ΤΕΣΤ Β.λύσεις ΟΜΑΔΑ Ι Οι εξισώσεις: {=, + = w} ορίζουν πλεγμένα τα {,} ως συναρτήσεις των {,w}. Να βρεθεί η μερική παράγωγος του ως προς. Λύση. Με τους τύπους πλεγμένης παραγώγισης: (,g) (,,, w) = = (,) g g = = = = = g(,,,w) = + w= (,g) (,) g g Λύση. Με πλεγμένη παραγώγιση ως προς, με σταθερό w : = + = + ( / ) = = = + = w + = = / Λύση 3. Λύνοντας τις εξισώσεις αλγεβρικά ως προς {,} για να βρούμε την συνάρτηση: = (,w). Δίνεται η συνάρτηση (,w) = w. Να γίνει το γράφημα μιας ισοσταθμικής στη θετική περιοχή, και να βρεθεί ο ρυθμός υποκατάστασης του ως προς το w όταν ( = 3,w = ). Λύση. Η ισοσταθμική έχει την μορφή υπερβολής: / w= c = c / w Ο ρυθμός υποκατάστασης δίνεται από τον τύπο πλεγμένης παραγώγισης: = = = = = 3 d / w 3 dw / w / w Παρατήρηση. Εναλλακτικά, μπορούμε να παραγωγίσουμε την συνάρτηση υποκατάστασης που βρήκαμε: c d c = =, όπου: 3 w dw w Αντικαθιστώντας, βρίσκουμε: 3 d c 3 = = = 3 3 3 dw w / w=, c= (3,) = 3 Να διαπιστωθεί ότι η συνάρτηση (, ) = + είναι ομογενής και να διατυπωθεί η αντίστοιχη εξίσωση Euler. Λύση. Είναι ομογενής βαθμού κ= /, διότι: / / (t,t) = t+ t = t + = t (,) Θα ικανοποιεί την εξίσωση Euler βαθμού κ= / : + = / 4 Να βρεθεί η γραμμική προσέγγιση στο (,) της συνάρτησης: (, ) = (+ )(+ ) Λύση. Βρίσκουμε τις τιμές της συνάρτησης και των παραγώγων της στο σημείο (,) : = (,) =, = + =, = + = Βρίσκουμε την γραμμική προσέγγιση: (+ )(+ ) + + = + + Παρατήρηση. Επειδή είναι πολυωνυμική, μπορούμε εναλλακτικά να αναπτύξουμε σε δυνάμεις των { = }, { = } και να κρατήσουμε μόνο τους όρους μέχρι ης τάξης: (+ )(+ ) = + + + + + w
5 Να διαπιστωθεί ότι η συνάρτηση (, ) = + είναι κοίλη. Λύση. Υπολογίζουμε τον εσσιανό πίνακα της ης παραγώγου. Βρίσκουμε: / 3 / = / = / 4 = (,) = + H / = = 3 / = / = = / 4 Η συνάρτηση είναι (γνήσια) κοίλη διότι ο παραπάνω πίνακας είναι αρνητικά ορισμένος: = / 4 <, = / 4 < 3 / 3 / Δ = H = = ( / 4 )( / 4 ) = / 6 > 3 / 3 / 3 / 3 / 6 Θεωρούμε τη σύνθεση συναρτήσεων: {w = w(z), z= z(, ), = (), = (t)}. Να δοθεί το δέντρο εξάρτησης, και να διατυπωθούν οι τύποι αλυσωτής παραγώγισης. Λύση. Έχουμε μόνο μια τελικά ανεξάρτητη μεταβλητή t, με διαδρομές, οπότε θα έχουμε μόνο έναν τύπο αλυσωτής παραγώγισης, με όρους: {w = w(z), z= z(, ), = (), = (t)} w = w(t) 7 dw dw z d dw z d d = + dt dz dt dz d dt Τα μεγέθη {,,z} συνδέονται με την εξίσωση: τα {,} ελαττωθούν αμφότερα κατά %. ΟΜΑΔΑ ΙΙ 3/4 /4 z= 4. Να εκτιμηθεί η ποσοστιαία μεταβολή του z, αν Λύση. Είναι συνάρτηση C-D με ελαστικότητα κλίμακας το άθροισμα των βαθμών: εr = ε + ε = 3 / 4+ / 4= Επομένως η ποσοστιαία μεταβολή του z θα είναι: %Δz %dz = ()( %) = % Δηλαδή το z θα ελαττωθεί επίσης κατά % περίπου Παρατήρηση. Οι (οριακές) ποσοστιαίες μεταβολές, δηλαδή τα ποσοστιαία διαφορικά, συνδέονται με την σχέση: %dz= ε (%d) + ε (%d) όπου: ε = Ez= 3 / 4, ε = Ez= / 4, %d = %Δ = %, %d = %Δ= % 8 Η συνάρτηση (,) έχει τις ισοσταθμικές του παραπλεύρως σχήματος. Να βρεθεί τα πρόσημα των μερικών παραγώγων στο σημείο A, και να χαρακτηριστεί η συνάρτηση ως οιονεί κοίλη ή οιονεί κυρτή. Λύση.. Η διανυσματική κλίση δείχνει προς την πάνω σταθμική περιοχή, αριστεράπάνω, οπότε έχουμε: <, > Εξάλλου η τιμή της συνάρτησης αυξάνει από το στο, όταν το ελαττώνεται ή όταν το αυξάνει.. Η κάτω σταθμική: είναι κυρτή, και επομένως η συνάρτηση είναι οιονεί κυρτή. A = = =
9 Να βρεθεί και να χαρακτηριστεί το στάσιμο της συνάρτησης: τιμή της στο επίπεδο. Λύση. Το στάσιμο είναι: με: = + = = = (,) = + + ( =, = ) = >, =, = Δ = = ()() = < (, ) = + +. Να βρεθεί και η μέγιστη Eπομένως είναι σαγματικό. Άλλο στάσιμο δεν υπάρχει, οπότε το μέγιστο θα βρίσκεται στο άπειρο με άπειρη τιμή, διότι παίρνοντας =, βρίσκουμε: (,) = + + όταν Το πρόβλημα: / ma{(, ) = g(, ) = + 8= } στη θετική περιοχή, έχει τη λύση: {= 4, = }. Να βρεθεί η λύση του προβλήματος: ma{h(,) = ln + ln g(,) = + 8= } Λύση. Η h είναι αύξουσα συνάρτηση της : / ln+ ln= ln h= ln οπότε θα έχει τις ίδιες ισοσταθμικές με την ίδια διάταξη, και επομένως η λύση θα είναι ίδια: {= 4, = } Θεωρούμε την γραμμική συνάρτηση: (, ) = Να δοθούν τα γραφήματα των ισοσταθμικών της, και να βρεθεί η μέγιστη τιμή της στην τετραγωνική περιοχή: {, 4} Λύση. Οι ισοσταθμικές είναι ευθείες με θετική κλίση: (,) c c = = = και οι τιμές αυξάνουν προς τα δεξιά: = >, και κάτω: = < Η μέγιστη τιμή θα βρίσκεται στην κορυφή δεξιά-κάτω: ( =, = ) = = ΟΜΑΔΑ ΙΙΙ Να βρεθεί η μερική παράγωγος της συνάρτησης (,) = ma{,+ } Λύση. Η συνάρτηση είναι τμηματικά ορισμένη: αν + (,) = ma{,+ } = + αν Επομένως: 3 αν = αν Θεωρούμε τη συνάρτηση: (, ) =. Να γίνουν τα γραφήματα των ισοσταθμικών της και να διερευνηθεί αν η συνάρτηση είναι οιονεί κοίλη ή οιονεί κυρτή. Λύση. Οι ισοσταθμικές είναι πλάγιες παραβολές προς τα δεξιά: (,) = = c = + c Οι πάνω σταθμικές είναι κυρτές περιοχές διότι δίνονται από τις ανισότητες: (,) = c + c, προς τα δεξιά της πλάγιας παραβολής. Επομένως είναι οιονεί κοίλη = = c = + c
4 Θεωρούμε τη συνάρτηση: Λύση. Το στάσιμο είναι: (, ) = + 4 4+. Να βρεθεί και να χαρακτηριστεί το στάσιμο σημείο της. = 4= (,) = + 4 4+ = = 8 4= ολόκληρη ευθεία διότι οι δύο εξισώσεις είναι ισοδύναμες. Οι δεύτερες παράγωγοι μας δίνουν: = 4= = >, = 8 >, = 4 Δ = = ()(8) 4 = = 8 4 = Η συνάρτηση είναι κυρτή και επομένως τα στάσιμα δίνουν ολικό ελάχιστο. Παρατήρηση. Επομένως η συνάρτηση πρέπει να έχει την ίδια τιμή σόλα τα σημεία της ευθείας. Πράγματι: = = + 4 4+ = () + 4 4()+ 5 Το πρόβλημα περιορισμένης βελτιστοποίησης ma{+ + = c} έχει την λύση: = c /, = c / Να υπολογιστεί ο πολλαπλασιαστής Lagrange και να επαληθευτεί η ερμηνεία του. Λύση. Ο πολλαπλασιαστής δίνεται από την σχέση: λ= = = ή ισοδύναμα: λ= = = g c g c Η μέγιστη τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης ως συνάρτηση του c είναι: (c) = + = c / = c με παράγωγο τον πολλαπλασιαστή: / / (c) = ( c ) = c / = / c = λ 6 Για τον παρακάτω συμμετρικό πίνακα να βρεθεί και να χαρακτηριστεί η αντίστοιχη τετραγωνική μορφή: S= Λύση. Με {α=,γ =,β = } η τετραγωνική μορφή είναι: Q= α + γ + β = + + = Έχει πρόσημα και γνήσια θετικά και γνήσια αρνητικά, επομένως είναι αόριστη. Εξάλλου ικανοποιεί το κριτήριο: 7 Δ= = < Θεωρούμε ότι το σύστημα εξισώσεων: ΟΜΑΔΑ IV {u,}. Να βρεθεί η μερική παράγωγος του ως προς. Λύση. Με τους τύπους πλεγμένης παραγώγισης: g(,,u,) {+ = u, = } ορίζει πλεγμένα τα {,} ως συναρτήσεις των (,g) (,,u,) = + u= (,) g g = = = = = = = (,g) + (,) g g Λύση. Με πλεγμένη παραγώγιση ως προς, με σταθερό u : + = u + = + = = = + =
Λύση 3. Λύνοντας τις εξισώσεις αλγεβρικά ως προς {,} για να βρούμε την συνάρτηση: = (,w). 8 Μια συνάρτηση (,) είναι φθίνουσα και οιονεί κοίλη. Να γίνει το γράφημα των ισοσταθμικών της και να διερευνηθεί αν η συνάρτηση ορίζει φθίνοντα ή αύξοντα ρυθμό υποκατάστασης. Λύση.. Η ισοσταθμική θα έχει αρνητική κλίση διότι η συνάρτηση είναι μονότονη. Η πάνω σταθμική βρίσκεται αριστερά κάτω διότι η συνάρτηση είναι φθίνουσα, c και θα είναι κυρτή περιοχή διότι η συνάρτηση είναι οιονεί κοίλη. 3. Η κλίση της ισοσταθμικής γίνεται πιο απότομη καθώς το αυξάνει, και επομένως έχουμε αύξοντα ρυθμό υποκατάστασης 9 Να διαπιστωθεί ότι το σημείο (=, = ) είναι ελεύθερο στάσιμο της συνάρτησης (,) = 8 4, και να χαρακτηριστεί. Λύση. Το σημείο ικανοποιεί τις εξισώσεις στασιμότητας = 8= ()() 8= = = 4= () 4= (,) 8 4 Για τις δεύτερες παραγώγους, βρίσκουμε: = 8 =, =, = 4 = 4 Δ = = ( )( ) (4) = < σε όλα τα σημεία Το σημείο είναι σαγματικό, ειδικότερα δεν είναι ακρότατο. Να χαρακτηριστεί ως προς το πρόσημό της η περιορισμένη τετραγωνική μορφή: Q ɶ :{Q= + L= + = } Λύση. Η συνάρτηση Q= + έχει σόλα τα μη μηδενικά σημεία γνήσια θετικές τιμές. Ειδικότερα αυτό ισχύει για τα σημεία της ευθείας του περιορισμού. Επομένως η περιορισμένη τετραγωνική είναι θετικά ορισμένη Παρατήρηση. Στο ίδιο καταλήγουμε αν αντικαταστήσουμε από τον περιορισμό: + = = και Q ɶ = ( ) + = 5 > για Επίσης, η πλαισιωμένη εσσιανή ορίζουσα είναι γνήσια αρνητική σύμφωνα με το σχετικό κριτήριο: p q p α β = = + = = < q β γ Η εξίσωση αβ+ α = ορίζει πλεγμένα το ως συνάρτηση των {α,β}. Να βρεθούν η παράγωγος και η ελαστικότητα του ως προς α, στις τιμές: {α=,β =, = }. Λύση. Οι τιμές ικανοποιούν την εξίσωση. Θεωρούμε την συνάρτηση: Παράγωγο: (α,β,) = αβ+ α, οπότε ο τύπος πλεγμένης παραγώγισης μας δίνει: α αβ+ + (α,β,) = αβ+ α = = = = = 5, α α αα ( 5) Ελαστικότητα: Eα= = = 5 Παρατήρηση. Η παράγωγος μπορεί να υπολογιστεί και με πλεγμένη παραγώγιση στην εξίσωση, ως προς α με σταθερό β : αβ+ α β+ α = αβ + (+ α α ) α = α = = 5 α
Θεωρούμε τη σχέση z =. Αν από κάποιες αρχικές τιμές (,), το ελαττωθεί κατά %, να εκτιμηθεί πόσο πρέπει να μεταβληθεί το ώστε να μην αλλάξει η τιμή του z Λύση. Για σταθερό z, θα έχουμε: z= = c = c Δηλαδή, η ελαστικότητα του ως προς με σταθερό z, είναι ε=. Επομένως με σταθερό z το πρέπει να μεταβληθεί περίπου κατά: %d= ε(%d) = ( ) = % Λύση. Η συνάρτηση z = είναι C-D. Επομένως οι ελαστικότητες δίνονται από τους αντίστοιχους εκθέτες, και τα ποσοστιαία διαφορικά θα ικανοποιούν την εξίσωση: ε %dz = (ε )(%d) + (ε )(%d) = %d = (%d) = ( ) = % ε