Ασκήσεις Διανυσματικής Ανάλυσης ) Το ύψος h σε χιλιόμετρα ενός βουνού δίνεται από την σχέση h 4 == 4. α) Ένας πεζοπόρος βρίσκεται στο σημείο (,,) και κινείται προς την διεύθυνση της μεγίστης κατάβασης. Ποιό μοναδιαίο διάνυσμα δείχνει την διεύθυνση αυτή. β) Εάν ο πεζοπόρος από το σημείο (,,) κινηθεί προς την διεύθυνση του σημείου (-,), θα ανέβει ή θα κατέβει; γ) Ποιο μονοπάτι πρέπει να ακολουθήσει ο πεζοπόρος για να φθάσει στην κορυφή με την μέγιστη δυνατή ανάβαση; u i j β) θα ανέβει γ) r κ (t)=ti+t /4 j+(4-t -t / )k 5 Απ. α) = ( + ) ) α) Να υπολογιστεί ο στροβιλισμός του διανυσματικού πεδίου F = i+ j. β) Τοποθετούμε ένα μικρό σώμα στο σημείο (,-). Το σώμα θα περιστραφεί κατά την θετική φορά ή την αρνητική; Απ. α) F= ( ) k β) κατά την αρνητική φορά ) Έστω η καμπύλη : () ( ) ( ) διανυσματικό πεδίο F(, ) = i+ j. r t = cost+ 4sin t i+ 4cost+ sin t j, t π και το α) Να δείξετε ότι η καμπύλη είναι μια ρευματική γραμμή του διανυσματικού πεδίου F. β) Δείξτε ότι η καμπύλη παριστάνει τον κύκλο + = 5. 4) Έστω το παραλληλόγραμμο με κορυφές τα σημεία (,), (,), (4,6) και (,4). α) Έστω το μοναδιαίο τετράγωνο [,] [,]. Εξηγείστε γιατί δεν είναι δυνατό να T u, v au bv, cu dv T =. βρούμε έναν γραμμικό μετασχηματισμό ( ) ( ) β) Βρείτε μια ορθογώνια περιοχή (, ) (, ) = + +, έτσι ώστε T( ) T u v au bv cu dv = + + έτσι ώστε ( ) και έναν γραμμικό μετασχηματισμό =.
γ) Να υπολογιστεί το διπλό ολοκλήρωμα d. Απ. β) = [ ] [ ], T( u, v) ( u v, u v),, = + + γ) / 5) Έστω η καμπύλη με διανυσματική παραμετρική εξίσωση: () ( π ) r t = cos t i+ tj+ tk, t 4 α) Σχεδιάστε πρόχειρα την γραφική της παράσταση σημειώνοντας τα άκρα της. β) Βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της καμπύλης στο σημείο (-,,). z γ) Έστω το βαθμωτό πεδίο ( ) f z,, = ze +. Υποθέστε ότι βρίσκεστε στο σημείο (-,,) και θέλετε να μετακινηθείτε κατά μήκος της εφαπτομένης. Ποια διεύθυνση θα ακολουθήσετε για να μειωθεί η τιμή του βαθμωτού πεδίου. Ποια είναι η κατευθύνουσα παράγωγος του f σε αυτή την διεύθυνση; Απ. β) () t ( ) ( t )( ) rε = i+ j+ k + j+ k γ) u = j+ k, 6) Έστω το διπλό ολοκλήρωμα 4 dd = dd T. α) Σχεδιάστε την περιοχή ολοκλήρωσης Τ. β) Ξαναγράψτε το ολοκλήρωμα με την αντίστροφη σειρά ολοκληρώσεως. γ) Ξαναγράψτε το ολοκλήρωμα χρησιμοποιώντας πολικές συντεταγμένες. δ) Υπολογίστε το ολοκλήρωμα dd. T Απ. β) 4 4 dd = dd + dd γ) π / rdrdθ δ) π/ π /6 7) Έστω V το στερεό τετράεδρο με κορυφές τα σημεία (,,), (5,,), (,5,) και (,,5). α) Σχεδιάστε το στερεό V σημειώνοντας τις κορυφές του. β) Έστω S η επιφάνεια του στερεού. Υπολογίστε την ροή του διανυσματικού πεδίου
( z) ( ) ( tan( ) z) F = i+ + j+ + k γ) Υπολογίστε την ροή του στροβιλισμού του F δια μέσου της επιφάνειας S. Απ. β) 5/ γ) 8) Έστω το διανυσματικό πεδίο (, z, ) = 5e sin ( z) + e sin ( z) + 5e cos( z) F i j k α) Υπολογίστε τον στροβιλισμό του F και δείξτε ότι είναι συντηρητικό. β) Βρείτε ένα βαθμωτό πεδίο (,, ) f z έτσι ώστε F = f. γ) Υπολογίστε το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα F dr όπου η καμπύλη με διανυσματική παραμετρική εξίσωση () t π sin r t = te i+ t j+ tan ( t ) k, t. Απ. α), β) ( ) f z,, = 5e sinz+ k γ) 5e 9) α) Να βρεθεί μια διανυσματική παραμετρική εξίσωση για την επιφάνεια {( ) } S =,, z / + + z = R, (Υπόδειξη: η επιφάνεια S είναι ένα ημισφαίριο) β) Να βρεθεί μια διανυσματική παραμετρική εξίσωση για το σύνορο της επιφάνειας S. Απ. α) ( ) r θ, ϕ = Rcosθsinϕi+ Rsinθsinϕj+ Rcos ϕk, θ < π, ϕ π R R β) r() t = sin ti+ sin tj+ Rcos tk, t π ) Έστω η περιοχή που ορίζεται από την σχέση: {(, ): 4, } = + α) Σχεδιάστε την περιοχή. β) Βρείτε μια ορθογώνια περιοχή =[a,b] [c,d] και έναν γραμμικό μετασχηματισμό Τ έτσι ώστε =T( )
γ) Να υπολογιστεί το διπλό ολοκλήρωμα αλλαγή των μεταβλητών. ( + ) dd χρησιμοποιώντας κατάλληλη Απ) β) =[,4] [,] T( u v) u+ v u v, =,, γ) /8 ) Έστω οι καμπύλες, με διανυσματικές παραμετρικές εξισώσεις: () π ( ) r t = costi+ sin tj, t και r t = costi sin tj, t π αντίστοιχα. α) Να σχεδιαστούν οι καμπύλες αυτές. β) Δείξτε ότι το διανυσματικό πεδίο F = i+ + + j είναι συντηρητικό και να βρεθεί η συνάρτηση δυναμικού. γ) Να υπολογιστούν τα επικαμπύλια ολοκληρώματα F dr και F drάμεσα. δ) Τα αποτελέσματα του ερωτήματος (γ) έρχονται σε αντίθεση με το γεγονός ότι το διανυσματικό πεδίο F είναι συντηρητικό;, = tan, γ) -π, π Απ) β) ( ) f ) Έστω το βαθμωτό πεδίο f (, ) = e sin( + ) α) Ως προς ποια διεύθυνση, ξεκινώντας από το σημείο (,π/), το βαθμωτό πεδίο f έχει τον μεγαλύτερο συντελεστή μεταβολής; β) Ως προς ποια διεύθυνση, ξεκινώντας από το σημείο (,π/), το βαθμωτό πεδίο f έχει συντελεστή μεταβολής ίσο με το 5% του μεγαλύτερου συντελεστή μεταβολής; r η ρευματική γραμμή της βάθμωσης F = f με r () = ( / π / ). Να d υπολογιστεί η παράγωγος f ( () t ) dt r. t= γ) Έστω ( t) π Απ. α) u= i β) Ως προς την διεύθυνση του διανύσματος n που σχηματίζει με την διεύθυνση π της βάθμωσης i, γωνία π/, γ) π /4 4
) Να υπολογιστεί το τριπλό ολοκλήρωμα ( ) V ep + + z dddz όπου V το στερεό, που ορίζεται από τις εξισώσεις + + z και z. π 8 Απ. ( ) e e 4) Έστω V το στερεό που βρίσκεται κάτω από την επιφάνεια με εξίσωση (, ) z = f = e + και πάνω από την επίπεδη περιοχή που ορίζεται από την διπλή ανισότητα +. α) Να υπολογιστεί ο όγκος του V. β) Να υπολογιστεί η ροή του διανυσματικού πεδίου ( ) εξωτερικό του στερεού Απ. α) V = e( e ) π, β) π ( e e) F= i j + zk προς το 5) Εάν f(,) και g(,) συνεχώς διαφορίσιμες πραγματικές συναρτήσεις στην περιοχή Τ, δείξτε ότι για κάθε απλή κλειστή καμπύλη, που βρίσκεται στο εσωτερικό της Τ, ισχύει: f g dr= g f dr 6) Να υπολογιστεί το εμβαδόν της επίπεδης περιοχής που βρίσκεται μεταξύ του κύκλου με εξίσωση + = 6 και της έλλειψης + =. 5 6 Γενικά: a + = + = < < b, R με R b a Απ. 4π 5