ΛΟΓΙΣΜΟΣ Ι ΤΜΗΜΑ β 4 Ιανουαρίου 005 Τα ϑέµατα,, και 4 είναι υποχρεωτικά. Από τα ϑέµατα 5 και 6 ϑα επίλέξετε ϑέµα. ηλαδή ϑα γράψετε ΜΟΝΟ 5 ϑέµατα. ΘΕΜΑ o.5 + 0.5 = ϐ.) α) Να αποδειχθεί ότι η δυναµοσειρά : + + ) συγκλίνει απόλυτα για <, αποδείξτε ότι τότε + l ) + ) + + ) = Αποδείξτε ότι η σειρά δεν συγκλίνει για >. Εξετάστε την σύγκλιση της σειράς για = και =. Θέτουµε Εχουµε ότι a = + + ) = + + a + a = και a + + a = Εποµένως χρησιµοποιώντας το κριτήριο των λόγων κριτήριο d Alembert) έχουµε ότι για < η σειρά συγκλίνει απόλυτα, για > η σειρά δεν συγκλίνει. Ειδικά για < έχουµε : + + ) = + + = + + + = + m + m= m m + + ) = l ) + Για = η σειρά γίνεται : και δεν συγκλίνει. Για = η σειρά γίνεται : m= m m ) = l ) + + ) = + ) + a ), a > 0 και είναι ϕθίνουσα a = 0 l ) = l ) + ) +
οπότε έχουµε µια κυµαινόµενη εναλλάσσουσα σειρά) και οι συντελεστές είναι µια ϕθίνουσα µηδενική ακολουθία, άρα η σειρά συγκλίνει. Εναλλακτική λύση : Για = Τα µερικά αθροίσµατα της σειράς γράφονται : N S N = ) + + ) = N ) + ) + S = ) + S = + ) + + ) = + S = S + ) 4 = 4 S 4 = S + ) = + 4 + 5... ) S N = S N + ) N N + N+ a = S N N 5 = + ) N N+ = ϐ) Να µελετηθεί η σύγκλιση της ακολουθίας a =! Εχουµε a + a για + )! = + ) +! = + ) = + ) e < οπότε η ακολουθία συγκλίνει στο µηδέν η άσκηση είναι το λυµένο παράδειγµα σελ. 5 του ϐιβλίου Κυβεντίδη) Εναλλακτικός τρόπος λύσης: a =! 4 ) = = {{ ϕορές {{ ϕορές 0 = a 0 ΘΕΜΑ o 0.5 + 0.5 + 0.5 + 0.75 = ϐ.) α) Να µελετηθεί και να σχεδιασθεί η συνάρτηση f) = για 0. Η συνάρτηση γράφεται f) = e l ) l 0+ = 0+ και από τους κανόνες de l Hospital έχουµε : Επίσης l f ) = d d e l l 0+ = ) = e l ) = ) = 0+ f) = 0 = 0 f) = d d ) ) l = l Οπότε για = e η παράγωγος µηδενίζεται, για 0 < < e η παράγωγος είναι ϑετική για > e η παράγωγος είναι αρνητική, άρα η συνάρτηση έχει τοπικό µέγιστο για = e
ϐ) Να ϐρεθεί ο µεγαλύτερος από τους αριθµούς,,, 4 4, 5 5,...,,... χωρίς να χρησιµοποιηθεί υπολογιστής για οποιονδήποτε υπολογισµό. Επειδή η συνάρτηση f) = e l έχει τοπικό µέγιστο για = e =.7 και f) =, οπότε τα σηµεία που είναι πιο κοντά στο = e είναι το = και =. Αλλά = < = γιατί = ) 6 ) 6 < = Εναλλακτικά : Επειδή f) = = 4 4 = f4) εποµένως το µέγιστο από το ϑεώρηµα του Rolle ϐρίσκεται στο ανοικτό διάστηµα, 4) εποµένως το, 4) και f) > f) = f4) άρα το f) = είναι ο µεγαλύτερος αριθµός) γ) Να αποδειχθεί ότι η σειρά συγκλίνει. ) cosπ) = Από την µελέτη της συνάρτησης f) = ξέρουµε ότι η ακολουθία a = / είναι µια ϕθίνουσα µηδενική ακολουθία για. Επίσης cosπ) = ) εποµένως έχουµε µια κυµαινουµένη εναλλάσσουσα) ακολουθία που συγκλίνει. δ) Να αποδειχθεί ότι η συνάρτηση f) = + είναι συνάρτηση Lipschitz για R και να αποδειχθεί ότι είναι οµοιόµορφα συνεχής. y f) fy) = + + + y = + y + + + y y y y < y + y + y οπότε η συνάρτηση f) είναι µια συνάρτηση Lipschitz για R και είναι εποµένως οµοιόµορφα συνεχής στο R γιατί ɛ > 0 δɛ) = ɛ : y < δ f) fy) < ɛ ΘΕΜΑ o ϐ.) Υπολογίστε την τιµή της ης και της 4ης παραγώγου για = 0 της συνάρτησης f) = cosh) cosh
Η συνάρτηση f) γράφεται : f) = e +e e +e = e ) + e ) e + e = e + e = cosh) = + ) )! Το ανάπτυγµα Mac Lauri της συνάρτησης f) γράφεται : f) = f0) + m= f m) 0) m! m = + )! οπότε για m =περιττός ϑα έχουµε f m) 0) = 0 δηλαδή f ) 0) = 0 Για να ϐρούµε την 4η παράγωγο της f) ϑα πρέπει να συγκρίνουµε στις δυό σειρές την 4η δύναµη του, δηλαδή στην µια να πάρουµε τον όρο για m = 4 και στην άλλη τον όρο για = = = 4 οπότε ϑα έχουµε : f 4) 0) 4! = 4 4!. Εποµένως ϐρίσκουµε ότι f 4) 0) = 5 ΘΕΜΑ 4 o ϐ.) α) Αποδείξτε ότι η συνάρτηση f) = p είναι κυρτή για p > και > 0. Αν f ) > 0 τότε η συνάρτηση είναι κυρτή. Στην περίπτωσή µας έχουµε f ) = pp ) p > 0 για p > και > 0. ϐ) Αποδείξτε ότι + + ) 9 9 + 9 + 9 Η συνάρτηση f) = 9 είναι κυρτή εποµένως για κάθε λ [0, ] οπότε + + λ + λ)y) 9 λ 9 + λ)y 9 ) 9 + = + ) 9 λ= + ) 9 + 9 λ= 9 + 9 Σηµ: Αυτή η ιδιότητα είναι µερική περίπτωση της γενικής πρότασης : ) + + + f) κυρτή f f ) + f ) + + f ) + 9
ΘΕΜΑ 5 o ϐ.) Ι) Η συνάρτηση f) είναι συνεχής στο διάστηµα [a, b]. Εχει συνεχή πρώτη παράγωγο f ) και ορίζεται η δεύτερη παράγωγος f ) για κάθε a, b). Αν η συνάρτηση f) έχει τρείς ϱίζες : f ) = f ) = f ) = 0, a < < < < b Να αποδειχθεί ότι υπάρχει ένα ξ a, b) όπου µηδενίζεται η δεύτερη παράγωγος f ξ) = 0. Ισχύει το αντίστροφο ; Η συνάρτηση f) είναι συνεχής στο διάστηµα [, ] και έχει πρώτη παράγωγο στο, ), επίσης f ) = f ) άρα Θεώρηµα Rolle = υπάρχει ξ, ) τέτοιο ώστε f ξ ) = 0. Η συνάρτηση f) είναι συνεχής στο διάστηµα [, ] και έχει πρώτη παράγωγο στο, ), επίσης f ) = f ) άρα Θεώρηµα Rolle = υπάρχει ξ, ) τέτοιο ώστε f ξ ) = 0. Η συνάρτηση f ) είναι συνεχής στο διάστηµα [ξ, ξ ] και έχει παράγωγο f )στο ξ, ξ ), επίσης f ξ ) = f ξ ) άρα Θεώρηµα Rolle = υπάρχει ξ ξ, ξ ) τέτοιο ώστε f ξ) = 0. Το αντίστροφο δεν είναι αληθές, υπάρχει συνάρτηση µε f ξ) = 0 που δεν έχει τρείς ϱίζες πχ f) = και ξ = 0. ΙΙ) Αν A και B είναι ϕραγµένα σύνολα να αποδείξετε ότι sup A + B) = sup A + sup B Εστω z A + B αυτό σηµαίνει ότι z = + y µε A και y B. Αρα z A + B = z = + y sup A + sup B = supa + B) sup A + sup B Θα αποκλείσουµε την περίπτωση supa + B) < sup A + sup B. Υποθέτουµε ότι supa + B) < sup A + sup B = supa + B) sup A < sup B αυτό σηµαίνει ότι υπάρχει ένα v B τέτοιο ώστε supa + B) sup A < v Σηµ: αν δεν υπήρχε τέτοιο v τότε ϑα είχαµε supa + B) sup A άνω όριο του B δηλαδή supa + B) sup A sup B που είναι αντίθετο από την υπόθεση που κάναµε). Τότε όµως supa + B) v < sup A, δηλαδή υπάρχει u A τέτοιο ώστε supa + B) v < u δηλαδή supa + B) < u + v, αυτό όµως σηµαίνει ότι υπάρχει στοιχείο στο u + v A + B που είναι µεγαλύτερο από το supa + B) πράγµα άτοπο. Εποµένως η υπόθεσή µας δεν είναι αληθής και τότε αναγκαστικά sup A + B) = sup A + sup B. ΘΕΜΑ 6 o ϐ.) Ι) Εστω α 0 ένας πραγµατικός αριθµός. Υποθέτουµε ότι η συνάρτηση f) είναι συνεχής για κάθε R και ότι έχει τις ακόλουθες ιδότητες : f) = α, f + y) = f) + fy) για κάθε και y. Αποδείξτε τα εξής :
α) f) = f) για κάθε N Για = αληθεύει προφανώς η πρόταση. Αν είναι αληθινή για κάποιο τότε : f + )) = f + ) = f) + f) = f) + f) = + )f) ϐ) f/m) = α/m για κάθε m N fm m ) = f) = α = mf m ) = f/m) = α/m γ) fρ) = αρ για κάθε ρ ϑετικό ϱητό αριθµό ρ = m = fρ) = f/m) = α m = ρα δ) f0) = 0 και f ) = f) f) = f+0) = f)+f0) = f0) = 0 0 = f0) = f ) = f)+f ) = f ) = f) ε) Αποδείξτε ότι f) = α για κάθε ϑετικό ή αρνητικό πραγµατικό αριθµό. Αν R και > 0 τότε υπάρχει µια ακολουθία Q και > 0 τέτοια ώστε. Επειδή η συνάρτηση είναι συνεχής ϑα έχουµε : Ανάλογη απόδειξη ισχύει όταν < 0 = f ) f) = α f) = f) = α ΙΙ) Αν A και B είναι ϕραγµένα σύνολα να αποδείξετε ότι if A + B) = if A + if B Εστω z A + B αυτό σηµαίνει ότι z = + y µε A και y B. Αρα z A + B = z = + y if A + if B = ifa + B) if A + if B Θα αποκλείσουµε την περίπτωση ifa + B) > if A + if B. Υποθέτουµε ότι ifa + B) > if A + if B = ifa + B) if A > if B αυτό σηµαίνει ότι υπάρχει ένα v B τέτοιο ώστε ifa + B) if A > v Σηµ: αν δεν υπήρχε τέτοιο v τότε ϑα είχαµε ifa + B) if A κάτω όριο του B δηλαδή ifa + B) if A if B που είναι αντίθετο από την υπόθεση που κάναµε). Τότε όµως ifa + B) v > if A, δηλαδή υπάρχει u A τέτοιο ώστε ifa+b) v > u δηλαδή ifa+b) > u + v, αυτό όµως σηµαίνει ότι υπάρχει στοιχείο στο u+v A+B που είναι µικρότερο από το ifa + B) πράγµα άτοπο. Εποµένως η υπόθεσή µας δεν είναι αληθής και τότε αναγκαστικά if A + B) = if A + if B.