ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ 017 3. Διαγράμματα NQM Κώστας Γαλιώτης, καθηγητής Τμήμα Χημικών Μηχανικών galiotis@chemeng.upatras.gr Α3. Διαγράμματα NQΜ/ Μηχανική Υλικών 1
Σκοποί ενότητας Να εξοικειωθεί ο φοιτητής με τα διάφορα είδη φορτίων. Να είναι σε θέση να θέτει τις εξισώσεις ισορροπίας και να υπολογίζει τις αντιδράσεις στήριξης. Να μπορεί να υπολογίζει τις συναρτήσεις των εντατικών μεγεθών. Να είναι σε θέση να χαράξει τα διαγράμματα εντατικών μεγεθών. Α3. Διαγράμματα NQΜ/ Μηχανική Υλικών
Περιεχόμενα ενότητας Είδη στήριξης Είδη δοκών Υπολογισμός αντιδράσεων Εντατικά μεγέθη N,Q,M Παραδείγματα χάραξης N,Q,M Α3. Διαγράμματα NQΜ/ Μηχανική Υλικών 3
Βασικές έννοιες κάθε σώμα που μπορεί να δεχτεί εξωτερικά φορτία. γραμμικός φορέας στον οποίο μπορούν να δρουν εξωτερικά φορτία οποιουδήποτε είδους. αξονική, διατμητική, καμπτική και στρεπτική. τρία εντατικά μεγέθη Ν = αξονική (ορθή) δύναμη Q=τέμνουσες (ή διατμητικές) δυνάμεις Μ = ροπή κάμψης Α3. Διαγράμματα NQΜ/ Μηχανική Υλικών 4
Ανάλυση στηρίξεων (επανάληψη) στην κύλιση το σημείο στήριξης είναι ελεύθερο να μετακινείται χωρίς τριβές με τη βοήθεια του εδράνου κύλισης κατά μία μόνο διεύθυνση. Η αντίδραση της κύλισης στη δοκό είναι μία δύναμη που διέρχεται από το σημείο στήριξης και είναι κάθετη στην κύλιση. Συμβολίζεται με V και y. Η άρθρωση επιτρέπει την ελεύθερη στροφή της δοκού. Επιτυγχάνεται με τη βοήθεια ενός πείρου. Η αντίδραση της άρθρωσης έχει οποιαδήποτε διεύθυνση. Αναλύεται συνήθως σε δύο κάθετες μεταξύ τους συνιστώσες, μία οριζόντια και μία κατακόρυφη. Συμβολίζεται με (H, V ) ή ( x, y ). Η πάκτωση δεν επιτρέπει καμία μετακίνηση ή στροφή της δοκού. Οι αντιδράσεις είναι 3 δύο συνιστώσες της δύναμης ( x, y ) και μία ροπή (ροπή πάκτωσης, Μ Α ). Οι πρόβολοι στηρίζονται με πάκτωση. Α3. Διαγράμματα NQΜ/ Μηχανική Υλικών 5
Είδη δοκών Α3. Διαγράμματα NQΜ/ Μηχανική Υλικών 6
Υπολογισμός αντιδράσεων Για τον υπολογισμό των αγνώστων αντιδράσεων εφαρμόζουμε τις 3 εξισώσεις στατικής ισορροπίας. ΣP x = 0 ΣP y = 0 ΣΜ Α = 0 (Α ένα οποιοδήποτε σημείο δοκού) Όταν οι αντιδράσεις R= 3 Ισοστατική δοκός R>3 υπερστατική δοκός R< 3 υποστατική δοκός Α3. Διαγράμματα NQΜ/ Μηχανική Υλικών 7
Τρόποι στήριξης δοκών Oι στηρίξεις αντιδρούν έτσι ώστε να διατηρείται η ισορροπία του σώματος κάτω από την επίδραση εγκαρσίων εξωτερικών δυνάμεων. Έτσι στην απλή αμφιέρειστη δοκό για παράδειγμα, που δέχεται φορτίο Ρ στο μέσον της, θα πρέπει στο σημείο της Α να δέχεται από την άρθρωση αντίδραση V Α, ενώ στο σημείο της Β θα δέχεται αντίστοιχα από την κύλιση αντίδραση V Β. Για λόγους συμμετρίας θα είναι προφανώς V V B P όπως φαίνεται στο διάγραμμα ελεύθερου σώματος (Δ.Ε.Σ) της δοκού. *οριζόντια συνιστώσα στο Α δεν απαιτείται διότι δεν υπάρχουν δυνάμεις στη διεύθυνση x Α3. Διαγράμματα NQΜ/ Μηχανική Υλικών 8
Παράδειγμα υπολογισμού φορτίων Έστω αμφιέρειστη δοκός με φορτίο μεταβαλλόμενο κατά μήκος. α Ισορροπία ΣP x = 0 => P x = 0 ΣP y = 0 => Q = Α y + Β y α ΣΜ = 0: Μ Α = 0 Μ Β = 0 Εμβαδόν επιφάνειας φόρτισης = συνισταμένη όλων των φορτίων Α3. Διαγράμματα NQΜ/ Μηχανική Υλικών 9
Υπολογισμός φορτίων Για να βρεθεί το σημείο (έστω η απόσταση α) που ασκείται η συνισταμένη δύναμη Q, η οποία ισούται με όλο το κατανεμημένο φορτίο, εφαρμόζουμε το θεώρημα του Varignon κατά το οποίο η ροπή της συνισταμένης ισούται με το άθροισμα των ροπών των συνιστωσών. Οπότε Η απόσταση α συμπίπτει με την τετμημένη του κέντρου βάρους Κ της επιφάνειας φόρτισης. Οι αντιδράσεις y και B y προκύπτουν σε συνάρτηση με την απόσταση α από ΣΜ Α =0 (B y ) και ΣΜ Β =0 ( y ). Q a M 0 QaByl 0 By l Q ( l a) MB 0 Ql a y l 0 y l Α3. Διαγράμματα NQΜ/ Μηχανική Υλικών 10
Παράδειγμα 1 Τριγωνικό Φορτίο Έστω για παράδειγμα δοκός με τριγωνικό φορτίο, με τιμή 0 στο σημείο Α, με γνωστή τιμή έστω q στο σημείο Β και με γραμμική μεταβολή της καμπύλης φόρτισης μεταξύ των δύο αυτών σημείων Α και Β. Σύμφωνα με τα προηγούμενα, η στατικά ισοδύναμη δύναμη Q θα ισούται με το εμβαδόν της τριγωνικής επιφάνειας φόρτισης, δηλαδή θα είναι Q 1 ql Η απόσταση α από το σημείο Α θα είναι ίση με την απόσταση του κέντρου βάρους (Κ.Β) του τριγώνου, που είναι l /3. Οι αντιδράσεις στα σημεία στήριξης θα είναι : Q/ 3 και B Q/ 3 y y Α3. Διαγράμματα NQΜ/ Μηχανική Υλικών 11
Συνισταμένη φορτίων Κέντρα βάρους Α3. Διαγράμματα NQΜ/ Μηχανική Υλικών 1
Παράδειγμα Αμφιέρειστη Δοκός (1/) Για να υπολογίσουμε τις αντιδράσεις V και V B χρησιμοποιούμε τις εξισώσεις στατικής ισορροπίας, από τις οποίες έχουμε: P 0 : V V P 0 V V (1) y B B P M 0 : -Pα+ VBl=0 VB= () l Αντικαθιστώντας την τιμή της V B στην εξίσωση (1), βρίσκουμε: ( l ) P V P VB P(1 ) P (3) l l l Α3. Διαγράμματα NQΜ/ Μηχανική Υλικών 13
Παράδειγμα Αμφιέρειστη Δοκός (/) Γενικότερα, όταν μία αμφιέρειστη δοκός φορτίζεται από κατακόρυφα φορτία Ρ 1 (με απόσταση α 1 απότοακαιβ 1 απότοβ), (με απόσταση α απότοακαιβ απότοβ) και (με απόσταση α ν από το Α και β ν απότοβ), από τις συνθήκες στατικής ισορροπίας, εύκολα προκύπτουν οι επόμενες σχέσεις: V P 1 1 P... P 1 1..., V P P P B (4) l l Το σύμβολο ± έχει την έννοια να λαμβάνεται υπόψη η φορά των δυνάμεων Ρ i. Οι εξισώσεις (4) παρουσιάζονται σε πιο συνοπτική μορφή από τις εξισώσεις (5): V P P, l (5) i i i i i1 i1 VB l Η απόσταση α i ονομάζεται βραχίονας της δύναμης Ρ i, ενώ η β i αντιβραχίονας. Α3. Διαγράμματα NQΜ/ Μηχανική Υλικών 14
Εντατικά μεγέθη N,Q,M Α3. Διαγράμματα NQΜ/ Μηχανική Υλικών 15
Εντατική κατάσταση δοκού Για να ισορροπεί το τμήμα αυτό υπό την επίδραση των εξωτερικών δυνάμεων πρέπει να ασκείται μια δύναμη R διαμέσου της διατομής (αναλύεται σε αξονικό φορτίο Ν και μία τέμνουσα δύναμη Q) και μία ροπή Μ. Α3. Διαγράμματα NQΜ/ Μηχανική Υλικών 16
Καταπόνηση δοκού αξονικός εφελκυσμός διάτμηση αξονική θλίψη κάμψη Α3. Διαγράμματα NQΜ/ Μηχανική Υλικών 17
Εντατική κατάσταση δοκού/ πρόσημα Α3. Διαγράμματα NQΜ/ Μηχανική Υλικών 18
Σχέση μεταξύ [Ν], [Q], [M] Αυτό που έχει ενδιαφέρον είναι ο συσχετισμός μεταξύ των εντατικών μεγεθών και η κατασκευή των διαγραμμάτων NQM. Διακρίνουμε 3 περιπτώσεις για μία διατομή ενός τμήματος της δοκού μεταξύ τ τ και τ τ. i. στο τμήμα αυτό δεν εφαρμόζεται κανένα φορτίο. ii. iii. εφαρμόζεται συγκεντρωμένο φορτίο Ρ που δρά σημειακά. εφαρμόζεται κατανεμημένο φορτίο q(x). Θα δούμε τώρα τις σχέσεις που προκύπτουν μεταξύ των NQM: Α3. Διαγράμματα NQΜ/ Μηχανική Υλικών 19
Βήματα για χάραξη διαγραμμάτων εντατικών μεγεθών [Ν], [Q], [M] (1/) Εστω ότι έχουμε αυτή την δοκό. Για την χάραξη των Ν,Q,M θα ακολουθήσουμε τα εξής στάδια που ακολουθούν. Α3. Διαγράμματα NQΜ/ Μηχανική Υλικών 0
Σχέση μεταξύ [Ν], [Q], [M] (1/3) I. Διατομή χωρίς φορτίο Στην περίπτωση μή ύπαρξης δύναμης μεταξύ των τομών τότε ισχύει ότι : M 0 M ( M dm) Qdx0 K dm dx Q (1) Α3. Διαγράμματα NQΜ/ Μηχανική Υλικών 1
Σχέση μεταξύ [Ν], [Q], [M] (/3) ΙΙ. Διατομή με κατανεμημένο φορτίο q( x) q( x) dq( x) Fy 0 Q( QdQ) dx0 dq( x) dq q( x) dx dx 0 dq qx ( ) () dx M K 0 q( x) q( x) dq( x) dx M ( M dm) Qdx dx 0 dx dq( x) dx dm dm Qdx qx ( ) + = 0 Q (1)* 4 dx Α3. Διαγράμματα NQΜ/ Μηχανική Υλικών
Σχέση μεταξύ [Ν], [Q], [M] (3/3) ΙΙΙ. Διατομή με συγκεντρωμένο φορτίο Αν ενεργεί συγκεντρωμένο φορτίο P μεταξύ των διατομών και Q είναι η τέμνουσα δύναμη στη αριστερή έδρα ενώ στη δεξιά είναι Q τότε από τη συνθήκη ισορροπίας δυνάμεων: F 0 QPQ0 QQP (3) y Άρα στο σημείο που εφαρμόζεται η δύναμη Ρ εμφανίζεται ένα άλμα στην γραφική παράσταση των Q(x), ένα είδος ασυνέχειας δηλαδή που συμβαίνει από την απότομη μεταβολή της τέμνουσας δύναμης. Α3. Διαγράμματα NQΜ/ Μηχανική Υλικών 3
Παραδείγματα διαγραμμάτων ΝQM ΣΧΕΣΕΙΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΕΜΝΟΥΣΩΝ ΚΑΙ ΡΟΠΩΝ dm ( x) Qx ( ) M( x) Qxdx ( ) dx dq( x) d M ( x) qx ( ) dx x Α3. Διαγράμματα NQΜ/ Μηχανική Υλικών 4
Διαγράμματα ΝQM Συμπεράσματα 1. Σε αφόρτιστη περιοχή δοκού η τέμνουσα δύναμη Q είναι σταθερή και παρίσταται με ευθεία παράλληλη με τον άξονα x. Η καμπτική ροπή Μ μεταβάλλεται γραμμικά και παρίσταται με κεκλιμένη ευθεία.. Για εφαρμοζόμενη συγκεντρωμένη δύναμη P έχουμε πλατώ σταθερών τιμών (Q και Q ) και συνεπώς απότομη μεταβολή της τέμνουσας δύναμης. Η καμπτική ροπή Μ μεταβάλλεται γραμμικά με κεκλιμένες ευθείες διαφορετικών κλίσεων σε κάθε περιοχή. 3. Σε περιοχή δοκού που φορτίζεται από ομοιόμορφο κατανεμημένο φορτίο, q, η Q μεταβάλλεται γραμμικά και παρίσταται με ευθεία με κλίση q. Η καμπτική ροπή μεταβάλλεται παραβολικά (καμπύλη ου βαθμού). Α3. Διαγράμματα NQΜ/ Μηχανική Υλικών 5
Διαδικασία χάραξης διαγραμμάτων εντατικών μεγεθών [Ν], [Q], [M] (1/) Στατική προσέγγιση / από την ΔΕΣ/ Σχήματα (α), (β) (Προσοχή: το x= απόσταση μέχρι την τομή, l=μήκος δοκού) P 0: H P cos 0 x H 1 P cos 1 V M 0 : -P sin P V l 0 B 1 P1 sin P l B P 0 : V P sin P V 0 y 1 B V M 0: - V l P( l )sin P ( l ) 0 B P1 ( l )sin P l 1 ( l ) Α3. Διαγράμματα NQΜ/ Μηχανική Υλικών 6
Διαδικασία χάραξης διαγραμμάτων εντατικών μεγεθών [Ν], [Q], [M] (/) Τομές μ ν και μ ν / Σχήματα (γ), (δ), (ε) a x (δύναμη P) P 0 : N( x) H P cos 0 P x N( x) H P cos (σταθερή τιμή) y 1 1 1 1 M 0 : +M( x)-v x P sin ( xa) 0 k 0 : - Q( x) V P sin 0 Q( x) V P sin (σταθερή τιμή) M(x)= V xp sin ( xa) 1 1 1 (γραμμική σχέση) x l (δύναμεις P 0: N( x) H P cos 0 x 1 1 P 0: - Q( x) V P sin P 0 Q( x) V P sin P 1 1 1 P, P ) N( x) H P cos (σταθερή τιμή) y 1 (σταθερή τμ ι ή) M 0: +M(x) V x P sin ( xa) P ( x) 0 K 1 M(x)= V x P sin ( xa) P ( x) (γραμμική σχέση) Α3. Διαγράμματα NQΜ/ Μηχανική Υλικών 7
Παραδείγματα χάραξης [N], [Q], [M] σε δοκούς που φέρουν διαφορετικά είδη φόρτισης. Α3. Διαγράμματα NQΜ/ Μηχανική Υλικών 8
Δοκός με κατανεμημένο φορτίο (1/) Βήμα 1 : Κατασκευάζουμε ΔΕΣ Βήμα : Υπολογίζουμε αντιδράσεις Fy 0V VB ql 0 (1) l M 0VBlql 0 () ql (1),() V VB Βήμα 3 : Υπολογισμός Q(x), M(x), N(x)=0 ql Fy 0: Q( x) qx0qx ( ) x Mή 0: M( x) Vxqx 0 M( x) ql (3),(4) Για x0 Q0, M0 0 ql (3),(4) Για xl Ql, Ml 0 l ql (3),(4) Για x Ql/ 0, Ml/ 8 ql qx (3) ql qx x Α3. Διαγράμματα NQΜ/ Μηχανική Υλικών 9 (4)
Δοκός με κατανεμημένο φορτίο (/) Χαράσουμε τα NQM και παρατηρούμε ότι δεν υπάρχει αξονικό φορτίο και ότι το διάγραμμα καμπτικών ροπών είναι παραβολή ου βαθμού με μέγιστο ql /8. Ορολογία: ΔΑΔ= Διάγραμμα Αξονικών Δυνάμεων ΔΤΔ= Διάγραμμα Τεμνουσών Δυνάμεων ΔΡΚ= Διάγραμμα Ροπών Κάμψης Α3. Διαγράμματα NQΜ/ Μηχανική Υλικών 30
Δοκός με κατανεμημένο τριγωνικό φορτίο (1/) Βήμα 1 : Κατασκευάζουμε το ΔΕΣ Βήμα : Υπολογίζουμε τις αντιδράσεις ql Fy 0V VB 0 (1) ql l M 0 VBl 0 () 3 ql ql (1),() V, VB 6 3 Βήμα 3 : Υπολογισμός Q(x), M(x), N(x)=0 x Fy 0 - Q( x) V q 0Qx ( ) V q (όμοια τρίγωνα ΑΓΓ'/ΑΒΒ' q' x l qx l qx x M' 0 M( x) Vx 0 M( x) 3 (σε ένα τυχαίο σημείο Γ) qlx qx 6 6l 3 Α3. Διαγράμματα NQΜ/ Μηχανική Υλικών 31
Δοκός με κατανεμημένο τριγωνικό φορτίο (/) Αυτά είναι τα τελικά διαγράμματα εντατικών μεγεθών που προκύπτουν. Ορολογία: ΔΑΔ= Διάγραμμα Αξονικών Δυνάμεων ΔΤΔ= Διάγραμμα Τεμνουσών Δυνάμεων ΔΡΚ= Διάγραμμα Ροπών Κάμψης Α3. Διαγράμματα NQΜ/ Μηχανική Υλικών 3
Παράδειγμα 1 ξύλινη δοκός σύνθετης στήριξης Βήμα 1 : Θεωρώντας τη δοκό ως ένα άκαμπτο σώμα βρίσκουμε αρχικώς τις αντιδράσεις από την άρθρωση Β και κύλιση D. F 00 kn + R - 40 kn R 0 R R 60 kn (1) y B D B D M 0.5 m R - 405,5 knm 7.5 m R 0 B D RB 3RD 88 kn () (1),() R 46 kn, R 14 kn B D Α3. Διαγράμματα NQΜ/ Μηχανική Υλικών 33
Παράδειγμα 1 ξύλινη δοκός σύνθετης στήριξης Βήμα : Κάνουμε 6 τομές στη δοκό για λεπτομερή ανάλυση των δυνάμεων και ροπών: Τομή 1 Fy 0 0 kn V1 0 V1 0kN M 0 0kN 0m M 0 M 0 1 1 1 Τομή Fy 0 0 kn V 0 V 0 kn M 0 0kN.5m M 0 M 50 kn m Τομές 3, 4, 5, 6 V V V V 6kN M 50kN m 3 3 6kN M 8kN m 4 4 14 kn M 8kN m 5 5 14 kn M 0 6 6 Α3. Διαγράμματα NQΜ/ Μηχανική Υλικών 34
Παράδειγμα 1 ξύλινη δοκός σύνθετης στήριξης Βήμα 3: Κατασκευάζουμε με τις τιμές που έχουμε τα διαγράμματα NMQ ξεκινώντας όπως πάντα από αριστερά στα δεξιά (ΠΡΟΣΟΧΗ: εδώ το διάγραμμα του Μ έχει τα θετικά πάνω από τον άξονα του x). Α3. Διαγράμματα NQΜ/ Μηχανική Υλικών 35
Παράδειγμα Αμφιέρειστη δοκός q(x)= 5 kn/m P 1 = 40 kn P 1 = 10 kn Α Β 3m m m Α3. Διαγράμματα NQΜ/ Μηχανική Υλικών 36
Παράδειγμα Αμφιέρειστη δοκός Α3. Διαγράμματα NQΜ/ Μηχανική Υλικών 37
Τέλος Ενότητας Α3. Διαγράμματα NQΜ/ Μηχανική Υλικών 38