Κυρτές Συναρτήσεις και Ανισώσεις Λυγάτσικας Ζήνων Βαρβάκειο Ενιαίο Πειραµατικό Λύκειο e-mail: zenon7@otenetgr Ιούλιος-Αύγουστος 2004 Περίληψη Το σχολικό ϐιβλίο της Γ Λυκείου ορίζει σαν κυρτή (αντ κοίλη) συνάρτηση σ ενα διάστηµα µια συνεχή συνάρτηση στο της όποιας η είναι γνησίως αύξουσα (αντ γνησίως ϕθίνουσα) στο Αυτός ο αλγεβρικός χαρακτηρισµός είναι καλός για την µελέτη του γραφήµατος της συνάρτησης δεν είναι όµως γενικευµένος και αρκετός για την επίλυση διαφορετικών προβληµάτων ιδίως αποτελεσµάτων αναλυτικού χαρακτήρα Ξεκινάµε µε τον κλασσικό αναλυτικό ορισµό των ασθενών κυρτών (κοίλων) συναρτήσεων, πχ δες Μια Εισαγωγή στην Ανάλυση, Πανεπιστηµιακές Εκδόσεις Κρήτης, 1999, ο M Spivak, δίνου- µε στη συνέχεια µερικές ιδιότητες και την ισοδυναµία του ορισµού µας µε τον αλγεβρικό αντίστοιχο χαρακτηρισµό Ο ορισµός µας είναι λιγότερο γνωστός στην ελληνική ϐιβλιογραφία αλλά πιο γενικευµένος για να επιλύσουµε προ- ϐλήµατα ανισοτήτων Στη συνέχεια δίνουµε µερικά παραδείγµατα για το πως χρησιµοποιούµε τις κλασσικές αναλυτικές ιδιότητες των κυρτών συναρτήσεων καθώς και ένα γεωµετρικό πρόβληµα µε την αναλυτική του λύση 1 Ορισµός - Ιδιότητες Ορισµός 11 Εστω ένα διάστηµα και µια συνάρτηση Η λέγεται ασθενώς κυρτή (αντ κοίλη) 1 στο αν για κάθε στο έχουµε:! αντ - %&'()*+&', /10 243,!5 Αν η ανίσωση είναι διακριτή τότε µιλάµε για διακριτή κοιλότητα ή κυρτότητα Σηµείωση 11 1 (Γεωµετρική ερµηνεία) Εστω µία συνάρτηση ορισµένη στο διάστηµα και 67'3('&, 9:';<3=';>& δύο σηµεία του γραφήµατος της (δές Σχ 1) Αν η συνάρτηση είναι κυρτή, τότε το ευθ τµήµα 6%9 ειναι πάνω από το γράφηµα της και αν αυτή είναι κοίλη, το ευθ τµήµα 6%9 είναι κάτω από το γράφηµα της συνάρτησης Αν?@0 3&;=5, µπορούµε να γράψουµε BC+DE ; όπου F+0 243>!5 Ετσι, GG H0 '4+DE&';>5< I ;> 2 Αν είναι κοίλη στο τότε η % είναι κυρτή 1 Στη συνέχεια ϑα µιλάµε απλώς για κυρτές ή κοίλες συναρτήσεις 1

6 G G 3 Αν : ή αν :2 ή :, τότε η D, αντ %&'=)&', είναι προφανής 4 Ισχύει ότι αν >3& E, τότε το )@? ανήκει επίσης στο και είναι µάλιστα στο διάστηµα 0 D>3&(5 5 Κάθε έυθεία είναι και κυρτή και κοίλη συνάρτηση ';> ' 9 ; Σχ 1 Παράδειγµα 1 Η συνάρτηση E F είναι κυρτή εξ αιτίας της τριγωνικής ανίσωσης: * 4 > Η συνάρτηση E F είναι κυρτή Θεώρηµα 11 (Ανίσωση Jensen) Εστω µια συνάρτηση κυρτή (αντ κοίλη) σ ενα διάστηµα Για την ακολουϑία D,3& 3,3& σηµείων του, έχουµε την ανίσωση: '(D= 4 ='=),'>) '+ (αντ ) για όλους τους ϑετικούς πραγµατικούς,3&<3,3& που ικανοποιούν τη σχέση H Απόδειξη Αν η συνάρτηση είναι κυρτή τότε η % είναι κοίλη Ετσι µπο- ϱούµε να υποθέσουµε ότι η συνάρτηση είναι κυρτή Η απόδειξη ϐασίζεται στην επάγωγή πάνω στο Εστω,! : -,3,3&:E 3 -,3>3&:+0 243>!5 έτσι ώστε ' % 2 3 έχω

/ Αν είναι κυρτή τότε : - 3 :E 3 - :+0 243>!54'47? ') *?& Αν ϑέσω,,, *?! παίρνω την /! Υποθέτω ότι! αληϑής για Θα δείξω ότι και η D αληθής D Εστω,3,3&D+0 243>!5 µε Θέτω? - Αν?2 τότε 243?0 5 D Ετσι η : D D ' 'D= 'D=% Άρα ισχύει για?2 Αν 2 - +0 5 ϑέτω Αλλά επειδή D D C Τότε * :?D(D C Από υπόθεση επαγωγής για / και / και ότι * D D ' ' ' @ D * &'D! ) &'D= )D='D! έχω : Άρα : Το οποίο είναι η! D Σηµείωση 12 D 1 Αν D ' % ' 3

2 Αν *4, τότε για κάθε κυρτή συνάρτηση D '=)<1' Για παράδειγµα: -,3,3&: / Επειδή η συνάρτηση E είναι κυρτή Θεώρηµα 12 Εστω συνάρτηση ορισµένη στο διάστηµα κυρτή στο - 33 E 3E D+' 7 Απόδειξη Εστω 33 µε C @ C µε : και :7? + 243, D Επειδή @ '3, τότε κυρτή 'D '&)D! 'D&D D ')D %' D D ' D I Εστω 3, ( Εστω F+ 243, και C '? D αν 1 µε το αποτέλεσµα είναι προφανές) D' 7? D '& D& 'D Άρα σύµφωνα µε τον ορισµό η είναι κυρτή Η ισότητα ισχύει αν :2 ή : Θεώρηµα 13 Εστω συνάρτηση ορισµένη στο διάστηµα - Θέτω :F ' 'D' -? EF > Τότε: κυρτή στο - :F 3 αύξουσα στο I> 4

Απόδειξη Εστω F > Θα δείξω ότι ' Εστω E :, C7) όπου : 7? + 243, και :?? 243> κυρτή ')D' D' 'D'D' D' 7? '? ' B@243?:@2 ' Οµοίως οι περιπτώσεις : E και E : I αύξουσα στο > και 33? µε + Άρα σύµφωνα µε το Θεώρηµα 13 η είναι κυρτή '% Σηµείωση 13 Αν είναι κοίλη - :F 3 ' ϕθίνουσα στο I> Θεώρηµα 14 Εστω κυρτή στο διάστηµα Τότε: - 1 B/ (εσωτερικό του ) η δέχεται µια παράγωγο δεξιά και αριστερά του 2 είναι συνεχής σε κάθε σηµείο του Απόδειξη 1 Εστω C Η είναι αύξουσα και ϕραγµένη σε περιοχή του Άρα δέχεται όριο δεξιά και αριστερά του Εποµένως η είναι παραγωγίσιµη δεξιά και αριστερά του και επειδή ' ' ' ' 2 Εστω είναι κάτω ϕραγµένη από το 3 + µε? Επειδή αύξουσα στο 0 3( και άνω ϕραγµένη από το : - E+0 3& ' Οµοίως στο '3 5 η είναι αύξουσα και άνω και κάτω ϕραγµένη Άρα, - έτσι ώστε EF > C ')?' Οπου sup =3 & - Ετσι 243 µε *, ' ' B @ Αν η ισχύει επίσης Άρα είναι συνεχής 5

Σηµείωση 14 1 Υπάρχουν κυρτές συναρτήσεις όχι συνεχείς, αλλά τα σηµεία ασυνέχειας ϐρίσκονται στα σύνορα του Για παράδειγµα: E 0 243>!5 µε ' Σε µια τέτοια συνάρτηση έχουµε πάντα: (α ) *+ 2 επειδή (ϐ ) ')& @2 αν B2 2 αν E+ 243,!5 2 και 2 Μία συνάρτηση κυρτή σ ενα διάστηµα είναι συνεχής και έχει το µέγιστο σ ενα από τα δυο άκρα Το αποτέλεσµα αυτό γενικεύεται και για τις συναρτήσεις πολλών µεταβλητών ορισµένες σ ένα γινόµενο διαστηµάτων του και κυρτές σε κάθε µια από αυτές τις µεταβλητές (δηλαδή, αν ϑεωρήσου- µε όλες τις µεταβλητές σταθερές εκτός από µια, η συνάρτηση είναι κυρτή σάυτήν την τελευταία µεταβλητή) Πόρισµα 15 Εστω ορισµένη και παραγωγίσιµη στο Τότε 2 : κυρτή αύξουσα στο Απόδειξη ( ) Εστω 3&;%F µε : ; Τότε : ' ' µε ' ';>=3 και ';> ' µε ';> '=3* Αλλά ';> ' και ';> ' I Εστω 3&;<3 E µε : ;% Τότε?'3&;> και ';>D+' C!';? ' Επίσης,?';<3 και ';> C!?;> Αλλά, άρα, I ή ' Θεώρηµα 13, η συνάρτηση είναι κυρτή Σύµφωνα λοιπόν µε το Πόρισµα 16 Εστω ορισµένη και παραγωγίσιµη στο Τότε: είναι κυρτή στο - :E 3 - EE 3 ' ')'?& ' Απόδειξη Εστω 3+? τότε αν, η πρόταση είναι αληθής Αν 3 ' ' ' επειδή ' 'D+' ' ') '?& '% '? 2 I Εστω από υπόθεση, ' H & ' και ' )' & ' '? κυρτή 2 κοίλη ϕθίνουσα στο 6

Πόρισµα 17 Εστω ορισµένη και δύο ϕορές παραγωγίσιµη στο Τότε κυρτή στο αν και µόνο αν ' @2 - FE Απόδειξη κυρτή στο ' @2 Σηµείωση 15 1 Μία συνάρτηση µπορεί να είναι κυρτή χωρίς να δέχεται δεύτερη παράγωγο Παρ όλα αυτά η του προηγουµένου ϑεωρήµτος είναι ένα γρήγορο κριτήριο για να είναι µια συνάρτηση κυρτή 2 Η ιδιότητα ' 2 είναι µια ιδότητα τοπική (local) Το ότι η συνάρτηση είναι κυρτή σε όλο το, είναι ένα αποτέλεσµα ολικό (global), που αποδεικνύεται ουσιαστικά µε το ϑεώρηµα Μέσης Τιµής, δες Πόρισµα 15, 16 11 Ιδιότητες 1 Αν η συνάρτηση είναι ορισµένη στο, κυρτή, ϑετική µε δύο πραγ- µατικές ϱίζες και Τότε '2 - E+0,3&(5 Απόδειξη: Αν υποθέσουµε ότι υπάρχει?0d>3&(5 µε 2 Τότε : '= '=D?? 2 ', ',D @2 Αλλά, άρα η ύπαρξη του είναι αδύνατη 2 Αν ορισµένη στο, κυρτή και ϕραγµένη, τότε είναι σταθερή Απόδειξη: Επειδή - ϕραγµένη, ' Εστω ' 'D+ 2 3E και 2 Τότε, ' 2 αλλά, άρα ' @2 Για E@2, ' + 2 αλλά, άρα ' 2 Εποµένως ' 243-1 - Άρα, ' C 2 3 Εστω µια παραγωγίσιµη συνάρτηση στο - Υποθέτουµε ότι E; στο υπάρχει ένα µονάδικό?03&;=5 ';>D' τέτοιο ώστε ;? C Τότε είναι αυστηρώς κυρτή ή κοίλη στο, δες ϑεώρηµα 13 2 Σηµεία Καµπής Ορισµός 21 Εστω ορισµένη στο, χωρίς ευθύγραµµα τµήµατα στη γρα- ϕική της παράσταση 3 Λέµε ότι στο σηµείο η συνάρτηση παρουσιάζει σηµείο καµπής, αν η ' αλλάζει πρόσηµο αριστερά και δεξιά του Με την προυπόθεση ότι το γράφηµα της δεν έχει ευθ τµήµατα, αυτό σηµαίνει ότι 2 3 Αν η γραφική παράσταση έχει ευθύγραµµα τµήµατα (linear components) τότε κάθε σηµείο του ευθ τµήµατος είναι σηµείο καµπής Αυτό συµβαίνει αν στον Ορισµό 11 ισχύει µόνο η αυστηρή ανισότητα στην σχέση 7

Επειδή το ικανοποιεί τις τρείς παρακάτω εξισώσεις : ' C )!' ' C ' 2 λέµε ότι η ' έχει στο τριπλό σηµείο επαφής µε την εφαπτοµένη της καµπύλης στο σηµείο αυτό 3 Παραδείγµατα Ας περάσουµε τώρα σ εναν αριθµό από παραδείγατα ανισοτήτων που αποδεικνύονται µε την ϐοήθεια των κυρτών (κοίλων) συναρτήσεων Παράδειγµα 2 είξτε την παρακάτω ανισότητα που γενικεύει την ανίσωση µεταξύ του γεωµετρικού και του αριθµητικού µέσου ϑετικών αριθµών Αν,3( 3,3&, είναι αυστηρώς ϑετικοί πραγµατικοί αριθµοί τότε: µε 2 και 3 3,3 Η ισότητα ισχύει όταν Απόδειξη: Εστω οι πραγµατικοί,3& 3,3& 2 και Η νε- ' 2 πέρεια λογαριθµική συνάρτηση είναι κοίλη στο, Συνεπάγεται λοιπόν ότι: το οποίο δίνει Η ισότητα συµβαίνει όταν για 3 για 3 3 3>3 ιότι η νεπέρεια λογαριθµική συνάρτηση δεν αποτελείται από ευθ τµήµατα σε κανένα διάστηµα ϑετικού µήκους στο Παράδειγµα 3 Αποδείξτε την ανίσωση ανάµεσα στο αριθµητικό και στο τετραγωνικό µέσο ηλαδή αν D,3( 3,3& τυχαίοι πραγµατικοί τότε:

Απόδειξη : Η συνάρτηση B είναι κυρτή, άρα: Παράδειγµα 4 Εστω,3( 3,3& πραγµατικοί στο διάστηµα 0 243>!5 έτσι ώστε Αποδείξτε ότι 4 : Απόδειξη : Η συνάρτηση B ή ακόµα:?? *? Από την ανίσωση των Cauchy-Schwarz: έχουµε το ητούµενο Παράδειγµα 5 Εστω 3&;<3 F1 είναι κυρτή στο 0 243>!5 Αρα: * F1 B πραγµατικοί έτσι ώστε 2 3&;<3 Αποδείξτε ότι: ; @ ; I;?!?;>! C 5 Απόδειξη : Θεωρώ την συνάρτηση: '3&;<3 E ; @ ; I I;!I ;>!I η οποία είναι κυρτή γιατί η 2 για κάθε µεταβλητή που ανήκει σ έναν κύβο του Για παράδειγµα, η δεύτερη παράγωγος ως προς είναι η: ; 'I @ 'I; που είναι ϑετική για κάθε Η συνάρτηση '3&;<3 έχει µέγιστο σε µια από τις κορυφές του κύβου, δές Σηµείωση 14 (2) Αυτό περατώνει την απόδειξη 4 Ολυµπιάδα Κίνας 199 5 Ολυµπιάδα Ηνωµένων Πολιτειών 190 % 9

Παράδειγµα 6 (Ανισότητα Hölder 6 ) Εστω οι αυστηρώς ϑετικοί πραγµατικοί,3( 3,3&3 >3 3,3 3(3; µε I+; Τότε: Η ισότητα ισχύει αν και µόνον αν τα δύο διανύσµατα 'D,3& 3,3& και >3 3,3 είναι ανάλογα στο 7 Απόδειξη : Θέτω και Εχουµε λοιπόν: επειδή η συνάρτηση ' ' είναι κοίλη στο και η εκθετική είναι αύξουσα στο Παράδειγµα 7 Εστω 3&;<3 ότι: I; ;?% ισχύει η ισότητα Απόδειξη 1: Εφαρµόζουµε τον µετασχηµατισµό Ravi 9 : < ; τα µήκη των πλευρών ενός τριγώνου Αποδείξτε και ϐρείτε πότε ;*I ; % ; µε 33 2 Η πρός απόδειξη ανισότητα γράφεται: 4 7 I 7I 7 Αλλά η συνάρτηση ' είναι κοίλη, άρα '7 6 Γερµανός Μαθηµατικός, 159-1937 7 Αν τότε έχουµε την ανισότητα Cauchy-Schwarz Ολυµπιάδα Ασίας 1996 9 Ο µετασχηµατισµός του Ravi : Αν ητάµε να αποδείξουµε µία ανίσωση µεταξύ των πλευρών ενός τριγώνου, είναι χρήσιµο να µετασχηµατίσουµε την συγκεκριµένη γεωµετρική ανίσωση σε µία αλγεβρική Ο εν λόγω µετασχηµατισµός κάνει αυτή τη µετατροπή Εστω και τα σηµεία εφαρµογής του εγγεγραµµένου κύκλου στις πλευρές και αντίστοιχα, ϑέτω, και! Ο µετασχηµατισµός του Ravi αντικαθιστά τις πλευρές του τριγώνου µε τους ϑετικούς πραγµατικούς και είναι ο εξής : 10

ή ακόµα 7 : 7 7 Προσθέτοντας τις τρείς ανισώσεις έχουµε: 4 7 I 7I 7 Απόδειξη 2: ίνουµε στη συνέχεια µία αισθητικότερη απόδειξη τόυ ίδιου παραδείγµατος Εφαρµόζωντας τον µετασχηµατισµό Ravi, όπως και προηγουµένως, η προς απόδειξη σχέση γίνεται: 7 I 7 I µε 33 2 Θεωρούµε το παρακάτω τετράγωνο πλευράς διαγώνιος του είναι η4'7i Εύκολα καταλήγουµε στη σχέση (1) Τότε η Σχ 2 Παράδειγµα Για κάθε του αθροίσµατος: 2, N, ορίζουµε σαν την ελαχίστη τιµή 11

όπου,3( 3,3( είναι πραγµατικοί αριθµοί αυστηρώς ϑετικοί των οποίων το άθροισµα είναι 17 Υπάρχει ένα µοναδικό για το οποίο το είναι επίσης ϕυσικός Προσδιορίστε το Απόδειξη : Επειδή ' είναι κυρτή, έχουµε: + Η ισότητα συµβαίνει αν και µόνο αν: η ελάχιστη τιµή του Αν E N 1 Ä F / =3 3 3,3 Συνεπάγεται ότι το είναι B N :! 37 F 243 / Παράδειγµα 9 1 είξτε ότι: ηµ ; ηµ?; ηµ ηµ ; 2 Εστω 0 2435) µε ' ηµ (α ) είξτε ότι η είναι κυρτή στο 0 2435 (ϐ ) είξτε ότι αν ') τότε 7 3 Εστω συνάρτηση δύο ϕορές παραγωγίσιµη στο µε ' 2 (α ) Εστω σχέση: ένας πραγµατικός και ' συνάρτηση ορισµένη απο την ' '' είξτε ότι η είναι παραγωγίσιµη στο Υπολογίστε την ' (ϐ ) Αν E δείξτε ότι ' 2 (γ ) Αν δείξτε ότι ' @2 (δ ) Απο τα προηγούµενα, ϐρείτε το πρόσηµο της ' καθώς και το είδος της κυρτότητας της συνάρτησης 12

6 9 9 4 Εστω ' ηµ ηµ Τότε: (α ) ' συν @ συν (ϐ ) Μελετήστε τη µεταβολή της ' στο 0 243 5 - (γ ) είξτε ότι E?0 243 5 τότε ' 3I και 6 σταθερό σηµείο του Εστω τρείς πραγµατικοί?0 2435, έτσι ώστε I; Εστω 9 και G σηµείο 3I µε 9H, G ; και G 5 Εστω κύκλος αριθµοί 3;<3 τον Απόδειξη : 1 2 (α ) (α ) είξτε ότι η περίµετρος C ηµ ηµ ; ηµ I; (ϐ ) είξτε ότι: του τριγώνου 6%97G δείνετε απο τη σχέση: ' ;> (γ ) Ποιά είναι η ϑέση των σηµείων 6, 9 και G ώστε το τρίγωνο 6%97G να έχει την µεγίστη περίµετρο 10 ηµ I; * ηµ ' 7 7?; ηµ I; συν 7?; ηµ συν συν ; ηµ ; ηµ ηµ ; ηµ ηµ 7 ηµ ηµ 7 * ηµ ηµ ηµ ηµ Επειδή : 2 και 2 F είναι 2 F? 2 / ηµ ') 7 @2 Αρα, ' κυρτή 10 ές Ασκήσεις Γεωµετρίας (ΙΗΣΟΥΙΤΩΝ), Τόµος ΙΙ Πρόβληµα 29 (1067) ή Τόµος ΙΙΙ Πρόβληµα 612 (1705), Εκδόσεις Π ΧΙΩΤΕΛΛΗ 13

(ϐ ) Θα δείξω ότι 7 Αν 2 Αρα: ηµ 7 ') ') 2I ηµ 7 2 ή ηµ ηµ Αν ηµ 7 2 2 ή E 2 ή B 2 ή B Αδύνατο Αν 2E και @ H2, τότε B Ετσι ηµ 2 2 B, Αδύνατο Αρα: ') 3 (α ) Η είναι παραγωγίσιµη σαν άθροισµα παραγωγισίµων συναρτήσεων (ϐ ) 1 (επειδή ' ' 7 2 ) Αρα: ' C2 7 ' Αλλά ' στο ' 7 ' 2 (γ ) Οµοίως αν 7 και ' 2, έχω ' @2 (δ ) Επειδή ' I ' ' 2, αν @ έχω ' ' Αντιστρόφως αν έχω ' @2 ή ' Αρα ' @2 για κάθε E Εποµένως αφού για ένα ισχύει ' @2 -, τότε : ' ' @2 4 (α ) Η είναι κυρτή ' συν συν συν συν συν συν συν συν (ϐ ) Επειδή 2 2, άρα συν 2 συν C 2 Επίσης, αν συν + 2 συν 2 ή 14

συν Μέγιστο για : 243 Επίσης συν + 2 2 ' 2, τότε και ' - F+0 243 5 3 <%? 5 (α ) Στο τρίγωνο 6%9, έχω απο το γενικευµένο πυθαγώρειο ϑεώρηµα: 6%9 6 9 6 9 συν * συν =3 :?0 2435 ηµ Αρα, 6%9H ηµ, συνεπώς: C ηµ ; ηµ I; ηµ (ϐ ) Αλλά από4 F I; ηµ I+; ηµ ;> (γ ) Από < της ) ηµ ηµ ; ηµ I; % ': (δ ) Αρα το γίνεται µέγιστο όταν ή '7@;>I ή 1; και Οµοίως απο κυκλική µετάθεση συνεπάγεται τελικά ότι το τρίγωνο µε τη µέγιστη περίµετρο είναι το ισόπλευρο τρίγωνο αφού: ; 15