lim είναι πραγµατικοί αριθµοί, τότε η f είναι συνεχής στο x 0. β) Να εξετάσετε τη συνέχεια της συνάρτησης f (x) =

Σχετικά έγγραφα
Ερωτήσεις ανάπτυξης. α) να βρείτε το σηµείο x 0. β) να αποδείξετε ότι η κλίση της εφαπτοµένης της

2.2. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας A Οµάδας. e = 2. e, x ο. e f ( ln 2 ) = όταν : 4

1. * Η γραφική παράσταση µιας συνάρτησης f έχει εφαπτοµένη στο x 0 την ευθεία y = αx + β, µε α 0, όταν. είναι + είναι -

Κεφάλαιο 3ο: ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 1o ΜΕΡΟΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥΣ

2.8. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας A Οµάδας. 1.i)

2.3. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας A Οµάδας. Να βρείτε την παράγωγο των συναρτήσεων

Μάθηµα 8. , δέχεται εφαπτοµένη στο σηµείο της ( k, f ( k)), k D

1.3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. 1. Ορισµός της παραγώγου συνάρτησης

Διαφορικός Λογισμός. Κεφάλαιο Συναρτήσεις. Κατανόηση εννοιών - Θεωρία. 1. Τι ονομάζουμε συνάρτηση;

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ.3.7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1. ** Αν F είναι µια παράγουσα της f στο R, τότε να αποδείξετε ότι και η

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

Κεφάλαιο 2ο: ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 2ο ΜΕΡΟΣ

1. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης y = 2x + β διέρχεται από το σημείο Α( 1, 2). Να βρείτε τον αριθμό β.

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ

ερµηνεύσετε τα αποτελέσµατα του ερωτήµατος (α).

Οι ασκήσεις βασίζονται στο αξιόλογο φυλλάδιο του Μαθηματικού Μιλτ. Παπαγρηγοράκη, από τις σημειώσεις του για το 4ο Γενικό Λύκειο Χανίων [ <

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ

1. ** α) Αν η f είναι δυο φορές παραγωγίσιµη συνάρτηση, να αποδείξετε ότι. β α. = [f (x) ηµx] - [f (x) συνx] β α. ( )

Στοιχεία Συναρτήσεων. 1. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού των παρακάτω συναρτήσεων: στ. x 1

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (1η σειρά)

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2016 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

Ερωτήσεις αντιστοίχισης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

4. 1 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Y=AX 2 ME A 0

Η f(x) y είναι συνεχής στο [0, 2α], σαν διαφορά των συνεχών f(x) και y = 8αx 8α 2

3.7 Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας

2. ** ίνεται η συνάρτηση f (x) = logx. α) Να εξετάσετε αν ισχύουν οι προϋποθέσεις του θεωρήµατος µέσης τιµής στο [1, 20] για τη συνάρτηση f.

Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής

h ln 1 γ) Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο Δ, τότε είναι και παραγωγίσιμη στο Δ.

ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΥΤΕΡΑ 10 ΙΟΥΝΙΟΥ 2019 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

. Όλες οι συναρτήσεις δεν μπορούν να παρασταθούν στο καρτεσιανό επίπεδο όπως για παράδειγμα η συνάρτηση του Dirichlet:

Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. Ημερομηνία: Τρίτη 10 Απριλίου 2018 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Τελική Επανάληψη

2. Έστω η συνάρτηση f :[0, 6] με την παρακάτω γραφική παράσταση.

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΥΝΤΟΜΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ

f ( x) x EΠΙΛΕΓΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Συναρτήσεις ( ) 1. Έστω συνάρτηση f γνησίως αύξουσα στο R τέτοια ώστε να ισχύει

Κεφάλαιο 3ο: ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 2ο ΜΕΡΟΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Β ΜΕΡΟΣ

= x + στο σηµείο της που

για κάθε x 0. , τότε f x στο Απάντηση είναι εσωτερικό σημείο του Δ και η f παρουσιάζει σ αυτό τοπικό μέγιστο, υπάρχει 0 τέτοιο, ώστε (x , ισχύει

ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤO 1o ΚΕΦΑΛΑΙΟ ( ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ) ΜΕ ΛΥΣΕΙΣ

3o Επαναληπτικό Διαγώνισμα 2016

και δεν είναι παραγωγίσιμη σε αυτό, σχολικό βιβλίο σελ. 99 Α3. Ορισμός σελ. 73 Α4. α) Λ β) Σ γ) Λ δ) Σ ε) Σ , δηλαδή αρκεί x 1 x

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ «ΠΡΟΟΔΟΣ» ΚΥΡΙΑΚΗ 22 ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 2015 ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ» Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Σύνολο τιµών Γραφική παράσταση συνάρτησης Βασικές συναρτήσεις Ισότητα συναρτήσεων Πράξεις µε συναρτήσεις

ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2018 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΙΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥΣ (ΜΕΧΡΙ ΚΑΙ ΡΥΘΜΟ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ)

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ

3.7 EΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ

ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΤΗΣ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΜΙΑΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ

1. Η διαδικασία, με την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σ ένα ακριβώς στοιχείο ενός άλλου συνόλου Β είναι συνάρτηση.

f( ) + f( ) + f( ) + f( ). 4 γ) υπάρχει x 2 (0, 1), ώστε η εφαπτοµένη της γραφικής παράστασης της

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο : ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ

γ) Αν f συνεχής στο[α, β], τότε για κάθε γ Є IR ισχύει f (x)dx f (x)dx f (x)dx

ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

f(x 2) 5 x 1 α) Να αποδείξετε ότι: i) f (3) = 5 και ii) f (3) = 6 x 2 f(x)

2o Επαναληπτικό Διαγώνισμα 2016

Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. Ημερομηνία: Πέμπτη 20 Απριλίου 2017 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

Διαγώνισμα Προσομοίωσης Εξετάσεων 2017

2 ο Διαγώνισμα Ύλη: Συναρτήσεις

1. ** Να βρεθεί το ευρύτερο δυνατό υποσύνολο του R στο οποίο ορίζεται καθεµιά από τις παρακάτω συναρτήσεις: , x [0, 2π] εφx -1

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ.2.5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ

47 Να προσδιορίσετε τη συνάρτηση gof, αν α) f και g, β) f ηµ και π γ) f ( ) και g εφ 4 g 48 ίνονται οι συναρτήσεις f + και g Να προσδιορίσετε τις συνα

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ - ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΘΕΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ [Κεφάλαιο 2.1: Πρόβλημα εφαπτομένης του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β

ln 1. ( ) vii. Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη C f, τον άξονα η οποία είναι συνεχής στο και για την οποία ισχύει

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ÏÅÖÅ

Εφαπτομένη γραφικής παράστασης συνάρτησης

Ασκήσεις Επανάληψης Γ Λυκείου

Ερωτήσεις κατανόησης σελίδας Κεφ. 1

6.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ( ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Κεφάλαιο 1ο Ανάλυση ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑΛΥΣΗ

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ. και 25x i). Να κάνετε τις πράξεις στο πολυώνυμο.

3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ

ΜΕΛΕΤΗ ΚΑΙ ΧΑΡΑΞΗ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑ Α. , έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη την x 0.

ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

Ρ Υ Θ Μ Ο Σ Μ Ε Τ Α Β Ο Λ Η Σ

ΛΥΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ 5 05/05/2016 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

f '(x 0) lim lim x x x x

ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ. οι f, g είναι συνεχείς στο και f (x) = g (x) για κάθε εσωτερικό σηµείο του, ÏÅÖÅ

1ο Κεφάλαιο: Συστήματα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ B ΛΥΚΕΙΟΥ

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Θετικής-Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Απαντήσεις στα Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Ημερομηνία:

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2016 Β ΦΑΣΗ Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΣ: ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ / ΣΠΟΥ ΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

3.5 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y=α/x-η ΥΠΕΡΒΟΛΗ Ποσά αντιστρόφως ανάλογα- Η υπερβολή

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β. 0και 4 x 3 0.

Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΠΑΡΑΓΟΥΣΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ [Αρχική Συνάρτηση του κεφ.3.1 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου].

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ

ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ

Transcript:

Ερωτήσεις ανάπτυξης. ** α) Να αποδείξετε ότι αν τα όρια lim - f () - f - είναι πραγµατικοί αριθµοί, τότε η f είναι συνεχής στο. ( ) και β) Να εξετάσετε τη συνέχεια της συνάρτησης f () = lim + στο σηµείο = εφαρµόζοντας το προηγούµενο συµπέρασµα. f () - f - + ( -) - ( ) αν < αν. ** Έστω οι συναρτήσεις f και g οι οποίες είναι παραγωγίσιµες στο (α, β) µε f ( ) = g ( ) και f ( ) = g ( ). Αν ισχύει f () h () g () για (α, β), να αποδείξετε ότι και η h είναι παραγωγίσιµη στο και µάλιστα ισχύει h ( ) = f ( ).. ** Η συνάρτηση g είναι συνεχής στο, η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο και ισχύει f () = - g (), R. Να βρεθεί η τιµή g (). 4. ** ίνεται η συνάρτηση f () = - + +. Να εξετάσετε αν η f είναι παραγωγίσιµη α) στο σηµείο = και β) στο σηµείο = 4. 5. ** Η γραφική παράσταση C f της συνάρτησης f () = - + φαίνεται στο διπλανό σχήµα. α) Να εξετάσετε αν η f είναι παραγωγίσιµη στο =. β) Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f. y 4 4

6. ** Η γραφική παράσταση µιας συνάρτησης f φαίνεται στο διπλανό σχήµα. α) Να εξετάσετε αν η f είναι παραγωγίσιµη στα σηµεία µε τετµηµένες -,,. β) Να παραστήσετε γραφικά τη συνάρτηση f. 7. ** Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτοµένης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f () = - + (εφόσον υπάρχει), σε καθεµιά από τις παρακάτω περιπτώσεις: α) έχει συντελεστή διεύθυνσης λ =. β) σχηµατίζει γωνία 45 µε τον άξονα. γ) είναι παράλληλη στην ευθεία y = + 4. δ) είναι κάθετη στην ευθεία y = - +. ε) είναι παράλληλη στον άξονα. στ) είναι παράλληλη στον άξονα y y. ζ) άγεται από το σηµείο (-, ). 8. ** Να βρείτε την εφαπτοµένη (αν υπάρχει) των γραφικών παραστάσεων των παρακάτω συναρτήσεων στο αντίστοιχο σηµείο: α) f () = ln στο (, ) β) f () = - στο (, ) γ) f () = στο (, ) δ) f () = στο (, ) ε) f () = στο (, ) στ) f () = + - στο (-, 4 ) 5

y 9. ** Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου του διπλανού σχήµατος. 45 5. ** ίνεται η συνάρτηση f () = α + β + γ + δ, α. Να βρείτε τη συνθήκη για τα α, β, γ R, ώστε η C f να µην έχει σε κανένα της σηµείο οριζόντια εφαπτοµένη.. ** α) Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f () = - 6 + 8, να φέρετε τις εφαπτόµενες ε, ε της C f στα σηµεία τοµής της C f µε τον και να δικαιολογήσετε από το σχήµα γιατί οι εφαπτόµενες τέµνονται πάνω στην ευθεία =. β) Να αποδείξετε ότι οι εφαπτοµένες της παραβολής y = α + β + γ, α µε >, στα σηµεία τοµής της µε τον άξονα τέµνονται στον άξονα β συµµετρίας της παραβολής ( = - ). α Σηµείωση: Με βάση την κεντρική ιδέα αυτής της άσκησης (συµµετρία) έχουµε τη δυνατότητα να κατασκευάσουµε όµοιες ασκήσεις που αναφέρονται, για παράδειγµα, σε άρτιες παραγωγίσιµες συναρτήσεις.. ** ίνεται η συνάρτηση f () = ln (α) µε α > και >. α) Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτοµένης της C f στο σηµείο (, f ( )). β) Να αποδείξετε ότι όλες οι παραπάνω εφαπτόµενες στο σηµείο (, f ( )), καθώς µεταβάλλεται το α, διέρχονται από το ίδιο σηµείο. 6

. ** Έστω η συνάρτηση f () = ( - ). Να αποδείξετε ότι η εφαπτοµένη της γραφικής της παράστασης, σε οποιοδήποτε σηµείο της, δεν έχει µε αυτήν άλλο κοινό σηµείο. Σηµείωση: Η παραπάνω άσκηση θα µπορούσε να γενικευθεί για οποιοδήποτε τριώνυµο. 4. ** Για την παραγωγίσιµη συνάρτηση f ισχύει η σχέση: f ( + ) - f ( - ) = - για κάθε R. Να αποδείξετε ότι η εφαπτοµένη της γραφικής παράστασης στο σηµείο (, f ()) είναι κάθετη στην ευθεία y =. 5. ** α) Έστω δύο συναρτήσεις f, g µε πεδίο ορισµού το R. Να γράψετε τις συνθήκες ώστε η C f και η C g στο κοινό τους σηµείο µε τετµηµένη = να δέχονται κοινή εφαπτοµένη. β) ίνονται οι συναρτήσεις f () = - + και g () = - +. Να αποδείξετε ότι οι C f, C g δέχονται κοινή εφαπτοµένη σε ένα σηµείο, του οποίου να υπολογίσετε τις συντεταγµένες. 6. ** Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο R και η ευθεία (ε) είναι εφαπτοµένη της C f στο σηµείο (, f ()). Μετακινούµε τη C f παράλληλα προς τους άξονες, όπως φαίνεται στο σχήµα, και ονοµάζουµε g τη συνάρτηση η οποία αντιστοιχεί στη C g. α) Να βρείτε µια σχέση η οποία να συνδέει τις συναρτήσεις f και g. β) Με βάση την προηγούµενη σχέση να δείξετε ότι g ( ) = f ( - 4) για κάθε R. γ) Να βρείτε την g (4). 7

7. ** Έστω µια συνάρτηση f παραγωγίσιµη στο R για την οποία ισχύει f (ln) = ln -, >. α) Να αποδείξετε ότι η C f διέρχεται από την αρχή των αξόνων. β) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτοµένης της C f στο σηµείο µε τετµηµένη. γ) Να υπολογίσετε το εµβαδόν του τριγώνου το οποίο σχηµατίζεται από την εφαπτοµένη της C f στο σηµείο της µε τετµηµένη = και τους άξονες και y y. 8. ** Να βρεθούν οι εφαπτόµενες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f () =, οι οποίες διέρχονται από το σηµείο Α (, ). 9. ** Να δείξετε ότι: α) αν f () = συν - συν, τότε f () + f () εφ - ηµ =. β) αν f () = ln +, τότε f () + = ef ().. ** Αν f είναι µια πολυωνυµική συνάρτηση για την οποία ισχύουν: f (4) = και (f ()) = f () για κάθε R, α) να βρεθεί ο τύπος της f. β) να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτοµένης της C f που είναι παράλληλη στην ευθεία y = - +.. ** Μια δύναµη εφαρµόζεται σε κινητό που κινείται σε άξονα και του οποίου η απόσταση από την αρχή Ο τη χρονική στιγµή t δίνεται από τη συνάρτηση S (t) = ln (t + ), t > (όπου t ο χρόνος σε sec). α) Να δείξετε ότι το κινητό δεν ήταν σε κατάσταση ηρεµίας όταν εφαρµόστηκε η δύναµη. β) Να δείξετε ότι η κίνηση είναι επιβραδυνόµενη. γ) Να βρείτε το µέτρο της ταχύτητας και της επιβράδυνσης του κινητού, sec µετά την εφαρµογή της δύναµης. 8

. ** Θεωρούµε µια συνάρτηση f παραγωγίσιµη στο R για την οποία ισχύει: f ( + y) = e f (y) + e y f () + y + α για κάθε, y R. α) Να δείξετε ότι f () = - α. β) Να δείξετε ότι η C f περνά από την αρχή των αξόνων. γ) Να δείξετε ότι f ( ) = f ( ) + f () e +, για κάθε R.. ** Μια συνάρτηση είναι περιττή και δύο φορές παραγωγίσιµη στο R. Να δείξετε ότι: α) η γραφική της παράσταση διέρχεται από το (, ). β) f () =. 4. ** Γνωρίζουµε ότι για ισχύει: ν+ - - = + + + + ν. α) Να υπολογίσετε το άθροισµα: + + + + ν ν-,. 4 5 β) Να υπολογίσετε το άθροισµα: + + + + + 4 8 6 9. 5. ** Εξηγήστε γιατί η παρακάτω διαδικασία οδηγεί σε άτοπο 4 = = 4+ 44 + 444 +... +, άρα ( 4 ) = + + + δηλαδή προσθετέοι 444 4..., φορές 4 = 4 + 44 + 4... 44 +, άρα 4 =, εποµένως 4 =!!! φορές 9