ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΝΝΟΙΑ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ - ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ [Κεφ 1: Έννοια της Παραγώγου του σχολικού βιβλίου] ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα 1 ΘΕΜΑ Β Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης f() 1 στο Η f είναι ορισμένη στο R Για κάθε έχουμε : f() f() 1 7 8 ( )(+) ( + ) 4 8 Άρα f () 8 ( 4) Για να υπολογίσουμε την f ( ) όταν η συνάρτηση f δίνεται από έναν τύπο, υπολογίζουμε το f() f( ) 1
Παράδειγμα Nα εξετάσετε αν υπάρχει η παράγωγος της f() + 1, < + 1, στο Για κάθε R {} είναι : Αν <, f() f() +1 1 ( 1) ( 1) -1 Αν >, Έχουμε f() f() +1 1-1 + + + f() f() f() f() 1 + Άρα η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο με f () 1 Για να υπολογίσουμε την f ( ) όταν η συνάρτηση f δίνεται από διπλό τύπο και το είναι το σημείο στο οποίο αλλάζει ο τύπος,υπολογίζουμε τα πλευρικά όρια (α) αν το f() f( ) f() f( ) l R τότε η f παραγωγίσιμη με f ( + ) l (β)αν f() f( ) f() f( ) τότε η f δεν είναι παραγωγίσιμη στο + Αν ο τύπος της f δεν αλλάζει στο εργαζόμαστε όπως στην 1 η άσκηση
Παράδειγμα 3 Να εξετάσετε αν η συνάρτηση f() είναι παραγωγίσιμη στο +, > Η συνάρτηση f γράφεται f() 4, +, < f() f() Για >, έχουμε + 4 + + + ( )(+1) ( + 1) 3 + + Για <, f() f() έχουμε + 4 + 6 ( )(+3) ( + 3) 5 Έχουμε f() f() + f() f(), άρα η συνάρτηση f δεν είναι παραγωγίσιμη στο 3
Παράδειγμα 4 Να βρείτε τις τιμές των α, β R ώστε η συνάρτηση f() α, < 1 +β, 1 να είναι παραγωγίσιμη στο 1 4 Καταρχήν, θα πρέπει η f να είναι συνεχής στο 1 γιατί διαφορετικά δεν θα είναι ούτε παραγωγίσιμη, άρα 1 + f() f() f(1) 1 Έχουμε f() +β 1+β 1 + 1 + 4 4 και 1 f() 1 α α και f(1) 1+β 4 Άρα α 1+β 4 Τότε β 4 α 1 (1) α, < 1 Άρα η f θα γίνει f() +4α 1, 1 4 για να είναι παραγωγίσιμη στο 1 θα πρέπει : f() f(1) 1 + 1 f() f(1) 1 1 Είναι f() f(1) α α α ( 1) 1 1 1 1 1 1 α 1 ( +1) 1 ( 1)( +1) α 1 1 ( +1) α και f() f(1) 1 + 1 1 + +4α 1 α 4 1 +4α 1 4α 1 + 4( 1) 1 1 + 4( 1) (+1)( 1) +1 1 1 + 4( 1) 1 + 4 Τότε έχουμε α 1 α 1 άρα α 1 ή α 1 Τότε, λόγω της (1) είναι β 3 Άρα, για να είναι η f παραγωγίσιμη στο 1, πρέπει α 1 και β 3 ή α 1 και β 3 4
Αν αναζητούμε παραμέτρους ώστε μια συνάρτηση f να είναι παραγωγίσιμη στο, καταρχήν απαιτούμε η f να είναι συνεχής στο Τη σχέση που προκύπτει την αντικαθιστούμε στον τύπο της f και απαιτούμε f() f( ) + f() f( ) Τέλος λύνουμε το σύστημα των εξισώσεων που προκύπτουν και προσδιορίζουμε τις παραμέτρους 5
Παράδειγμα 5 Δίνεται η συνάρτηση f() βρείτε την f () Να αποδείξετε ότι η f παραγωγίζεται στο και να Για έχουμε: f () f (), οπότε f () f () Άρα η συνάρτηση f παραγωγίζεται στο με f () Aν το είναι σημείο μηδενισμού απόλυτης τιμής, τότε η παραγωγισιμότητα της f στο f () f ( ) εξετάζεται με τον ορισμό f ( ) f () f ( ) Για υπολογίζουμε το λόγο μεταβολής και στη συνέχεια εξετάζουμε αν το f () f ( ) όριο του λόγου μεταβολής, δηλαδή το υπάρχει και είναι πραγματικός αριθμός Στο συγκεκριμένο παράδειγμα δεν χρειάστηκε να πάρουμε περιπτώσεις για την απόλυτη τιμή 6
Παράδειγμα 6 Δίνεται η συνάρτηση f() -1 Να εξετάσετε αν η f παραγωγίζεται στο 1 Για < 1 έχουμε: f () f (1) 1 ( 1), οπότε 1 1 1 f () f (1) ( ) 1 1 1-1 Για > 1 έχουμε: f () f (1) 1 ( 1), οπότε 1 1 1 f () f (1) 1 1 1 + 1 Είναι: f () f (1) f () f (1) 1 1 1 1 1 + 1 Άρα η συνάρτηση f δεν παραγωγίζεται στο 1 Aν το είναι σημείο μηδενισμού απόλυτης τιμής, τότε η παραγωγισιμότητα της f στο f () f ( ) f () f ( ) εξετάζεται με τον ορισμό f ( ) + f () f ( ) Για < υπολογίζουμε το λόγο μεταβολής, απαλλαγμένο από την απόλυτη τιμή και στη συνέχεια εξετάζουμε αν το αριστερό πλευρικό όριο του λόγου μεταβολής, δηλαδή f () f ( ) το υπάρχει και είναι πραγματικός αριθμός 7
Αν το όριο αυτό δεν υπάρχει ή είναι ±, τότε η συνάρτηση f δεν είναι παραγωγίσιμη στο Αν το όριο αυτό υπάρχει και είναι πραγματικός αριθμός, τότε συνεχίζουμε ως εξής: f () f ( ) Για > υπολογίζουμε το λόγο μεταβολής, απαλλαγμένο από την απόλυτη τιμή και στη συνέχεια εξετάζουμε αν το δεξιό πλευρικό όριο του λόγου μεταβολής, δηλαδή το f () f ( ) υπάρχει και είναι πραγματικός αριθμός + Σε περίπτωση που και το δεύτερο όριο είναι πραγματικός αριθμός, τότε εξετάζουμε αν τα δύο πλευρικά όρια είναι ίσα ή άνισα 8
Παράδειγμα 7 Δίνεται η συνάρτηση f () ηµ Να αποδείξετε ότι η f παραγωγίζεται στο και να βρείτε την f () Η συνάρτηση f έχει πεδίο ορισμού το A [,+ ) Για > έχουμε: f() f() ηµ ηµ, οπότε f() f() ηµ 1 + Άρα η συνάρτηση f παραγωγίζεται στο με f () Aν το είναι σημείο μηδενισμού υπόρριζης ποσότητας, τότε η παραγωγισιμότητα της f στο f () f ( ) εξετάζεται με τον ορισμό f ( ) f () f ( ) Για υπολογίζουμε το λόγο μεταβολής και στη συνέχεια εξετάζουμε αν το f () f ( ) όριο του λόγου μεταβολής, δηλαδή το υπάρχει και είναι πραγματικός αριθμός 9
Παράδειγμα 8 Δίνεται η συνάρτηση f () + 3 Να εξετάσετε αν η f παραγωγίζεται στο 3 Η συνάρτηση f έχει πεδίο ορισμού το A [ 3, + ) Για > 3 έχουμε: f () f ( 3) + 3 1 ( 3) + 3 + 3, οπότε f () f ( 3) 1 +, ( 3) + 3 3 + 3 + αφού + 3 και + 3 > για ( 3, + ) + 3 Άρα η συνάρτηση f δεν παραγωγίζεται στο 3 Aν το είναι σημείο μηδενισμού υπόρριζης ποσότητας, τότε η παραγωγισιμότητα της f στο f () f ( ) εξετάζεται με τον ορισμό f ( ) f () f ( ) Για υπολογίζουμε το λόγο μεταβολής και στη συνέχεια εξετάζουμε αν το f () f ( ) όριο του λόγου μεταβολής, δηλαδή το υπάρχει και είναι πραγματικός αριθμός 1
Παράδειγμα 9 Δίνεται η συνάρτηση και να βρείτε την f (1) 3, 1 f () 3, < 1 Να αποδείξετε ότι η f παραγωγίζεται στο 1 Για > 1 έχουμε: Για < 1 έχουμε: Είναι: 3 f () f (1) 1 ( 1)( + + 1) + + 1 1 1 f () f (1) 1 1 ( + + 1) 3 1 + 1 f () f (1) 3 1 3( 1) 3, οπότε 1 1 1 f () f (1) 3 3 1 1-1 f () f (1) f () f (1) 3 1 1 1 + 1, οπότε Άρα η συνάρτηση f παραγωγίζεται στο 1 με f (1) 3 Aν το είναι σημείο αλλαγής του τύπου της συνάρτησης, τότε η παραγωγισιμότητα της f στο εξετάζεται με τον ορισμό f () f ( ) f () f ( ) f ( ) + f () f ( ) Για > υπολογίζουμε το λόγο μεταβολής και στη συνέχεια εξετάζουμε αν το f () f ( ) δεξιό πλευρικό όριο του λόγου μεταβολής, δηλαδή το υπάρχει και είναι + πραγματικός αριθμός 11
Αν το όριο αυτό δεν υπάρχει ή είναι ±, τότε η συνάρτηση f δεν είναι παραγωγίσιμη στο Αν το όριο αυτό υπάρχει και είναι πραγματικός αριθμός, τότε συνεχίζουμε ως εξής: f () f ( ) Για < υπολογίζουμε το λόγο μεταβολής και στη συνέχεια εξετάζουμε αν το αριστερό πλευρικό όριο του λόγου μεταβολής, δηλαδή το και είναι πραγματικός αριθμός f () f ( ) υπάρχει Σε περίπτωση που και το δεύτερο όριο είναι πραγματικός αριθμός, τότε εξετάζουμε αν τα δύο πλευρικά όρια είναι ίσα ή άνισα 1
Παράδειγμα 1 ηµ, Δίνεται η συνάρτηση f (), < Να εξετάσετε αν η f παραγωγίζεται στο Για > έχουμε: f() f() ηµ ηµ, οπότε f() f() ηµ 1 + Για < έχουμε: f () f (), οπότε f () f () - Είναι: f () f () f () f () 1 + - Άρα η συνάρτηση f δεν παραγωγίζεται στο Aν το είναι σημείο αλλαγής του τύπου της συνάρτησης, τότε η παραγωγισιμότητα της f f () f ( ) f () f ( ) στο εξετάζεται με τον ορισμό f ( ) + f () f ( ) Για > υπολογίζουμε το λόγο μεταβολής και στη συνέχεια εξετάζουμε αν το f () f ( ) δεξιό πλευρικό όριο του λόγου μεταβολής, δηλαδή το υπάρχει και είναι + πραγματικός αριθμός Αν το όριο αυτό δεν υπάρχει ή είναι ±, τότε η συνάρτηση f δεν είναι παραγωγίσιμη στο 13
Αν το όριο αυτό υπάρχει και είναι πραγματικός αριθμός, τότε συνεχίζουμε ως εξής: f () f ( ) Για < υπολογίζουμε το λόγο μεταβολής και στη συνέχεια εξετάζουμε αν το αριστερό πλευρικό όριο του λόγου μεταβολής, δηλαδή το και είναι πραγματικός αριθμός f () f ( ) υπάρχει Σε περίπτωση που και το δεύτερο όριο είναι πραγματικός αριθμός, τότε εξετάζουμε αν τα δύο πλευρικά όρια είναι ίσα ή άνισα 14
Παράδειγμα 11 Δίνεται η συνάρτηση και να βρείτε την f () ηµ, f (), Να αποδείξετε ότι η f παραγωγίζεται στο Για έχουμε: ηµ, οπότε f() f() ηµ ηµ f() f() ηµ ηµ 1 Άρα η συνάρτηση f παραγωγίζεται στο με f () 1 Aν δίνεται ξεχωριστά η τιμή της f στο, τότε η παραγωγισιμότητα της f στο εξετάζεται f () f ( ) με τον ορισμό f ( ) f () f ( ) Για υπολογίζουμε το λόγο μεταβολής και στη συνέχεια εξετάζουμε αν το f () f ( ) όριο του λόγου μεταβολής, δηλαδή το υπάρχει και είναι πραγματικός αριθμός 15
Παράδειγμα 1 Δίνεται η συνάρτηση συν, f (), Να εξετάσετε αν η f παραγωγίζεται στο Για έχουμε: συν f() f() συν 1 συν, οπότε f() f() 1 συν + γιατί 1 ( συν ) 1 > και + Άρα η συνάρτηση f δεν παραγωγίζεται στο Aν δίνεται ξεχωριστά η τιμή της f στο, τότε η παραγωγισιμότητα της f στο εξετάζεται f () f ( ) με τον ορισμό f ( ) f () f ( ) Για υπολογίζουμε το λόγο μεταβολής και στη συνέχεια εξετάζουμε αν το f () f ( ) όριο του λόγου μεταβολής, δηλαδή το υπάρχει και είναι πραγματικός αριθμός Σημείωση: Στο συγκεκριμένο παράδειγμα ένας ος τρόπος για να αποδείξουμε ότι η f δεν παραγωγίζεται στο είναι η ασυνέχεια της f στο 16
ΘΕΜΑ Γ Παράδειγμα 1 Δίνεται η συνάρτηση f ορισμένη στο R και Αν f συνεχής στο 3 5 3, να βρείτε το f (3) f() Έστω g() f() 5 τότε g() 3 Έχουμε f() g() ( 5 ) Και 3 [g() 5 ] Τότε 3 f() και επειδή η f συνεχής στο 3 άρα f(3) f() f(3) f() Είναι g() ( 5 ) 3 3 3 3 3 3 g() 5 g() 5 ( 5+) 3 3 3 3 3 ( 3)( 5+) 3 g() 5 4 3 ( 3)( 5+) 3 +3 5+ 6 4 3 Άρα f (3) 3 Όταν μας δίνεται ένα όριο συνάρτησης που περιέχει την f() και αναζητούμε την f ( ): 1 ο θέτουμε την συνάρτηση του αρχικού ορίου ως g() ο λύνουμε ως προς f() 3 ο χρησιμοποιούμε τη συνέχεια στο της συνάρτησης f και βρίσκουμε το f( ) 4 ο υπολογίζουμε το f() f( ) 17
Παράδειγμα Έστω η συνάρτηση f με f() και f () 1 Να βρείτε το f3 () 8 4 Έχουμε f f() f() () 1 άρα 1 Τότε f() 1 Αλλά f 3 () 8 (f() )(f () + f() + 4) Άρα το f3 () 8 4 (f() )(f ()+f()+4) (+)( ) f() f ()+f()+4 + (Αφού f συνεχής στο ως παραγωγίσιμη δηλαδή f() f()) 1 f ()+f()+4 4 1 4+4+4 4 3 Aν μας δίνεται το f ( ) και αναζητούμε κάποιο όριο, εμφανίζουμε στον τύπο της συνάρτησης του ορίου την παράσταση f() f( ) 18
Παράδειγμα 3 Αν f() ημ + 1 1 για κάθε R να βρείτε το f () Έχουμε f() ημ + 1 1 για κάθε R Τότε ( + 1 1) f() ημ + 1 1 Άρα ημ ( + 1 1) f() ημ + + 1 1 Για : f() άρα f() (1) f f() f() f() () (λόγω της (1)) Για > : ημ - +1 1 Αλλά + (ημ Και + (ημ f() ημ + +1 1 - +1 1 ημ ) - +1 1 + + + +1 1 ημ ) + +1 1 + + ημ + +1 1 ( +1+1) ημ + + + ( +1+1) + + ( +1+1) ημ + + + ( +1+1) 1 + Άρα το + (ημ + +1 1 ) f() Άρα λόγω κριτηρίου παρεμβολής + f() Για < ομοίως αποδεικνύεται ότι Άρα αφού + f() f() f() f() η f παραγωγίσιμη στο με f () 19
Aν έχουμε διπλή ανισωτική σχέση και αναζητούμε το f ( ), δημιουργούμε την παράσταση f() f( ) στο μεσαίο μέλος και με χρήση του κριτηρίου παρεμβολής υπολογίζουμε το f() f( )
Παράδειγμα 4 Δίνεται συνάρτηση f: R R για την οποία ισχύει f( + y) 1 f() f(y) (1) και f() > για 1 κάθε,y R και f παραγωγίσιμη στο Να δείξετε ότι η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R Έχουμε f( + y) 1 f() f(y) για κάθε,y R 1 Για, y θα πάρουμε f() 1 1 f() f() f (), 1 1 άρα f() 1 f() 1 άρα f() (απορρίπτεται) ή f() 1() 1 Η f παραγωγίσιμη στο τότε: f () f() f() f() 1 () (3) Για να είναι η f παραγωγίσιμη στο R θα πρέπει να υπάρχει το f() f( ) για κάθε R και να είναι και πραγματικός αριθμός f() f( Είναι ) f( +h) f( ) h h 1 f( ) 1 [ f(h) 1] h h f( ) 1 1 1 f( ) f(h) f( ) h h (1) f(h) 1 1 h h (3) 1 f( )[ 1 f(h) 1] h h f( ) 1 1 f ( ) που ανήκει στο R Άρα η f παραγωγίσιμη στο R με f ( ) f( ) 1 1 f () Aν έχουμε συναρτησιακή σχέση που αληθεύει για κάθε τιμή των μεταβλητών, y και αναζητούμε το f ( ): 1 ον επιλέγουμε κατάλληλο α R,στο οποίο η f να είναι παραγωγίσιμη και υπολογίζουμε την τιμή f(α)μέσω της συναρτησιακής σχέσης ον υπολογίζουμε το f ( ) με χρήση των τύπων f f( ( ) +h) f( ) ή h h f ( ) 1 f( o h) f( ) h 1 h 1 1
Παράδειγμα 5 H συνάρτηση f είναι ορισμένη στο και συνεχής στο με αποδείξετε ότι η συνάρτηση f παραγωγίζεται στο f () + 6 6 Να και να βρείτε την f () Θέτουμε Είναι: g() 6 g() f () + 6 με, οπότε, οπότε ( ) f () ( )g( ) + 6 (1) f () ( )g( ) + 6 6 + 4 1 8 Επειδή η f είναι συνεχής στο είναι Για κοντά στο έχουμε: f () f () 8 () (1),() f () f () ( )g() + 6 ( 8) ( )g( ) 6 + 8 + [ g ( ) + 4] 6 + 4 4 Άρα η συνάρτηση f παραγωγίζεται στο με f () 4 Αν δε γνωρίζουμε τον τύπο της f, αλλά μας δίνεται το όριο μιας παράστασης που περιέχει την f, τότε η παραγωγισιμότητα της f στο εξετάζεται με τον ορισμό f () f ( ) f ( ) Για να υπολογίσουμε την f ( ) εργαζόμαστε ως εξής: Θέτουμε την παράσταση του ορίου ίση με g() και λύνουμε τη σχέση που προκύπτει ως προς f () Είναι f ( ) f (), επειδή η συνάρτηση f είναι συνεχής στο Στη συνέχεια υπολογίζουμε το f () f ( )
Παράδειγμα 6 Έστω συνάρτηση f η οποία ικανοποιεί τη σχέση ηµ f() ηµ + για κάθε Αν f (), να αποδείξετε ότι η f παραγωγίζεται στο και να βρείτε την f () Για είναι >, οπότε έχουμε: ημ f() ημ + ημ f () ημ + ημ f () ημ + 1 ημ f () f () ημ + 1, αφού f () Είναι: ημ 1 και ημ + 1 1 + 1, f () f () οπότε από Κριτήριο Παρεμβολής έχουμε Άρα η συνάρτηση f παραγωγίζεται στο με f () Αν δε γνωρίζουμε τον τύπο της f, αλλά μας δίνεται μια ανισοτική σχέση για την f, τότε η f () f ( ) f ( ) υπολογίζεται με τον ορισμό f ( ) Για να υπολογίσουμε την f ( ) εργαζόμαστε ως εξής: Βρίσκουμε το f( ) θέτοντας στην ανισοτική σχέση όπου το Τροποποιούμε την ανισοτική σχέση, ώστε να δημιουργήσουμε μια νέα ανισοτική σχέση f () f ( ) για το λόγο μεταβολής Χρησιμοποιούμε το Κριτήριο Παρεμβολής 3
Παράδειγμα 7 3 3 3 Έστω συνάρτηση f η οποία ικανοποιεί τη σχέση f () + f () +ηµ για κάθε Αν η f παραγωγίζεται στο να βρείτε την f () Η f παραγωγίζεται στο, οπότε Για από την αρχική σχέση έχουμε: Για είναι 3 f () f () f () 3 f () f(), άρα, οπότε έχουμε: f () (1) f () 3 3 3 f () + f () +ηµ 3 3 3 f () f () ηµ + + 3 3 3 3 Άρα 3 3 f() f() ηµ + 1 + 3 3 f() f() ηµ + 1 + () Είναι: 3 3 f() f() f() f() (1) + + f () + f () [ ] [ ] 3 και 3 3 ημ ημ 1 + 1+ 1+ 1 Επομένως η σχέση () γίνεται: [ ] [ ] [ ] [ ] ( ) ( ) 3 3 f () + f () f () + f () f () 1 f () + f () + f () 1 ή ( f ()) + f () + f () + f () + >, αφού το τριώνυμο ω + ω+ έχει διακρίνουσα 4< Όμως ( ) Άρα f () 1 4
Αν δε γνωρίζουμε τον τύπο της f, αλλά μας δίνεται μια ισότητα για την f, τότε η f ( ) f () f ( ) υπολογίζεται με τον ορισμό f ( ) Για να υπολογίσουμε την f ( ) εργαζόμαστε ως εξής: Βρίσκουμε το f ( ) θέτοντας στη δοθείσα σχέση όπου το Τροποποιούμε τη δοθείσα σχέση, ώστε να δημιουργήσουμε μια εξίσωση που θα έχει f () f ( ) άγνωστο το λόγο μεταβολής Εκμεταλλευόμαστε το γεγονός ότι η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο, f () f ( ) επομένως υπάρχει το και είναι πραγματικός αριθμός, οπότε παίρνουμε τα όρια των δύο μελών της ισότητας Προκύπτει μια εξίσωση με άγνωστο το f ( ), την οποία και λύνουμε 5
Παράδειγμα 8 Για ποια τιμή του α, η συνάρτηση ; + +α < f (), 3 +α + 4, είναι παραγωγίσιμη στο Καταρχάς θα βρούμε, για ποιες τιμές του α η συνάρτηση f είναι συνεχής στο Για < έχουμε: Για > έχουμε: f () ( + +α ) α Επίσης είναι: Η f είναι συνεχής στο, αν και μόνο αν, Δηλαδή: 3 f () ( +α + 4) 4 + f () 4 f() f() f () + α 4 α ή α Για α { ±} η f δεν είναι συνεχής στο, άρα δεν είναι και παραγωγίσιμη στο Επομένως η αναζήτηση της παραγωγισιμότητας της συνάρτησης f στο έχει νόημα μόνο για τις τιμές α και α Για α είναι: + + f () + 4, < 3 4, Για < έχουμε: 6
f () f () + + 4 4 + ( + ) +, οπότε f () f () ( + ) Για > έχουμε: 3 3 f () f () + 4 4 ( ), οπότε f () f () ( ) + Είναι: f() f() f() f() + Άρα η f δεν είναι παραγωγίσιμη στο για α Για α είναι: + + f () + + 4, < 3 4, Για < έχουμε: Για > έχουμε: f () f () + + 4 4 + ( + ) +, οπότε f () f () ( + ) + + + + + 3 3 f () f () 4 4 ( ), οπότε 7
f () f () ( + ) + Είναι: f () f () f () f () + Άρα η f είναι παραγωγίσιμη στο για α Για να βρούμε τις τιμές του α για τις οποίες η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο κάνουμε τα εξής: Αρχικά βρίσκουμε τις τιμές του α, για τις οποίες η συνάρτηση f είναι συνεχής στο Η αναζήτηση της παραγωγισιμότητας της συνάρτησης f στο έχει νόημα μόνο για εκείνες τις τιμές του α, για τις οποίες η συνάρτηση f είναι συνεχής στο, αφού για όλες τις υπόλοιπες τιμές του α δεν τίθεται θέμα παραγωγισιμότητας στο επειδή ισχύει η πρόταση: Αν μια συνάρτηση f δεν είναι συνεχής σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού της, τότε δεν είναι και παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό 8
Παράδειγμα 9 1, 1 Να βρείτε τις τιμές των α, β, ώστε η συνάρτηση f () α +β, > 1 παραγωγίσιμη στο 1 να είναι Αρχικά απαιτούμε η συνάρτηση f να είναι συνεχής στο 1 Είναι: 1 f () 1 1 1 f () ( ) 1 + 1 f ( 1) 1 α +β α β Η f είναι συνεχής στο 1 αν και μόνο αν, Δηλαδή: f () f () f ( 1) 1 1 + α β 1 β α+ 1 (1) Βρίσκουμε τα πλευρικά όρια του λόγου μεταβολής της συνάρτησης f στο 1 Για < 1 έχουμε: Για > 1 έχουμε: 1 1 1 ( 1) 1 f () f ( 1) ( 1)( + 1) 1, οπότε + 1 + 1 + 1 + 1 (+ 1) f () f ( 1) 1 + 1 1 1 f () f ( 1) α +β ( 1) + 1 + 1 (1) α +β + 1 α + ( α+ 1) + 1 ( α + 1)( + 1) α + 1, οπότε + 1 + 1 + 1 9
f() f( 1) ( α + 1) 1 α + 1 1 + 1 Για να είναι η f παραγωγίσιμη στο 1, αρκεί: Δηλαδή: f () f ( 1) f () f ( 1) + 1 + 1 + 1 1 1 α α 3, οπότε από (1) έχουμε β 4 Για να βρούμε τις τιμές των α,β ώστε η συνάρτηση f να είναι παραγωγίσιμη στο κάνουμε τα εξής: Βρίσκουμε αρχικά μια σχέση μεταξύ των παραμέτρων α,β, η οποία προκύπτει από τη συνέχεια της f στο Στη συνέχεια βρίσκουμε μια δεύτερη σχέση μεταξύ των παραμέτρων α,β, η οποία προκύπτει από την παραγωγισιμότητα της f στο Από τις δύο αυτές σχέσεις προκύπτουν οι τιμές των α,β 3
ΘΕΜΑ Δ Παράδειγμα 1 Δίνεται μιγαδικός z για τον οποίο ισχύει z + 1 1 και συνάρτηση f μη αρνητική και z παραγωγίσιμη στο 1 για την οποία ισχύει f () + f() -1 για κάθε 1 Να δείξετε ότι f (1) z 3 Έχουμε z + 1 z 1 z + 1 z z + z + 1 z 3 1 z 3 1 (1) Επίσης f παραγωγίσιμη στο 1 άρα και συνεχής με 1 f() f(1) Για 1 έχουμε f (1) + f(1) Άρα f(1)[f(1) + ] τότε f(1) ή f(1) - (απορρίπτεται) Έτσι έχουμε 1 f() Ισχύει ότι f () + f() 1 Για 1 θα πάρουμε f ()+f() 1 f()[f()+] 1 +1 [f() ][f()+] 1 [f() f(1)][f()+] 1 f() f(1) 1 +1 +1 [f()+] +1 1 1 Και τελικά f() f(1) 1 +1 f()+ Τότε f f() f(1) (1) 1 1 +1 1 () 1 f()+ Από (1),() f (1) z 3 31
Παράδειγμα Δίνεται συνάρτηση f: R R με ( 1) f() 1 (1) για κάθε R Να αποδειχθεί ότι η εξίσωση e f (1) 4συν έχει τουλάχιστον μία ρίζα στο (,1) f (1) Έχουμε ( 1) f() 1 για κάθε R Για 1, f(1) άρα f(1) To f f() f(1) (1) 1 1 f() 1 1 Για >1, ( 1) 1 f() 1 1 1 f() 1 +1 και 1 ( + 1) + + άρα από κριτήριο παρεμβολής 1 1 Ομοίως για <1 αποδεικνύεται ότι Άρα f παραγωγίσιμη με f (1) f() 1 1 Έχουμε την εξίσωση e - f (1) 4συν η οποία θα γίνει: f (1) e - 4συν e - 1 συν e συν e συν έστω g() e συν που είναι συνεχής στο [,1] 1 + f() και g()-1<, g(1)e-1-συν1 > διότι ισχύει ότι το συν1 είναι απολύτως μικρότερο ή ίσο του 1 Άρα g() g(1)< τότε λόγω θεωρήματος Bolzano υπάρχει ένα τουλάχιστον (,1) ώστε g( ) άρα η εξίσωση e - f (1) 4συν έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο (,1) f (1) 3
Παράδειγμα 3 Έστω συνάρτηση f η οποία ικανοποιεί τη σχέση f(+ y) συν f(y) + συνy f() (1) για κάθε,y Αν f () 1 να αποδείξετε ότι η f παραγωγίζεται στο π και να βρείτε την f( π ) Για y από την αρχική σχέση έχουμε: f ( + ) συν f () + συν f () f () f () + f () f () Η f παραγωγίζεται στο, οπότε f (h) f () f (h) f () 1 h h h h () f() f( π) Για π θα βρούμε το όριο π π Θέτουμε π+ h και έχουμε: Όταν π το h, οπότε έχουμε: π π+ π π π+ h π h (1) f() f( ) π+ f( h) f( ) συνπ f (h) + συνh f (π) f (π) h f (h) συνh 1 συνπ + f( π) h h f() f( π) f(h) συνh 1 συνπ + f ( π) π π h h h () f (h) συνh 1 ( 1) + f ( π ) ( 1) 1+ f ( π ) 1 h h h h Άρα η συνάρτηση f παραγωγίζεται στο π με f() π 1 Αν δε γνωρίζουμε τον τύπο της f, αλλά μας δίνεται μια συναρτησιακή σχέση για την f, τότε η f () f ( ) f ( ) υπολογίζεται με τον ορισμό f ( ) 33
Αν η συνάρτηση f ικανοποιεί μια σχέση της μορφής f ( + y), τότε για να υπολογίσουμε την f ( ) εργαζόμαστε ως εξής: Θέτουμε + h και χρησιμοποιούμε τον τύπο f ( + h) f ( ) h f ( ) h Ημερομηνία τροποποίησης: 1/11/11 34