ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, 6--6, ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ #: ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Σ. Βαρούτης. Βιβλίο Ν.Μ. Βραχάτη: σελίδα 6, Ασκήσεις 8. και 8.. Άσκηση 8. x I f( x) dx h f( x ah) da x aa ( ) aa ( )( a ) aa ( )( a )( a ) f( x) f( x ah) f( x) a f( x) f( x) f( x) f( x)!!! aa ( ) aa ( )( a ) aa ( )( a )( a )!!! I h [ f( x ) a f( x ) f( x ) f( x ) f( x )] da a a a a a a a a a a h[ af( x) f( x) ( ) f( x) ( ) f( x) ( ) f( x)] 6 6 6 6 7 8 8 h[ f( x) 8[ f( x) f( x)] [ f( x) f( x) f( x)] [ f( x) f( x) f( x) f( x) f( x) f( x)] [ f ( x) f( x) f( x) f( x) f( x) f( x) f( x) f( x) f( x) f( x) f( x) f( x)] h (7 f f f f 7 f ) Άσκηση 8. ( ) Το ανάπτυγµα της f x δίνεται στο Βιβλίο Μ. Ν. Βραχάτη, σελ., σχέση (6.9.). Ο τελεστής µέσης τιµής µ και κεντρικής διαφοράς δ ορίζονται ως εξής: ( ) h x f x f x h µ f και δ Παράδειγµα µf [ f f ] και µδ f [ δ f δ f ] Συνδυάζοντας όλα τα παραπάνω προκύπτει: x h x h f f x a ( a ) a( a ) a ( a ) ( a )( a ) a( a )( a ) f ( x) f( x ah) f aµδ f δ f µδ f δ f µδ f!!!! a ( a )( a ) 6 δ f 6! a ( a ) a( a ) a ( a ) ( a )( a ) a( a )( a ) f( x) dx h [ f aµδ f δ f µδ f δ f µδ f!!!! a ( a )( a ) 6 δ f] da 6! a a a a a a a a a a a a haf [ f f ( ) f ( ) f ( ) f ( f 6 7 7 96 6 7 6 h[ f δ f δ f δ f] 9 76 6 7 6 µδ δ µδ δ µδ ) δ ]
. Να εφαρµοσθούν οι αλγόριθµοι ολοκλήρωσης α) κανόνας τραπεζίου β) ος κανόνας του Smpso και γ) ος κανόνας του Smpso για να υπολογισθούν τα ολοκληρώµατα: ) xdx και ). x l cos( x). Με την βοήθεια του Mathmatca το αναλυτικό αποτέλεσµα του πρώτου ολοκληρώµατος είναι l xdx. 869. Εφαρµόζοντας κανόνα του τραπεζίου, ο κανόνα του Smpso και ο κανόνα του Smpso έχουµε:. l xdx [ l() l(. ) l( ) ]. 76,. l xdx και [ l( ) l(. ) l(. ) l(. 7) l( ) ]. 866 7 l xdx l 8 6 6 6 dx () l l l l l l( ). 868 αντίστοιχα. Σηµειώνεται ότι για τον ο κανόνα του Smpso απαιτείται ζυγός αριθµός διαστηµάτων x ενώ στον ο κανόνα του Smpso ο αριθµός των διαστηµάτων πρέπει να είναι πολλαπλάσιος του. Με τη βοήθεια των προγραµµάτων του Παραρτήµατος, τα αποτελέσµατα που προκύπτουν για τις τρεις διαφορετικές µεθόδους επιλέγοντας διαστήµατα στον κανόνα του τραπεζίου, διαστήµατα στον ο κανόνα του Smpso και διαστήµατα στον ο κανόνα του Smpso, απεικονίζονται στον Πίνακα. Μέθοδος h Ι Αριθµός Ολοκληρώσεων Κανόνας Τραπεζίου h /.896 ος κανόνας Smpso h /.899 ος κανόνας Smpso h /.89 667 Πίνακας : Αποτελέσµατα για τις τρεις διαφορετικές µεθόδους ολοκλήρωσης.
Με την βοήθεια του Mathmatca το αναλυτικό αποτέλεσµα του δεύτερου. ( ) 76 x ολοκληρώµατος είναι cos x dx... Εφαρµόζοντας κανόνα του τραπεζίου, ο κανόνα του Smpso και ο κανόνα του Smpso έχουµε. x.. x. και.. x cos cos. [ ]. 7 ( ). ( ). ( ). x dx cos. cos. cos(. ) ( x) ( ) cos x dx.. cos dx. ( ). ( ).. cos. cos(. ) cos(. ). cos(. ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )...666 cos. cos. cos.666. 8.666. cos.666 cos.,. 77.999. cos.999 cos..76 Τα αποτελέσµατα που προκύπτουν για τις τρεις διαφορετικές µεθόδους επιλέγοντας διαστήµατα στον κανόνα του τραπεζίου, διαστήµατα στον ο κανόνα του Smpso και διαστήµατα στον ο κανόνα του Smpso, απεικονίζονται στον Πίνακα. Μέθοδος h Ι Αριθµός Ολοκληρώσεων Κανόνας Τραπεζίου h /.97 ος κανόνας Smpso h /.99 ος κανόνας Smpso h /.68 667 Πίνακας : Αποτελέσµατα για τις τρεις διαφορετικές µεθόδους ολοκλήρωσης.
. Να εφαρµοσθεί ο τύπος αριθµητικής ολοκλήρωσης Gauss-Lgdr και Gauss-Chbyshv για τον υπολογισµό των ολοκληρωµάτων: dy ) y και ) y dy Τα αριθµητικά αποτελέσµατα να έχουν ακρίβεια τριών σηµαντικών ψηφίων. Εφαρµόζεται αριθµητική ολοκλήρωση Gauss - Lgdr: Με την βοήθεια του Mathmatca η αναλυτική τιµή του πρώτου ολοκληρώµατος είναι dy y 869 Μετασχηµατίζουµε το ολοκλήρωµα dy ώστε τα όρια ολοκλήρωσης να γίνουν y y ( b a) y ( ) y 6 y από έως. Τότε z dz dy b a Άρα το ολοκλήρωµα γίνεται : dz ( ) z Κάνοντας χρήση Gauss-Lgdr σηµείων προκύπτει dz wf( z) w (z ) ( ) z.6[ ].78[ ].667 (*.998 ) (*(.998) ) (*.86 ) (*(.86) ) Συγκρίνοντας το αριθµητικό µε το αναλυτικό αποτέλεσµα βλέπουµε ότι έχουµε ακρίβεια σηµαντικά ψηφία. Οµοίως, µε την βοήθεια του Mathmatca η αναλυτική τιµή του δευτέρου ολοκληρώµατος είναι y dy. 6667 Μετασχηµατίζουµε το ολοκλήρωµα y ( ) y έως. Τότε z dz dy ydyώστε τα όρια ολοκλήρωσης να γίνουν από
Άρα το ολοκλήρωµα γίνεται : z ( ) dz Κάνοντας χρήση Gauss-Lgdr σηµείων προκύπτει z z dz w f ( z) w *.998 *(.998) *.86 *(.86).6[( ) ( ) ].78[( ) ( ) ].666 Συγκρίνοντας το αριθµητικό µε το αναλυτικό αποτέλεσµα βλέπουµε ότι έχουµε ακρίβεια σηµαντικά ψηφία. Εφαρµόζεται αριθµητική ολοκλήρωση Gauss - Chbyshv: z dz z ( z ) ( z ) z ( z ) ( z ) όπου 8 z z z ( ) π cos dz και 8 π w. w. 9 z w. 77 Συγκρίνοντας το αριθµητικό µε το αναλυτικό αποτέλεσµα βλέπουµε ότι ΕΝ έχουµε ακρίβεια σηµαντικά ψηφία. Θα πρέπει να συµπεριλάβουµε περισσότερα σηµεία.. Να υπολογισθούν τα διπλά ολοκληρώµατα ) s( x y)dxdy ) x x ydydx Κανόνας Τραπεζίου s ( x y) dxdy [ s( y) s(. y) s( y) ] s.. s. ( ) s(. ) s( ) s(. ) s(.. ) s(. ) ( ) s(. ) s( ) dy. 89
ος Κανόνας Smpso s ( x y) dxdy [ s( y) s(. y) s( y) ] s.. s. ( ) s(. ) s( ) s(. ) 6 s(.. ) s(. ) ( ) s(. ) s( ) dy. 866 Κάνοντας χρήση του κώδικα Fortra που βρίσκεται στο Παράρτηµα, µε x y, βρίσκουµε Μέθοδος Ι Κανόνας Τραπεζίου.868 ος κανόνας Smpso.868 Πίνακας : Αποτελέσµατα για τις δύο µεθόδους ολοκλήρωσης. Ολοκλήρωση Gauss - Lgdr. Μετασχηµατίζουµε τα όρια του αρχικού ολοκληρώµατος ( ) ( ) y b a y x y x z dz dy b a x x x x ( b a) x ( ) s x ds dx b a Κάνοντας χρήση Gauss-Lgdr σηµείων προκύπτει x x ( s )( z ) s s j ( s j )( z ) ydydx στο διάστηµα [-,]. s s j dzds w w j. 87 8 8 j όπου z s.866, z s.866, z s.998 και z s.998. Επίσης w w.788 και w w.6.. Με αριθµητική ολοκλήρωση Gauss να προσεγγισθούν ) η συνάρτηση σφάλµατος rf ( x) dt dt π x π x ) η συνάρτηση Gamma Γ( ) x dx! x
Επιλέγουµε. Αριθµητική ολοκλήρωση του ολοκληρώµατος: x rf ( ) dt Gauss Hrmtt Απαιτείται ο µετασχηµατισµός t dt xp ξ ξ ξ ξ xp[ ( ) ] dξ xp[ ( ) ] ξ s ξ ξ ξ s [ ( ) ] w s ( s ) Εάν επιλέξουµε το ξ για να µετακινηθούµε από το διάστηµα [ στο τότε προκύπτει: ξ ξ w ξ dξ ξ ( ) s ξ ( ) s ξ s ξ ( ) ( ) s ( ) π, ) (, ) s ξ dt s s w s s w s s w s s w s s w όπου ξ, ±.67 και ξ, ±.668. Επίσης w,.89 και w,.88. s ξ dt s( s) w.7776. π ΣΗΜΑΝΤΙΚΟ ΣΦΑΛΜΑ??? (Αναλυτικό αποτέλεσµα.886 ) :. Για τον υπολογισµό του δεύτερου ολοκληρώµατος θα χρησιµοποιήσουµε ολοκλήρωση Gauss-Lagurr. Τότε το αρχικό ολοκλήρωµα γράφεται ως x x dx w x όπου w και x οι συντελεστές βαρύτητας και οι ρίζες των πολυωνύµων Lagurr αντίστοιχα. Εάν επιλέξουµε το τότε προκύπτει: x x dx wx wx wx wx wx.6(.6).78(.776).888(.66).9( 9.97).99! ΑΚΡΙΒΕΙΑ (σχεδόν ) ΣΗΜΑΝΤΙΚΑ ΨΗΦΙΑ!!!
Παράρτηµα: Προγράµµατα για αριθµητική ολοκλήρωση Κανόνα Τραπεζίου, ο Κανόνα Smpso και ο Κανόνα Smpso Άσκηση Κανόνας Τραπεζίου program trapzo mplct o ral, allocatabl::y(:) ral h, r, x, p tgr, prt*, 'Gv umbr of pots' rad *, allocat (y()) prt*, 'Gv startg x' rad *, x prt*, 'Gv dg x' rad*, p h(p-x)/ y()log(x)!exp(*x)*cos(*x) do, xxh y()log!exp(*x)*cos(*x) r do,- rry() rr*h(h/)*(y()y()) prt*, 'I', r Ed program trapzo_ ος κανόνας Smpso program Smpso_ mplct o ral, allocatabl::y(:) ral x, p, h, r, u tgr, prt*, 'Gv umbr of pots' rad*, allocat (y()) prt*, 'Gv startg x' rad*, x prt*, 'Gv dg x' rad*, p h(p-x)/ y()log(x)!exp(*x)*cos(*x) do, xxh y()log(x)!exp(*x)*cos(*x) r do,-, rr*y() do,-, uu*y()
r(h/)*(y()ury()) prt*, 'I', r d program Smpso ος κανόνας Smpso Άσκηση program Smpso_ mplct o ral, allocatabl::y(:) ral x, p, h, r, u tgr, prt*, 'Gv umbr of pots' rad*, allocat (y()) prt*, 'Gv startg x' rad*, x prt*, 'Gv dg x' rad*, p h(p-x)/ y()log(x)!exp(*x)*cos(*x) do, xxh y()log(x)!exp(*x)*cos(*x) r do,-, rr*(y()y()) do,-, uu*y() r((*h)/8)*(y()ury()) prt*, 'I', r d program Smpso_ program Chbshv_ mplct o ral ::s, as, p, z tgr::, p.*ata(.) prt*,'gv ' rad*, s do, zcos((*)*p/(*)) ss(((*z)/)**)*(*sqrt(-z**))/!ss(*sqrt(-z**))/(*(*z)**) ass*(p/()) prt*,as d program Sbshv_
Άσκηση program Num_Itgr mplct o ral::dx, dy,t,rs tgr::x,y,,j ral, allocatabl::f(:,:),x(:),y(:),sum(:) x ; y allocat(f(y,x),x(x),y(y),sum(y)) dx(.-.)/(x-) dy(.-.)/(y-) Do,Nx x().(-)*dx Eddo Do j,ny y(j)(j-)*dy Eddo Do,Nx Do j,ny f(,j)s(x()y(j)) Eddo Eddo!trapzo Do j,y sum( j)dx*(.*f(,j).*f(x,j)sum(f(:x-,j))) tdy*(.*sum().*sum(y)sum(sum(:y-))) prt*,t!smpso Do j,y call SIMPSON(f(:,j),dx,x,rs) sum(j)rs call smpso(sum,dy,y,rs) prt*,rs d program Num_Itgr SUBROUTINE SIMPSON(Y,H,NNODES,INT) IMPLICIT NONE INTEGER::I,NNODES REAL::H,INT,INT,INT,Y(NNODES) INT. DO I,SIZE(Y)-, INTINT.*Y(I) ENDDO INT. DO I,SIZE(Y)-, INTINT.*Y(I) ENDDO INT(INTINTY()Y(SIZE(Y)))*H/. END SUBROUTINE SIMPSON