1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1. Πότε µια συνάρτηση f σε ένα διάστηµα του πεδίου ορισµού της λέγεται γνησίως αύξουσα και πότε γνησίως φθίνουσα; 2. Να αποδείξετε ότι η παράγωγος της συνάρτησης = x είναι f (x) = 1. 3. Να αποδείξετε ότι η παράγωγος της σταθερής συνάρτησης = c είναι ίση µε 0. 4. Να δώσετε τον ορισμό της συνέχειας μιας συνάρτησης f στο σημείο x0 του πεδίου ορισμού της. 5. Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο ΙR. και c πραγματική σταθερά. Να αποδείξετε ότι (c ) =c f (x), x ΙR. 6. Πότε μια συνάρτηση f λέμε ότι είναι παραγωγίσιμη στο σημείο x0 του πεδίου ορισμού της; 7. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο R, να αποδείξετε ότι ( + g(x)) = f (x) + g (x), x R 8. Έστω μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α. Πότε λέμε ότι η συνάρτηση f παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο στο x0 Α ; 9. Πότε μια συνάρτηση λέγεται γνησίως μονότονη σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της; 10. Έστω μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού A. Πότε λέμε ότι η συνάρτηση f παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στο x1 A ; 11. Πότε λέμε ότι υπάρχει το όριο μιας συνάρτησης στο x0 και είναι πραγματικός αριθμός; Πως το συμβολίζουμε; 12. Ποιές είναι οι ιδιότητες του ορίου συνάρτησης; 13. Να αναφέρετε τους βασικούς κανόνες παραγώγισης. 14. Να αναφέρετε τους βασικούς τύπους παραγώγισης.
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟ-ΛΑΘΟΣ 2 1. Ισχύει (f(g(x))) = f (g(x)). g (x) όπου f, g παραγωγίσιµες συναρτήσεις. 2. Ισχύει όπου f, g παραγωγίσιμες συναρτήσεις. 3. Μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α, λέμε ότι παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στο x0 A, όταν f(x0) για κάθε x σε μια περιοχή του x0. 4. Για κάθε x 0 ισχύει: 5. Αν για μια συνάρτηση f ισχύουν f (x0)=0 για x0 (α,β), f (x)>0 στο (α,x0) και f (x)<0 στο (x0,β), τότε η f παρουσιάζει στο διάστημα (α,β) για x=x0 ελάχιστο. 6. Αν xο είναι ένας πραγματικός αριθμός τότε 7. Για το γινόμενο δύο παραγωγίσιμων συναρτήσεων f, g ισχύει ότι 8. Για τη συνάρτηση =ημx ισχύει ότι 9. Αν οι συναρτήσεις f, g έχουν στο x0 όρια πραγματικούς αριθμούς, τότε 10. Για κάθε x>0 ισχύει 11. Η ταχύτητα ενός κινητού που κινείται ευθύγραμμα και η θέση του στον άξονα κίνησής του εκφράζεται από τη συνάρτηση x=f(t), τη χρονική στιγμή t0 είναι υ(t0)=f (t0) 12. Μια συνάρτηση f λέγεται γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε σημεία x1, x2 με x1<x2 ισχύει f(x1) < f(x2) 13. Η παράγωγος της f στο x0 εκφράζει το ρυθμό μεταβολής του y = ως προς x, όταν x = x0. 14.
15. 3 16. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο σημείο x0. Ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f στο σημείο της ( x0, f(x0) ) είναι f (x0). 17. 18. 19. Αν μια παραγωγίσιμη συνάρτηση f παρουσιάζει ακρότατο στο διάστημα (α,β) για x=x0, τότε ισχύει f (x0)=0. 20. Αν για μια παραγωγίσιμη συνάρτηση f ισχύει f (x0)=0, τότε η f παρουσιάζει ακρότατο για x=x0. 21. Αν η f (x) διατηρεί σταθερό πρόσημο στο διάστημα (α,β), τότε η f δεν παρουσιάζει ακρότατο στο (α,β). 22. Αν μια παραγωγίσιμη συνάρτηση f παρουσιάζει ακρότατο στο διάστημα (α,β) για x=x0, τότε η εφαπτομένη της Cf στο x0 είναι παράλληλη στον άξονα x x. 23. Κάθε ευθεία της μορφής = αx + β έχει σταθερή μονοτονία. 24. Ο συντελεστής διεύθυνσης λ της εφαπτομένης (ε) της Cf στο σημείο της (x0,f(x0)) είναι λ=f (x0)
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ 4 1. ίνεται η συνάρτηση = x x 2 1. Α. Το πεδίο ορισµού της συνάρτησης είναι το σύνολο: α. R β. (-1,1) γ. R- {-1,1} δ. (1, + ) Β. Να αποδείξετε ότι f (x)<0 για κάθε x του πεδίου ορισμού της. Γ. Να υπολογίσετε το Δ. Να βρείτε τη γωνία που σχηµατίζει η εφαπτοµένη της γραφικής παράστασης της f στο σηµείο (0, f(0)) µε τον άξονα x x. 2. Δίνεται η συνάρτηση f µε τύπο. Α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f. Β. Να υπολογίσετε το 3. ίνεται η συνάρτηση f με τύπο Α. Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της f στο σημείο Λ(1,1). Β. Από τυχαίο σημείο Μ(x, y) της γραφικής παράστασης της f φέρνουμε παράλληλες ευθείες προς τους άξονες xx και yy, οι οποίες σχηματίζουν με τους ημιάξονες Οx, Oy ορθογώνιο παραλληλόγραμμο. Να βρεθούν οι συντεταγμένες του σημείου Μ, ώστε η περίμετρος του ορθογωνίου παραλληλογράμμου να είναι ελάχιστη. Γ. Οι τετμημένες πέντε διαφορετικών σημείων της εφαπτομένης του ερωτήματος (α) έχουν μέση τιμή x = 5 και τυπική απόκλιση sx = 2. Να βρεθεί η μέση τιμή y και η τυπική απόκλιση sy των τεταγμένων των σημείων αυτών. 4. Έστω η συνάρτηση Α. Aν η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης στο σημείο Α(1,f(1)) είναι παράλληλη στον άξονα x x, να αποδείξετε ότι k=2 και να βρείτε την εξίσωσή της. Β. Μία τυχαία μεταβλητή Χ ακολουθεί την κανονική κατανομή με μέση τιμή x = f(1) και τυπική απόκλιση s = - 2f (4). Τρεις παρατηρήσεις, αντιπροσωπευτικού δείγματος μεγέθους ν, είναι 13 μικρότερες ή ίσες του 8. i) Να βρείτε τον αριθμό των παρατηρήσεων που βρίσκονται στο διάστημα (10,16). ii) Να αποδείξετε ότι το δείγμα των παρατηρήσεων που έχει ληφθεί, δεν είναι ομοιογενές. Να βρείτε τη μικρότερη τιμή της παραμέτρου α>0, που πρέπει να προστεθεί σε κάθε μία από τις προηγούμενες παρατηρήσεις, ώστε το δείγμα των νέων παρατηρήσεων να είναι ομοιογενές.
5. ίνεται η συνάρτηση =x 3 6x 2 +αx 7, όπου α πραγματικός αριθμός, για την οποία ισχύει 5 A. Να δείξετε ότι α=9 B. Να υπολογίσετε το όριο Γ. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f, η οποία είναι παράλληλη στην ευθεία y= 3x. 6. ίνεται η συνάρτηση με τύπο A. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της συνάρτησης. B. Να βρεθεί το όριο lim Χ 1 Γ. Να εξετασθεί η συνάρτηση ως προς τη μονοτονία και να βρεθούν τα ακρότατά της. 7. ίνεται η συνάρτηση A. Να υπολογίσετε το B. Να υπολογίσετε το συντελεστή διεύθυνσης της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f στο σημείο της με τετμημένη x0=0. Γ. Να υπολογίσετε τη γωνία που σχηματίζει η παραπάνω εφαπτομένη με τον άξονα x x. 8. ίνεται η συνάρτηση = αx 3 8, όπου α ένας πραγματικός αριθμός. Α. Αν lim = 7, να βρεθεί η τιμή του α. x 1 Β. Έστω α = 1 i. Να βρεθεί το όριο lim x 2 x 2 ii. Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f στο σημείο με τετμημένη x0=2. 9. ίνεται η συνάρτηση = ν 3 x + 4 x2, x (0,1), όπου ν ακέραιος αριθμός με ν >2. A. i. Να προσδιοριστεί το διάστημα στο οποίο η f είναι γνησίως αύξουσα και το διάστημα στο οποίο η f είναι γνησίως φθίνουσα. ii. Να μελετηθεί η συνάρτηση f ως προς τα ακρότατα και να δειχθεί ότι 3ν 2 για κάθε x (0,1). 10. Δίνεται η συνάρτηση = x 2 1 α. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της. β. Να δείξετε ότι ο ρυθμός μεταβολής της f, όταν x=3, ισούται με 3 2 γ. Αν h(x) = 3 x 2 για x 2 να υπολογίσετε το lim x 2 h(x) 4
11. Δίνεται η συνάρτηση = x3 + 3 ax2 + βx + 1, α, β R α. Να βρείτε τις τιμές των α και β ώστε η f να έχει τοπικό ακρότατο στο σημείο (3,-8). β. Για α= - 1 και β= - 3 να βρείτε τη μονοτονία και τα ακρότατα της f. 6 12. Δίνεται η συνάρτηση = x2 7x+6 x 10 β. Για ποια x η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τον άξονα x x ; γ. Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα. 13. Δίνεται η συνάρτηση = x 1 x 1. β. Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με του άξονες. γ. Να βρείτε το lim x 1 δ. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f που είναι κάθετη στην ευθεία y= - 4x. 14. Δίνεται η συνάρτηση = ax2, α,β R x+β α. Να βρείτε τις τιμές των α και β ώστε η συνάρτηση να παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στο σημείο (-2,-4). β. Για α=1 και β=1: i) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα. ii) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f στο σημείο της (1, f(1) ). 15. Δίνεται η συνάρτηση = 2x x+1 β. Να υπολογίσετε το όριο lim x 3 γ. Να βρείτε την πρώτη παράγωγο της f. δ. Να βρείτε τις εφαπτομένες της γραφικής παράστασης της f που είναι παράλληλες στην ευθεία y= 2x + 5 16. Δίνεται η συνάρτηση = 2 x + 2 β. Να βρείτε το lim 6 x 7 x 2 11x+28 γ. Να αποδείξετε οτι η f είναι γνησίως αύξουσα στο πεδίο ορισμού της.
17. Δίνεται η συνάρτηση = 1 1 x 2 β. Να βρείτε το lim x 1 [(x2 + 2x + 1)] γ. Να μελετήσετε την f ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα. 7 18. Δίνεται η συνάρτηση = 3x2, x R 4x 2 +5 Να βρείτε: α. το σημείο στο οποίο η γραφική παράσταση της f τέμνει τον άξονα x x β. το όριο lim x 0 γ. Την παράγωγο της f δ. Τα διαστήματα στα οποία η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα και αυτά στα οποία είναι γνησίως φθίνουσα ε. Τα ακρότατα της f 19. Δίνεται η συνάρτηση = x3 3x 2 +2x x 2 4 β. Να βρείτε το lim x 2 γ. Να δείξετε ότι η εφαπτομένη της Cf στο x0 = ρ, όπου ρ η μικρότερη ρίζα της =0, είναι κάθετη στην ευθεία 2x y + 2016 = 0