e i Για κάθε ϵr είναι 4 4 4 ii Για κάθε, + είναι iii Για κάθε ϵr είναι ημ 6 iv Για κάθε, + είναι v Για κάθε ϵr είναι 9 9 6 ημ 6 e e e n n e.i Να βρείτε, όπου ορίζεται, την παράγωγο της συνάρτησης,, Για κάθε < είναι Για κάθε > είναι + + 87

Από τις, συμπεραίνουμε ότι η δεν παραγωγίζεται στο.ii Να βρείτε, όπου ορίζεται, την παράγωγο της συνάρτησης,, Για κάθε < είναι ημ συν Για κάθε > είναι Από τις, συμπεραίνουμε ότι.iii Να βρείτε, όπου ορίζεται, την παράγωγο της συνάρτησης, 4, Για κάθε < είναι 4 Για κάθε > είναι 4 8 4 4 6 Από τις, συμπεραίνουμε ότι η δεν είναι συνεχής στο, άρα δεν παραγωγίζεται σ αυτό..iv Να βρείτε, όπου ορίζεται, την παράγωγο της συνάρτησης,, 88

Για κάθε < Για κάθε > είναι είναι 4 9 8 7 Από τις, συμπεραίνουμε ότι η δεν είναι συνεχής στο παραγωγίζεται σ αυτό., άρα δεν. Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχουν σημεία της παραβολής y στα οποία οι εφαπτόμενες της γραφικής παράστασης να είναι μεταξύ τους παράλληλες. Ισχύει το ίδιο για τη γραφική παράσταση της συνάρτησης ; Έστω, ϵr Τότε Έστω τα σημεία M,, M, με και, οι εφαπτόμενες της C σε αυτά αντίστοιχα. // που είναι άτοπο Άρα δεν υπάρχουν παράλληλες εφαπτόμενες της Για κάθε ϵr είναι Έστω τα σημεία N,, N, με και, οι εφαπτόμενες της C σε αυτά αντίστοιχα. // αφού Υπάρχουν, λοιπόν, τέτοια σημεία και είναι εκείνα που έχουν αντίθετες τετμημένες C 4.Να παραστήσετε γραφικά την παράγωγο της συνάρτησης του διπλανού σχήματος. Στο διάστημα, η κλίση είναι - y 4 O - 4 6 y 9 89

Στο διάστημα, η κλίση είναι Στο διάστημα, 4 η κλίση είναι Στο διάστημα 4, 6 η κλίση είναι Στο διάστημα 6, 9 η κλίση είναι 4 6 6 4 4 4 9 6 y Γραφική παράσταση της - 4 - - O 4 6 9 5.Να παραστήσετε γραφικά τη συνάρτηση : [, 8] R, η οποία είναι συνεχής, με και της οποίας η παράγωγος παριστάνεται γραφικά στο διπλανό σχήμα. Στο διάστημα, η κλίση είναι. Άρα η C είναι το ευθ. τμήμα ΟΑ Στο διάστημα, 4 η κλίση είναι Άρα η C είναι το ευθ. τμήμα ΑΒ Στο διάστημα 4, 84 η κλίση είναι. y O y 6 4 O A B Γ 4 5 8. Άρα η C είναι το ευθ. τμήμα ΒΓ 4 y 8 9

Β Ομάδας. Να βρείτε τις τιμές των α, β για τις οποίες η συνάρτηση, α+β, είναι παραγωγίσιμη στο π Για να είναι παραγωγίσιμη στο π, θα πρέπει, κατ αρχήν να είναι συνεχής. Άρα π ημ α + β απ + β ημπ απ + β απ + β β απ παραγωγίσιμη στο π Η β π α α. Έστω η συνάρτηση και το σημείο Αξ, ξ, ξ της γραφικής παράστασης της. Να αποδείξετε ότι η ευθεία που διέρχεται από τα σημεία Αξ, ξ και Β ξ, εφάπτεται της C στο Α. D [, + Για να ορίζεται η τιμή ξ, πρέπει ξ D και επειδή ξ, πρέπει ξ > Είναι. Η εφαπτομένη ε της C στο σημείο Α έχει εξίσωση y ξ ξ y ξ Οι συντεταγμένες του Β ξ, επαληθεύουν την εξίσωση της ε αφού ξ ξ ξ που ισχύει. Άρα η ευθεία ε συμπίπτει με την ευθεία ΑΒ. 9

. Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της σε οποιοδήποτε σημείο της Μ,, έχει με αυτήν και άλλο κοινό σημείο Ν εκτός του Μ. Στο σημείο Ν η κλίση της C είναι τετραπλάσια της κλίσης της στο Μ. D R Η εφαπτομένη ε της Για να βρούμε τα κοινά σημεία των y y a a C στο σημείο Α έχει εξίσωση y α y a a y a a a α y α y + y C, ε, λύνουμε το σύστημα y a a a y a a a a y a[ a a ] y a ή a a y a ή a ή a ya a a a 4. 4 ή y8a Άρα Ν, 8 a 4. Έστω ε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης σε ένα σημείο της Μ,. Αν Α, Β είναι τα σημεία στα οποία η ε τέμνει τους άξονες και yy αντιστοίχως, να αποδείξετε ότι i To M είναι μέσο του ΑΒ 9

ii ξϵr* Το εμβαδόν του τριγώνου ΟΑΒ είναι σταθερό, δηλαδή ανεξάρτητο του ε : y ξ ξ y ξ Για y παίρνουμε ξ ξ ξ ξ Άρα Αξ, Για παίρνουμε y ξ y y Άρα Β, i Μέσο του ΑΒ :,, ii OAB OAOB 9

94 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Κανόνες Παραγώγισης Ερωτήσεις θεωρίας. Να διατυπωθεί και να αποδειχθεί το θεώρημα της παραγώγου του αθροίσματος. Παράγωγος αθροίσματος ΘΕΩΡΗΜΑ Αν οι συναρτήσεις, είναι παραγωγίσιμες στο, τότε η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει: ΑΠΟΔΕΙΞΗ Για, ισχύει:. Επειδή οι συναρτήσεις, είναι παραγωγίσιμες στο, έχουμε:, δηλαδή.. Να διατυπωθεί το παραπάνω θεώρημα για παραγωγίσιμες σε διάστημα Δ συναρτήσεις, να γενικευθεί και να δοθεί ένα παράδειγμα. Αν οι συναρτήσεις, είναι παραγωγίσιμες σ ένα διάστημα Δ, τότε για κάθε Δ ισχύει:. Το παραπάνω θεώρημα ισχύει και για περισσότερες από δύο συναρτήσεις. Δηλαδή, αν k...,,,, είναι παραγωγίσιμες στο Δ, τότε k k. Για παράδειγμα, e e e συν ημ ημ.

95. Να διατυπωθεί και να αποδειχθεί το θεώρημα της παραγώγου του γινομένου. Παράγωγος γινομένου ΘΕΩΡΗΜΑ Αν οι συναρτήσεις, είναι παραγωγίσιμες στο, τότε και η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει: ΑΠΟΔΕΙΞΗ Για ισχύει:. Επειδή οι, είναι παραγωγίσιμες, άρα και συνεχείς στο, έχουμε:, δηλαδή. 4. Να διατυπωθεί το παραπάνω θεώρημα για παραγωγίσιμες σε διάστημα Δ συναρτήσεις, να γενικευθεί και να δοθεί ένα παράδειγμα. Αν οι συναρτήσεις, είναι παραγωγίσιμες σ ένα διάστημα Δ, τότε για κάθε Δ ισχύει:. Για παράδειγμα, e e e e e ln ln ln ln,. Το παραπάνω θεώρημα επεκτείνεται και για περισσότερες από δύο συναρτήσεις. Έτσι, για τρεις παραγωγίσιμες συναρτήσεις ισχύει: ] [ h h h h ] [ h h h h h. Για παράδειγμα, ln ημ ln ημ ln ημ ln ημ ημ ln συν ln ημ,.

5. Να αποδειχθεί ότι αν είναι παραγωγίσιμη συνάρτηση σ ένα διάστημα Δ και c R,τότε c c Αν είναι παραγωγίσιμη συνάρτηση σ ένα διάστημα Δ και σύμφωνα με το θεώρημα γινομένου έχουμε: c c Για παράδειγμα, 6 6 6 8. 6. Να διατυπωθεί το θεώρημα της παραγώγου του πηλίκου. ΘΕΩΡΗΜΑ Αν οι συναρτήσεις συνάρτηση Παράγωγος πηλίκου, είναι παραγωγίσιμες στο και είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει: c, επειδή c,, τότε και η [ ] 7. Να διατυπωθεί το παραπάνω θεώρημα για παραγωγίσιμες σε διάστημα Δ συναρτήσεις και να δοθεί ένα παράδειγμα. Αν οι συναρτήσεις, είναι παραγωγίσιμες σ ένα διάστημα Δ και για κάθε Δ ισχύει, τότε για κάθε Δ έχουμε: Για παράδειγμα, 5 [ ] 5 5 5 5 5 5 5 5 5,. 5. 5 ν 8. Έστω η συνάρτηση,νϵn να αποδείξετε ότι η συνάρτηση είναι ν παραγωγίσιμη στο R* και ισχύει ν, δηλαδή ν ν ν Κατόπιν να δοθεί ένα παράδειγμα και να γενικευθεί ο παραπάνω τύπος. Πράγματι, για κάθε χϵr* έχουμε: ν ν ν ν ν ν. ν ν ν ν 4 5 Για παράδειγμα, 4 4,. 5 4 4 96

ν ν Είδαμε, όμως, πιο πριν ότι ν, για κάθε φυσικό ν. Επομένως, αν κ κ {,}, τότε κ. 9. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση εφ είναι παραγωγίσιμη στο A { συν } και ισχύει εφ συν συν Πράγματι, για κάθε χϵ A { συν } έχουμε:, δηλαδή ημ ημ συν ημσυν συνσυν ημημ εφ συν συν συν συν ημ. συν συν. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση σφ είναι παραγωγίσιμη στο A { ημ } και ισχύει, δηλαδή ημ σφ ημ Πράγματι, για κάθε χϵ A { ημ } έχουμε: συν συν συνημ - ημ συν σφ ημ ημ ημ - ημ συν. συν ημ. Να βρεθεί η παράγωγος της συνάρτησης ln. ΛΥΣΗ ln ln ln ln ln Έχουμε: ln ln ln ln. Να αποδειχθεί ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων 97 και έχουν κοινή εφαπτομένη στο κοινό τους σημείο A, και να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης αυτής.

ΛΥΣΗ Αρκεί να δείξουμε ότι. Έχουμε: Και, Οπότε και. Άρα. Η εξίσωση της εφαπτομένης στο σημείο A, είναι: y y.. Να διατυπωθεί το θεώρημα της παραγώγου της συνθέτου συνάρτησης. Τι είναι ο κανόνα της αλυσίδας ; Παράγωγος συνθέτου συναρτήσεως ΘΕΩΡΗΜΑ Αν η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο και η είναι παραγωγίσιμη στο, τότε η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει Γενικά, αν μια συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα Δ και η είναι παραγωγίσιμη στο Δ, τότε η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο Δ και ισχύει Δηλαδή, αν u, τότε. u u u. Με το συμβολισμό του Leibniz, αν y u και u, έχουμε τον τύπο dy d dy du du d που είναι γνωστός ως κανόνας της αλυσίδας. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ dy Το σύμβολο δεν είναι πηλίκο. Στον κανόνα της αλυσίδας απλά συμπεριφέρεται d ως πηλίκο, πράγμα που ευκολύνει την απομνημόνευση του κανόνα. α 4. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση, χϵr-ζ είναι παραγωγίσιμη στο α, και ισχύει α, δηλαδή α α α Αποδεικνύεται ότι, για α η είναι παραγωγίσιμη και στο σημείο και η παράγωγός της είναι ίση με, επομένως δίνεται από τον ίδιο τύπο. 98

Πράγματι, αν y α α ln e και θέσουμε u α ln u, τότε έχουμε y e. Επομένως, u u α ln α α α y e e u e α α. 5. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση α, α είναι παραγωγίσιμη στο R και ισχύει α lnα, δηλαδή α α lnα Πράγματι, αν y lnα α e και θέσουμε u lnα u, τότε έχουμε y e. Επομένως, u u lnα y e e u e lnα α lnα. 6. Η συνάρτηση ln, χϵr* είναι παραγωγίσιμη στο R* και ισχύει Πράγματι. αν, τότε αν ln ln ln ln ln, ενώ, τότε, οπότε, αν θέσουμε y ln και u, έχουμε y lnu. Επομένως, και άρα ln. y ln u u u 7. Να δοθεί ανακεφαλαιωτικός πίνακας, αν η συνάρτηση u είναι παραγωγίσιμη. Ανακεφαλαιώνοντας, αν η συνάρτηση u είναι παραγωγίσιμη, τότε έχουμε: α α u αu u εφu u συν u u u σφu u u ημ u ημu συνu u u u e e u συνu ημu u u u α α lnα u ln u u u 8. Να βρεθούν οι παράγωγοι των συναρτήσεων 9 i 5 ii e iii ln h. 99

ΛΥΣΗ i Αν θέσουμε u 5, τότε η συνάρτηση y γράφεται οπότε έχουμε 9 y u, 9 8 y u 9u u 9 8 5 5 8 9 5 6 Ομοίως, έχουμε 54 8 5. ii e e θέσαμε u e e iii h ln θέσαμε u. 9. Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης ε του κύκλου του M, y. ΛΥΣΗ Αν λύσουμε την εξίσωση του κύκλου ως προς y, βρίσκουμε ότι y ρ, αν y και y ρ, αν y. Επομένως, ο κύκλος C αποτελείται από τα σημεία των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων ρ και ρ C : ρ y στο σημείο οι οποίες είναι ορισμένες στο κλειστό διάστημα [ ρ, ρ] και παραγωγίσιμες στο ανοικτό διάστημα ρ, ρ. Αν, τώρα, με y συμβολίσουμε εκείνη από τις παραπάνω συναρτήσεις στην οποία ανήκει το M,, τότε θα ισχύει λ ε y και ρ Έτσι, με παραγώγιση και των δύο μελών της, έχουμε A -ρ, ε y O C Aρ, Μ,y

οπότε, για, θα ισχύει Έτσι, λόγω της θα έχουμε οπότε, για y, θα είναι Άρα, η εφαπτομένη ε έχει εξίσωση: η οποία γράφεται διαδοχικά:. y λε λ ε. y y y, y yy y yy y yy ρ, αφού y ρ. Αν y, που συμβαίνει όταν το σημείο M, y είναι το A ρ, ή το Α ρ,, τότε εύκολα αποδεικνύεται ότι οι εφαπτόμενες της C στα σημεία αυτά είναι οι κατακόρυφες ευθείες ρ και ρ αντιστοίχως. Και οι δυο αυτές εξισώσεις δίνονται από τον παραπάνω τύπο για, y, και, y, αντιστοίχως. ρ ρ Με ανάλογο τρόπο βρίσκουμε την εξίσωση της εφαπτομένης οποιασδήποτε άλλης κωνικής τομής.

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Κανόνες Παραγώγισης Ασκήσεις σχολικού βιβλίου. A Oμάδας.Να βρείτε την παράγωγο των συναρτήσεων 7 i 4 + 6 ii + ln iii 4 + iv συν 4 i Για κάθε χϵr είναι 7 6 4 + 6 ii Για κάθε, είναι 6 + iii Για κάθε χϵr είναι + iv Για κάθε χϵr είναι ημ συν ημ + ln.να βρείτε την παράγωγο των συναρτήσεων i ii e ημ iii iv v ημ συν i Για κάθε χϵr είναι + +. 6 + 6 ii Για κάθε χϵr είναι e ημ + e ημ e ημ + iii Για κάθε χϵr είναι 4 iv Για κάθε χϵr με + συν είναι e συν

v Για κάθε χϵr είναι ημ συν + ημ συν + ημ συν ημ συν + συν συν + ημ ημ ημ συν +.Να βρείτε την παράγωγο των συναρτήσεων i e ln ii iii e iv εφ + σφ i Για κάθε,, + e ln e είναι ln ii Για κάθε χϵr με ημ και συν είναι iii Για κάθε χϵr είναι e e e e e e e iv Για κάθε,,, είναι Άρα 4.. 4 4 ln e ln e ln e ln ln εφ + σφ 4

4 4.i Να βρείτε, όπου ορίζεται, την παράγωγο της συνάρτηση, 6, Για κάθε < είναι 4 + Για κάθε > είναι + 6. + 6 6 + 6 + 6 Άρα η δεν παραγωγίζεται στο 6 + 4.ii Να βρείτε, όπου ορίζεται, την παράγωγο της συνάρτηση,, Για κάθε < είναι + συν Για κάθε > είναι + ημ Άρα + 5.i Να βρείτε τα σημεία της γραφικής παράστασης της συνάρτησης D R* + 4, στα οποία οι εφαπτόμενες είναι παράλληλες στον άξονα των. 4 4 4 4 4 ή 4

+ 4 4 και 4 4 Τα ζητούμενα, λοιπόν, σημεία είναι Α, 4 και Β, 4 5.ii Να βρείτε τα σημεία της γραφικής παράστασης της συνάρτησης στα οποία οι εφαπτόμενες είναι παράλληλες στον άξονα των. D R. e e e e e Τo ζητούμενo σημείo είναι το Α, e e, 5.ii Να βρείτε τα σημεία της γραφικής παράστασης της συνάρτησης, στα οποία οι εφαπτόμενες είναι παράλληλες στον άξονα των. D R*.. ή και Τα ζητούμενα, λοιπόν, σημεία είναι Α, και Β, 6. Αν και συναρτήσεις,. Ισχύει ; D R D [,, + +, να βρείτε τις, Για κάθε D είναι.. Για κάθε D είναι οπότε, για κάθε D είναι 4. 4 5

Δεν ισχύει αφού οι συναρτήσεις, έχουν διαφορετικό πεδίο ορισμού. 7.Να αποδείξετε ότι οι εφαπτόμενες των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων και + στο κοινό σημείο τους Α,, είναι κάθετες. D R και D R*.. Άρα οι εφαπτόμενες των C, είναι κάθετες. και 8.Δίνεται η συνάρτηση τις οποίες η κλίση της D R.. C στο κοινό σημείο τους Α,,, αϵr*. Να βρείτε τις τιμές του α, για C στο σημείο της Α, είναι ίση με. α α α 9.Να βρείτε τα σημεία της γραφικής παράστασης της συνάρτησης + 5 στα οποία η εφαπτομένη είναι : i παράλληλη προς την ευθεία y 9 + ii κάθετη προς την ευθεία y D R i Εφαπτομένη παράλληλη στην ευθεία y 9 + 9 9 4 ή. + 5 8 + 6 + 5. + 5 8 6 + 5 7 Τα ζητούμενα σημεία είναι Α,, Β, 7 6

ii Εφαπτομένη στην ευθεία y + 5. 8 + 6 + 5 8 + 6 9 + 5 8 8 45 9. + 5 8 6 + 5 8 9 6 + 5 45 9 4 4 ή 8 8 45 45 9 9 Τα ζητούμενα σημεία είναι Γ, 45, Δ 9, 45 9. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης, η οποία άγεται από το σημείο Α,. D R Η εφαπτομένη ε της y C στο τυχαίο σημείο της Λ 7, y y Η ε άγεται από το Α Α ε. ή Για, η γίνεται y Για, η γίνεται y έχει εξίσωση.δίνεται η συνάρτηση α + β + γ, α, β, γ R. Να βρείτε τις τιμές των α, β, γ για τις οποίες η C διέρχεται από το σημείο Α, και εφάπτεται της ευθείας y στην αρχή των αξόνων. Η C διέρχεται από το σημείο Α, α + β. + γ α + β + γ

Η C διέρχεται από την αρχή των αξόνων Η εφαπτομένη της C στην αρχή των αξόνων είναι y - επειδή α + β δηλαδή α. + β β, η εφαπτομένη γίνεται y β την ευθεία y, δηλαδή πρέπει β γ και y β, η οποία πρέπει να συμπίπτει με Λόγω των, η α + + α. Να βρείτε την παράγωγο των συναρτήσεων : i 4 4 ii iii ημ iv ln v e i Πρέπει 4 4 +4 και 4 4 4 4 4 4 4 + + 4 4 ii Πρέπει > > 4 4 iii D R συν συν συν 9 4 7 4 + iv Πρέπει και > > + > < ή < < Γινόμενο + + 8

v D R e e e. Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης στο σημείο όταν : i iii i Για κάθε ϵr είναι, ii + π, 6 iv + + Άρα 4. + 4 + 8. ii Για κάθε > είναι +. +. Άρα 4. 4. +. 4. 8. + 8., 4,. +. iii Για κάθε ϵr είναι : π + Άρα 6 6. π π + π 6 + 6. + 6. + 6 + 4 6 5 6 π + π + π 6 συνπ 6.π 6.... π. 8 + 7. 4.. π 96 + 576 iv Για κάθε είναι Άρα 4 8 9 5 4.. π ημπ π συνπ π π συνπ.π 9

4. Να βρείτε την παράγωγο των συναρτήσεων : ln i ii 5 iii ln, > iv ημ. i Για κάθε > είναι ln.ln e ln e ln e ln ii Για κάθε ϵr είναι 5ln e iii e 5ln e lnln lnln [5-ln] ln ln ln 5 5ln ln ln e [lnln] ln [.lnln + [lnln] ] ln [lnln + ln ln ] ln [lnln + ln. ] ln [lnln + ln ] e iv Για κάθε ϵr είναι ημ e + ημ. e συν. e + ημ.. e συν 5. Αν Για κάθε ϵr είναι συν. e + ημ.. e ημ e συν, να αποδείξετε ότι + 4 + 4 συν + 4 ημ ημ ημ συν ημ συν συν + 4 4 + 4

Β Ομάδας.Να αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων και + έχουν ένα μόνο κοινό σημείο, στο οποίο οι εφαπτόμενές τους είναι κάθετες. ΑR* και AR, εργαζόμαστε στο R* Κοινά σημεία των C, C : + + Άρα το σημείο Α, είναι το μοναδικό κοινό σημείο των. Άρα. - Επομένως, οι εφαπτόμενές των είναι κάθετες C, + + C, C C στο κοινό σημείο τους Α,. Να αποδείξετε ότι η ευθεία y έχει, με τη γραφική παράσταση της δύο κοινά σημεία και εφάπτεται αυτής σε ένα από τα σημεία αυτά. Η ευθεία y εκφράζεται με τη συνάρτηση, χϵr με ΑR* Κοινά σημεία των C, C : + + + [ + ] + ή ή 8 Άρα τα κοινά σημεία των C,. C είναι Α, διπλό σημείο και Β, 8 Εφαπτομένη της C στο Α, : y y

που συμπίπτει με τη δοσμένη ευθεία y.δίνονται οι συναρτήσεις α + β + και. Να βρείτε τα α, βϵr, για τα οποία οι γραφικές παραστάσεις τους έχουν κοινή εφαπτομένη στο σημείο με τετμημένη. ΑR* και AR, εργαζόμαστε στο R* α + β, Κοινή εφαπτομένη στη θέση και α + β + και α + β α + β και β α α α και β α α και β 4.Δίνονται οι συναρτήσεις e και. Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη της C στο σημείο Α,, εφάπτεται και στην ΑR και AR, εργαζόμαστε στο R e, e Εφαπτομένη της Θα βρούμε την εφαπτομένη της δεν της ανήκει. Εφαπτομένη της C στο σημείο Α, ε : y C. y e y y + C, που άγεται από το σημείο Α,, το οποίο C σε κάποιο σημείο της Λ, η : y y Η η διέρχεται από το Α, + + + ή Για η η γίνεται y. y + y + + y + Για η η γίνεται y + + y +, που συμπίπτει με την ε.

5. Να βρείτε πολυώνυμο τρίτου βαθμού τέτοιο, ώστε 4,, 4 και 6. Έστω α + β + γ + δ, α το ζητούμενο πολυώνυμο. Είναι α + β + γ, 6α + β, 6α 4 δ 4 δ 4 δ 4 α β + γ α β + γ. β + γ 4 α + β 4 6α + β 6. + β 6. 6α 6 α α δ 4 δ 4 δ 4 β + γ 4 + γ γ 9 β 4 β 4 β 4 α α α Άρα 4 9 + 4 6. Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχει πολυώνυμο δεύτερου βαθμού, του οποίου η γραφική παράσταση να εφάπτεται των ευθειών y + και y στα σημεία Α, και Β, αντιστοίχως. Έστω α + β + γ με α το πολυώνυμο. Α C γ Β C α + β + γ α + β γ Είναι α + β, οπότε β και α + β 4 Η ευθεία y + εφάπτεται της C στο Α Η ευθεία y εφάπτεται της C στο Β β 5 4 α + β 5 α α 6 Λόγω των 6, 5, η + που είναι άτοπο 7. Αν μια συνάρτηση :R R είναι παραγωγίσιμη στο α, να αποδείξετε ότι i a e e ii e i Για α είναι [ ]

[ + ]. + a + + e e e e e e ii Για α είναι e [ ] e e e + e e Επειδή η συνάρτηση h e είναι παραγωγίσιμη στο α, θα έχουμε h α e e Αλλά h e, οπότε h α e και η e e e e e a [ e [ e a + e. e + e e e e ] ] + [ + e e ] e e 8. Να βρείτε τα σημεία της γραφικής παράστασης της συνάρτησης ημ, [, π], στα οποία η εφαπτομένη της είναι παράλληλη στον άξονα των. Στα ζητούμενα σημεία θα είναι συν 4ημ ημ συν. 4ημ συν συν ημ συν ημ εφ Αλλά π 4π 4, π + 4, π + 4, π + 4, 5, 9 4 4 4, 5, 9 8 8 8,, 4 8 4

9. Να βρείτε την παράγωγο των συναρτήσεων i ii 4 και στη συνέχεια την εξίσωση της εφαπτομένης της καθεμιά περίπτωση χωριστά. i D R,, Για < είναι C στο Ο,, σε Για >, ii D R 4 4 4, 4, Για < είναι 4 4 Για >, 4 4 4 4 4 4 4 4 4 Από τις, Η ζητούμενη εφαπτομένη είναι y y y 5

.Έστω μια παραγωγίσιμη στο R συνάρτηση για την οποία ισχύει και η συνάρτηση που ορίζεται από την ισότητα + +, ϵr. Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη της C στο σημείο Α, εφάπτεται της C στο Β,. Η εφαπτομένη της C στο σημείο Α, είναι ε : y y. y + Είναι + + + + + + + + + + +. +. Η εφαπτομένη της C στο σημείο Β, είναι η : y y [ ]. y + y + Από τις,, οι ευθείες ε, η συμπίπτουν, άρα η ε εφάπτεται της C στο Β,.. Έστω μια συνάρτηση παραγωγίσιμη στο διάστημα,, για την οποία ισχύει i Να βρείτε την ii Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη της ημ e συν, για κάθε π/, π/ C στο σημείο Α, σχηματίζει με τους άξονες ισοσκελές τρίγωνο. i Η υπόθεση για δίνει ημ e συν. Με παραγώγιση έχουμε ημημ e συν - e ημ ημσυν e συν ημ Άρα ημ e συν ημ. ii H εφαπτομένη της C στο σημείο Α, είναι ε : y y. y + Για y, η. Άρα η ε τέμνει τον άξονα στο σημείο Α, Για, η y. Άρα η ε τέμνει τον άξονα yy στο σημείο Β, Επομένως ΟΑ ΟΒ δηλαδή το τρίγωνο ΟΑΒ είναι ισοσκελές. 6

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Ρυθμός μεταβολής Ερωτήσεις θεωρίας. Τι καλούμαι ρυθμό μεταβολής της τετμημένης S του κινητού ως προς το χρόνο t τη χρονική στιγμή t Ορίσαμε τη στιγμιαία ταχύτητα ενός κινητού τη χρονική στιγμή t ως το όριο Το όριο αυτό το λέμε και ρυθμό μεταβολής της τετμημένης S του κινητού ως προς το χρόνο t τη χρονική στιγμή t.. Τι ονομάζουμε ρυθμό μεταβολής του y ως προς το στο σημείο. Αν δύο μεταβλητά μεγέθη, y συνδέονται με τη σχέση y, όταν είναι μια συνάρτηση παραγωγίσιμη στο, τότε ονομάζουμε ρυθμό μεταβολής του y ως προς το στο σημείο την παράγωγο ʹ.. Ποια σχέση έχουν η το διάστημα ή η απομάκρυνση,η ταχύτητα και η επιτάχυνση ; Τι καλείται οριακό κόστος,οριακή είσπραξη και τι οριακό κέρδος ; Για παράδειγμα, ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας υ ως προς το χρόνο t τη χρονική στιγμή t είναι η παράγωγος υʹt, της ταχύτητας υ ως προς το χρόνο t τη χρονική στιγμή t. Η παράγωγος υʹt λέγεται επιτάχυνση του κινητού τη χρονική στιγμή t και συμβολίζεται με αt. Είναι δηλαδή αt υʹt Sʹʹt Στην οικονομία, το κόστος παραγωγής Κ, η είσπραξη Ε και το κέρδος Ρ εκφράζονται συναρτήσει της ποσότητας του παραγόμενου προϊόντος. Έτσι, η παράγωγος Κʹ παριστάνει το ρυθμό μεταβολής του κόστους Κ ως προς την ποσότητα, όταν και λέγεται οριακό κόστος στο. Ανάλογα, ορίζονται και οι έννοιες οριακή είσπραξη στο και οριακό κέρδος στο. 4. Ένα βότσαλο που ρίχνεται σε μία λίμνη προκαλεί κυκλικό κυματισμό. Μία συσκευή μέτρησης δείχνει ότι τη χρονική στιγμή t που η ακτίνα r του κυματισμού είναι 5 cm, ο ρυθμός μεταβολής της r είναι cm/sec. Να βρεθεί ο ρυθμός μεταβολής του εμβαδού Ε που περικλείεται από το κυκλικό κύμα, τη χρονική στιγμή t. 7

ΛΥΣΗ Επειδή Ε π r και η ακτίνα r είναι συνάρτηση του χρόνου t, έχουμε Εt π r t. οπότε Εʹt π rt rʹt. Επομένως, cm /sec. 5. Aν το συνολικό κόστος παραγωγής μονάδων ενός βιομηχανικού προϊόντος είναι Κ και η συνολική είσπραξη από την πώλησή τους είναι E, τότε P E K είναι το συνολικό κέρδος και είναι το μέσο κόστος. i Να αποδείξετε ότι ο ρυθμός μεταβολής του κέρδους μηδενίζεται όταν ο ρυθμός μεταβολής του κόστους και ο ρυθμός μεταβολής της είσπραξης είναι ίσοι. ii Να αποδείξετε ότι ο ρυθμός μεταβολής του μέσου κόστους μηδενίζεται όταν το μέσο κόστος είναι ίσο με το οριακό κόστος. ΛΥΣΗ i Ο ρυθμός μεταβολής του κέρδους είναι Επομένως, ii Ο ρυθμός μεταβολής του μέσου κόστους είναι Pʹ Eʹ Kʹ. Pʹ Eʹ Kʹ Eʹ Kʹ. Επομένως 8

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Ρυθμός μεταβολής Ασκήσεις σχολικού βιβλίου.4 A Oμάδας. Μια σφαιρική μπάλα χιονιού αρχίζει να λειώνει. Η ακτίνα της, που ελαττώνεται δίνεται σε cm από τον τύπο r 4 t, όπου t ο χρόνος σε sec. Να βρείτε το ρυθμό μεταβολής της επιφάνειας Ε και του όγκου V της μπάλας, όταν t sec.θυμηθείτε ότι Ε 4π r και V 4 π r. Ανεξάρτητη μεταβλητή ο χρόνος t.. r rt η συνάρτηση που εκφράζει την ακτίνα. Ε Εt η συνάρτηση που εκφράζει την επιφάνεια. V Vt η συνάρτηση που εκφράζει τον όγκο Δίνεται rt 4 t Θέλουμε να βρούμε τους ρυθμούς μεταβολής Ε, V 4. Εt 4π.[rt ] 4π.4 t Ε t 4π.4 t.4 t 8π 4 t. t 6π 4 t t Άρα Ε 6π 4. 48π c m /sec Vt 4 π [rt ] 4 π.4 t Άρα V 8π 4. 8π. V t 4 π.4 t 4π.4 t 8π. 4 7π c m /sec. 4 t. t t t. Ο όγκος V ενός σφαιρικού μπαλονιού που φουσκώνει αυξάνεται με ρυθμό cm /sec. Με ποιο ρυθμό αυξάνεται η ακτίνα του r τη χρονική στιγμή t, που αυτή είναι ίση με 9 cm; 9

. Ανεξάρτητη μεταβλητή ο χρόνος t.. r rt η συνάρτηση που εκφράζει την ακτίνα.. V Vt η συνάρτηση που εκφράζει τον όγκο. Δίνεται V t c m /sec Θέλουμε να βρούμε τη ρυθμό μεταβολής r t 4. Vt 4 π [rt ] V t 4 π [rt ]. r t 4π [rt ]. r t Για t t θα είναι 4π [r t ]. r t 4π 9 r t 5 8 π r t r t 5 8. Το κόστος παραγωγής Κ και η τιμή πώλησης Π, μονάδων ενός βιομηχανικού προϊόντος δίνονται από τις συναρτήσεις Κ + 6 + και Π 4 αντιστοίχως. Να βρείτε πότε ο ρυθμός μεταβολής του κέρδους Ρ Π Κ είναι θετικός. Ρ Π Κ Ρ 4 Ρ 4 Ρ + 6 + + 6 + 8 Ρ + 4 8 Δ 4 4. 8 6 7 88 Ρίζες του τριωνύμου 4 88 4 Ρ > < < + 4. Δύο πλοία και αναχωρούν συγχρόνως από ένα λιμάνι Λ. Το πλοίο κινείται ανατολικά με ταχύτητα 5 km /h και το βόρεια με ταχύτητα km /h. i Να βρείτε τις συναρτήσεις θέσεως των και Π Λ βορράς d Π ανατολή ii Να αποδείξετε ότι η απόσταση d των δύο πλοίων αυξάνεται με σταθερό ρυθμό, τον οποίο και να προσδιορίσετε.

. Ανεξάρτητη μεταβλητή ο χρόνος t.. t η συνάρτηση που εκφράζει τη θέση του y yt η συνάρτηση που εκφράζει τη θέση του d dt η συνάρτηση που εκφράζει την απόσταση. Δίνεται t 5 και y t Θέλουμε να βρούμε τις i t και yt ii d t i Από τη Φυσική θα είναι t 5t και yt t ii Με το Πυθαγόρειο έχουμε [dt ] [t ] + [yt ] 5t + t 5 t + 4 t 65 t Άρα dt 5t d t 5 km /h. 5. Ένα κινητό Μ ξεκινά από την αρχή των αξόνων και κινείται κατά μήκος της καμπύλης y,. Σε ποιο σημείο της καμπύλης ο ρυθμός 4 μεταβολής της τετμημένης του Μ είναι ίσος με το ρυθμό μεταβολής της τεταγμένης του y, αν υποτεθεί ότι t > για κάθε t.. Ανεξάρτητη μεταβλητή ο χρόνος t.. t η συνάρτηση που εκφράζει την τετμημένη του Μ y yt η συνάρτηση που εκφράζει την τεταγμένη του Μ. Δίνεται t > Θέλουμε να βρούμε το σημείο t, y t, όπου t y t 4. y 4 yt 4 [t ] y t 4 t t Άρα και y t t t t y t t t t t t Αλλά y t 4 [ t ] y t 4 Άρα το ζητούμενο σημείο είναι το,

Β Ομάδας. Αν η επιφάνεια μιας σφαίρας αυξάνεται με ρυθμό c m /sec, να βρείτε το ρυθμό με το οποίο αυξάνεται ο όγκος αυτής, όταν r 85 cm.. Ανεξάρτητη μεταβλητή ο χρόνος t.. r rt η συνάρτηση που εκφράζει την ακτίνα Ε Εt η συνάρτηση που εκφράζει την επιφάνεια. V Vt η συνάρτηση που εκφράζει τον όγκο Δίνεται Ε t και r t 85 Θέλουμε να βρούμε το ρυθμό μεταβολής V t 4. Είναι Εt 4π.[rt ] Ε t 4π. rt. r t 8π rt. r t 8π r t. r t 8π.85. r t r t 8. 85 Είναι Vt 4 π [rt ] V t 4 π [rt ] r t V t 4 π [r t ] r t V t 4 π. 85 8. 85 V t 4 π. 85 8. 85 V t 45 c m /sec. Έστω Τ το εμβαδόν του τριγώνου ΟΑΒ που ορίζουν τα σημεία Ο,, Α,, Β, ln με >. Αν το μεταβάλλεται με ρυθμό 4 cm/sec, να βρείτε το ρυθμό μεταβολής του εμβαδού Τ, όταν 5 cm.. Ανεξάρτητη μεταβλητή ο χρόνος t.. t η συνάρτηση που εκφράζει το Τ Τt η συνάρτηση που εκφράζει το εμβαδόν του τριγώνου ΟΑΒ Δίνεται t 4 και t 5 Θέλουμε να βρούμε το ρυθμό μεταβολής T t 4. Τt ΟΑ ΟΒ. ln t.lnt Τ t [ t.lnt + t t t ]

Τ t [ t.ln t + t ] Τ t [4. ln5 + 4] 4 ln5 + ln5 + c m /sec. Ένας άνθρωπος σπρώχνει ένα κουτί στη ράμπα του διπλανού σχήματος και το κουτί κινείται με ταχύτητα m/sec. Να βρείτε πόσο γρήγορα ανυψώνεται το κουτί. δηλαδή το ρυθμό μεταβολής του y.. Ανεξάρτητη μεταβλητή ο χρόνος t. A m Κ Λ y Γ 5 m B. t η συνάρτηση που εκφράζει την απομάκρυνση ΑΚ Κ το κουτί y yt η συνάρτηση που εκφράζει την ανύψωση ΛΚ Δίνεται t Θέλουμε να βρούμε το ρυθμό μεταβολής y t 4. Από την ομοιότητα των τριγώνων ΑΛΚ, ΑΒΓ παίρνουμε y 5 4y 4 yt t 4 y t t 4 y t y t 4 m/sec 4. Ένα αερόστατο Α αφήνει το έδαφος σε απόσταση m, από έναν παρατηρητή Π με ταχύτητα 5 m/min. Με ποιο ρυθμό αυξάνεται η γωνία θ που σχηματίζει η ΑΠ με το έδαφος τη χρονική στιγμή κατά την οποία το μπαλόνι βρίσκεται σε ύψος m;. Ανεξάρτητη μεταβλητή ο χρόνος t. Π θ m A h Σ. h ht η συνάρτηση που εκφράζει την ανύψωση του αερόστατου. θ θt η συνάρτηση που εκφράζει την τη μεταβολή της γωνίας θ. Δίνεται h t 5 και h t Θέλουμε να βρούμε το ρυθμό μεταβολής θ t 4. Είναι εφθ h εφθt ht εφθt h t θ t t. 5

θ t θ t θt θ t A Κατά τη χρονική στιγμή t, είναι ΠΣ ΣΑ Άρα θ t 45 ο Π 45 m m Σ θ t. 4 4 rad/min 5.Μια γυναίκα ύψους,6 m απομακρύνεται από τη βάση ενός φανοστάτη ύψους 8 m με ταχύτητα,8 m/sec. Με ποια ταχύτητα αυξάνεται ο ίσκιος της ;. Ανεξάρτητη μεταβλητή ο χρόνος t. Φ 8 Ο Κ,6 Π s Σ. t η συνάρτηση που εκφράζει την απομάκρυνση ΟΠ s st η συνάρτηση που εκφράζει τον ίσκιο της γυναίκας Δίνεται t,8 Θέλουμε να βρούμε το ρυθμό μεταβολής s t 4. Από την ομοιότητα των τριγώνων ΣΠΚ, ΣΟΦ παίρνουμε s,6 s, s 8 s s, s + s, s +, st, st +, t,8 st, t,8 s t, t,8 s t,.,8 s t, m/sec 6. Ένα περιπολικό Α κινείται κατά μήκος της - καμπύλης y, πλησιάζοντας h την ακτή και ο προβολέας του φωτίζει κατ ευθείαν εμπρός σχήμα. Αν ο ρυθμός μεταβολής της τετμημένης του περιπολικού δίνεται από τον τύπο α t αt, να βρείτε το ρυθμό μεταβολής της τετμημένης του σημείου Μ της ακτής, στο οποίο πέφτουν ακτή Β y α Α α, - Μ Ο 4

τα φώτα του προβολέα τη χρονική στιγμή κατά την οποία το περιπολικό έχει τετμημένη.. Ανεξάρτητη μεταβλητή ο χρόνος t.. α αt η συνάρτηση που εκφράζει την τετμημένη του Α μ μt η συνάρτηση που εκφράζει την τετμημένη του Μ. Δίνεται α t αt και α t Θέλουμε να βρούμε το ρυθμό μεταβολής μ t 4. Έστω, Η εξίσωση της εφαπτομένης ΑΜ στο σημείο Α,, α < της C είναι y α α α αλλά οπότε ΑΜ : y + y + α + y + Για y παίρνουμε + άρα α + Επομένως μ α μt αt μ t α t μ t α t α, άρα Μ, [- α t ] 7. Μια σκάλα μήκους m είναι τοποθετημένη σ έναν τοίχο. Το κάτω μέρος της σκάλας γλιστράει στο δάπεδο με ρυθμό, m/sec. Τη χρονική στιγμή t, που η κορυφή της σκάλας απέχει από το δάπεδο,5 m, να βρείτε : i Το ρυθμό μεταβολής της γωνίας θ Σχήμα ii Την ταχύτητα με την οποία πέφτει η κορυφή Α της σκάλας. A y O m θ B 5

. Ανεξάρτητη μεταβλητή ο χρόνος t.. t η συνάρτηση που εκφράζει το μήκος του τμήματος ΟΒ y yt η συνάρτηση που εκφράζει το μήκος του τμήματος ΟΒ θ θt η συνάρτηση που εκφράζει τη γωνία θ. Δίνεται t, και y t,5 Θέλουμε να βρούμε i το ρυθμό μεταβολής θ t ii το ρυθμό μεταβολής y t 4. Είναι συνθ t συνθt t συνθt t ημθt. θ t, ημθt. θ t, ημθ t. θ t yt Αλλά, κατά τη χρονική στιγμή t είναι ημθ t,,5 θ t,5,,5 θ t θ t 5 Είναι [t ] + [yt ] [t ] + [yt ] t t + yt y t t t + yt y t t t + y t y t Αλλά [ t ] + [,5 ] 9 [ t ] + 6,5 9 [ t ],75 t,75,75.,. +,5 y t,5 y t,,75 y t,75 5 8. Ένα κινητό κινείται σε κυκλική τροχιά με εξίσωση + y. Καθώς περνάει από το σημείο Α,, η τεταγμένη y ελαττώνεται με ρυθμό μονάδες το δευτερόλεπτο. Να βρείτε το ρυθμό μεταβολής της τετμημένης τη χρονική στιγμή που το κινητό περνάει από το Α.. Ανεξάρτητη μεταβλητή ο χρόνος t.. t η συνάρτηση που εκφράζει την τετμημένη y yt η συνάρτηση που εκφράζει την τεταγμένη y 6

t η χρονική στιγμή που το κινητό περνάει από το Α. Δίνεται t, y t, y t - t Θέλουμε να βρούμε το ρυθμό μεταβολής 4. + y [t ] + [yt ] [t ] + [yt ] t t + yt y t t t + yt y t t t + y t y t t + t.- μονάδες/sec 7

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Το θεώρημα Μέσης Ερωτήσεις θεωρίας. Να διατυπωθεί το θεώρημα Rolle, Να γίνει η γεωμετρική του ερμηνεία και να δοθεί ένα παράδειγμα. ΘΕΩΡΗΜΑ Rolle Αν μια συνάρτηση είναι : συνεχής στο κλειστό διάστημα [α, β] παραγωγίσιμη στο ανοικτό διάστημα α, β και α β τότε υπάρχει ένα, τουλάχιστον, ξ ϵ α, β τέτοιο, ώστε : ʹξ Γεωμετρικά, αυτό σημαίνει ότι υπάρχει ένα, τουλάχιστον, ξ ϵ α,β τέτοιο, ώστε η εφαπτομένη της C στο Mξ, ξ να είναι παράλληλη στον άξονα των. Για παράδειγμα, έστω η συνάρτηση 4 + 5, ϵ [,]. Σχ. 9 Επειδή η είναι συνεχής στο [,], παραγωγίσιμη στο,, με ʹ 4 και, σύμφωνα με το θεώρημα Rolle, θα υπάρχει ένας αριθμός ξ ϵ, τέτοιος, ώστε ʹξ. Για την εύρεση του αριθμού ξ, έχουμε : ʹξ ξ 4 ξ. 8

. Να διατυπωθεί το θεώρημα Rolle, Να γίνει η γεωμετρική του ερμηνεία και να δοθεί ένα παράδειγμα. ΘΕΩΡΗΜΑ Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού Θ.Μ.Τ. Αν μια συνάρτηση είναι : συνεχής στο κλειστό διάστημα [α, β] παραγωγίσιμη στο ανοικτό διάστημα α, β και τότε υπάρχει ένα, τουλάχιστον, ξ ϵ α, β τέτοιο, ώστε : Γεωμετρικά, αυτό σημαίνει ότι υπάρχει ένα, τουλάχιστον, ξ ϵ α,β τέτοιο, ώστε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της στο Mξ, ξ να είναι παράλληλη της ευθείας ΑΒ. Για παράδειγμα, έστω η συνάρτηση Επειδή η είναι συνεχής στο [,4] και παραγωγίσιμη στο,4, με, σύμφωνα με το θεώρημα μέσης τιμής, θα υπάρχει ένας αριθμός ξ ϵ,4 τέτοιος, ώστε Για την εύρεση του αριθμού ξ, έχουμε :. Nα αποδειχτεί ότι: i Η συνάρτηση λ + λ+, λ ϵ R *, ικανοποιεί τις υποθέσεις του θεωρήματος του Rolle στο διάστημα [,]. ii Η εξίσωση λ + λ+, λ ϵ R * έχει μια, τουλάχιστον, ρίζα στο διάστημα,. ΑΠΟΔΕΙΞΗ i Η συνάρτηση ικανοποιεί τις υποθέσεις του θεωρήματος Rolle στο [,] αφού είναι συνεχής στο [,] ως πολυωνυμική είναι παραγωγίσιμη στο, με ʹ λ + λ+ και ισχύει. 9

ii Αφού, λοιπόν, για τη συνάρτηση λ + λ+, λ ϵ R *, ισχύουν οι υποθέσεις του θεωρήματος Rolle, θα υπάρχει ξ ϵ, τέτοιο, ώστε ʹξ ή, ισοδύναμα, λξ + ξ λ+. Επομένως, το ξ ϵ, θα είναι ρίζα της εξίσωσης λ + λ+. 4. Να αποδειχτεί ότι για τη συνάρτηση α + β + γ, α και για οποιοδήποτε διάστημα [, ], ο αριθμός ϵ,, που ικανοποιεί το συμπέρασμα του Θεωρήματος Μέσης Τιμής, είναι το κέντρο του διαστήματος [, ], δηλαδή είναι. ΑΠΟΔΕΙΞΗ Η συνάρτηση α + β + γ είναι συνεχής στο [, ] ως πολυωνυμική και παραγωγίσιμη στο,, με ʹ α +β. Επομένως, σύμφωνα με το θεώρημα μέσης τιμής υπάρχει ϵ,, τέτοιο, ώστε Είναι όμως : Επομένως, η σχέση γράφεται : 5. Ένα αυτοκίνητο διήνυσε μία διαδρομή χιλιομέτρων σε,5 ώρες. Να αποδειχθεί ότι κάποια χρονική στιγμή, κατά τη διάρκεια της διαδρομής, η ταχύτητα του αυτοκινήτου ήταν 8 χιλιόμετρα την ώρα. ΑΠΟΔΕΙΞΗ Έστω St, t ϵ [,,5] η συνάρτηση θέσης του κινητού. Αρκεί να δείξουμε ότι υπάρχει t ϵ [,,5], τέτοια ώστε υ t Sʹt 8. Η συνάρτηση S είναι συνεχής στο [,,5] και παραγωγίσιμη στο,,5. Επομένως, σύμφωνα με το Θεώρημα Μέσης Τιμής υπάρχει t ϵ,,5 τέτοιο, ώστε

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Το θεώρημα Μέσης Ασκήσεις σχολικού βιβλίου.5 A Oμάδας.i Να εξετάσετε αν η συνάρτηση + ικανοποιεί τις υποθέσεις του θεωρήματος Rolle στο διάστημα [, ], και αν ναι στη συνέχεια να βρείτε όλα τα ξα, β για τα οποία ισχύει ξ. Είναι συνεχής στο [, ] παραγωγίσιμη στο, Rolle υπάρχει ένα τουλάχιστον ξα, β τέτοιο, ώστε ξ. ξ ξ ξ.ii Να εξετάσετε αν η συνάρτηση ημ ικανοποιεί τις υποθέσεις του θεωρήματος Rolle στο διάστημα,, και αν ναι, στη συνέχεια να βρείτε όλα τα ξα, β για τα οποία ισχύει ξ. συνεχής στο, παραγωγίσιμη στο, Rolle υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ, τέτοιο, ώστε ξ. Είναι συν ξ συνξ συνξ και επειδή < ξ < δηλαδή < ξ < π, θα είναι ξ ή ξ άρα ξ ή ξ 6

.iii Να εξετάσετε αν η συνάρτηση + συν ικανοποιεί τις υποθέσεις του θεωρήματος Rolle στο διάστημα, π, και αν ναι, στη συνέχεια να βρείτε όλα τα ξα, β για τα οποία ισχύει ξ. συνεχής στο [, π] παραγωγίσιμη στο, π Rolle υπάρχει ένα τουλάχιστον ξα, β π τέτοιο, ώστε ξ. Είναι ημ ξ ημξ ημξ και επειδή < ξ < π δηλαδή < ξ < π, θα είναι ξ π άρα ξ.iv Να εξετάσετε αν η συνάρτηση ικανοποιεί τις υποθέσεις του θεωρήματος Rolle στο διάστημα [, ] και αν ναι στη συνέχεια να βρείτε όλα τα ξα, β για τα οποία ισχύει ξ.,, Άρα η δεν είναι παραγωγίσιμη στο, επομένως δεν είναι παραγωγίσιμη και στο διάστημα [, ], άρα δεν ισχύουν οι προϋποθέσεις του θεωρήματος Rolle στο διάστημα [, ].i Να εξετάσετε αν η συνάρτηση + ικανοποιεί τις υποθέσεις του θεωρήματος Μέσης Τιμής στο διάστημα [, 4] και αν ναι στη συνέχεια να βρείτε όλα τα ξ, 4 για τα οποία ισχύει ξ συνεχής στο [, 4] Θ.Μ.Τ υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ, 4 4 παραγωγίσιμη στο, 4 τέτοιο,ώστε ξ 4 4 6 4 Είναι + ξ 6 ξ + 6 ξ 4 ξ

.ii Να εξετάσετε αν η συνάρτηση ημ ικανοποιεί τις υποθέσεις του θεωρήματος Μέσης Τιμής στο διάστημα, και αν ναι, στη συνέχεια να βρείτε όλα τα ξ, για τα οποία ισχύει ξ συνεχής στο, και παραγωγίσιμη στο,, από Θ.Μ.Τ υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ, τέτοιο, ώστε ξ Είναι 6συν ξ 6συνξ συνξ και επειδή < ξ <, δηλαδή < ξ < π, παίρνουμε ξ άρα ξ 4,.iii Να εξετάσετε αν η συνάρτηση ικανοποιεί τις, υποθέσεις του θεωρήματος Μέσης Τιμής στο διάστημα [, ] και αν ναι στη συνέχεια να βρείτε όλα τα ξ-, για τα οποία ισχύει ξ Η είναι συνεχής στο διάστημα [,, αφού + Η είναι συνεχής στο διάστημα, ], αφού + + - + 4. + + 5 Από τις, 4, 5 συνεχής στο 6 Από τις,, 6 συνεχής στο διάστημα [, ] 7 Η είναι παραγωγίσιμη στο διάστημα,, αφού +, με Η είναι παραγωγίσιμη στο διάστημα,, αφού, με

[ ] Από τις, 4 παραγωγίσιμη στο με Από τις,, 5 παραγωγίσιμη στο διάστημα, 6 4 5 Από τις 7, 6 ικανοποιούνται οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ άρα υπάρχει ξ, τέτοιο, ώστε ξ Από την 5 είναι Λύνουμε την εξίσωση [ ] 5, άρα ζητούμενος ξ είναι ο στο διάστημα, για κάθε, άρα ζητούμενος ξ είναι κάθε ξ, Λύνουμε την εξίσωση στο διάστημα,, άρα ζητούμενος ξ είναι ο. Αν α < β, να αποδείξετε ότι οι συναρτήσεις e και ln ικανοποιούν τις υποθέσεις του Θ. Μ. Τ στο διάστημα [α, β] και στη συνέχεια ότι : e < e e < e και < ln ln < Για τη συνάρτηση ln υποθέτουμε επιπλέον ότι < α < β συνεχής στο [α, β], αφού είναι συνεχής στο παραγωγίσιμη στο α, β αφού είναι παραγωγίσιμη στο Από το Θ.Μ.Τ, υπάρχει ξα, β τέτοιο, ώστε Αλλά e α < ξ < β e < e < e 4 ξ ξ e, οπότε e e e

e < e e < e συνεχής στο [α, β], αφού είναι συνεχής στο, + παραγωγίσιμη στο α, β αφού είναι παραγωγίσιμη στο, + Από το Θ.Μ.Τ, υπάρχει ξα, β τέτοιο, ώστε ξ Αλλά ξ, οπότε ln ln < α < ξ < β < < < ln ln < 5

Β Ομάδας 4. Δίνεται η συνάρτηση 5 + i Να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα -, και μία τουλάχιστον στο διάστημα, ii Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 4 6 5 έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα, i συνεχής στο R, αφού είναι πολυωνυμική 4 5 + + 5 + + Άρα < Επομένως, κατά το θεώρημα Bolzano, η εξίσωση έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα, Ομοίως, η εξίσωση έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα, ii Είναι 4 6 5 Έτσι, αρκεί να αποδείξουμε, ότι η εξίσωση ρίζα στο διάστημα,. έχει μία τουλάχιστον συνεχής στο διάστημα [, ] παραγωγίσιμη στο, Rolle η εξίσωση έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο,. Δίνεται η συνάρτηση ημ. Να αποδείξετε ότι : i H εξίσωση έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο ανοικτό διάστημα, ii H εξίσωση εφ έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο ανοικτό διάστημα, i συνεχής στο διάστημα [, ] σα γινόμενο συνεχών παραγωγίσιμη στο, σα γινόμενο παραγωγίσιμων ημ. και ημ. ημ Rolle η εξίσωση έχει μία τουλάχιστον ρίζα ξ, ii Είναι ημ + συν Για κάθε,, η εξίσωση εφ γράφεται ημ συν ημ + συν, η οποία, από το i, έχει μία τουλάχιστον ρίζα ξ, 6