Σηµειώσεις ιαφορικές Εξισώσεις- Μετασχηµατισµός Lplce- Σειρές Fourier Nικόλαος Aτρέας ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ 4
Περιεχόµενα Κεφάλαιο Επισκόπηση γνωστών εννοιών Σειρές πραγµατικών αριθµών Σειρές συναρτήσεων 3 Γενικευµένα ολοκληρώµατα 4 Μιγαδικοί αριθµοί 5 Βασικοί τύποι τριγωνοµετρίας Τριγωνοµετρικά ολοκληρώµατα Κεφάλαιο Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις ης τάξης Εισαγωγή και βασικές έννοιες Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις ης τάξης Θεωρήµατα ύπαρξης και µοναδικότητας για διαφορικές εξισώσεις ης τάξης και ου βαθµού Γραµµικές διαφορικές εξισώσεις ης τάξης 3 Μη Γραµµικές διαφορικές εξισώσεις ης τάξης 3 ιαφορικές εξισώσεις χωριζοµένων µεταβλητών 3 Οµογενείς διαφορικές εξισώσεις 33 Πλήρεις διαφορικές εξισώσεις 34 Ολοκληρωτικοί παράγοντες 35 ιαφορικές εξισώσεις Beroulli και Rictti 36 ιαφορικές εξισώσεις Lgrge και Clirut 37 Iδιάζουσες λύσεις διαφορικής εξίσωσης 3 ιαφορικές εξισώσεις ης τάξης και ανώτερου βαθµού Κεφάλαιο 3 Γραµµικές διαφορικές εξισώσεις ης τάξης 3 Γραµµικές διαφορικές εξισώσεις ης τάξης µε µεταβλητούς συντελεστές 3 Οµογενείς Γραµµικές διαφορικές εξισώσεις ης τάξης 3 Μερική λύση της µη οµογενούς γραµµικής δε ης τάξης Η µέθοδος µεταβολής των σταθερών 3 Γραµµικές διαφορικές εξισώσεις ης τάξης µε σταθερούς συντελεστές 3 Οµογενείς Γραµµικές διαφορικές εξισώσεις ης τάξης µε σταθερούς συντελεστές 3 Μερική λύση µη οµογενούς γραµµικής διαφορικής εξίσωσης ης τάξης µε σταθερούς συντελεστές Η µέθοδος των προσδιοριστέων συντελεστών 33 Η µέθοδος των δυναµοσειρών ιαφορικές εξισώσεις Bessel
34 ιαφορικές εξισώσεις ανώτερης τάξης 35 Εφαρµογές Κεφάλαιο 4 Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων 4 Εισαγωγή 4 Μέθοδοι επίλυσης 4 Η µέθοδος απαλοιφής 4 Eπίλυση µε χρήση θεµελιώδους πίνακα 4 Οµογενή συστήµατα 4 Μη οµογενή συστήµατα Η µέθοδος µεταβολής των σταθερών 43 Eιδική περίπτωση: Γραµµικά συστήµατα διαφορικών εξισώσεων µε σταθερούς συντελεστές Mέθοδος πινάκων (Euler) Κεφάλαιο 5 Ο µετασχηµατισµός Lplce 5 Εισαγωγή 5 Ο µετασχηµατισµός Lplce 53 Ιδιότητες του µετασχηµατισµού Lplce 54 Ο αντίστροφος µετασχηµατισµός Lplce 55 Εφαρµογή του µετασχηµατισµού Lplce στην επίλυση διαφορικών και ολοκληρωτικών εξισώσεων 56 Ο τελεστής Dirc Κεφάλαιο 6 Eισαγωγή στις σειρές Fourier και εφαρµογές στις µερικές διαφορικές εξισώσεις 6 Εισαγωγή 6 Οι σειρές Fourier 63 Εφαρµογές των σειρών Fourier στην επίλυση µερικών διαφορικών εξισώσεων 63 Βασικές έννοιες µερικών διαφορικών εξισώσεων 63 Η µέθοδος χωρισµού των µεταβλητών 3
Κεφάλαιο Επισκόπηση γνωστών εννοιών Σειρές πραγµατικών αριθµών Εστω µια ακολουθία = { }, N Μια έκφραση της µορφής + + + + + 3 καλείται άπειρη σειρά N ιοστό µερικό άθροισµα της σειράς καλούµε την ακολουθία S N N = = Αν η ακολουθία των µερικών αθροισµάτων S N συγκλίνει σε πραγµατικό αριθµό S όταν N, τότε λέµε ότι η σειρά συγκλίνει στο S και γράφουµε = S = Οταν η σειρά δεν συγκλίνει λέµε ότι αποκλίνει Παράδειγµα (i) Αν r όπου r <, τότε = N+ N+ r r r SN = = r, N r r r r και άρα S = r Αν r, τότε η σειρά αποκλίνει (ii) Αν =( ) +, τότε έχουµε οπότε η σειρά αποκλίνει S N = = ρτιος, = περιττος Υπενθυµίζουµε το ακόλουθο: 4
Θεώρηµα Αν <, τότε lim = = Το αντίστροφο του παραπάνω θεωρήµατος δεν ισχύει Θεώρηµα Αν = <, τότε < = Θεώρηµα 3 (Κριτήριο σύγκρισης) Εστω b > k Τότε: b < < = = = + b = + = = Θεώρηµα 4 (Κριτήριο D Alembert) Εστω > k Tότε: lim = λ < < + + Aν = + Αν lim = λ > =+ + = Για λ = το κριτήριο δεν δίνει συµπέρασµα Θεώρηµα 5 (Κριτήριο ρίζας Cuchy) Εστω > k Tότε: Aν lim = λ < < + = Αν lim = λ > = + = Για λ = το κριτήριο δεν δίνει συµπέρασµα 5
Σειρές Συναρτήσεων f, =,,3,, είναι µια ακολουθία συναρτήσεων που ορίζονται σ ένα υποσύνολο E της πραγµατικής ευθείας Αν η ακολουθία πραγµατικών αριθµών { f ( x )} συγκλίνει για κάθε x E, τότε ορίζεται η συνάρτηση Ορισµός Έστω { } f : E : f x = lim f x, () η οποία καλείται οριακή συνάρτηση της ακολουθίας { f } στο E Αν ισχύει η () θα λέµε ότι η ακολουθία { f } συγκλίνει σηµειακά στη συνάρτηση f στο σύνολο E Οµοίως, αν η αριθµητική σειρά f ( x) τότε ορίζεται η συνάρτηση συγκλίνει για κάθε x E = =, g: E : g( x) f ( x), () = = η οποία καλείται άθροισµα της σειράς f ( x) Θα εξετάσουµε ποιες ιδιότητες της ακολουθίας συναρτήσεων { f } «κληρονοµούνται» στην οριακή συνάρτηση f Για παράδειγµα, αν οι συναρτήσεις f είναι συνεχείς, ή παραγωγίσιµες, µπορούµε να πούµε ότι ισχύει το ίδιο και για την οριακή συνάρτηση f ; Επίσης, θα εξετάσουµε πότε ισχύει η σχέση b = lim b lim f x dx f x dx, υπό την προϋπόθεση φυσικά ότι η ακολουθία των συναρτήσεων f είναι ολοκληρώσιµη στο προς ολοκλήρωση σύνολο Παράδειγµα Εστω f x = x x x =,,,,3, 6
k Eπειδή ( λ ) lim =, λ <, k =,,, έχουµε Επίσης () ( ] lim f ( x) =, x, f =, άρα lim f ( x), x [,] = Τελικά: lim f x dx= Aπ την άλλη µεριά, χρησιµοποιώντας τη µέθοδο της αντικατάστασης παίρνουµε οπότε + x( x ) dx= ( x ) d( x ) =, lim f lim x dx= = + Κατά συνέπεια, το όριο του ολοκληρώµατος δεν ισούται πάντα µε το ολοκλήρωµα του ορίου, ακόµα και αν τα δυο όρια είναι πεπερασµένα Ορισµός Θα λέµε ότι µια ακολουθία συναρτήσεων { f }, =,,3, που ορίζονται σ ένα υποσύνολο E της πραγµατικής ευθείας συγκλίνει οµοιόµορφα σε µια συνάρτηση f στο E, αν για κάθε ε >, υπάρχει φυσικός αριθµός N, τέτοιος ώστε για κάθε N να ισχύει f, x f x < ε x E Οµοίως, θα λέµε ότι η σειρά f ( x) συγκλίνει οµοιόµορφα σε µια = συνάρτηση g στο σύνολο E, αν η ακολουθία των µερικών αθροισµάτων N SN( x) = f( x) συγκλίνει οµοιόµορφα στο E = 7
Τα ακόλουθα κριτήρια είναι πολύ χρήσιµα για την οµοιόµορφη σύγκλιση ακολουθιών συναρτήσεων ή σειρών συναρτήσεων: Θεώρηµα 6 Eστω f x f ( x) lim = σηµειακά στο E Aν M = sup f ( x) f( x), x E τότε lim + f = f οµοιόµορφα στο E αν και µόνον αν lim M = + Θεώρηµα 7 (M-test Weierstrss) Eστω { f } είναι µια ακολουθία πραγµατικών συναρτήσεων που ορίζονται στο σύνολο E Αν και f ( x) M, x E, =,,3,, M <, = τότε η σειρά συναρτήσεων f συγκλίνει οµοιόµορφα στο E = Σηµείωση Το αντίστροφο δεν ισχύει Θεώρηµα 8 Εστω { f } είναι µια ακολουθία συνεχών (παραγωγίσιµων) πραγµατικών συναρτήσεων που ορίζονται στο σύνολο E Αν lim f = f οµοιόµορφα στο E, τότε και η οριακή + συνάρτηση f είναι συνεχής (παραγωγίσιµη) στο E Μάλιστα, αν { f } είναι ακολουθία παραγωγίσιµων συναρτήσεων, τότε lim f x = f x Θεώρηµα 9 Εστω { f } είναι µια ακολουθία ολοκληρώσιµων πραγµατικών συναρτήσεων που ορίζονται σε κλειστό διάστηµα [ b, ] Αν lim f = f οµοιόµορφα στο E, τότε και η οριακή + συνάρτηση f είναι ολοκληρώσιµη στο E και ισχύει = lim = b b b lim f x dx f x dx f x dx 8
3 Γενικευµένα ολοκληρώµατα Ορισµός 3 Εστω > Θα λέµε ότι µια πραγµατική συνάρτηση, + αν η f είναι ολοκληρώσιµη σε f είναι ολοκληρώσιµη στο [ ) κάθε διάστηµα [ c, ] [, ) ολοκλήρωµα της f + και το γενικευµένο (ή µη γνήσιο) clim c f + xdx υπάρχει ή όπως λέµε συγκλίνει σε κάποιο πραγµατικό αριθµό Τότε γράφουµε + f ( x) dx< + Αν f f στο [, ) x dx= ±, τότε λέµε ότι το γενικευµένο ολοκλήρωµα της + αποκλίνει Ορισµός 4 Θα λέµε ότι η f είναι απόλυτα ολοκληρώσιµη στο [, + ) αν + f x dx< Για τη µελέτη της σύγκλισης γενικευµένων ολοκληρωµάτων υπενθυµίζουµε το ακόλουθο κριτήριο σύγκρισης: Πρόταση Εστω f, g είναι ολοκληρώσιµες σε κάθε διάστηµα [ c, ] [, + ) Αν f x g x x>, τότε + + g x dx< f x dx< Πόρισµα Αν f είναι απόλυτα ολοκληρώσιµη στο [, + ) τότε είναι ολοκληρώσιµη στο [, + ) Παρατηρήσεις (α) Ανάλογα αποτελέσµατα ισχύουν και για το,b : γενικευµένο ολοκλήρωµα της f στο ( ] b b =, ( < ) f x dx lim f x dx b c c 9
(β) Αν µια πραγµατική συνάρτηση f : είναι ολοκληρώσιµη σε κάθε διάστηµα [ M, N] (, ), όπου NM, είναι τυχαίοι θετικοί πραγµατικοί αριθµοί και είναι τέτοια ώστε + < και N f x dx M f x dx <, τότε λέµε ότι η f είναι ολοκληρώσιµη στο και γράφουµε + f x dx< Παράδειγµα Θα υπολογίσουµε τα γενικευµένα ολοκληρώµατα: dx + x + dx b π dx = = [ τοξεφ x] = τοξεφ ( b) = + x + x + b lim lim lim b + b + b + x edx x x x b edx = lim edx = lim e = e lim e = = b b b b b + + dx x dx b dx b = lim = lim [ l x] = lim lb l =+ =+ x x b + b + b +
4 Μιγαδικοί αριθµοί Το σύνολο {( x, y) : x, y } όλων των διατεταγµένων ζευγών πραγµατικών αριθµών στο οποίο έχουν ορισθεί οι πράξεις ( x, y ) + ( x, y ) = ( x + x, y + y ), k ( x, y ) = ( k x, k y ), k, ( x, y ) ( x, y ) = ( x x y y, x y + x y ), καλείται σύνολο των µιγαδικών αριθµών και συµβολίζεται µε Τα στοιχεία του καλούνται µιγαδικοί αριθµοί, συµβολικά = ( x, y) = και = αντιστοιχεί στο άθροισµα των αντιστοίχων x y, ενώ το γινόµενό k αντιστοιχεί στο γινόµενο πραγµατικού αριθµού k µε διάνυσµα που έχει καρτεσιανές συντεταγµένες x, y Αναφέρουµε εδώ ότι στο σύνολο ισχύουν όλες οι Γεωµετρικά το άθροισµα δύο µιγαδικών αριθµών ( x, y) ( x, y) διανυσµάτων µε καρτεσιανές συντεταγµένες ( x, y ) και (, ) γνωστές ιδιότητες της πρόσθεσης και του πολ/σµού και ορίζονται και οι πράξεις της αφαίρεσης και διαίρεσης Προφανώς υπάρχει µια απεικόνιση του επί του επιπέδου θεωρώντας ότι κάθε µιγαδικός αριθµός έχει καρτεσιανές συντεταγµένες x και y Κάθε µιγαδικός της µορφής ( x,) παριστάνει έναν πραγµατικό αριθµό x, συνεπώς ο οριζόντιος άξονας x x στη γεωµετρική παράσταση του παριστάνει την πραγµατική ευθεία Οσον αφορά τον άξονα yy που παράγεται από το µοναδιαίο διάνυσµα (, ), παρατηρούµε ότι Ο µιγαδικός αριθµός (,) (,) = (,) =, συµβολίζεται µε i, καλείται φανταστική µονάδα και ο άξονας yy καλείται φανταστικός άξονας Κάθε µιγαδικός αριθµός της µορφής
(, y) = y (,) = y i καλείται φανταστικός αριθµός Προφανώς ισχύει η σχέση i = (,) (,) = (,) = Με βάση τα παραπάνω κάθε µιγαδικός αριθµός = ( x, y) µπορεί να γραφεί ως = ( x, y) = ( x,) + (, y) = x (,) + y (,) = x + y i= x+ iy Η γραφή = x+ iy, καλείται κανονική ή αλγεβρική γραφή του Η τετµηµένη x καλείται πραγµατικό µέρος του και συµβολίζεται µε Re( ), η τεταγµένη y καλείται φανταστικό µέρος του και συµβολίζεται µε Im( ) και το επίπεδο της γεωµετρικής αναπαράστασης του καλείται µιγαδικό επίπεδο Tο σύνολο των µιγαδικών αριθµών µπορεί να επεκταθεί εισάγοντας το σύµβολο στο µιγαδικό επίπεδο Τότε ορίζουµε το επεκτεταµένο µιγαδικό επίπεδο έτσι ώστε: = { } += ( ) και =, = για κάθε και = = για κάθε Εστω = x+ iy είναι µιγαδικός αριθµός Τότε ο µιγαδικός αριθµός = x iy καλείται συζυγής του
Καλούµε µέτρο του µιγαδικού αριθµού = x+ iy τo µη αρνητικό αριθµό = x + y Γεωµετρικά ο αριθµός παριστάνει την απόσταση του = ( x, y) ως σηµείου του µιγαδικού επιπέδου από την αρχή των αξόνων και συµπίπτει µε τη συνήθη απόλυτη τιµή όταν y = Πολική ή Τριγωνοµετρική µορφή µιγαδικού Έστω ρ > και θ είναι οι πολικές συντεταγµένες σηµείου A = ( xy, ) του (µιγαδικού) επιπέδου που αντιστοιχεί στο µιγαδικό αριθµό = x+ iy Επειδή x = ρσυνθ και y = ρηµθ, ο µιγαδικός µπορεί να γραφεί ως = x+ iy= ρ συνθ + iηµθ Είναι γνωστό ότι ρ x y = = + Τότε ( συνθ ηµθ ) = + i και έτσι παίρνουµε την πολική ή τριγωνοµετρική µορφή του Λαµβάνοντας υπόψη την περιοδικότητα των συναρτήσεων ηµ x και συν x η παραπάνω ισότητα παίρνει τη µορφή ( συν θ π ηµ θ π ) = ( + k ) + i ( + k ), k Για δοθέν θ τέτοιο ώστε = ( συνθ + i ηµθ ), τo σύνολο των γωνιών rg = θ + kπ : k { } καλείται όρισµα του, συµβολικά rg( ) Ορισµα δεν ορίζεται για το µιγαδικό αριθµό = Αν Ο είναι η αρχή των αξόνων και A είναι εκείνο το σηµείο στο µιγαδικό επίπεδο που αντιστοιχεί στο µιγαδικό αριθµό, γεωµετρικά το rg( ) είναι κάθε γωνία σε ακτίνια την οποία σχηµατίζει ο θετικός ηµιάξονας των πραγµατικών αριθµών µε το τµήµα OA Σηµείωση Στο εξής θα λέµε ότι η γωνία θ διαγράφεται µε τη θετική 3
φορά αν η γωνία θ διαγράφεται από το θετικό ηµιάξονα των πραγµατικών αριθµών προς την ηµιευθεία OA αντιωρολογιακά Αν η φορά διαγραφής από το θετικό ηµιάξονα των πραγµατικών αριθµών προς την ηµιευθεία OA είναι η ωρολογιακή, γράφουµε θ Από τα παραπάνω γίνεται σαφές ότι το rg( ) παίρνει άπειρες τιµές που όµως διαφέρουν κατά ακέραιο πολλαπλάσιο του π rg υπάρχει Μεταξύ των επιµέρους στοιχείων του συνόλου ακριβώς ένα στοιχείο που ανήκει στο διάστηµα ( π, π ] (ή στο [,π ) ) Αυτό το στοιχείο καλείται πρωτεύουσα τιµή του ορίσµατος ή πρωτεύον όρισµα και συµβολίζεται µε Arg( ) Ο τύπος του Euler x x x x Είναι γνωστό ότι e = + + + + + Αν δεχθούµε ότι η!!! παραπάνω ισχύει για x = iy, y, όπου i είναι η φανταστική µονάδα, τότε έχουµε: 3 4 iy iy ( iy) ( iy) e = + + + + + = + iy y i y + y +!!!! 3! 4! 4 6 3 5 7 y y y y y y = + + i y + +! 4! 6! 3! 5! 7! = συν y+ i ηµ y, όπου τα δεξιά µέλη της προτελευταίας ισότητας είναι τα αναπτύγµατα McLuri των συναρτήσεων συν y και ηµ y αντίστοιχα Οδηγούµαστε λοιπόν στον εξής ορισµό (τύπος Euler): iy Προφανώς e = y iy e = συν y+ i ηµ y, y iy Η γεωµετρική ερµηνεία του y,π iy τότε η e διαγράφει το µοναδιαίο κύκλο µε κέντρο το (,) e είναι προφανής: Αν το [ ) 4
στο µιγαδικό επίπεδο κατά τη θετική φορά Για y επαναδιαγράφουµε το µοναδιαίο κύκλο άπειρες φορές Από τον παραπάνω ορισµό γίνεται σαφές ότι κάθε µιγαδικός αριθµός = ( συνφ + i ηµφ) µπορεί να γραφεί ως iφ i = e φ Αν j j = j e, j =, είναι δύο µη µηδενικοί µιγαδικοί αριθµοί, τότε: = = και φ = φ kπ +, k i e φ = Με άλλα λόγια ο συζυγής = x iy ενός µιγαδικού αριθµού = x+ iy παριστάνει στο µιγαδικό επίπεδο το συµµετρικό του = x, y ως προς τον πραγµατικό άξονα Επίσης: σηµείου i = e φ + φ Με άλλα λόγια το γινόµενο δύο µιγαδικών αριθµών, είναι ένας νέος µιγαδικός αριθµός µε µέτρο ίσο µε το γινόµενο των µέτρων των, και όρισµα rg( ) = rg + rg * Για κάθε ορίζουµε τη δύναµη µιγαδικού (µε εκθέτη ακέραιο) ως εξής: = και { } =, -φορές = ( ) Ισχύει ο τύπος του Moivre: ( συν ( φ ) ηµ ( φ )) iφ = e = + i, 5
Μιγαδικές συναρτήσεις Εστω A, B και f : A B είναι µια απεικόνιση τέτοια ώστε σε κάθε µιγαδικό αριθµό A να αντιστοιχεί µοναδικός µιγαδικός αριθµός w= f Λέµε τότε ότι η f είναι µια µιγαδική συνάρτηση µε πεδίο ορισµού το σύνολο A και πεδίο τιµών το σύνολο f A = w : w= f { } Συνδυάζοντας τον παραπάνω ορισµό µε τη γεωµετρική παράσταση των µιγαδικών αριθµών προκύπτει ότι µια µιγαδική συνάρτηση απεικονίζει σηµεία του µιγαδικού επιπέδου σε σηµεία του µιγαδικού επιπέδου w Εφόσον = x+ iy, ( xy, ), είναι φανερό ότι µια µιγαδική συνάρτηση f µπορεί να γραφεί ως όπου f = f( x+ iy) = uxy, + ivxy, = Re f + iim f, uv, : A είναι πραγµατικές συναρτήσεις δυο µεταβλητών Για παράδειγµα αν f =, τότε άρα u( x, y) = x y και v( x y) f = x+ iy = x y + i xy,, = xy Οι πράξεις µε µιγαδικές συναρτήσεις ορίζονται όπως συνήθως Για παράδειγµα αν b, και f : E, g: E, τότε για κάθε E E ορίζουµε ( f ± b g) = f ± b g, ( f g) = f g, ενώ για κάθε E E { E E g } : = ορίζουµε f g = f g 6
Μια µιγαδική συνάρτηση f : A B καλείται φραγµένη αν το πεδίο τιµών της f ( A ) είναι φραγµένο σύνολο στο, δηλαδή υπάρχει θετική σταθερά C τέτοια ώστε να ισχύει f Η Εκθετική συνάρτηση C για κάθε A Αν = x+ iy,( x, y ) είναι ένας µιγαδικός αριθµός, ορίζουµε την εκθετική συνάρτηση ως εξής: Τότε: e = e e x iy + (α) e = e e (β) Για κάθε ισχύει e (γ) e = e = + π i, (δηλαδή η περιοδική) e είναι π i - (δ) e = = π i, (ε) (στ) e e = e e = e Αν f : E : f = u( x, y) + iv( x, y), = x + iy είναι σηµείο συσσώρευσης του E και = u + iv, τότε Ειδικά αν =, τότε: lim f = ( xy, ) ( x, y) ( xy, ) ( x, y) lim Re f = u lim Im f = v και lim f = lim f = 7
lim f = lim f = Προφανώς αν lim f f ( ) σηµείο =, τότε η f καλείται συνεχής στο Οµοίως, αν g: E : f () t = u() t + iv() t, t είναι σηµείο συσσώρευσης του E και = u + iv, τότε ( ) () limre g t = limu t = u t t t t lim g() t = t t limim( g t ) = limv() t = v t t t t Ειδικά αν t =±, τότε ισχύει: Αν lim g() t g ( t ) t t lim g() t = lim g() t = t ± t ± =, τότε η g καλείται συνεχής στο σηµείο t Αν η g είναι συνεχής σ όλα τα σηµεία το συνόλου E τότε καλείται συνεχής στο E () Re Im( ) Αν Re( g ) και gt = gt + i gt, όπου οι πραγµατικές συναρτήσεις Im g είναι το πραγµατικό και φανταστικό µέρος της g αντιστοίχως, τότε ( ) () () g () t = Re g t + i Im g t, υπό την προϋπόθεση ότι οι Re( g ) και συναρτήσεις στο t Im g είναι παραγωγίσιµες Τέλος, αν η g είναι συνεχής συνάρτηση στο [ b, ], τότε ορίζουµε = Re + Im b b b g t dt g t dt i g t dt 8
5 Βασικοί τύποι της τριγωνοµετρίας Tριγωνοµετρικά ολοκληρώµατα Στην παράγραφο αυτή υπενθυµίζουµε µερικούς τύπους τριγωνοµετρίας για την ευκολότερη κατανόηση των εποµένων παραγράφων si x = si x cos x cos x = cos x si x= si x= cos x x + y x y si x+ si y= si cos x y x+ y si x si y= si cos x + y x y cos x+ cos y= cos cos x + y y x cos x cos y= si si Επίσης αν m, είναι φυσικοί αριθµοί, τότε έχουµε: T π x cos dx = T T και T si π x dx = T T T πx mπx m si si dx T = T T T = m T πx mπx m cos cos dx T = T T T = m T πx mπx si cos dx T = T T Οι αποδείξεις είναι εύκολες µε χρήση των τύπων τριγωνοµετρίας 9