Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 21. november 2013
Hiperbolične funkcije Hiperbolični sinus sinhx = ex e x 2 20 10 3 2 1 1 2 3 10 20
hiperbolični kosinus coshx = ex +e x 2 12 10 8 6 4 2 3 2 1 1 2 3
in hiperbolični tangens tanhx = sinhx coshx = ex e x e x +e x 1.0 0.5 3 2 1 1 2 3 0.5 1.0
Za hiperbolične funkcije veljajo podobne zveze, kot za kotne funkcije, na primer sinh(2x) = 2sinhx coshx cosh(2x) = cosh 2 x +sinh 2 x cosh 2 x sinh 2 x = 1 Opomba Parametrično podana krivulja x = cosht, y = sinht je v implicitni obliki podana z enačbo x 2 y 2 = 1, kar je enačba hiperbole (od tod takšno ime funkcij).
Area funkcije Tudi za hiperbolične funkcije bi radi izračunali njihov inverz. Hiperbolični sinus in hiperbolični tangens sta strogo naraščajoči funkciji, torej injektivni, zato njuna inverza obstajata povsod. Pri hiperboličnem kosinusu pa se omejimo na interval [0, ), kjer je hiperbolični kosinus strogo naraščajoča funkcija.
y sinhx 1 Arsinhx 0 1 x
y coshx Arcoshx 1 0 1 x
y Artanhx 1 0 1 x
Izračunajmo inverzno funkcijo hiperboličnega sinusa, torej funkcije y = sinhx = ex e x 2. Zamenjamo vlogo x in y, preoblikujemo izraz, tako da dobimo kvadratno enačbo glede na spremenljivko e y, rešimo kvadratno enačbo in dobimo, da je le ena rešitev pravilna y = log(x + 1+x 2 ) = Arsinhx.
Podobno lahko izpeljemo area funkciji tudi za hiperbolični kosinus in hiperbolični tangens: Arcoshx = log(x + x 2 1), x 1 Artanhx = 1 2 log 1+x 1 x, x < 1
Elementarne funkcije delimo na dve veliki skupini: na algebraične funkcije in na transcendentne funkcije. Definicija Funkcija y = f(x) je algebraična, če so njene vrednosti rešitve enačbe A n (x)y n +A n 1 (x)y n 1 +...+A 2 (x)y 2 +A 1 (x)y +A 0 (x) = 0, kjer so A i dani polinomi, torej A i (x) = a i,n x n +a i,n 1 x n 1 +...+a i,1 x +a i,0. Če funkcija ni algebraična, potem pravimo, da je transcendentna.
Opomba Algebraične funkcije so z enačbo A n (x)y n +A n 1 (x)y n 1 +...+A 2 (x)y 2 +A 1 (x)y +A 0 (x) = 0 podane implicitno. V nekaterih primerih pa s tako enačbo ni definirana nobena realna funkcija. Na primer, y 2 +x 2 +1 = 0.
Primeri algebraičnih funkcij: Če je A i (x) = 0 za vsak i > 1 in A 1 (x) = 1, potem je f(x) = A 0 (x) polinom. Če je A i (x) = 0 za vsak i > 1, potem je f(x) = A 0(x) A 1 (x) racionalna funkcija. Če je A i (x) = 0 za vsak i > 2, A 2 (x) = 1 in A 1 (x) = 0, potem je med rešitvami enačbe y 2 +A 0 (x) = 0 tudi kvadratni koren polinoma f(x) = A 0 (x). Od obravnavanih funkcij so: algebraične funkcije: polinomi, racionalne funkcije in kvadratni koreni transcendentne funkcije: eksponentne, logaritemske, kotne, ciklometrične, hiperbolične in area funkcije
Limita funkcij Definicija Naj bo f : D R, D R. Število A je limita funkcije f v točki x 0 D, če za vsak ε > 0 obstaja tak δ > 0, da je f(x) A < ε za vsak x x 0, za katerega je x x 0 < δ. To pišemo lim x x 0 f(x) = A.
Funkcije y A+ε f A A ε 0 x0 δ x 0 x 0 +δ x
Opomba Limita funkcije f v točki x 0 ni odvisna od vrednosti funkcije f v točki x 0. Lahko je lim x x0 f(x) = f(x 0 ) lim x x0 f(x) f(x 0 ) lim x x0 f(x) obstaja, funkcija f pa v točki x 0 ni definirana.
lim x x0 f(x) = f(x 0 ) y f(x) = x2 x+1 1 2 0 1 x
lim x x0 f(x) f(x 0 ) y 2 f(x) = { 1 : x Z 2 : x / Z 1 0 1 x
lim x x0 f(x) obstaja, funkcija f pa v točki x 0 ni definirana. y 2 1 f(x) = x2 1 x 1 0 1 x
Definicija Naj bo f : D R, D R. Število A je limita funkcije f, ko gre x proti, če za vsak ε > 0 obstaja tako število M R, da je f(x) A < ε za vsak x > M. To pišemo Podobno definiramo lim f(x) = A. x lim f(x). x
Definicija Naj bo f : D R, D R. Pravimo, da je limita funkcije f, ko gre x proti x 0, če za vsak M R obstaja tak δ > 0, da je f(x) > M za vsak x x 0 in x x 0 < δ. To pišemo lim x x 0 f(x) =. Primer lim logx =. x
Primer lim x 1 = 0, lim x2 x 0 y 1 x 2 =. f(x) = 1 x 2 1 0 1 x
Podobno kot pri limitah zaporedij tudi pri limitah funkcij pokažemo lastnosti, ki veljajo za računanje limit. lim x x0 (f(x)+g(x)) = lim x x0 f(x)+lim x x0 g(x) lim x x0 (f(x) g(x)) = lim x x0 f(x) lim x x0 g(x) f(x) lim x x0 g(x) = limx x 0 f(x) lim x x0 g(x) okolice x 0., kjer je g(x) 0 za vsak x iz neke
Izrek (sendvič izrek) Če je f(x) g(x) h(x) za vsak x x 0 iz neke okolice x 0 in je lim f(x) = lim h(x) = A, x x 0 x x 0 potem je tudi lim x x 0 g(x) = A.