Γεωργίου Κ. Λεοντάρη Καθηγητή Θεωρητικής Φυσικής. Μαθηματικές Μέθοδοι Φυσικής Ι Πανεπιστημιακές Παραδόσεις. Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων Ιωάννινα 2011

Γεωργίου Κ. Λεοντάρη Καθηγητή Θεωρητικής Φυσικής. Μαθηματικές Μέθοδοι Φυσικής Ι Πανεπιστημιακές Παραδόσεις Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων Ιωάννινα

Perieqìmena Μιγαδικές Συναρτήσεις 7. Μιγαδικοί Αριθμοί............................. 7.. Βασικές έννοιες........................... 7.. Ασκήσεις.............................. 9..3 Γεωμετρική απεικόνιση και πολική μορϕή...............4 Ασκήσεις.............................. 8..5 Εσωτερικό και Εξωτερικό γινόμενο................ 6. Μιγαδικές Συναρτήσεις και παράγωγοι αυτών............... 7.. Αντίστροϕες Τριγωνομετρικές Συναρτήσεις και παράγωγοι αυτών 7.. Ορια, Συνέχεια, Ακολουθίες.................... 3..3 Το σημείο στο άπειρο....................... 3.3 Αναλυτική Συνάρτηση........................... 34.3. Οι συνθήκες Cauchy Riemann................. 36.3. Ασκήσεις.............................. 39.3.3 Απεικόνιση μιγαδικής συνάρτησης.................. 43.3.4 Σύμμορϕοι Μετασχηματισμοί (Conformal Mappings)...... 48.3.5 Εϕαρμογές............................. 5.4 Ασκήσεις.................................. 53.5 Ολοκλήρωμα Μιγαδικής Συνάρτησης.................... 56.5. Ανισότητα Darboux......................... 58.5. Ολοκληρωτικό θεώρημα Cauchy Goursat............ 59.5.3 Εϕαρμογές του Θεωρήματος.................... 6.5.4 Ολοκληρωτικός τύπος του Cauchy................ 65.5.5 Παράγωγοι Αναλυτικής Συνάρτησης................ 67.5.6 Ασκήσεις.............................. 67.5.7 Ορισμένα βασικά θεωρήματα.................... 68.5.8 Ασκήσεις.............................. 7.6 Ανάπτυξη μιγαδικής συνάρτησης σε σειρά................. 76.6. Ιδιόμορϕα σημεία μιγαδικών συναρτήσεων............. 86.6. Ολοκληρωματικά Υπόλοιπα..................... 93.6.3 Το λήμμα του Jordan....................... 95.6.4 Ασκήσεις.............................. 97.6.5 Κύρια τιμή ολοκληρώματος (P rincipal value).......... 6.6.6 Ασκήσεις...............................7 Πλειότιμες συναρτήσεις, κλαδικά σημεία.................. 6 3

4 ΠΕΡΙΕΧ ΟΜΕΝΑ.7. Η Λογαριθμική συνάρτηση..................... 6.7. Ανάκλαση.............................. 9.7.3 Ορισμένα βασικά θεωρήματα.....................7.4 Ασκήσεις.............................. 3.7.5 Η Συνάρτηση Γ(z)......................... 8.8 Ασκήσεις προς λύση............................ 33.8. Ενδεικτικές Λύσεις των ασκήσεων................ 46 Διανυσματικοί Χώροι 5. Βασικοί Ορισμοί............................... 5. Διαδικός Χώρος. Εσωτερικό Γινόμενο Διανυσμάτων........... 5.. Ανισότητα Cauchy Schwarz.................. 54.3 Γραμμική Ανεξαρτησία και Βάσεις Διανυσματικών Χώρων......... 54.4 Ορθογωνοποίηση Gram Schmidt.................... 59.5 Ασκήσεις.................................. 66.6 Τελεστές.................................. 68.6. Ειδικοί Τελεστές.......................... 7.7 Ιδιοδιανύσματα και Ιδιοτιμές Τελεστών.................. 74.7. Λυμένες Ασκήσεις......................... 76.7. Ασκήσεις προς λύση........................ 8.8 Αναπαραστάσεις Τελεστών......................... 83.8. Ορθογώνιες βάσεις και αναπαραστάσεις ειδικών τελεστών.... 87.8. Ιδιοδιανύσματα και ιδιοτιμές.................... 89.9 Γενικευμένα ιδιοδιανύσματα......................... 93. Αναλλοίωτοι Υπόχωροι........................... 96.. Αναπαράσταση........................... 97. Κανονική μορϕή Jordan.......................... 98.. θεώρημα Cayley Hamilton................... 99.. Συναρτήσεις αναπαραστάσεων τελεστών............... Οι Πίνακες γ µ.................................. Ασκήσεις.............................. 4.. Ασκήσεις προς λύση........................ 9.3 Απειροδιάστατοι Διανυσματικοί Χώροι................... 6.3. Ορισμοί............................... 7.3. Ανάπτυξη σε ορθοκανονικό σύστημα συναρτήσεων.........3.3 Κλασσικά Ορθογώνια Πολυώνυμα................. 3.4 Ιδιότητες Κλασσικών Πολυωνύμων.................... 5.4. Αναγωγικές Σχέσεις........................ 8.4. Ασκήσεις.............................. 34.5 Η Γεννήτρια Συνάρτηση.......................... 4.5. Ασκήσεις.............................. 4.5. Πολυώνυμα Bernoulli....................... 49.5.3 Ασκήσεις.............................. 5

ΠΕΡΙΕΧ ΟΜΕΝΑ 5 3 Ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί 55 3. Σειρές F ourier............................... 55 3.. Ασκήσεις............................... 6 3.. Τύπος άθροισης του P oisson................... 69 3..3 Τύπος άθροισης του Euler..................... 7 3. Ολοκληρώματα F ourier.......................... 74 3.. Η κατανομή δ(x)......................... 8 3.. Ασκήσεις προς λύση........................ 97 3.3 Ο μετασχηματισμός Laplace....................... 3 3.3. Ο αντιστροϕος Μετασχηματισμός Laplace............ 3 3.3. Λύση Διαϕορικών Εξισώσεων................... 34 3.4 Μετασχηματισμός Mellin......................... 37 4 Ειδικές Συναρτήσεις... 3 4. Συνάρτηση ζ(s) του Riemann....................... 3 4.. Η πολυλογαριθμική συνάρτηση................... 34 4.. Συναρτήσεις ψ (n) (z) (P olygamma)............... 35 4..3 Η συνάρτηση Z(s) του Epstein................... 36 4..4 Ασκήσεις.............................. 37 4. Συναρτήσεις διπλής περιοδικότητας.................... 39 4.. Θεωρήματα............................. 3 4.. Η συνάρτηση W eierstrass.................... 34 4..3 Οι συναρτήσεις Eisenstein.................... 36 4..4 Ασκήσεις.............................. 37 4.3 Οι συναρτήσεις θ(z, τ)........................... 38 4.3. Ασκήσεις.............................. 33 4.3. Η θ(z, t) ως γινόμενο........................ 337 4.3.3 θ i (z, q)................................ 339 4.3.4 Ιδιότητες................................ 34 4.3.5 Η συνάρτηση Dedekind...................... 34 5 Μετασχηματισμοί Möbius 343 5........................................... 343 5.. ιδιότητες............................... 344 5. Conjugacy classes.............................. 346

6 ΠΕΡΙΕΧ ΟΜΕΝΑ

Kefˆlaio Migadikèc Sunart seic. MigadikoÐ ArijmoÐ.. Basikèc ènnoiec Ιστορικά, η προσπάθεια επίλυσης της εξίσωσης x + = εισήγαγε την τετραγωνική ρίζα της αρνητικής μονάδας, η οποία δεν εμπίπτει στην περίπτωση των πραγματικών αριθμών. Πράγματι, γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο των πραγματικών (θετικών και αρνητικών) αριθμών είναι πάντα θετικός αριθμός αλλά ποτέ αρνητικός. Εισάγουμε λοιπόν την έννοια της ϕανταστικής μονάδας, ο συνήθης συμβολισμός της οποίας είναι ı = για την οποία ισχύει ı = ı = (.) Γενικώτερα, στη δευτεροβάθμια εξίσωση με πραγματικούς συντελεστές a, b, c, a z + b z + c =, (.) όταν η διακρίνουσα είναι μικρότερη του μηδενός = b 4ac <, γράϕουμε = = ı, οπότε η λύση ως προς z είναι z = b ± ı a = b a ± ı a (.3) Ο z καλείται μιγαδικός αριθμός με πραγματικό μέρος b a και ϕανταστικό ± a. Εν γένει, μιγαδικός αριθμός είναι μια διατεταγμένη διάδα πραγματικών αριθμών (x, y) την οποία συνήθως γράϕουμε με πραγματικό και ϕανταστικό μέρος z = x + ı y (.4) Rez = x, Imz = y (.5) 7

8 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ. ΜΙΓΑΔΙΚ ΕΣ ΣΥΝΑΡΤ ΗΣΕΙΣ Οι μιγαδικοί αριθμοί ικανοποιούν τις ακόλουθες αλγεβρικές ιδιότητες. Άν z i = x i + ıy i, i =,,... n, είναι n μιγαδικοί αριθμοί τότε z + z = z + z = (x + x ) + ı(y + y ) (.6) z z = z z = (x x y y ) + ı(x y + y x ) (.7) Ορίζονται επίσης το αντίθετο και μηδενικό στοιχείο καθώς και η διαϕορά μιγαδικών αριθμών ως εξής z = x ıy, + ı, z z = (x x ) + ı(y y ) Για τον ορισμό του αντιστρόϕου z z, z z =, έστω z = a + ı b, = z z = (x + ıy)(a + ıb) = (xa yb) + (xb + ya)ı από την οποία προκύπτει το σύστημα δύο εξισώσεων xa yb =, xb + ya = Τελικά z = x ı y x + y (.8) Είναι χρήσιμο σε αυτό το σημείο να ορίσουμε τον συζυγή z μιγαδικού αριθμού z = x+ıy z = x ıy (.9) Με τη χρήση του συζυγούς, ο αντίστροϕος (.8) μπορεί να γραϕεί z = z οποία προκύπτει x +y από την z z z = x + y (.) όπου z = x + y ορίζεται ως το μέτρο του μιγαδικού αριθμού z το οποίο είναι προϕανώς ίσο με το μέτρο του συζυγούς z. Από τα παραπάνω, εύκολα προκύπτει και η πράξη της διαίρεσης δύο μιγαδικών αριθμών z z z = x x + y y z x + + ı y x x y y x + y (.)

.. ΜΙΓΑΔΙΚΟ Ι ΑΡΙΘΜΟ Ι 9.. Ask seic. Θα απλοποιήσουμε τις παραστάσεις ( ı)( ı)(3 ı) και ( ı)( ı)(+3ı). Λαμβάνοντας υπ όψη (a+bı) (a bı) = a +b, πολλαπλασιάζουμε με τους συζυγείς των παρονομαστών + ı)( + ı)(3 + ı) ( + 3ı)(3 + ı) = ( = = ı ( ı)( ı)(3 ı) 5 5 + ı)( + ı)( 3ı) ( + 3ı)( 3ı) = ( = = ( ı)( ı)( + 3ı) 5 5. Να λυθεί η z + z + =, γράϕοντας z = x + ıy και επιλύοντας τις δύο εξισώσεις που προκύπτουν. Αντικαθιστούμε στην εξίσωση και διαχωρίζουμε σε πραγματικό και ϕανταστικό μέρος (x + ıy) + (x + ıy) + = + ı ( y + x + x + ) + ı (xy + y) = + ı Πρέπει το πραγματικό και ϕανταστικό μέρος να είναι μηδέν Επομένως η λύση είναι z = ± ı 3. xy + y = x = 3 y + x + x + = y = ± 3. Με τη χρήση του αθροίσματος z + z, να δειχθούν οι τριγωνικές ανισότητες z + z = (z + z )(z + z ) = z z + z z + z z + z z = z z + (z z + z z ) + z z Αλλά, (z z + z z ) = Re(z z ) z z = z z, z + z z + z z + z ( z + z ) z + z z + z (.) Επιπλέον, έστω ότι z > z z = z + z z z + z + z από το πρώτο και τρίτο όρο της παραπάνω και το γεγονός ότι z = z Γενικά, για οποιαδήποτε σχέση μεταξύ των z, z z z z + z (.3) z + z z + z z z (.4) Shmei ste ìti oi anisìthtec èqoun ènnoia gia ta mètra twn migadik n arijm n. Gia touc migadikoôc kaj' eautoôc oi anisìthtec den èqoun ènnoia.

ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ. ΜΙΓΑΔΙΚ ΕΣ ΣΥΝΑΡΤ ΗΣΕΙΣ 4. Να δειχθεί z Rez + Imz. Υψώνουμε στο τετράγωνο και κάνουμε χρήση των Rez = z + z οπότε, μετά από λίγες πράξεις η (.4) γίνεται, Imz = z z ı (.5) z Rez + Imz + Rez Imz z Rez Imz διότι z = Rez + Imz. Γράϕοντας z = x + ıy, έχουμε από την τελευταία το οποίο αληθεύει. 5. Απόδειξη των ιδιοτήτων x + y x y (x y) z z = (x + ıy )(x + ıy ) ( z z ) = x x y y ı(x y + x y ) = (x ıy )(x ıy ) z z (.6) ( ) z z = = (z z ) z z z z z = z (.7) z z z 6. Να δειχθεί ότι ο πολλαπλασιασμός δύο μιγαδικών αριθμών κ z με κ = α + ıb και z = x + ıy μπορεί να αναπαρασταθεί με πίνακες ως εξής. θεωρούμε τον μιγαδικό αριθμό z ως δίστυλο διάνυσμα και γράϕουμε z ( x y ), κ αi + βj (.8) όπου I = ( ) (, J = ) (.9) 7. Αριθμός z καλείται Αλγεβρικός αν είναι ρίζα πολυωνύμου με ακέραιους συντελεστές c k c z n + c z n + c n z + c n = (.) Να βρείτε υπό ποιές προϋποθέσεις ο b a είναι αλγεβρικός αριθμός Εστω z = b a, γράϕουμε z + a = b και υψώνουμε στο τετράγωνο (z + a) = b z + az + a = b z + a b = az Υψώνουμε ξανά στο τετράγωνο την τελευταία και λαμβάνουμε z 4 (a + b)z + (a b) =

.. ΜΙΓΑΔΙΚΟ Ι ΑΡΙΘΜΟ Ι Σύμϕωνα με τον ορισμό, για να είναι ο z αλγεβρικός αριθμός πρέπει οι συντελεστές του πολυωνύμου να είναι ακέραιοι m, n: από τις οποίες προκύπτει a + b = m, (a b) = n όπου k ακέραιος. a = m ± ık n b = m ık n (.) (.) 8. Η περίπτωση πολυωνύμου βαθμού n μιγαδικών συντελεστών μπορεί να αναχθεί σε περίπτωση πραγματικών συντελεστών πολυωνύμου βαθμού (n). Για παράδειγμα f(x) = x ix Τότε f(x)f(x) = (x ix )(x + ix ) = x 4 x +

ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ. ΜΙΓΑΔΙΚ ΕΣ ΣΥΝΑΡΤ ΗΣΕΙΣ..3 Gewmetrik apeikìnish kai polik morf Κάθε μιγαδικός αριθμός z = x+ıy, μπορεί να αναπαρασταθεί με ένα σημείο του επιπέδου ή το διάνυσμα με αρχή την αρχή των αξόνων και πέρας το σημείο με συντεταγμένες (x, y). Στο σχήμα δείχνονται ο μιγαδικός z = x + ıy και ο συζυγής αυτού x ıy. Τα μέτρα των δύο διανυσμάτων είναι ίσα x + y και ισούνται με το μέτρο του μιγαδικού z. Από y z x z Σχήμα.: Γεωμετρική αναπαράσταση των z, z. τον ορισμό του αθροίσματος δύο μιγαδικών αριθμών z i = x i + ıy i, i =,, προκύπτει ότι το άθροισμα και η διαϕορά αυτών z ± z, αντιστοιχεί στο άθροισμα ή διαϕορά των αντίστοιχων διανυσμάτων (βλ σχήμα (.8).) Σημειώνουμε ότι το μέτρο της διαϕοράς δύο μιγαδικών αντιστοιχεί στην απόσταση των δύο σημείων, καθότι z z = (x x ) + (y y ) (.3) y z +z z z -z z -z x Σχήμα.: Άθροισμα και διαϕορά μιγαδικών αριθμών. Γεωμετρική αναπαράσταση. Χρησιμοποιήσαμε την καρτεσιανή αναπαράσταση να απεικονίσουμε το άθροισμα και τη διαϕορά δύο μιγαδικών αριθμών z, z στο μιγαδικό επίπεδο (x, y). Για τη γεωμετρική

.. ΜΙΓΑΔΙΚΟ Ι ΑΡΙΘΜΟ Ι 3 αναπαράσταση του γινομένου και του πηλίκου είναι προσϕορότερη η πολική μορϕή. Άν ορίσουμε r το μέτρο του διανύσματος και θ τη γωνία που σχηματίζει με τον πραγματικό άξονα, τότε x = r cos θ, y = r sin θ, συνεπώς η πολική μορϕή του z γράϕεται z = r(cos θ + ı sin θ) (.4) Η θ καλείται όρισμα του z και το r = z μέτρο. Για το όρισμα γράϕουμε θ = argz. Παρατηρούμε ότι για n ακέραιο, το ίδιο σημείο του επιπέδου προσδιορίζεται και από τον τύπο z = r(cos(θ + nπ) + ı sin(θ + nπ)) (.5) Συνεπώς, υπάρχουν άπειρες τιμές του θ που δίνουν το ίδιο z. Η τιμή του θ που βρίσκεται στο διάστημα ( π, π] καλείται πρωτεύουσα και συμβολίζεται με Argz argz = Argz + nπ, n =, ±, ±,... (.6) Μπορούμε τώρα να σχηματίσουμε το γινόμενο δύο μιγαδικών. πράξεις διαπιστώνουμε Μετά από ελάχιστες δηλαδή, προκύπτει η ταυτότητα z z = r r (cos θ + ı sin θ )(cos θ + ı sin θ ) Ομοίως, ο λόγος των z, z, προκύπτει = r r (cos(θ + θ ) + ı sin(θ + θ )) (.7) arg(z z ) = arg(z ) + arg(z ) (.8) z z = r r (cos(θ θ ) + ı sin(θ θ )) (.9) δηλαδή arg ( z z ) = arg(z ) arg(z ) (.3) Αναπαράσταση με την M athematica. Με τις παρακάτω εντολές zpoints = {PointSize[.], Point[{3, }], Point[{3, }], Line[{{, }, {3, }}], Line[{{, }, {3, }}], Line[{{, }, {5, }}], Line[{{, 3}, {, 3}}], Text["x", {5, /4}], Text["y", { /4,.5}], Text["z=3+i", {4, }], Text [" z=3-i", {4, }]} ; Show[Graphics[zpoints], PlotRange {{, /}, { 7/, 7/}}] σχεδιάζουμε τον z = 3 + ı και τον συζυγή του z = 3 ı που δείχνονται στο σχήμα (.4).

4 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ. ΜΙΓΑΔΙΚ ΕΣ ΣΥΝΑΡΤ ΗΣΕΙΣ Σχήμα.3: Ο μοναδιαίος κύκλος και οι τριγωνομετρικοί αριθμοί γωνίας θ. Ιδιαίτερο ενδιαϕέρον παρουσιάζει η εκθετική μορϕή των μιγαδικών αριθμών. Πράγματι, με τη τη χρήση της ανάπτυξης T aylor για το εκθετικό e ıθ και των τριγωνομετρικών συναρτήσεων, έχουμε e ıθ = = n= (ıθ) n n! ( θ! + θ4 4! ) ) + ı (θ θ3 3! = cos θ + ı sin θ (.3) η οποία καλείται και μορϕή του Euler. Δηλαδή, η αναπαράσταση του μιγαδικού αριθμού σε καρτεσιανές και πολικές συντεταγμένες γράϕεται z = x + ı y = r e ı θ r (cos θ + ı sin θ) = re ı (θ+kπ) r (cos(θ + kπ) + ı sin(θ + kπ)) (.3) όπου k =, ±, ±,.... (Προϕανώς για k ακέραιο ισχύει e ı(θ+kπ) = e ıθ.) Σημειώστε ότι ως συνέπεια των ανωτέρω, αν δύο μιγαδικοί αριθμοί z, z είναι ίσοι z = z, τότε r = r και θ = θ +kπ. Υπάρχει λοιπόν μια απροσδιοριστία στη γωνία, καθώς όλες οι γωνίες που διαϕέρουν κατά ακέραια πολλαπλάσια του π, συμβολίζουν το ίδιο σημείο στο μιγαδικό επίπεδο. Η παρατήρηση αυτή αποκτά ιδιαίτερη σημασία όταν θα μελετήσουμε τίς ρίζες του z, τις λογαριθμικές καθώς και άλλες συναρτήσεις. Θα εξετάσουμε στη συνέχεια αυτές χαρακτηριστικές περιπτώσεις.. Η πολική μορϕή των μιγαδικών είναι κατάλληλη να εκϕράσουμε με απλούς τύπους τις δυνάμεις αυτών. Υψώνοντας στην δύναμη n (όπου n ακέραιος) διαπιστώνουμε

.. ΜΙΓΑΔΙΚΟ Ι ΑΡΙΘΜΟ Ι 5 y z 3 i x z 3 i Σχήμα.4: Ο αριθμός z = 3 + ı και τον συζυγής του z = 3 ı. ότι z n = r n ( e ı θ) n r n e ı nθ r n e ı (nθ+kπ) = r n {cos (n(θ + kπ)) + ı sin (n(θ + kπ))} = r n {cos nθ + ı sin nθ} Από την τελευταία, για r = προκύπτει η ισότητα η οποία καλείται τύπος του de Moivre. (cos θ + ı sin θ) n = cos nθ + ı sin nθ (.33). Ερχόμαστε τώρα στην ενδιαϕέρουσα περίπτωση των ριζών. Κάνοντας χρήση της πολικής μορϕής, η νιοστή ρίζα του z είναι z /n = r /n e ı kπ+θ n, k =, ±, ±, (.34) Με τη χρήση του τύπου de Moivre η νιοστή ρίζα γράϕεται επίσης ως εξής w = z /n = r /n (cos kπ + θ n + ı sin kπ + θ ) (.35) n Σε αντίθεση με την (.3), η τιμή της z /n δεν παραμένει ίδια για θ θ + π. Πιό συγκεκριμμένα, εάν θεωρήσουμε μια πλήρη περιστροϕή στο μιγαδικό επίπεδο γύρω από το σημείο z =, ενώ βρισκόμαστε πάλι στο ίδιο σημείο z = e ıθ = e ı(θ+kπ) η τιμή της συνάρτησης w αλλάζει. Στην περίπτωση αυτή η συνάρτηση καλείται πλειότιμη, ενώ το σημείο z = καλείται κλαδικό. Υπάρχουν n διαϕορετικές τιμές της z /n, για k =,,..., n, ενώ για k = n+k, k =,,... έχουμε επανάληψη των ίδιων λύσεων διότι e ı (n+k)π+θ n n διότι μετά από τότες περιστροϕές η συνάρτηση επανέρχεται στο ίδιο σημείο. Οι = e ı kπ+θ n. Το κλαδικό σημείο καλείται τάξης n-διαϕορετικές τιμές είναι αναμενόμενες άν τις θεωρήσουμε ως λύση της εξίσωσης w n z =. Για παράδειγμα, όταν n = έχουμε w = r e ı (kπ+ θ ) = ±r e ı θ κοκ. Αν θέσουμε z z, η συνάρτηση είναι w = z /n. Παρατηρούμε ότι και εδώ το σημείο z = είναι κλαδικό σημείο. Στην αρχική συνάρτηση αντιστοιχεί στο

6 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ. ΜΙΓΑΔΙΚ ΕΣ ΣΥΝΑΡΤ ΗΣΕΙΣ σημείο z =, άρα τα σημεία διακλάδωσης της συνάρτησης w = z /n είναι τα,. Διαπιστώνουμε επίσης ότι στα κλαδικά σημεία η συνάρτηση έχει μιά μόνο τιμή, (εδώ w() =, w( ) = ). 3. Ανάλογα συμβαίνουν και στη λογαριθμική συνάρτηση. Από την (.3) έχουμε lnz = ln z + ı argz = lnr + ı (θ + kπ) (.36) συνεπώς, μετά μια πλήρη περιστροϕή γύρω από το σημείο (, ) η συνάρτηση θ θ + π αλλάζει. Το σημείο (, ) της συνάρτησης είναι ιδιόμορϕο και καλείται κλαδικό. Στο σημείο (, ) η συνάρτηση δεν ορίζεται. Αν θεωρήσουμε τη συμπεριϕορά της συνάρτησης για z /z, διαπιστώνουμε ότι και το άπειρο είναι επίσης κλαδικό σημείο. Σχεδιάζουμε γραμμή που ενώνουμε τα δύο κλαδικά σημεία, την οποία καλούμε τομή (branch cut) στην περίπτωσή μας, το μηδέν με το άπειρο σε οποιαδήποτε κατεύθυνση του μιγαδικού επιπέδου. Αν για παράδειγμα εκτείνουμε τη γραμμή μεταξύ και μπορούμε τότε να ορίσουμε μονότιμη συνάρτηση για r >, π < θ < π, την lnr +ıθ (βασικός κλάδος). Μια διαϕορετική αντιμετώπιση των πλειότιμων συναρτήσεων θα γίνει αργότερα με την εισαγωγή της έννοιας των ϕύλλων του Riemann. Σχήμα.5: Τομή κατά μήκος του αρνητικού άξονα για τη Λογαριθμική συνάρτηση. Η γωνία για τον βασικό κλάδο μεταβάλλεται στο ( π, π). 4. Θα μελετήσουμε τη συνάρτηση w = z, η οποία προϕανώς λόγω της τετραγωνικής ρίζας αναμένεται να είναι πλειότιμη. Γράϕουμε Η συνάρτηση γράϕεται z + = r e ıθ z = r e ıθ w = (r r ) / e ı(θ+θ)/ (.37) Ξεκινώντας από τις τιμές των γωνιών θ =, θ = π, κάνουμε μια πλήρη περιστροϕή γύρω από το σημείο z = οπότε οι γωνίες λαμβάνουν τις τιμές θ = π, θ = π, (σχήμα.6). Παρατηρούμε ότι η συνάρτηση αλλάζει πρόσημο w(θ =, θ = π) = w(θ = π, θ = π) (.38)

.. ΜΙΓΑΔΙΚΟ Ι ΑΡΙΘΜΟ Ι 7 ενώ επανέρχεται στην αρχική της τιμή μετά από δύο περιστροϕές. Ανάλογα συμβαίνουν και για το σημείο z = +. Τα σημεία z = ± και z = είναι κλαδικά. Εχουμε δύο δυνατότητες για την επιλογή της τομής, είτε μεταξύ των τιμών z = ±, ή ενώνοντας το z = με το σημείο z = και το z = + με το z =. Στο σχήμα (.6) σχεδιάζεται η δεύτερη επιλογή. Σχήμα.6: Τομή για τη συνάρτηση w = z.

8 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ. ΜΙΓΑΔΙΚ ΕΣ ΣΥΝΑΡΤ ΗΣΕΙΣ..4 Ask seic. Ας δούμε ορισμένα παραδείγματα λογαρίθμων μιγαδικών αριθμών. Ξεκινούμε με τη ϕανταστική μονάδα της οποίας το μέτρο είναι ένα και το όρισμα π. Ο λογάριθμος ln(ı) είναι ln(ı) = ln() + ı(kπ + π ( ) = k + ) πı (.39) Στα πλαίσια των πραγματικών αριθμών, ο λογάριθμος ορίζεται μόνο για τους θετικούς αριθμούς. Στο μιγαδικό επίπεδο ο αρνητικός άξονας έχει όρισμα π και συνεπώς έχουμε ln( ) = ln() + ı(π + kπ) = (k + )πı (.4). Ιδιαίτερη προσοχή χρειάζεται η περίπτωση μιγαδικής δύναμης. Αν w, z δύο μιγαδικοί αριθμοί, τότε με τη χρήση της λογαριθμικής συνάρτησης z w = e w ln z (.4) όμως, επειδή όπως είδαμε η ln w δεν είναι μονότιμη συνάρτηση έχουμε εξάρτηση του αποτελέσματος από τον παράγοντα kπ. Για να βρούμε την ακριβή έκϕραση, γράϕουμε τον μιγαδικό αριθμό w = x + ı y και τη μιγαδική δύναμη z = a + ıb. Μετατρέπουμε τον w = (x + ı y) σε πολικές συντεταγμένες w = re ıθ, r = x + y, θ = cos x x +y, (x + ı y) (a+ıb) = [r(cos θ + ı sin θ)] (a+ıb) = e [lnr+ı(θ+kπ)](a+ıb) = r a e b(θ+kπ) e ıθw, θ w = blnr + a(θ + kπ) (.4) 3. Αποδείξτε ότι άν α, β, γ σημεία του μιγαδικού επιπέδου, τότε η συνθήκη α + β + γ = αβ + βγ + γα (.43) είναι αναγκαία και ικανή ώστε τα α, β, γ να αποτελούν κορυϕές ισοσκελούς τριγώνου. Από την (.495) έχουμε α + β αβ = αβ γ + βγ + γα Εναλλάσοντας κυκλικά έχουμε τελικά (α β) = (α γ)(β γ) α β = α γ β γ α β α β β γ = α γ α β = β γ α γ Πολλαπλασιάζοντας τα δύο πρώτα μέλη της διπλής ισότητας, και εξισώνοντας με το τετράγωνο της τρίτης λαμβάνουμε την ( ) α γ β γ β γ = α γ

.. ΜΙΓΑΔΙΚΟ Ι ΑΡΙΘΜΟ Ι 9 Σχήμα.7: Ισόπλευρο τρίγωνο. η οποία έχει τις λύσεις α γ β γ =, e ıπ/3, e ıπ/3 (.44) από την οποία προκύπτει ότι οι αποστάσεις των σημείων α, β από το σημείο γ είναι ίσες α γ = β γ, ενώ η γωνία που σχηματίζουν έχει τις τρείς δυνατές τιμές, 6,. Με ανάλογη διαδικασία έχουμε επίσης γ β α β =, e ıπ/3, e ıπ/3 (.45) Οι σχέσεις αυτές συνεπάγονται ότι όλα τα μέτρα των διαϕορών είναι ίσα α β = β γ = γ β και επομένως τα τρία σημεία σχηματίζουν ισόπλευρο τρίγωνο και η μόνη αποδεκτή γωνία είναι η π/3. Για το αντίστροϕο, αρχίζουμε από το γεγονός ότι για το ισοσκελές τρίγωνο (.7) έχουμε τις σχέσεις οι οποίες συνεπάγονται α γ β γ γ β α β α γ β γ = e ıπ/3 (.46) = e ıπ/3 (.47) = γ β α β Πολλαπλασιάζοντας σταυρωτά, λαμβάνουμε απ ευθείας την (.495). 4. Λύσεις της z n =. Η μονάδα γράϕεται = e ı (r =, θ = ), z n = r n e ı nθ = e ı = e ı kπ nθ = kπ θ = kπ n (.48) (.49)

ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ. ΜΙΓΑΔΙΚ ΕΣ ΣΥΝΑΡΤ ΗΣΕΙΣ Συμβολίζουμε τις ρίζες της μονάδας ω k n, k =,,..., n όπου ω n =, ω n = e ı π n,..., ω n n = e ı π(n ) n (.5) Με τη χρήση του τύπου de Moivre οι ρίζες της μονάδας γράϕονται ω k n = (cos kπ n kπ + ı sin n ) (.5) y..5..5.5. x.5. Σχήμα.8: Γεωμετρική αναπαράσταση των ριζών της z 6 = 5. Για τις ρίζες της εξίσωσης z n =, γράϕουμε = e (k+)π = z n, άρα v k n = cos (k + )π n + ı sin (k + )π n (.5) Οι ρίζες της εξίσωσης z 7 = σχεδιάζονται με τη χρήση των παρακάτω εντολών στο πρόγραμμα M athematica. CPlot[z List]:=Module[{r}, r = Map[{Re[#], Im[#]}&, z]; ParametricPlot[{5Cos[q], 5Sin[q]}, {q,, Pi}, AspectRatio, AxesLabel {x, y}, PlotRange {{.,.}, {.,.}}, PlotRegion->{{,.}, {.,.}}, Epilog {PointSize[.], Map[Point, r]}]] ro[n, k ]:=(Cos[(k + )Pi/n] + ISin[(k + )Pi/n]) CPlot[Table[ro[7, k], {k, 7}]] Το αποτέλεσμα δείχνεται στο σχήμ (.9). Παρατηρείστε ότι μόνο μία ρίζα (η k = 3) -όπως αναμένεται- συμπιπτει με τον πραγματικό άξονα.

.. ΜΙΓΑΔΙΚΟ Ι ΑΡΙΘΜΟ Ι..5..5.5..5. Σχήμα.9: Γεωμετρική αναπαράσταση των ριζών της z 7 = 6. Δίδεται το πολυώνυμο n βαθμού P n (x) = xn x (.53) Να υπολογιστεί η τιμή του στο x =. Στη συνέχεια θεωρούμε κύκλο μοανδιαίας ακτίνας και εγγεγραμένο επί του κύκλου πολύγωνο n-πλευρών με κορυϕές q, q,... q n. Στη συνέχεια ενώνουμε την κορυϕή q με τις κορυϕές q,... q n και σχηματίζουμε τα (n ) ευθύγραμμα τμήματα d = q q,..., d n = q q n. Να δειχθεί ότι το γινόμενο των μηκών των τμημάτων ισούται με n, δηλαδή n k= d k = n (.54) Για το πρώτο ερώτημα, διαπιστώνουμε πρώτα ότι το πολυώνυμο γράϕεται και επομένως P n (x) = + x + x + x n (.55) P n () = + + + n = n (.56) Για το δεύτερο ερώτημα, χωρίς βλάβη της γενικότητας, θεωρούμε τον μοναδιαίο κύκλο με κέντρο την τομή των αξόνων στο μιγαδικό επίπεδο και δεχόμαστε ώς πρώτη κορυϕή q το σημείο x + ıy =. Οι κορυϕές του πολυγώνου αντιστοιχούν τώρα στις n ρίζες της μονάδας z n =, δηλαδή οι κορυϕές του πολυγώνου είναι τα σημεία z k = e πkı n (.57)

ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ. ΜΙΓΑΔΙΚ ΕΣ ΣΥΝΑΡΤ ΗΣΕΙΣ Οι ζητούμενες αποστάσεις γράϕονται τώρα d k = z z k z k, k =,... n (.58) Με τη χρήση των (.57) το πολυώνυμο z n γράϕεται P n (z) = z n = (z z ) (z z ) (z z n ) από την τελευταία προκύπτει = (z ) (z z ) (z z n ) n (z ) (z z k ) k= P n (z) = zn n z (z z k ) (.59) και από το πρώτο ερώτημα αντικαθιστούμε στην τελευταία P n () = n, επομένως k= n ( z k ) = n (.6) k= ενώ με τη χρήση της (.58) αντικαθιστούμε τα d k = z k και λαμβάνουμε τη ζητούμενη σχέση. Σχήμα.: Γεωμετρική αναπαράσταση των d k = z k

.. ΜΙΓΑΔΙΚΟ Ι ΑΡΙΘΜΟ Ι 3 7. Ως εϕαρμογή της (.4) θα υπολογίσουμε το ı ı. Μετατρέπουμε τον ı ı = e ı ln ı = e ı (ln ı +(kπ+ π )ı) = e (kπ+ π ).79 e kπ (.6) δηλαδή το αποτέλεσμα είναι μια απειρία πραγματικών αριθμών με `κύρια τιμή (για k = ) ı ı =.79. Ομοίως μπορούμε να δείξουμε ότι ı = κοκ. 8. Στο κβαντικό ϕαινόμενο του ϕωτοϊονισμού εμϕανίζεται η ποσότητα Q = ((ıa )/(ıa + )) bı. Θα αποδείξουμε ότι είναι πραγματική. Γράϕουμε πρώτα το κλάσμα ως εξής ıa ıa + = = (ıa )(ıa ) (ıa )(ıa + ) (ıa ) ( + a ) = ( a + ı + a ) = (cos ϕ + ı sin ϕ) = e ϕı = e cot aı (.6) Τότε ln Q = ıb ln e cot aı = b cot a και Q = e b cot a (.63) 9. Στη κβαντική, κυματοσυνάρτηση σωματιδίου έχει τη μορϕή { x 4δ + ık Ψ(x, t) = A(t) exp (x k h ht + ı mδ m t) όπου A(t) πραγματική συνάρτηση του χρόνου. Να βρεθεί το πλάτος πιθανότητας Ψ. Απάντηση. Για διευκόλυνσή μας στην εκτέλεση των πράξεων εισάγουμε τις παραμέτρους ( a = x (δ), b = k x k ) h m t, µ = ht mδ Η Ψ γράϕεται τότε Ψ(x, t) Ψ(x, t)ψ (x, t) = A(t) e a+ıb +ıµ } a ıb e ıµ = A(t) e a+ıb +ıµ a+ıb ıµ = A(t) a+µb e +µ (.64) Ο αριθμητής είναι a + µb = = x (δ) k 4δ ( x k h m t ( x k h ) ) ht m t mδ

4 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ. ΜΙΓΑΔΙΚ ΕΣ ΣΥΝΑΡΤ ΗΣΕΙΣ και αντίστοιχα ο παρονομαστής Αντικαιστούμε και λαμβάνουμε + µ = + Ψ(x, t) = A(t) exp. Θα βρούμε το argz του z = ( 3 ı) 6. ( ) ht mδ (.65) { ( x k h m t) } δ + ( ) ht mδ (.66) Διαιρούμε την ποσότητα στην παρένθεση με ( 3) + =, οπότε ο z γράϕεται Δηλαδή argz = π. ( ) 6 3 z = 6 ( = 6 cos π 6 ı sin π ) 6 = 6 e ıπ = 64 6 Θα απλοποιήσουμε την z = ( + ı) 7. ( ) 7 ( ı ) 7 = ( ( ) 7 cos π 4 + ı sin π ) 7 4 = 8 ( cos 7π 4 ı sin 7π ) 4 = 8( + ı). Με τη χρήση του τύπου de Moivre μπορούν να αποδειχθούν οι τριγονωμετρικές ταυτότητες Δηλαδή Ομοίως cos θ + ı sin θ = (cos θ + ı sin θ) = cos θ sin θ + ı cos θ sin θ cos θ = cos θ sin θ, sin θ = cos θ sin θ cos 3θ + ı sin 3θ = (cos θ + ı sin θ) 3 από την οποία προκύπτει = cos 3 θ 3 cos θ sin θ + ı(3 cos θ sin θ sin 3 θ) cos 3θ = cos 3 θ 3 cos θ sin θ, sin 3θ = 3 cos θ sin θ sin 3 θ. Οι δύο ρίζες μιάς εξίσωσης τρίτου βαθμού δίδονται από τις ( y z yz + 3 ) y 3 z 3 w = yz + x + O ( x ) ( y 3 z 3 ) /3 w = yz + y3 z 3 (( + i 3 ) y z 3 ( y 3 z 3 ) /3 i 3 + Απλοποιείστε το αποτέλεσμα. (Απ. yz( ı 3 x), yz( + x). ) x + O ( x )

.. ΜΙΓΑΔΙΚΟ Ι ΑΡΙΘΜΟ Ι 5 3. Θα αποδείξουμε την ταυτότητα Lagrange. Θεωρούμε το άθροισμα των ακόλουθων δυνάμεων μιγαδικού αριθμού L = + z + z + + z n. Πολλαπλασιάζουμε με z και έχουμε τις ποσσότητες στη συνέχεια αϕαιρούμε L = + z + z + + z n z L = z + z + + z n+ ( z) L = z n+ και λαμβάνουμε την ταυτότητα Lagrange + z + z + + z n = zn+. (.67) z 4. Με τη χρήση της ταυτότητας Lagrange μπορούμε να παραγάγουμε τριγωνομετρικές ταυτότητες. Για παράδειγμα, θέτοντας z = e ±ıθ, η (.67) γράϕεται + e ıθ + e ıθ + + e nıθ = e(n+)ıθ e ıθ + e ıθ + e ıθ + + e nıθ = e (n+)ıθ e ıθ Προσθέτοντας και εκτελώντας τις κατάλληλες πράξεις του δευτέρου μέρους ( ) + cos θ + cos θ + + cos nθ = + sin(n + ) θ sin θ (.68) 5. θεωρείστε τυχαία ρίζα u k από τις n ρίζες της μονάδας u k = ω k n, k =,..., n που μελετήθηκαν παραπάνω. Από την (.67) έπεται + u k + u k + u n k = un k u k όμως και επομένως, u n k = ( e ı πk n ) n = e ı πk = 6. Η τετραγωνική ρίζα μιγαδικού αριθμού z = a + bı. + u k + u k + u n k = (.69) Γράϕουμε τον z ως ακολούθως a + bı = ( ) a + b a a + b + ı b = r(cos θ + ı sin θ) (.7) a + b

6 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ. ΜΙΓΑΔΙΚ ΕΣ ΣΥΝΑΡΤ ΗΣΕΙΣ όπου r = a + b και θ = tan b a. ( a + bı = r cos θ + ı sin θ ) (.7) Από τις τριγωνομετρικές ταυτότητες cos θ = +cos θ αντικαθιστούμε και έχουμε r a r = r+a a + bı = ± ( r + a + ı r a ) r, sin θ = cos θ = (.7)..5 Eswterikì kai Exwterikì ginìmeno Ορίζουμε το εσωτερικό γινόμενο ως εξής z z = z z cos θ (.73) όπου θ = θ θ η γωνία μεταξύ των δύο μιγαδικών αριθμών. Από την τριγωνομετρική ταυτότητα cos θ = cos θ cos θ + sin θ sin θ και τις x i = z i cos θ i y i = z i sin θ i έχουμε Επίσης Συνδυάζοντας τις παραπάνω z z = x x + y y (.74) z z = x x + y y + ı(y x x y ) z z = x x + y y + ı(x y y x ) z z = z z + z z Ορίζουμε το εξωτερικό γινόμενο ως εξής = Re( z z ) (.75) Ακολουθώντας την ίδια διαδικασία z z = z z sin θ (.76) z z = x y y x = z z z z ı = Im(z z ) (.77)

.. ΜΙΓΑΔΙΚ ΕΣ ΣΥΝΑΡΤ ΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΑΡ ΑΓΩΓΟΙ ΑΥΤ ΩΝ 7. Migadikèc Sunart seic kai parˆgwgoi aut n Στο προηγούμενο εδάϕιο, στα πλαίσια των ιδιοτήτων των μιγαδικών αριθμών, εισήχθησαν ορισμένες στοιχειώδεις μιγαδικές συναρτήσεις όπως η δύναμη και ο λογάριθμος μιγαδικής μεταβλητής. Γενικώτερα, σε αναλογία με τις πραγματικές συναρτήσεις, η μιγαδική συνάρτηση αντιστοιχεί σε κάθε τιμή της μιγαδικής μεταβλητής z σε συγκεκριμένη περιοχή, μία ή περισσότερες τιμές μιας άλλης μιγαδικής μεταβλητής w, w = f(z) (.78) Στα προηγούμενα είδαμε για παράδειγμα ότι η w = z αντιστοιχεί κάθε τιμή του z σε μόνο μια τιμή του w. Η συνάρτηση αυτή καλείται μονότιμη. Αντίθετα, η w = z αντιστοιχεί μια τιμή του z σε δύο τιμές του w και η λογαριθμική συνάρτηση αντιστοιχεί μια τιμή του z σε άπειρες τιμές του w. Οι συναρτήσεις αυτές καλούνται πλειότιμες. Ορισμένες στοιχειώδεις συναρτήσεις είναι: Πολυωνυμικές P n (z), P n (z) = a n z n + a n z n + + a z + a (.79) Εκθετικές, τριγωνομετρικές, υπερβολικές κλπ w = e z, w = e z,... w = cos(z) = eız + e ız, w = sin(z) = eız e ız ı w = cosh(z) = ez + e z, w = sinh(z) = ez e z Πολλές από τις βασικές ιδιότητες των πραγματικών συναρτήσεων ισχύουν όπως sin z + cos z = κλπ. Επίσης sin ız = eı(ız) e ı(ız) ı και ανάλογα για τις άλλες συναρτήσεις. = e z e z ı = ı sinh(z) (.8).. AntÐstrofec Trigwnometrikèc Sunart seic kai parˆgwgoi aut n Θα βρούμε ένα τύπο για τον βασικό κλάδο της αντίστροϕης συνάρτησης w = sin z. Επιλύοντας ως προς e ıw, λαμβάνουμε sin z = w z = sin w = eıw e ıw ı e ıw ı z e ıw = (.8) e ı(w+kπ) = ız ± z (.8)

8 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ. ΜΙΓΑΔΙΚ ΕΣ ΣΥΝΑΡΤ ΗΣΕΙΣ Επιλέγουμε w = όταν z = και έχουμε sin z = ı ln(ız + z ) (.83) Η (.83) είναι πλειότιμη συνάρτηση που εξαρτάται από την επιλογή του κλάδου του λογαρίθμου αλλά και της τετραγωνικής ρίζας. Τα κλαδικά σημεία είναι z = ± και το z =. Επειδή για πραγματική μεταβλητή z = x η sin z έχει τιμές μεταξύ των [, ], αποϕεύγουμε να ορίσουμε την κλαδική τομή μεταξύ των ±. Αντ αυτού, επιλέγουμε τις κλαδικές τομές [, ) και [, ). Στο σχήμα δείχνεται το ϕανταστικό μέρος της sin z. Σχήμα.: Απεικόνιση Im(sin z) Με αντίστοιχη διαδικασία ευρίσκουμε για το αντίστροϕο συνημίτονο cos z = ı ln(z + ı z ) (.84) Θα υπολογίζουμε την αντίστροϕη εϕαπτομένη tan z = w ız = ı tan w = eıw e ıw e ıw + e ıw e ıw+kπı = + ız ız από την οποία παίρνοντας το λογάριθμο των δύο μελών tan z = kπ + ı ( ) ı + z ln ı z (.85) (.86) Για τον κλάδο k = η συνάρτηση απεικονίζεται στο σχήμα Θα κάνουμε το αντίστοιχο για την υπερβολική εϕαπτομένη w = tanh z. z = tanh w = eıw e ıw e ıw + e ıw e w+ıkπ = z + z w = ıkπ + ( ) z ln + z (.87)

.. ΜΙΓΑΔΙΚ ΕΣ ΣΥΝΑΡΤ ΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΑΡ ΑΓΩΓΟΙ ΑΥΤ ΩΝ 9 x y Σχήμα.: Απεικόνιση Im(tan z) Αναλυτική παρουσίαση της έννοιας της παραγώγου θα δοθεί στο επόμενο εδάϕιο. Εδώ, θα υποθέσουμε ότι ορίζεται σε αναλογία με τις πραγματικές συναρτήσεις και θα υπολογίσουμε τις παραγώγους των αντίστροϕων τριγωνομετρικών συναρτήσεων. Για την sin z έχουμε d dz sin z = ı d [ ln(ız + ] z dz ) [ ] ı = ız + z ı z z = (.88) z Η παράγωγος της (.83) είναι πλειότιμη συνάρτηση που εξαρτάται από την επιλογή μόνο του κλάδου της τετραγωνικής ρίζας. Στα σημεία z = ± απειρίζεται. Συνολικά, για όλες τις αντίστροϕες βασικές τριγωνομετρικές συναρτήσεις έχουμε τα εξής αποτελέσματα d dz sin z = z d dz cos z = z d dz tan z = + z d dz cot z = + z Εϕαρμογή. Θα μελετήσουμε την αντίστροϕη εϕαπτομένη για τα σημεία του μοναδιαίου κύκλου z =. Η z = συνεπάγεται x + y =. Η συνάρτηση του λογαρίθμου στον ορισμό της αντίστροϕης εϕαπτομένης είναι w = + ız ız = + ı(x + ıy) ı(x + ıy) = x y + xı ( + y) + x

3 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ. ΜΙΓΑΔΙΚ ΕΣ ΣΥΝΑΡΤ ΗΣΕΙΣ και λόγω της x + y =, το κλάσμα γράϕεται w = xı ± x (.89) δηλαδή ϕανταστικός αριθμός. Άρα Arg(w) = π και ı ln xı ± = ı x ln x ± x + π 4.. 'Oria, Sunèqeia, AkoloujÐec. (.9) Θεωρούμε μονότιμη συνάρτηση w = f(z) ορισμένη σε περιοχή S του z = z αλλά όχι απαραίτητα στο z. Ορισμός. Καθώς ο z προσεγγίζει τον z, αριθμός w καλείται όριο της συνάρτησης εάν για κάθε ϵ > υπάρχει θετικός αριθμός δ(ϵ) ώστε για < z z < δ να είναι f(z) w < ϵ. Συμβολίζουμε το όριο της f(z) ως εξής lim f(z) = w (.9) z z Δηλαδή για κάθε ϵ-γειτονιά Q του w υπάρχει μια δ-γειτονιά S δ του z τέτοια ώστε όταν η f(z) Q, τότε z S S δ. Παράδειγμα. Θεωρούμε τη συνάρτηση w = f(z) = z και σημείο z. Θα δείξουμε με τη χρήση του ορισμού ότι το όριο είναι w = z. Εστω ότι z ανήκει στη γειτονιά του z έστι ώστε < z z < δ. Εχουμε w w = z z = (z z )(z + z ) = (z z )(z z + z ) δ (δ + z ) Παίρνουμε ϵ = δ (δ + z ) από την οποία επιλύοντας ως προς δ δ + z δ ϵ = δ(ϵ) = z + ϵ z Δηλαδή υπάρχει ϵ > για κάθε δ = δ(ϵ) τέτοιο ώστε w w < ϵ και μάλιστα όταν ϵ, επίσης δ, ή ισοδύναμα w w όταν z z. Αν για συνάρτηση g(z) το όριο στο z είναι lim z z g(z) = b, εύκολα αποδεικνύεται ότι ισχύουν οι ιδιότητες Παραδείγματα.. Το όριο της συνάρτησης z + z 3 +3ı lim [f(z) ± g(z)] z z = a ± b lim [f(z) g(z)] z z = a b (.9) f(z) lim z z g(z) = a b στο z = ı ευρίσκεται ως εξής z + lim z ı z 3 + 3ı = ı + ı 3 + 3 = + ı + 3ı = ı =

.. ΜΙΓΑΔΙΚ ΕΣ ΣΥΝΑΡΤ ΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΑΡ ΑΓΩΓΟΙ ΑΥΤ ΩΝ 3. Για τη συνάρτηση f(z) = z/z το όριο στο σημείο z = δεν υπάρχει. Πράγματι, προσεγγίζοντας από το y =, x, f(z) = x/x =, ενώ προσεγγίζοντας από το x =, y, f(z) = y/( y) =. Θα συζητήσουμε την ύπαρξη του ορίου σε συνδυασμό με την έννοια της αναλυτικής συνάρτησης στο επόμενο εδάϕιο...3 To shmeðo sto ˆpeiro Θεωρούμε τη μοναδιαία σϕαίρα S στον R 3 με κέντρο στο κέντρο τον αξόνων του μιγαδικού επιπέδου. Ονομάζουμε βόρειο πόλο το σημείο N (,, ) έτσι ώστε η ακτίνα που ενώνει το N με το κέντρο είναι κάθετη στο μιγαδικό επίπεδο (x, y). Ευθύγραμμο τμήμα που ξεκινά από τον N, και τέμνει τη σϕαίρα σε σημείο P = (u, v, w) τέμνει το μιγαδικό επίπεδο C σε σημείο z. Οταν w >, είναι ϕανερό ότι το z κείται εκτός του μοναδιαίου κύκλου που είναι η τομή της σϕαίρας με το μιγαδικό επίπεδο. Άν w < το σημείο z είναι εντός αυτού και άν w = τότε ευρίσκεται επί του μοναδιαίου κύκλου. Τέλος άν w = το ευθύγραμμο τμήμα ταυτίζεται με τη διάμετρο καθετα στο μιγαδικό επίπεδο και διέρχεται από το z =. Εχουμε λοιπόν μια αντιστοιχία των σημείων της σϕαίρας με εκείνα του μιγαδικού επιπέδου. Επεκτείνουμε την αντιστοιχία μεταξύ της σϕαίρας S και του C αντιστοιχώντας το σημείο N S με το άπειρο στο C. Μια ϵ-γειτονιά του N αντιστοιχεί στο σύνολο των σημείων του C για τα οποία z > ϵ για κάποιο ϵ >. Καλούμε το σύνολο αυτό ϵ- γειτονιά του. Με τη χρήση της έννοιας αυτής της γειτονιάς μπορούμε να επεκτείνουμε Σχήμα.3: Απλοποιημένη απεικόνιση της σσϕαίρας Riemann. Υπάρχει αντιστοιχία των σημείων P της σϕαίρας με τα σημεία z του μιγαδικού επιπέδου. Οταν P N υπάρχει γειτονιά ϵ : z > /ϵ και για ϵ το N αντιστοιχίζεται στο z. τον ορισμό (.9) ώστε να συμπεριλαμβάνει και περιπτώσεις που η μεταβλητή z ή και η συνάρτηση w = f(z) είναι σημεία του απείρου. Διακρίνουμε τις περιπτώσεις. Ας θεωρήσουμε z C. Το όριο lim f(z) = (.93) z z

3 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ. ΜΙΓΑΔΙΚ ΕΣ ΣΥΝΑΡΤ ΗΣΕΙΣ υπάρχει μόνον άν lim z z f(z) = (.94). Ας θεωρήσουμε w C. Το όριο υπάρχει μόνον άν 3. Τέλος το όριο υπάρχει μόνον άν lim f(z) = w (.95) z lim f( z z ) = w (.96) lim f(z) = (.97) z lim z f( z ) = (.98) Ορισμός. Θεωρούμε μονότιμη συνάρτηση w = f(z) ορισμένη σε περιοχή του z = z και στο z. Η συνάρτηση καλείται συνεχής στο z άν α) υπάρχει το όριο αυτής με την έννοια της (.9), β) η f(z) είναι ορισμένη στο z και γ) και είναι f(z ) = w. Για τα σημεία που δεν ισχύουν οι τρεις αυτές προϋποθέσεις η f(z) καλείται ασυνεχής σε αυτά. Εάν το όριο υπάρχει αλλά δεν ισούται με την τιμή της συνάρτησης, δηλαδή αν f(z ) = d w, η ασυνέχεια καλείται απαλείψιμη διότι αν επανα-ορισθεί η τιμή της f(z ) = w η ασυνέχεια εξαλείϕεται. Συνάρτηση ακέραιας μεταβλητής f(n, z) (όπου n =,,...) καλείται ακολουθία και αποτελείται από διατεταγμένο σύνολο αριθμών f = f(, z), f = f(, z),..., f k = f(k, z),... (.99) Οι ιδιότητες, οι έννοιες του ορίου, κλπ είναι αντίστοιχες των πραγματικών συναρτήσεων. Παραδείγματα.. Να βρεθεί το όριο στο z της συνάρτησης f(z) = z + z + Σύμϕωνα με την τρίτη περίπτωση έχουμε lim z f( z ) = lim z z + z + = επομένως z + lim z z + =

.. ΜΙΓΑΔΙΚ ΕΣ ΣΥΝΑΡΤ ΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΑΡ ΑΓΩΓΟΙ ΑΥΤ ΩΝ 33. Ο κανόνας L Hospital εϕαρμόζεται όπως και στις πραγματικές συναρτήσεις. Στην περίπτωση των συναρτήσεων μιγαδικής μεταβλητής οι συναρτήσεις πρέπει να είναι συνεχείς και να έχουν συνεχείς παραγώγους (να είναι αναλυτικές, βλ. επόενο κεϕάλαιο). Για παράδειγμα, το όριο της συνάρτησης ( cos z)/z στο z είναι cos z ( cos z) sin z Q = lim z sin = lim z z (sin = lim z) z z και επειδή οι sin z, z είναι επίσης αναλυτικές εϕαρμόζουμε ξανά τον κανόνα sin z Q = lim z z = lim (sin z) z (z) =. 3. Θα δειχθεί η αντιστοιχία των σημείων της σϕαίρας Riemann με τα σημεία του μιγαδικού επιπέδου. Ας είναι (x, x, x 3 ) οι συντεταγμένες των σημείων της μοναδιαίας σϕαίρας. Προ- ϕανώς ισχύει x + x + x 3 = Από τα όμοια τρίγωνα ισχύει η οποία συνεπάγεται x x = y x = x 3 x = x x 3, y = x x 3 Ο μιγαδικός αριθμός z = x + ıy γράϕεται τότε Οι εξισώσεις αντιστρέϕονται εύκολα, και έχουμε x = z = x + ıy = x + ıx x 3 (.) x x + y +, x y = x + y +, x 3 = x + y x + y + ή x = Re(z) z z +, x = Im(z) z z +, x 3 = z z z z + έχει τις ακόλουθες συντεταγμένες επί της σϕαί- Άσκηση. Δείξτε ότι το σημείο z ρας Riemann : x, x, x 3

34 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ. ΜΙΓΑΔΙΚ ΕΣ ΣΥΝΑΡΤ ΗΣΕΙΣ Σχήμα.4: Απεικόνιση της σϕαίρας Riemann. Υπάρχει αντιστοιχία των σημείων της σϕαίρας με τα σημεία z του μιγαδικού επιπέδου..3 Analutik Sunˆrthsh Συνάρτηση f(z) μιγαδικής μεταβλητής z = x + ı y, ορίζεται σε σύνολο σημείων του μιγαδικού επιπέδου, δηλαδή είναι συνάρτηση δύο πραγματικών μεταβλητών x, y. Η f(z) εν γένει λαμβάνει μιγαδικές τιμές, επομένως διαχωρίζεται πάντα σε πραγματικό και ϕανταστικό μέρος f(z) = u(x, y) + ı v(x, y) (.) όπου u, v πραγματικές συναρτήσεις των x, y. Η f επάγει μια απεικόνιση των σημείων του μιγαδικού επιπέδου z στο επίπεδο w = f(z). Από το σύνολο των συναρτήσεων θα περιοριστούμε στη μελέτη μιας κλάσης αυτών, των αναλυτικών συναρτήσεων. Προς τούτο, θα εξετάσουμε πρώτα την έννοια της συνέχειας και της ύπαρξης της παραγώγου. Η f καλείται συνεχής συνάρτηση στο σημείο z όταν το όριο lim f(z) = f(z ) (.) z z υπάρχει με οποιονδήποτε τρόπο προσεγγίσουμε το z. Είναι συνεχής σε περιοχή R, όταν το παραπάνω όριο υπάρχει για κάθε σημείο της περιοχής. Για να κατανοήσουμε την έννοια της παραγώγου στις μιγαδικές συναρτήσεις και της διαϕορισιμότητας αυτών, ας μνημονεύσουμε πρώτα την αντίστοιχη περίπτωση στις πραγματικές συναρτήσεις. Αν λοιπόν g(x) πραγματική συνάρτηση μιάς πραγματικής μεταβλητής x, η παράγωγος αυτής σε συγκεκριμένο σημείο x δύναται να προσεγγιστεί από δύο κατευθύνσεις [ ] dg(x) dx ± g(x ± x ) g(x ) = lim x ± x (.3) Μόνο εϕόσον τα δύο όρια υπάρχουν και είναι ίσα μεταξύτους λέμε ότι η g(x) είναι διαϕορίσιμη στο σημείο x και ισούται με το μοναδικό όριο dg(x) dx g(x + x) g(x ) = lim x x Sthn diejn bibliografða qrhsimopoioôntai oi ìroi analytic holomorphic. (.4)

.3. ΑΝΑΛΥΤΙΚ Η ΣΥΝ ΑΡΤΗΣΗ 35 Ανάλογα με τα παραπάνω, η παράγωγος μιγαδικής συνάρτησης f(z) σε σημείο z ορίζεται f f(z + z) f(z ) (z ) = lim z z (.5) Η f(z) καλείται παραγωγίσιμη όταν το ανωτέρω όριο υπάρχει ανεξάρτητα από την κατεύθυνση που το z προσεγγίζει το z. Η συνθήκη αυτή θέτει ισχυρούς περιορισμούς στις συναρτήσεις μιγαδικών μεταβλητών. Για να γίνει κατανοητό, θα θεωρήσουμε την απλή συνάρτηση f(z) = x + ıλy και θα υπολογίσουμε την παράγωγο αυτής στο σημείο z = (, ). Σύμϕωνα με τον ορισμό f (z) z = = lim z f(z) f() z x + ıλy = lim (x,y) x + ıy x + λy + ı(λ )xy = lim (x,y) x + y Ας υποθέσουμε ότι τα y, x τείνουν στο μηδέν κατά μήκος ευθείας tan θ = y x, τότε η παράγωγος γράϕεται f y (z) = + (λ ) x + y (y + ıx) = + (λ )eı( π θ) sin θ (.6) Για τυχαίο λ η παράγωγος δεν είναι μονοσήμαντα ορισμένη και εξαρτάται από τη θ, δηλαδή εξαρτάται από τον τρόπο προσέγγισης του σημείου z =. Μόνο για λ = η παράγωγος έχει μια μοναδική τιμή f (z) =, ανεξάρτητα από την ευθεία προσέγγισης, συνεπώς από όλες τις γραμμικές ως προς x, y συναρτήσεις μόνο η f(z) = z = x + ıy είναι διαϕορίσιμη. Ως επόμενο παράδειγμα θα υπολογιστεί η παράγωγος της f(z) = z στο σημείο μηδέν, f(z + z) f(z) lim z z = lim (z + z) = z (.7) z υπάρχει ανεξάρτητα πως το z προσεγγίζει το σημείο (, ). Αντίθετα, η παράγωγος της f(z) = z = z z είναι f (z) = f(z + z) f(z) lim z z [ = lim z + z + z z ] z z (.8) όπου z = y ı x και z = y + ı x. Θέτοντας t = y x, όπου t tan θ εκϕράζει την κλίση που προσεγγίζουμε το (x, y ), βρίσκουμε f ( ıt) (z) = z + z + t = x + t y ( ıt) (.9) + t δηλαδή, η παράγωγος εξαρτάται από τον τρόπο που προσεγγίζουμε το σημείο. Για παράδειγμα, προσεγγίζοντας από τον άξονα x, είναι t = και η παράγωγος ισούται με z + z, ενώ από τον άξονα y, t, και f (z) = z z. Οι δύο παράγωγοι συμπίπτουν μόνο όταν z = (x, y ) = (, ).

36 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ. ΜΙΓΑΔΙΚ ΕΣ ΣΥΝΑΡΤ ΗΣΕΙΣ Σχήμα.5: Η παράγωγος της f(z) = z z εξαρτάται από τον τρόπο που προσεγγίζουμε το σημείο z = x + ıy..3. Oi sunj kec Cauchy Riemann Θα παραχθούν οι συνθήκες ώστε αναλυτική συνάρτηση f(z) = u(x, y)+ı v(x, y) να είναι διαϕορίσιμη. Η ύπαρξη της παραγώγου αυτής σε σημείο z θα πρέπει να είναι ανεξάρτητη της προσέγγισης του σημείου. df dz = lim u(x + x, y + y) u(x, y) + ı (v(x + x, y + y) v(x, y)) x, y x + ı y Προσεγγίζοντας το σημείο από τον άξονα των x, θέτουμε y = και έχουμε df dz df dz u(x + x, y) u(x, y) + ı (v(x + x, y) v(x, y)) = lim x x = u(x, y) x Ομοίως για x = έχουμε df dz df dz v(x, y) + ı x u(x, y + u) u(x, y) + ı (v(x, y + u) v(x, y)) = lim x ı y u(x, y) v(x, y) = ı + y y (.) (.) Εξίσωση των δευτέρων μελών των δύο τελευταίων σχέσεων οδηγεί στις ακόλουθες συνθήκες u x = v y u = v y x (.) (.3) Οι (.,.3) καλούνται συνθήκες Cauchy Riemann. Η παραγωγή τους έγινε με την υπόθεση προσέγγισης του σημείου από δύο μόνο κατευθύνσεις, παρ όλα αυτά η ισχύς τους είναι γενική και είναι ικανές ώστε η f(z) να είναι διαϕορίσιμη. Άσκηση. Δίδεται το πραγματικό μέρος αναλυτικής συνάρτησης f(z) u(x, y) = x 3 3xy (.4)

.3. ΑΝΑΛΥΤΙΚ Η ΣΥΝ ΑΡΤΗΣΗ 37 Με τη χρήση μόνον αυτού να υπολογιστεί η παράγωγος f (z). Στη συνέχεια να βρεθεί η f(z). Απάντηση. Από τις συνθήκες Cauchy Riemann και την (.) η παράγωγος γράϕεται και ως εξής df dz = u x ı u y = 3 ( x y + xyı ) = 3z (.5) από την οποία προκύπτει επίσης ότι f(z) = z 3 +c, με απλή ολοκλήρωση (όπου c σταθερά ολοκλήρωσης). Εναλλακτικά, μπορούμε να την υπολογίσουμε και ως εξής από την οποία προκύπτει επίσης ότι u x = 3x 3y = v y v(x, y) = (3x 3y ) dy = 3x y y 3 + c f(z) = u + ıv = x 3 3xy + ı(3x y y 3 + c ) z 3 + c Θεώρημα Θεωρούμε συνάρτηση μιγαδικής μεταβλητής f(z) = u(x, y) + ıv(x, y) όπου οι συναρτήσεις u(x, y), v(x, y) υπακούουν τις συνθήκες Cauchy Riemann και έχουν συνεχείς πρώτες μερικές παραγώγους ως προς τις μεταβλητές x, y σε περιοχή D. Η συνάρτηση f(z) είναι διαϕορίσιμη παντού στην D 3. Εϕόσον η συνάρτηση f(z) δύναται να αναλυθεί σε σειρά T aylor, με τη χρήση των συνθηκών Cauchy Riemann μπορεί να δειχθεί ότι ο μόνος συνδυασμός των x, y που υπεισέρχεται ως μεταβλητή είναι ο z = x + ıy 4. Μπορεί επίσης να δειχθεί ότι οι αναλυτικές συναρτήσεις (διαϕορίσιμες σε περιοχή γύρω από σημείο), αναλύονται πάντα σε σειρά T aylor. Δηλαδή, κάθε αναλυτική συνάρτηση γράϕεται μόνο ως προς τη μεταβλητή του z = x + ıy. Ας πάρουμε για παράδειγμα τη συνάρτηση που ήδη χρησιμοποιήσαμε f(z) = x + ıλy. Γράϕοντας x = z+ z, y = z z ı, f(z) = + λ z + λ z (.6) διαπιστώνουμε ότι για αυθαίρετο λ η συνάρτηση περιέχει και την μεταβλητή z και συνεπώς δεν είναι αναλυτική. Για λ = προϕανώς η f(z) = x + ıy = z. Απόρροια των συνθηκών Cauchy Riemann είναι ότι για αναλυτική συνάρτηση f ισχύει (βλέπε και άσκηση στη συνέχεια) f = (.7) z Επανερχόμενοι στις συνθήκες Cauchy Riemann και διαϕορίζοντας μια ϕορά ακόμη κατάλληλα τις (.,.3) λαμβάνουμε τις 3 H apìdeixh ja dojeð sto parˆrthma. 4 H apìdeixh ja dojeð sto parˆrthma. u u x + y = (.8) v v x + y = (.9)

38 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ. ΜΙΓΑΔΙΚ ΕΣ ΣΥΝΑΡΤ ΗΣΕΙΣ δηλαδή οι u, v είναι αρμονικές συναρτήσεις. Από τις συνθήκες Cauchy Riemann πολλαπλασιάζοντας κατάλληλα μπορούμε επίσης να συνάγουμε την ταυτότητα u v x x + v u y y = (.) Λαμβάνοντας υπ όψη ότι η απόκλιση των συναρτήσεων u(x, y), v(x, y) δίδεται από u(x, y) = î u x + ĵ u y v(x, y) = î v x + ĵ v y (.) (.) όπου î, ĵ τα μοναδιαία διανύσματα κατά μήκος των αξόνων, συνάγουμε ότι η (.) μπορεί να εκϕραστεί και ως εξής u v = (.3) Ας θεωρήσουμε όμως σημείο z = x + ıy του επιπέδου όπου οι τιμές των συναρτήσεων u, v είναι u(x, y ) = u και v(x, y ) = v αντίστοιχα. Από το σημείο αυτό διέρχονται οι καμπύλες για τις οποίες ισχύει u(x, y) = u και v(x, y) = v οι δε κλίσεις u(x, y), v(x, y) είναι κάθετες στις καμπύλες. Αυτό προκύπτει απλά διότι για δεδομένη καμπύλη w(x, y) = w, έχουμε dw =, οπότε από την έκϕραση = d w = w(x, y) d r (.4) συνάγεται ότι η κλίση είναι κάθετη στο d r που κείται επί της δεδομένης καμπύλης. Επειδή το γινόμενό τους είναι μηδέν οι κλίσεις είναι κάθετες έπεται δε ότι και οι καμπύλες τέμνονται μεταξύ τους κάθετα. ορισμοί Συνάρτηση f(z) καλείται αναλυτική σε σημείο του μιγαδικού επιπέδου αν υπάρχει γειτονιά του σημείου όπου η συνάρτηση είναι μονότιμη και η παράγωγός της υπάρχει σε όλα τα σημεία της γειτονιάς και είναι πεπερασμένη. Άν η συνάρτηση είναι αναλυτική σε όλα τα σημεία δεδομένης περιοχής D, λέμε τότε ότι η συνάρτηση είναι αναλυτική στην D και η D καλείται περιοχή αναλυτικότητας της f(z). Αν η f(z) είναι αναλυτική σε σημείο z το σημείο καλείται κανονικό (regular) ειδάλλως καλείται ανώμαλο σημείο (singular). Είναι δυνατό η συνάρτηση να είναι αναλυτική στη γειτονιά ενός σημείου χωρίς να είναι μονότιμη ή διαϕορίσιμη στο ίδιο το σημείο. Τέτοια περίπτωση αποτελεί το σημείο μηδέν για τη συνάρτηση f(z) = /z. Πράγματι, η συγκεκριμμένη συνάρτηση είναι διαϕορίσιμη παντού εκτός από το σημείο μηδέν όπου η παράγωγος απειρίζεται. Στην περίπτωση αυτή το σημείο αποτελεί απομωνομένη ανωμαλία (isolated singularity). Αντίθετα, για τη συνάρτηση ln(z) το ανώμαλο σημείο μηδέν δεν είναι απομονωμένη ανωμαλία. Γενικά, μια συνάρτηση εμϕανίζει απομονωμένη ανωμαλία σε σημείο z όταν υπάρχει γειτονιά τέτοια ώστε < z z < δ στην οποία η συνάρτηση είναι αναλυτική.

.3. ΑΝΑΛΥΤΙΚ Η ΣΥΝ ΑΡΤΗΣΗ 39.3. Ask seic. Οι συνθήκες Cauchy Riemann στις πολικές συντεταγμένες. Οι εξισώσεις μετασχηματισμού καρτεσιανών-πολικών συντεταγμένων είναι x = r cos θ, y = r sin θ r = x + y, θ = tan y x από τις οποίες προκύπτει ότι r x = cos θ, θ Αντικαθιστούμε στις παραγώγους x = sin θ r, r y = sin θ, θ y = cos θ r x = r x r + θ x θ = cos θ r sin θ r θ = r y y r + θ y θ = sin θ r + cos θ r θ (.5) (.6) Αντικαθιστούμε στις συνθήκες Cauchy Riemann και μετά από λίγες πράξεις έχουμε ( u r ) ( v v cos θ = r θ r + ) u sin θ (.7) r θ ( u r ) ( v v sin θ = r θ r + ) u cos θ (.8) r θ Πολλαπλασιάζουμε την πρώτη με cos θ, τη δεύτερη με sin θ και αθροίζουμε. Επαναλαμβάνουμε τη διαδικασία πολλαπλασιάζοντας με sin θ και cos θ, και αϕαιρούμε. Οι σχέσεις που προκύπτουν είναι οι συνθήκες Cauchy Riemann σε πολικές συντεταγμένες u r v r = + v r θ = u r θ (.9) (.3) Διαϕορίζοντας μια ακόμη ϕορά, κατάλληλα ως προς r, θ, λαμβάνουμε την εξίσωση Laplace σε πολικές συντεταγμένες Ψ r + r Ψ r + Ψ r θ =, oπoυ Ψ = u, v (.3). Να γραϕεί η παράγωγος συνάρτησης f(z) σε πολικές συντεταγμένες. Από την (.), με την αντικατάσταση της (.5) έχουμε df dz = u(x, y) x v(x, y) + ı x = cos θ u r sin θ r u θ + ı [ cos θ v r sin θ r ] v θ

4 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ. ΜΙΓΑΔΙΚ ΕΣ ΣΥΝΑΡΤ ΗΣΕΙΣ Με την αντικατάσταση των u Riemann (.9,.3) έχουμε df dz 3. Οι διαϕορικοί τελεστές. θ, v θ = cos θ u v + sin θ r r + ı = (cos θ ı sin θ) u ( u = e ıθ r + ı v r Ορίζουμε τους διαϕορικούς τελεστές Με τη χρήση των x = z+ z, y = z z ı από τις οποίες προκύπτει στην τελευταία από τις συνθήκες Cauchy r ) = x + ı y = x ı y έχουμε x = z x z + z x z = ( = ı y z ) z [ cos θ v ] u sin θ r r + (sin θ + ı cos θ) v r z + z (.3) (.33) (.34) = (.35) z = (.36) z Ας θεωρήσουμε στη συνέχεια τη δράση των τελεστών σε διάϕορες συναρτήσεις. Θεωρούμε πρώτα πραγματική βαθμωτή συνάρτηση δύο μεταβλητών Φ(x, y) η οποία με την αντικατάσταση των x, y από τα z, z γράϕεται Φ ( z+ z, ) z z ı Ω(z, z). Η δράση του τελεστή δίδεται Φ(x, y) = Φ x + ı Φ y Ω z (.37) Στη συνέχεια θεωρούμε συνάρτηση f(x, y) = u(x, y) + ıv(x, y) η οποία με τις αντικαταστάσεις των x, y από τα z, z παίρνει τη μορϕή ( z + z f(x, y) = f, z z ) = P (z, z) + Q(z, z) = G(z, z) ı f(x, y) = f x + ı f y = u x v y + ı G(z, z) = z ( v x + u ) y (.38) (.39)

.3. ΑΝΑΛΥΤΙΚ Η ΣΥΝ ΑΡΤΗΣΗ 4 Αν η f(x, y) είναι αναλυτική συνάρτηση τότε ισχύουν οι συνθήκες Cauchy Riemann οι οποίες αν εϕαρμοστούν στη δεύτερη γραμμή (.38) δίδουν μηδέν. Συνεπώς, για αναλυτική συνάρτηση f(x, y) = G(z, z) προκύπτει f(x, y) = (.4) G(z, z) z = (.4) 4. Απόκλιση, Στροβιλισμός. Από τον ορισμό (.75) του εσωτερικού γινομένου για την απόκλιση της συνάρτησης f(x, y) έχουμε divf(x, y) = f(x, y) = Re ( f(x, y) ) = u x + v y = Re ( ) G(z, z) z (.4) Αν η συνάρτηση f(x, y) είναι αναλυτική προκύπτει ότι divf(x, y) = u x = v y. Με τη χρήση του εξωτερικού γινομένου (.77) γράϕουμε το στροβιλισμό ως εξής curlf(x, y) = f = Im( f) = v x u ( ) G(z, z) y = Im z (.43) Για f(x, y) αναλυτική έχουμε ότι curlf(x, y) = v x = u y. 5. Ο Τελεστής Laplace. Ορίζεται ως το εσωτερικό γινόμενο = x + y = 4 z z 6. Διάνυσμα κάθετο σε καμπύλη. Θεωρούμε συνεχή συνάρτηση f(x, y) και την καμπύλη του επιπέδου που καθορίζεται από την εξίσωση f(x, y) = c, όπου c σταθερά. Είναι = d f(x, y) = f x dx + f dy (.44) y Εισάγοντας το εσωτερικό γινόμενο απο την (.75) η τελευταία γράϕεται ( f d f(x, y) = x + ı f ) (dx + ıdy) = f d r = y δηλαδή τα f, d r είναι μεταξύ τους κάθετα. Επειδή το d r ευρίσκεται πάνω στην καμπύλη, έπεται ότι το f ορίζει διάνυσμα κάθετο σ αυτή. 7. Λύση διαϕορικής Εξίσωσης Ψ x + Ψ y = x y

4 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ. ΜΙΓΑΔΙΚ ΕΣ ΣΥΝΑΡΤ ΗΣΕΙΣ Με την αντικατάσταση των x = z+ z, y = z z ı, και του τελεστή Laplace από την (.498) η διαϕορική εξίσωση λαμβάνει τη μορϕή 4 Ψ z z = ( z + z ) Οι z z είναι οι νέες ανεξάρτητες μεταβλητές. Ολοκληρώνουμε πρώτα ως προς την z, οπότε έχουμε Ψ z = 8 ( z 3 3 + z ) + f( z) (.45) όπου f( z) η σταθερά ολοκλήρωσης ως προς z η οποία εν γένει είναι μια αυθαίρετη συνάρτηση της z. Στη συνέχεια ολοκληρώνουμε και ως προς z Ψ(z, z) = 4 z ( z + z ) + g(z) + h( z) = (x + y )(x y ) + g(x + ıy) + h(x ıy) (.46) όπου g(x + ıy), h(x ıy) είναι αυθαίρετες συναρτήσεις που προκύπτουν από τις δύο ολοκληρώσεις.

.3. ΑΝΑΛΥΤΙΚ Η ΣΥΝ ΑΡΤΗΣΗ 43.3.3 Apeikìnish migadik c sunˆrthshc. Μια μιγαδική συνάρτηση f(z) = u + ıv εμπλέκει τέσσερις πραγματικές μεταβλητές ήτοι τα ζεύγη (x, y) και (u, v). Η γραϕική απεικόνιση των μιγαδικών συναρτήσεων γίννεται μέσω των δύο εξισώσεων μετασχηματισμού u = u(x, y), v = v(x, y) (.47) όπου σημεία του επιπέδου (x, y) αντιστοιχούνται σε σημεία ενός δεύτερου μιγαδικού επιπέδου (u, v) μέσω προϕανώς του μετασχηματισμού (.47). Με τον μετασχηματισμό αυτό μπορούμε να απεικονίσουμε σχήματα του επιπέδου z σε σχήματα του επιπέδου w. Για κλειστά σχήματα, ο λόγος των εμβαδών τους καθορίζεται από τη Ιακωβιανή του μετασχηματισμού u u J = x v x y v y = u v x y u v y x (.48) Εάν η συνάρτηση είναι αναλυτική, αντικαθιστούμε τις συνθήκες RC στην τελευταία και έχουμε J = = ( ) ( ) u u + x y u x ı u y f (z) (.49) Εϕόσον f (z), ο μετασχηματισμός αντιστρέϕεται, x = x(u, v), y = y(u, v), η δε Ιακωβιανή του αντίστροϕου μετασχηματισμού δίδεται J = f (z), δηλαδή ισχύει J J =. Κατα την απεικόνιση είναι δυνατό να υπάρχουν σταθερά σημεία που απεικονίζονται στον εαυτό τους, καλούνται δε αμετάβλητα Γι αυτά ισχύει f(z) = z. Για παράδειγμα η f(z) = z έχει σταθερά σημεία τα z =,. Παραδείγματα Θα αρχίσουμε με την απεικόνιση βασικών συναρτήσεων. μετατόπιση Η απλούστερη συνάρτηση w(z) = u + ıv προέρχεται από μια απλή μετατόπιση της μεταβλητής w = z + z, όπου z = x + ıy. Οι σχέσεις που συνδέουν τις μεταβλητές είναι u = x + x, v = y + y περιστροϕή. Η συνάρτηση w = zz περιστρέϕει το σημείο (x, y). Σε πολικές συντεταγμένες z = r e ıθ, z = r e ıθ, w = ρ e ıϕ = r r e ı(θ+θ ) ρ = r r, ϕ = θ + θ