Ερωτήσεις νάπτυξης 1. ** Ν ρεθεί η εξίσωση του κύκλου σε κθεµιά πό τις πρκάτω περιπτώσεις: ) έχει κέντρο την ρχή των ξόνων κι κτίν ) έχει κέντρο το σηµείο (3, - 1) κι κτίν 5 γ) έχει κέντρο το σηµείο (-, 1) κι διέρχετι πό το σηµείο (-, 3) δ) έχει διάµετρο το ευθύγρµµο τµήµ ΑΒ µε Α (1, 3) κι Β (- 3, 5) ε) διέρχετι πό τ σηµεί (, 1), (1, ) κι (-, - 1) στ) διέρχετι πό τ σηµεί (3, 1), (- 1, 3) κι έχει κέντρο πάνω στην ευθεί = 3 - ζ) έχει κέντρο το σηµείο (8, - 6) κι διέρχετι πό την ρχή των ξόνων η) έχει κέντρο την ρχή των ξόνων κι εφάπτετι της ευθείς 3 = 10 θ) έχει κτίν 4, εφάπτετι στον άξον κι διέρχετι πό το σηµείο (5, 4) ι) έχει κέντρο το σηµείο (- 3, ), εφάπτετι στον άξον κι διέρχετι πό το σηµείο (- 6, ) ι) έχει κέντρο το σηµείο (3, 3) κι εφάπτετι των ξόνων κι ι) έχει κέντρο το σηµείο (- 3, 1) κι εφάπτετι στην ευθεί 4-3 5 = 0. ** Ν ρείτε την εξίσωση του κύκλου που διέρχετι πό το σηµείο (1, 0) κι εφάπτετι στις ευθείες 3 6 = 0 κι 3-1 = 0. 3. ** Ν ρείτε την εξίσωση του κύκλου, ο οποίος είνι εγγεγρµµένος στο τρίγωνο που σχηµτίζει η ευθεί - 6 = 0 µε τους άξονες κι. 4. ** ίνετι η ευθεί = λ κι ο κύκλος - 4 1 = 0. Ν ρεθεί η τιµή του λ ώστε η ευθεί: ) ν τέµνει τον κύκλο ) ν εφάπτετι του κύκλου γ) ν µην έχει κοινά σηµεί µε τον κύκλο. 163
5. ** Ν ρείτε την εξίσωση της ευθείς που περνά πό το κέντρο του κύκλου - - 6 = 0 κι είνι κάθετη στην ευθεί - 7 = 0. 6. ** Ν ρείτε τις εξισώσεις των εφπτοµένων του κύκλου = 4 που είνι πράλληλες στην ευθεί = 0. 7. ** Ν ρείτε τις εξισώσεις των εφπτοµένων του κύκλου = 9 που γράφοντι πό το σηµείο (0, 6). 8. ** Ν ρείτε την εξίσωση του κύκλου που εφάπτετι στην ευθεί = κι είνι οµόκεντρος του κύκλου - 4 1 = 0. 9. ** ίνετι ο κύκλος - - 1 = 0 κι η ευθεί = - 3. Ν ποδείξετε ότι η ευθεί εφάπτετι του κύκλου κι στη συνέχει ν ρείτε το σηµείο επφής. 10. ** ίνοντι τ σηµεί Α (1, ), Β (, 4) κι Γ (3, 1). ) Ν ποδειχθεί ότι: γωνί ΒΑΓ = 90 ) Ν ρεθεί η εξίσωση του κύκλου που διέρχετι πό τ σηµεί Α, Β κι Γ. 11. ** Ν ρεθεί η εξίσωση του κύκλου που διέρχετι πό τ σηµεί Α (3, 0), Β (0, 3) κι Γ (0, - 3), > 0. 1. ** Ν ποδειχθεί ότι το σύνολο των σηµείων Μ (, ) του επιπέδου που ικνοποιούν τις εξισώσεις συνθ - ηµθ = συνθ κι ηµθ συνθ = ηµθ, θ R, ρίσκοντι σε κύκλο. 13. ** Ν ρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει το κέντρο του στην ευθεί (ε): 1 = 0 κι διέρχετι πό τ σηµεί Α (- 1, ) κι Β (3, - 1). 164
14. ** Ν ποδειχθεί ότι οι κύκλοι C 1 : ( - ) = 4 κι C : - = 0 εφάπτοντι εσωτερικά. 15. ** Ν ρεθεί η νγκί κι ικνή συνθήκη γι ν είνι οµόκεντροι οι κύκλοι C 1 : Α 1 B 1 Γ 1 = 0 κι C : Α B Γ = 0. 16. ** Ν ποδειχθεί ότι ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων Μ (, ) του επιπέδου των οποίων το άθροισµ των τετργώνων των ποστάσεων πό τ Α, Β, Γ µε Α (1, - 1), Β (- 1, ), Γ (0, ) είνι στθερό c, είνι κύκλος µε κέντρο το ρύκεντρο του τριγώνου ΑΒΓ (γι κτάλληλο c). 17. ** Ν δειχθεί ότι η εξίσωση λ = 0 πριστάνει κύκλο γι κάθε λ R*. Ν ρεθεί η γρµµή πάνω στην οποί ρίσκοντι τ κέντρ υτών των κύκλων. 18. ** Θεωρούµε τον κύκλο C: 4 = 0 κι το σηµείο Α (- 1, - 1). Ν ρεθεί η εξίσωση ευθείς που ορίζει στον κύκλο χορδή, µε µέσο το σηµείο Α. 19. ** Ν ρεθεί η εξίσωση της προλής µε κορυφή το (0, 0) στις πρκάτω περιπτώσεις: ) είνι συµµετρική ως προς το θετικό ηµιάξον Ο κι έχει πράµετρο p = 5 ) είνι συµµετρική ως προς τον άξον Ο κι διέρχετι πό το σηµείο (- 1, 4) γ) είνι συµµετρική ως προς τον άξον Ο κι διέρχετι πό το σηµείο (, ) δ) έχει άξον συµµετρίς τον Ο κι εστί Ε (0, - 4) ε) έχει εστί Ε (-, 0) κι διευθετούσ δ: - = 0 στ) έχει άξον συµµετρίς τον Ο κι εφάπτετι της ευθείς = 4 1 0. ** Ν ρεθεί η σχετική θέση της ευθείς 1 = 0 ως προς την προλή =. 165
1. ** Ν ρεθούν οι εξισώσεις των εφπτοµένων της προλής = 3 στ σηµεί (0, 0) κι (1, 6).. ** Ν ρεθεί η εξίσωση της εφπτοµένης της προλής = 3 που είνι πράλληλη στην ευθεί - 1999 = 0. 3. ** Από το σηµείο (-, 3) προς την προλή = 8 γράφοντι δύο εφπτόµενες ευθείες. ) Ν ρείτε τις εξισώσεις των εφπτοµένων υτών ευθειών. ) Ν ποδείξετε ότι οι εφπτόµενες υτές ευθείες είνι κάθετες. 4. ** Έστω η προλή = 4p, p > 0. Μι χορδή της ΑΒ είνι κάθετη στον άξον κι έχει µήκος 8p. Ν ποδειχθεί ότι ΟΑ ΟΒ = 0. 5. ** Ισόπλευρο τρίγωνο ΟΑΒ είνι εγγεγρµµένο στην προλή = 4p µε κορυφή το Ο. Ν ρεθούν οι εξισώσεις των πλευρών του. 6. ** Έστω η προλή C: = p κι µι χορδή της ΑΒ πράλληλη µε τον άξον, η οποί περνάει πό την εστί. Ν ποδειχθεί ότι: ) (ΑΒ) = (ΕΚ), όπου Κ το σηµείο που τέµνει ο άξονς τη διευθετούσ ) οι εφπτόµενες στ Α κι Β διέρχοντι πό το Κ 7. ** ίνετι η προλή C: = p κι δύο χορδές ΟΒ, ΟΓ, ώστε γωνί ΒΟΓ = 90. Ν ποδειχθεί ότι η ΒΓ διέρχετι πό στθερό σηµείο. 8. ** ίνετι η προλή =. ) Ν ρεθούν η εστί κι η διευθετούσ της. ) Ν ρεθεί η πόστση του σηµείου της Α (, 1) πό την εστί Ε κι ν συγκριθεί µε την πόστση (ΟΕ). γ) Ν ποδείξετε ότι σε κάθε προλή το σηµείο της µε τη µικρότερη πόστση πό την εστί είνι η κορυφή της Ο. δ) Ν ρεθεί σηµείο στην προλή = p που ν πέχει πό την εστί Ε πόστση διπλάσι της ΟΕ. 166
9. ** ίνετι η προλή = 4 κι η ευθεί (ε): = - 1. ) Ν δείξετε ότι η (ε) περνά πό την εστί της προλής. ) Ν ρείτε τ κοινά σηµεί Α, Β της (ε) κι της προλής. γ) Ν δείξετε ότι οι εφπτόµενες της προλής στ σηµεί Α, Β είνι κάθετες. δ) Ν δείξετε ότι κάθε ευθεί που περνά πό την εστί κι τέµνει την προλή σε δύο σηµεί έχει την ιδιότητ (γ). 30. ** ίνετι η προλή = p. Θέτουµε = κι =, 0. Ν ποδειχθεί ότι το σηµείο (, ) κινείτι πάλι σε προλή. 31. ** ίνοντι τ σηµεί του επιπέδου (, ) = (pκ, pκ) µε κ R. ) Ν ποδειχθεί ότι τ σηµεί υτά νήκουν σε µι προλή ) Αν Α (p κ1, pκ1), Β (p κ, pκ) είνι δύο σηµεί της προλής υτής, ν ποδειχθεί ότι ν η ΑΒ διέρχετι πό την εστί, είνι 4κ 1 κ = - 1. 3. ** Αν (ε) είνι η εφπτοµένη της έλλειψης C: = 1 στο Μ 1 ( 1, 1 ), ν ποδείξετε ότι η κάθετη στην (ε) έχει συντελεστή διεύθυνσης λ = 1. 1 33. ** ίνετι ο κύκλος = κι η προλή = 8. ) Ν ρεθούν οι κοινές εφπτόµενες του κύκλου κι της προλής. ) Ν ποδείξετε ότι οι εφπτόµενες υτές είνι κάθετες. 34. ** ίνετι στθερό σηµείο Α κι ευθεί (ε) που δεν διέρχετι πό το Α. Ν ποδείξετε ότι ο γεωµετρικός τόπος των κέντρων των κύκλων που διέρχοντι πό το Α κι εφάπτοντι στην (ε), είνι προλή. 167
35. ** Ν γρφεί η εξίσωση της έλλειψης που έχει µεγάλο κι µικρό άξον µε µήκος 6 κι 4 µονάδες ντιστοίχως κι έχει εστίες πάνω στον άξον συµµετρικές ως προς την ρχή των ξόνων. 36. ** Ν ρεθεί η εκκεντρότητ κι οι εστίες κθεµιάς πό τις πρκάτω ελλείψεις: ) = 1 4 ) 4 9 = 36 γ) 9 5 = 5 37. ** Ν εξετάσετε ν υπάρχει έλλειψη στην οποί έν σηµείο της Μ ν σχηµτίζει µε τις εστίες Ε κι Ε ισόπλευρο τρίγωνο. 38. ** Ο κύκλος µε κέντρο το Ο (0, 0) κι κτίν διέρχετι πό τις εστίες της έλλειψης = 1 µε >. Ν ρεθεί η εκκεντρότητ της έλλειψης. 39. ** ίνετι η έλλειψη C: = 1. Ν ποδείξετε ότι κι η έλλειψη µε εξίσωση κ κ = 1 έχει την ίδι εκκεντρότητ µε τη C. 40. ** Ν συγκριθούν οι εκκεντρότητες των ελλείψεων C 1 : = 1 κι C : 4 4 = 1, µε >. 41. ** Ν ρεθεί η µορφή της εξίσωσης της έλλειψης µε εκκεντρότητ ε =. 168
4. ** Θεωρούµε την υπερολή C: - = 1 κι την ευθεί (ε): =. Ν ρεθούν οι τιµές του, γι τις οποίες η (ε) εφάπτετι στη C. 43. ** ίνετι ο κύκλος = 4 κι η έλλειψη = 1. 6 ) Ν δείξετε ότι το σηµείο (1, - 3 ) είνι κοινό τους σηµείο κι στη συνέχει ν ρείτε όλ τ κοινά σηµεί. ) Ν δείξετε ότι τ κοινά τους σηµεί είνι κορυφές ορθογωνίου πρλληλογράµµου. γ) Ν ρεθούν τ σηµεί Μ ( 0, 0 ) ώστε 0 0 = 4 κι (Ε Μ) (ΕΜ) = 6 (Ε, Ε οι εστίες της έλλειψης). 44. ** Ν ρεθούν οι εφπτόµενες της έλλειψης 9 16 = 144 που είνι: ) πράλληλες προς την ευθεί (ε): = 0 ) κάθετες στην ευθεί (ε). 45. ** ίνετι η έλλειψη = 1. ) Ν δείξετε ότι το τετράπλευρο Ε ΒΕΒ είνι ρόµος (Ε, Ε οι εστίες, Β, Β τ άκρ του µικρού άξον) ) Ν ρεθεί το εµδόν του ρόµου. 169
46. ** Ο κύκλος µε εξίσωση = 16 διέρχετι πό τις κορυφές της υπερολής C του διπλνού σχήµτος, της οποίς η µι σύµπτωτη έχει εξίσωση 4 = -. Ν ρεθούν: 3 ) οι εστίες της υπερολής ) η εστική της πόστση γ) η εξίσωσή της δ) ν προσδιοριστεί το ορθογώνιο άσης της υπερολής ε) η εκκεντρότητά της. C 47. ** Ν ρείτε την εξίσωση της υπερολής που έχει τις εστίες της στον άξον συµµετρικές ως προς την ρχή των ξόνων κι κόµ: ) έχει εστική πόστση (Ε Ε) = 6 κι εκκεντρότητ ε = 3 ) έχει εστική πόστση (Ε Ε) = 0 κι εξισώσεις συµπτώτων = 3 4 κι = - 3 4. γ) έχει εστική πόστση (Ε Ε) = 4 κι σύµπτωτες τις διχοτόµους των γωνιών των ξόνων. 48. ** Έστω η υπερολή C: = 1. Ν δειχθεί ότι κάθε πράλληλη προς µι σύµπτωτη τέµνει την υπερολή σ έν µόνο σηµείο. 49. ** Έστω Μ τυχίο σηµείο της υπερολής - =, (ε) η εφπτοµένη στο Μ κι Α, Β τ σηµεί που η (ε) τέµνει τις σύµπτωτες. Τότε το εµδόν του τριγώνου ΟΑΒ είνι στθερό. 170
50. ** Έστω κύκλος µε εξίσωση =. Αν θέσουµε = κι = c, ν ποδείξετε ότι το σηµείο (, ) νήκει σε έλλειψη. 51. ** ίνετι η υπερολή C: - = 1 κι Μ ( 1, 1 ) έν σηµείο της διφορετικό πό τις κορυφές της. Αν η κάθετη (ε ) της (ε) στο Μ τέµνει τους άξονες, στ Γ κι ντίστοιχ (ε η εφπτόµενη στο Μ) ) ν ρεθεί συνρτήσει των 1, 1 η εξίσωση της (ε ) ) ν ρεθούν οι συντετγµένες των Γ κι γ) ν ρεθούν οι συντετγµένες του µέσου Ν του Γ δ) ν ποδειχθεί ότι ο γεωµετρικός τόπος του Ν είνι µι υπερολή C 1 ε) ν ποδειχθεί ότι οι υπερολές C κι C 1 έχουν τις ίδιες εκκεντρότητες, λλά τις εστίες σε διφορετικούς άξονες. C 5. ** Ο κύκλος του διπλνού σχήµτος διέρχετι πό την εστί της προλής. Ν ρεθούν οι εξισώσεις του κύκλου κι της προλής. 0 1 53. ** Στο διπλνό σχήµ ο πρώτος κύκλος C 0 έχει εξίσωση = ρ κι όλοι οι κύκλοι είνι ίσοι. Ν ρεθούν: ) οι εξισώσεις των κύκλων C 1, C, C ν (συνρτήσει του ρ)... 0 K 1 K K v ) το άθροισµ των ποστάσεων των κέντρων Κ 1, Κ, Κ ν πό το κέντρο Ο γ) οι κοινές εφπτόµενες όλων των κύκλων. 171
54. ** Ν υπολογίσετε το εµδόν του τριγώνου που σχηµτίζετι πό τις σύµπτωτες της υπερολής - 16 = 1 κι την ευθεί =. 9 55. ** Ν ρεθούν οι εξισώσεις των εφπτοµένων της υπερολής 5-4 = 100 που είνι πράλληλες προς την ευθεί 3 - = 0. 56. ** Ν ρείτε την εξίσωση της ισοσκελούς υπερολής που έχει τις ίδιες εστίες µε την έλλειψη = 1. 5 16 57. ** Σε µι τετράγωνη πλτεί πλευράς 70 m, 70 4 υπάρχει µι µικρή τεχνητή λίµνη κυκλικού 8 8 B σχήµτος. Προκειµένου ν ρεθεί η κτίν της Γ 4 10 70 A 70 λίµνης, τρεις µθητές επέλεξν τρί τυχί σηµεί της περιφέρειάς της Α, Β, Γ κι µέτρησν 30 τις ποστάσεις τους πό τις πλευρές της 0 70 πλτείς, όπως δείχνει το σχήµ. ) Στο σύστηµ ξόνων Ο ν τοποθετήσετε τ σηµεί Α, Β, Γ. Ν θεωρήσετε ότι η πόστση 1 στους άξονες ντιστοιχεί σε 10 m. ) Ν υποθέσετε ότι η λίµνη έχει ντίστοιχο σχήµ στους άξονες τον κύκλο κ λ µ = 0 πάνω στον οποίο ρίσκοντι τ Α, Β, Γ. Ν υπολογίσετε τ κ, λ, µ. γ) Ν ρείτε την κτίν της λίµνης. 17
58. ίνοντι οι κύκλοι C 1 : = 1 κι C : ( - 3) ( - ) = 4. ) Ν δείξετε ότι δεν έχουν κοινό σηµείο. ) Ν ρείτε την εξίσωση της δικέντρου. γ) Από όλ τ ζεύγη σηµείων (Α, Β), όπου το Α νήκει στον C 1 κι το Β στον C, ν ρεθεί υτό γι το οποίο τ Α, Β πέχουν τη µικρότερη πόστση. δ) Ν ρεθεί το ζεύγος σηµείων (Γ, ) (το Γ στον C 1, το στον C ) µε τη µεγλύτερη πόστση. 59. ίνοντι τ σηµεί Α (-, 0), Β (, 0) κι Μ 1 (1, 3). ) Ν δείξετε ότι Μ 1 Α Μ 1 Β. ) Ν ρεθεί η εξίσωση του κύκλου που περνά πό τ σηµεί Α, Β, Μ 1. γ) Ν δείξετε ότι το σηµείο Μ (- 1, 3) νήκει στον κύκλο κι Μ Α Μ Β. δ) Ν δείξετε ότι κάθε σηµείο Μ ( 0, 0 ) γι το οποίο ισχύει ΜΑ ΜΒ, νήκει στον κύκλο του ερωτήµτος (). 60. ίνετι η υπερολή - = 1 µε κλάδους C 1 κι C κι τυχίο σηµείο της Μ ( 1, 1 ) στον κλάδο C 1 ( 1 0). ) Ν γράψετε την εξίσωση της εφπτόµενης (ε) στο σηµείο Μ κι ν ρείτε τ σηµεί τοµής της (ε) µε τους άξονες. ) Ν δείξετε ότι η (ε) τέµνει τον σε σηµείο µετξύ των κορυφών της υπερολής. γ) Με δεδοµένο ότι η (ε) τέµνει τον κλάδο C στο Μ (, ), ν δείξετε ότι 1. < 0. 173
174