Β3. ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΤΕΣ LAGRANGE.Ολικά και τοπικά ακρότατα.εσωτερικά και συνοριακά ακρότατα 3. Χωριζόμενες μεταβλητές 4.Ισοτικός περιορισμός 5.Περιορισμένη στασιμότητα 6.Πολλαπλασιαστής Lagrange 7.Συνάρτηση Lagrange 8.Ερμηνεία του πολλαπλασιαστή Lagrange 9.Περισσότερες μεταβλητές και περιορισμοί. ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ 0.Βελτιστοποίηση ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Ολικά και τοπικά ακρότατα Θεωρούμε τις τιμές της συνάρτησης f(,) στα σημεία μιας επίπεδης περιοχής D. Σημεία στα οποία η συνάρτηση έχει μέγιστη ή ελάχιστη τιμή καλούνται ακρότατα της συνάρτησης, και η αντίστοιχη τιμή της ακρότατη τιμή, μέγιστη ή ελάχιστη αντίστοιχα. Θα καλείται γνήσιο ακρότατο αν είναι γνήσια μεγαλύτερο ή μικρότερο αντίστοιχα, δηλαδή αν είναι μοναδικό. Το πρόβλημα εύρεσης των ακρότατων θα διατυπώνεται στη μορφή: ma{f(, ) D}, min{f(, ) D},, αντίστοιχα. Όσον αφορά την λύση θα χρησιμοποιήσουμε τον ίδιο συμβολισμό και για μέγιστο και για ελάχιστο: (, ) f = f(, ) Εξάλλου, στις εφαρμογές μας ενδιαφέρει συνήθως το ένα από τα δύο. Σε κάθε περίπτωση, η μαθηματική αντιμετώπιση των δύο προβλημάτων είναι ισοδύναμη διότι το μέγιστο μιας συνάρτησης συμπίπτει με το ελάχιστο της αρνητικής της. Η συνάρτηση f(,) αποτελεί το κριτήριο βελτιστοποίησης και καλείται αντικειμενική συνάρτηση. Παράδειγμα. Η f = = ( + ) σε ολόκληρο το επίπεδο, έχει γνήσιο ολικό μέγιστο στο σημείο (0,0) με μέγιστη τιμή. Δεν είναι κάτω φραγμένη και επομένως δεν έχει ολικό ελάχιστο σε σημείο του επιπέδου.. Η f = + + = + ( ) σε ολόκληρο το επίπεδο, έχει ελάχιστη τιμή σε όλα τα σημεία της ευθείας: =. Το ελάχιστο δεν είναι γνήσιο. Δεν είναι πάνω φραγμένη και έτσι δεν έχει ολικό μέγιστο σε σημείο του επιπέδου. Τα παραπάνω καλούνται ολικά ακρότατα διότι συγκρίνουμε μεταξύ τους τις τιμές της συνάρτησης σε μια ολόκληρη περιοχή D η οποία και καλείται περιοχή βελτιστοποίησης. Αν η σύγκριση γίνεται μόνο μεταξύ γειτονικών σημείων στην περιοχή, δηλαδή αφορά το πρόσημο του Δf για μικρές μεταβολές {Δ,Δ}, τότε το ακρότατο, μέγιστο ή ελάχιστο, καλείται τοπικό ακρότατο.. Εσωτερικά και συνοριακά ακρότατα Γενικά, σε μια περιοχή που παριστάνεται με ανισότητα: g(,) 0, διακρίνουμε το εσωτερικό της που παριστάνεται με τη γνήσια ανισότητα: g(, ) > 0, και το σύνορο που παριστάνεται με την ισότητα: g(,) = 0. Ανάλογα ορίζεται το εσωτερικό και το σύνορο αν η ανισότητα είναι της μορφής: g(,) 0, ή αν έχουμε ένα σύνολο ανισοτήτων. Παράδειγμα. Ολόκληρο το επίπεδο: R, είναι μόνο εσωτερικό χωρίς σύνορο.. Η θετική περιοχή: R = { 0, 0}, έχει για εσωτερικό τη γνήσια θετική περιοχή: R ++ { 0, 0} + = > >, και για σύνορο τους θετικούς ημιάξονες: {= 0με 0} και {= 0με 0}. 3. Η περιοχή: { +, 0, 0}, έχει ως εσωτερικό τα γνήσια θετικά σημεία που βρίσκονται γνήσια εντός του μοναδιαίου κύκλου: { + <, > 0, > 0}, ενώ το σύνορο αποτελείται από τρία τμήματα, το τμήμα της περιφέρειας στη θετική περιοχή: { + =, 0, 0} και τις δύο ακτίνες: {= 0, 0 }, {= 0, 0 }.
Ένα ακρότατο, ολικό ή τοπικό, θα καλείται εσωτερικό ακρότατο αν βρίσκεται στο εσωτερικό της περιοχής βελτιστοποίησης και συνοριακό ακρότατο αν βρίσκεται στο σύνορο. Θα ασχοληθούμε κυρίως με εσωτερικά ακρότατα. Παρατηρούμε καταρχήν ότι ένα ακρότατο θα είναι ακρότατο και ως προς μεταβολές μόνο της μιας μεταβλητής κρατώντας την άλλη σταθερή. Από τη θεωρία ακρότατων για συναρτήσεις μιας μεταβλητής προκύπτει ότι ένα εσωτερικό ακρότατο θα ναι οπωσδήποτε στάσιμο, δηλαδή θα ικανοποιεί τις εξισώσεις: {f = 0,f = 0} ή διανυσματικά f = 0 Συμπεραίνουμε ότι το ακρότατο θα ανήκει σε μια από τις παρακάτω κατηγορίες: Στάσιμο, αν υπάρχουν. Συνοριακό, αν έχουμε σύνορο. Στο άπειρο, αν η περιοχή βελτιστοποίησης δεν είναι φραγμένη. Οι γραμμικές συναρτήσεις δεν έχουν στάσιμα σημεία οπότε τα ακρότατα βρίσκονται στο σύνορο ή στο άπειρο, εκτός βέβαια αν είναι σταθερές. Παράδειγμα. Θα βρούμε τα ακρότατα της συνάρτησης f(, ) = + στην τετραγωνική περιοχή: {0, 0 }. Λύση. Η περιοχή είναι φραγμένη, οπότε το μέγιστο θα βρίσκεται σε σημεία της περιοχής, στάσιμα ή συνοριακά. Θα τα εντοπίσουμε και θα συγκρίνουμε τις τιμές τους. Στάσιμα. A : {f = + = 0, f = = 0} (0,) με f = 0. Το σύνορο αποτελείται από τέσσερα ευθύγραμμα τμήματα. B : {= 0,0 } f = 0, σταθερή B : { =,0 } f =, μέγιστο στο (,0) με f = 6 B : 3 {0, = 0} f =, μέγιστο στο (,0) με f = 6 B 4 : {0, = } f = 3, μέγιστο στο (0,) με f = 0 Συγκρίνοντας τις παραπάνω τιμές συμπεραίνουμε ότι:. Το μέγιστο βρίσκεται στην κορυφή: (, ) = (,0) με f = 6.. Το ελάχιστο βρίσκεται στο σύνορο B : { = 0,0 } με f = 0. 3. Χωριζόμενες μεταβλητές Το πρόβλημα ακρότατων τιμών με δύο μεταβλητές ανάγεται σε δύο απλά προβλήματα ακρότατων τιμών με μια μεταβλητή, στην παρακάτω περίπτωση: Θεωρούμε μια συνάρτηση χωριζόμενων μεταβλητών με ορθογώνιο πεδίο ορισμού: f(,) = g() + h(), D : {α β,γ δ} Ένα σημείο (, ) είναι ολικό ακρότατο οι συντεταγμένες του είναι ολικά ακρότατα του ίδιου τύπου των αντίστοιχων συναρτήσεων μιας μεταβλητής στα αντίστοιχα διαστήματα, αμφότερα μέγιστα ή αμφότερα ελάχιστα: ma/ min{g() α β} ma/ min{f(, ) = g() + h() α β, γ δ} ma/ min{h() γ δ} Το ορθογώνιο πεδίο ορισμού μπορεί να είναι και μη φραγμένο. Παράδειγμα. f = = ( ) + ( ) σε ολόκληρο το επίπεδο, είναι χωριζόμενων μεταβλητών, με στάσιμο: {f = = 0, f = = 0} ( = 0, = 0) με f(0,0) = Είναι ολικό μέγιστο διότι το = 0 είναι ολικό μέγιστο της h() =. Εξάλλου σε κάθε άλλο σημείο αφαιρούμε μια γνήσια θετική ποσότητα: g() =, και το = 0 είναι ολικό μέγιστο της f(,) = ( + ) Παράδειγμα. f = = ( ) + ( ) είναι χωριζόμενων μεταβλητών στη ορθογώνια θετική περιοχή: { 0, 0}. Έχει γνήσιο ολικό μέγιστο στο συνοριακό σημείο (0,0), διότι το = 0 είναι ολικό μέγιστο της g() = στο διάστημα: 0, και το = 0 είναι ολικό μέγιστο της h() = στο διάστημα: 0. Εξάλλου σε κάθε άλλο σημείο της θετικής περιοχής αφαιρούμε μια γνήσια θετική ποσότητα: f(,) = (+ ) B 4 A B B,B3
Παράδειγμα. f = = ( ) + ( ) σε ολόκληρο το επίπεδο, είναι χωριζόμενων μεταβλητών. Το στάσιμό της ( =, = 0) δεν είναι ακρότατο, διότι το = είναι ελάχιστο για την = 0 είναι μέγιστο για την h() g() =, ενώ το =. Λέμε ότι είναι σαγματικό σημείο. Τα ακρότατα βρίσκονται στο άπειρο. Παράδειγμα. ma{f(, ) = p( + ) v w 0, 0} με {p> 0, v> 0, w> 0} Είναι χωριζομένων μεταβλητών σε ορθογώνια περιοχή. Οι επιμέρους συναρτήσεις είναι κοίλες σε διάστημα, με λύση στάσιμη: p p ma{g() = p v 0} g () = v= 0 =, v p p ma{h() = p w 0} h () = w = 0 =, 4w Η μέγιστη τιμή της συνάρτησης είναι: p p p p f = f(, ) = p( + ) v w = p v w v 4w + v 4w Ως συνάρτηση των παραμέτρων, η μέγιστη τιμή είναι: p αύξουσα κυρτή, {v,w} φθίνουσα κυρτή. 4. Ισοτικός περιορισμός: ma/ min{f(, ) g(, ) =, D}, Παραπάνω ασχοληθήκαμε με τα ακρότατα συναρτήσεων σε ολόκληρες περιοχές. Εδώ θα ασχοληθούμε με τα ακρότατα μιας συνάρτησης f(,), όχι σε ολόκληρη περιοχή, αλλά μόνο στα σημεία μιας καμπύλης που βρίσκεται στην περιοχή. Η καμπύλη περιγράφεται με μια εξίσωση: g(,) = η οποία καλείται εξίσωση περιορισμού. Η ίδια η συνάρτηση g(,) καλείται συνάρτηση περιορισμού. Η f(,) που αποτελεί και το κριτήριο βελτιστοποίησης καλείται αντικειμενική συνάρτηση. Τέτοια ακρότατα τα ονομάζουμε περιορισμένα ακρότατα. Για διάκριση, τα ακρότατα όπως προηγουμένως όπου δεν υπάρχουν ισοτικοί περιορισμοί ονομάζονται και ελεύθερα ακρότατα. Τα περιορισμένα ακρότατα διακρίνονται πάλι σε εσωτερικά που βρίσκονται στο εσωτερικό του πεδίου ορισμού και σε συνοριακά που βρίσκονται στο σύνορο. Θα δώσουμε συνθήκες μόνο για τα εσωτερικά. Παρατήρηση. Στην απλούστερη περίπτωση μπορούμε να λύσουμε το πρόβλημα λύνοντας τον περιορισμό ως προς την μια μεταβλητή την οποία και αντικαθιστούμε στη αντικειμενική συνάρτηση, η οποία τώρα θα είναι συνάρτηση μιας μεταβλητής χωρίς περιορισμό. Δηλαδή, το πρόβλημα περιορισμένης βελτιστοποίησης με δύο μεταβλητές και έναν περιορισμό είναι ισοδύναμο με πρόβλημα ελεύθερης βελτιστοποίησης με μια μεταβλητή. 5. Περιορισμένη στασιμότητα Διαπιστώνουμε γεωμετρικά ότι σένα περιορισμένο ακρότατο η καμπύλη του περιορισμού θα εφάπτεται της αντίστοιχης ισοσταθμικής της συνάρτησης, έτσι ώστε η καμπύλη του περιορισμού να βρίσκεται καθ' ολοκληρίαν στην αντίστοιχη κάτω σταθμική αν πρόκειται για ma, πάνω σταθμική αν πρόκειται για min, όπως στο παρακάτω σχήμα. Ειδικότερα θα έχουμε: Αναγκαίες συνθήκες ης τάξης για περιορισμένο εσωτερικό ακρότατο f g = & g= f g Δηλαδή, το περιορισμένο εσωτερικό ακρότατο θα είναι σημείο της καμπύλης περιορισμού στο οποίο η αντικειμενική συνάρτηση και η συνάρτηση του περιορισμού ορίζουν τον ίδιο ρυθμό υποκατάστασης.. ma{f g= } min{f g= } Έχουμε εξισώσεις με αγνώστους: {,}. Η παραπάνω καλείται συνθήκη δεσμευμένης ή περιορισμένης στασιμότητας και οι λύσεις της δεσμευμένες ή περιορισμένες στάσιμες. Για διάκριση, αν δεν υπάρχουν ισοτικοί περιορισμοί όπως προηγουμένως, οι αντίστοιχες συνθήκες ονομάζονται συνθήκες ελεύθερης στασιμότητας. f f f g= f f g= f 3
Έτσι το περιορισμένο ακρότατο θα ανήκει στη καμπύλη του περιορισμού και θα είναι ένα από τα παρακάτω: Περιορισμένο στάσιμο. Στο σύνορο, αν η καμπύλη συναντάει το σύνορο του πεδίου ορισμού. Στο άπειρο, αν η καμπύλη δεν είναι φραγμένη. Παράδειγμα. min{f = + 4 + g= + = } min f / f = g / g (4 4) /( ) = = = / 3 f g= + = + = = / 3 Δεν έχουμε σύνορο, οπότε το ελάχιστο είτε θα είναι στο παραπάνω στάσιμο είτε στο άπειρο. Από το γράφημα παραπλεύρως διαπιστώνουμε ότι η ευθεία του περιορισμού βρίσκεται στην πάνω σταθμική της αντικειμενικής συνάρτησης και επομένως το σημείο είναι ολικό ελάχιστο. Εναλλακτικά, μπορούμε να λύσουμε το πρόβλημα με αντικατάσταση της μιας μεταβλητής από τον περιορισμό: g= + = = f = + 4 ( ) + = 3 4 ( ) Βρήκαμε κυρτή συνάρτηση μιας μεταβλητής με ολικό ελάχιστο στο στάσιμο που βρήκαμε παραπάνω: f = 6 4= 0 = / 3, = = / 3 Παράδειγμα. ma/ min{f = + g= + = 5, D : 0, 0} f / f = g / g = 0 /= / ( =, = ) g= + = 5 ( =, = ). Αποδεκτή μόνο η θετική λύση: ( =, = ) με f = + = 5 Το παραπάνω είναι εσωτερικό υποψήφιο σημείο. Η καμπύλη είναι φραγμένη και έχει συνοριακά υποψήφια σημεία στους θετικούς ημιάξονες, ως εξής:. {= 0, + = 5} = 0, =± 5. Αποδεκτό το θετικό : ( = 0, = 5) με f = + = 5 3. {= 0, + = 5} = 0, =± 5. Αποδεκτό το θετικό :(3 = 5, 3 = 0) με f 3 = 3 + 3 = 5 Βρήκαμε τρία υποψήφια σημεία, με τιμές: f = 5, f = 5, f = 5 3 Έχουμε μέγιστη τιμή f = 5 στο περιορισμένο στάσιμο και ελάχιστη τιμή f = 5 στο σύνορο με = 0. Παρατήρηση. Γραφικά, το ακρότατο βρίσκεται στην τομή της καμπύλης του περιορισμού και μιας ισοσταθμικής της αντικειμενικής συνάρτησης με τη μεγαλύτερη ή μικρότερη τιμή για μέγιστο ή ελάχιστο αντίστοιχα. Στο παραπάνω παράδειγμα το μέγιστο είναι εσωτερικό οπότε εφάπτονται, ενώ το ελάχιστο είναι συνοριακό και δεν εφάπτονται. 6. Πολλαπλασιαστής Lagrange Η συνθήκη περιορισμένης στασιμότητας γράφεται και στις παρακάτω ισοδύναμες μορφές: min f g f f f f = ή = fg fg = 0 ή = f g g g g g Ο κοινός λόγος στην τρίτη μορφή καλείται πολλαπλασιαστής Lagrange της λύσης και έχει ιδιαίτερη σημασία στις εφαρμογές. Μάλιστα, παριστάνοντας τον με λ, μπορούμε να γράψουμε τη συνθήκη περιορισμένης στασιμότητας στη μορφή: f f f = λg = = λ g g f = λg με λύση: (,,λ) g= g= Τώρα έχουμε 3 εξισώσεις με 3 αγνώστους, δηλαδή μαζί με τη λύση βρίσκουμε και την τιμή του λ. Οι εξισώσεις σαυτή την μορφή ονομάζονται και εξισώσεις Lagrange. Μπορούμε να βρούμε πρώτα τη λύση (,) από τις εξισώσεις περιορισμένης στασιμότητας και να υπολογίσουμε το λ εκ των υστέρων, ή να λύσουμε το παραπάνω σύστημα τριών εξισώσεων οπότε βρίσκουμε το λ ως μέρος της λύσης. ma f 4
Παράδειγμα. min{f = + 4 + g= + = } Βρήκαμε παραπάνω το ακρότατο ως το περιορισμένο στάσιμο: {= / 3, = / 3}. Μπορούμε να υπολογίσουμε τον πολ/τή Lagrange από τη συνθήκη: λ= f / g = 4 4= 4 / 3 ή λ= f / g = = 4 / 3, τα δύο πρέπει να είναι ίσα. Εναλλακτικά, μπορούμε να το βρούμε ως μέρος της λύσης των εξισώσεων Lagrange: f = λg 4 4= λ = λ / 4+ = / 3, = / 3 f = λg = λ = λ / + g= + = λ / 4+ + λ / + = λ= 4 / 3 Παρατήρηση. Συνήθως λύνουμε τις δύο πρώτες εκφράζοντας τα {,} ως συναρτήσεις του λ και στη συνέχεια αντικαθιστούμε στην τρίτη που είναι και η εξίσωση του περιορισμού οπότε υπολογίζουμε πρώτα το λ. Μετά πάμε πίσω και υπολογίζουμε τα {,} 7. Συνάρτηση Lagrange του προβλήματος περιορισμένου ακρότατου καλείται η παρακάτω συνάρτηση των τριών μεταβλητών {,,λ} : ma/ min{f(, ) g(, ) =, D} L(,, λ) = f(, ) + λ[ g(, )], Οι συνθήκες περιορισμένης στασιμότητας στη μορφή των εξισώσεων Lagrange διατυπώνονται τώρα και ως συνθήκες (ελεύθερης) στασιμότητας της συνάρτησης Lagrange L = f λg = 0 L = f λg = 0 εξισώσεις Lagrange L = g = 0 λ Έτσι το ακρότατο θα ανήκει σε μια από τις παρακάτω τρεις κατηγορίες:. Λύση Lagrange. Συνοριακό 3. Στο άπειρο 8. Ερμηνεία του πολλαπλασιαστή Lagrange Αν σένα πρόβλημα περιορισμένου ακρότατου η τιμή του περιορισμού δεν είναι συγκεκριμένη αλλά εμφανίζεται ως παράμετρος, τότε η λύση και ειδικότερα η ακρότατη τιμή θα εκφράζονται ως συναρτήσεις αυτής της παραμέτρου: ma/ min{f(,) g(,) = } { (), (),λ ()}, f () = f( (), ()), Σαυτή την περίπτωση: Ο πολλαπλασιαστής Lagrange ισούται με την παράγωγο της ακρότατης τιμής f περιορισμού : ως προς την τιμή του f () = λ () Στις εφαρμογές καλείται και σκιώδης ή εσωτερική αξία του περιορισμού, με την έννοια ότι αν η τιμή του περιορισμού αυξηθεί κατά μια μονάδα τότε η αντίστοιχη ακρότατη τιμή θα μεταβληθεί κατά λ, οριακά. Παράδειγμα. Θα επαληθεύσουμε την ερμηνεία του πολλαπλασιαστή Lagrange: min{f = α+ β g= =, 0, 0} με α> 0,β > 0, > 0. f = λg β /α α= λ = f = λg β= λ = α /β, g = = λ= αβ / Παραγωγίζοντας ως προς, βρίσκουμε: β α f = α + β = αβ α β / f = αβ f = αβ / = λ () Όπως και για τα ελεύθερα στάσιμα, ο αναλυτικός χαρακτηρισμός ενός περιορισμένου στάσιμου ως ακρότατου γίνεται με τη χρήση παραγώγων ης τάξης, όπως θα εξετάσουμε σε επόμενα κεφάλαια. 5
9. Περισσότερες μεταβλητές και περιορισμοί Όλα τα παραπάνω γενικεύονται άμεσα σε περισσότερες μεταβλητές και περιορισμούς. Π.χ.. Για το πρόβλημα χωριζόμενων μεταβλητών σε 3 μεταβλητές, έχουμε την ισοδυναμία: ma{g() α β} ma{f(,,z) = g() + h() + e(z) α β,γ δ,ε z η} ma{h() γ δ} {,,z }, f ma{e(z) ε z η} και αντίστοιχα για το πρόβλημα ελαχίστου (min). Επίσης, οι συνθήκες περιορισμένης στασιμότητας στη μορφή των εξισώσεων Lagrange γενικεύονται άμεσα σε πολλές μεταβλητές και πολλούς περιορισμούς.. Ακρότατα με τρεις μεταβλητές και έναν περιορισμό. ma/ min{f(,,z) g(,,z) =, D} L(,,z,λ) = f(,,z) + λ[ g(,,z)] 6 L = 0 f = λg L = 0 f = λg {,,z,λ}, f Lz = 0 fz = λgz Lλ = 0 g= Αν η τιμή του περιορισμού εμφανίζεται ως παράμετρος, τότε η λύση και ειδικότερα η ακρότατη τιμή f θα εκφράζονται ως συναρτήσεις αυτής της παραμέτρου. Σαυτή την περίπτωση ο πολλαπλασιαστής Lagrange ισούται με την παράγωγο της ακρότατης τιμής f ως προς την τιμή του περιορισμού : f () = λ () 3. Ακρότατα με τρεις μεταβλητές και δύο περιορισμούς. L = 0 f = λg + μh L = 0 f = λg + μh ma/ min{f(,, z) g(,, z) =,h(,, z) = e, D} Lz = 0 fz = λgz + μh z {,,z,λ,μ}, f L(,,z,λ,μ) = f(,,z) + λ[ g(,,z)] + μ[e h(,,z)] Lλ = 0 g= Lμ = 0 h= e Τώρα έχουμε δύο πολλαπλασιαστές Lagrange: {λ,μ}, έναν για τον κάθε περιορισμό, οπότε η λύση και ειδικότερα η ακρότατη τιμή f θα εξαρτώνται από τις τιμές των παραμέτρων {,e}. Σαυτή την περίπτωση οι πολλαπλασιαστές Lagrange θα ισούνται με τις μερικές παραγώγους της ακρότατης τιμής f ως προς αυτές τις παραμέτρους που είναι οι τιμές των αντίστοιχων περιορισμών: f (,e) = λ (,e), f (,e) = μ (,e) e Παράδειγμα. Στον χώρο Οz, θα βρούμε το σημείο του επιπέδου + z=, σε ελάχιστη απόσταση από την αρχή του συστήματος:(0,0,0), λύνοντας το πρόβλημα: min{f = + + z g= + z= } {,,z} Λύση. Οι εξισώσεις Lagrange: {= λ, = λ, z= λ, + z= }, μας δίνουν: { = / 6, = / 3,z = / 6,λ = / 3} με f = και d= f = / 6 6 Από την γεωμετρία διαπιστώνουμε ότι υπάρχει ελάχιστη απόσταση, που θα είναι υποχρεωτικά η παραπάνω. Παρατήρηση. Για ευκολία αντί της απόστασης: d= + + z, ελαχιστοποιήσαμε τη συνάρτηση: f = d. Οι δύο συναρτήσεις έχουν ελάχιστο στο ίδιο σημείο διότι η μία είναι αύξων μετασχηματισμός της άλλης, αλλά βέβαια έχουν διαφορετική ελάχιστη τιμή και διαφορετικό πολλαπλασιαστής Lagrange. Για την συνάρτηση της απόστασης d μπορεί να υπολογιστεί εκ των υστέρων από οιαδήποτε των παρακάτω σχέσεων: d d dz μ= = = Θα έχουμε μ= d () =± / 6 g g g z
ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ 0. Βελτιστοποίηση στην Οικονομία Στην παραγωγή και στην κατανάλωση εμφανίζονται διάφορα προβλήματα βελτιστοποίησης, ως εξής:. Σε μια απλή παραγωγική διαδικασία χρησιμοποιούνται δύο συντελεστές παραγωγής {K,L} με κόστος C(K,L) και παράγεται ένα προϊόν σε ποσότητα Q(K,L) που διατίθεται με μοναδιαία τιμή P(Q) και αποφέρει έσοδο R(K,L) = P(Q)Q. Εμφανίζονται τα προβλήματα: min{c= C(K,L) R= R(K,L) r}, ελάχιστο κόστος για έσοδο r ma{r = R(K,L) C= C(K,L) }, μέγιστο έσοδο για κόστος ma{π= R(K,L) C(K,L)}, μέγιστο κέρδος Ειδικά στην περίπτωση που τα μοναδιαία κόστη των συντελεστών {v,w} καθώς και η μοναδιαία τιμή του προϊόντος p είναι εξωγενώς καθορισμένα, όπως συμβαίνει σε συνθήκες πλήρους ανταγωνισμού στην αγορά των συντελεστών και των προϊόντων, τότε τα προβλήματα αυτά παίρνουν την μορφή: min{c= vk+ wl Q= Q(K,L) q},ελάχιστο κόστος για παραγωγή q ma{q(k,l) C= vk+ wl }, μέγιστη παραγωγή για κόστος ma{π= pq(k,l) vk wl}, μέγιστο κέρδος Στο δεύτερο πρόβλημα αντικαταστήσαμε την συνάρτηση εσόδου με την συνάρτηση παραγωγής: R= pq(k,l) Q= Q(K,L) Οι δύο συναρτήσεις είναι μονότονα εξαρτημένες και επομένως δίνουν την ίδια λύση.. Σε μια σύνθετη παραγωγική διαδικασία παράγονται δύο προϊόντα {X,Y} με κόστος C(X,Y) και αποφέρουν έσοδο R(X,Y). Εμφανίζονται τα προβλήματα: ma{r = R(X, Y) C(X, Y) }, μέγιστο έσοδο για κόστος min{c= C(X, Y) R= R(X, Y) r}, ελάχιστο κόστος για έσοδο r ma{π= R(X, Y) C(X, Y)}, μέγιστο κέρδος Ειδικά στην περίπτωση που οι μοναδιαίες τιμές των προϊόντων {v,w} είναι εξωγενώς καθορισμένες, όπως συμβαίνει σε συνθήκες πλήρους ανταγωνισμού στην αγορά των προϊόντων, τότε τα προβλήματα αυτά παίρνουν την παρακάτω μορφή: ma{r = vx+ wy C(X, Y) }, μέγιστο έσοδο για κόστος min{c= C(X, Y) R= vx+ wy r}, ελάχιστο κόστος για έσοδο r ma{π= vx+ wy C(X, Y)}, μέγιστο κέρδος 3. Στην κατανάλωση δύο αγαθών {X,Y} με συνάρτηση χρησιμότητας U(X,Y) και συνάρτηση κόστους γραμμική C= vx+ wy, εμφανίζονται τα παρακάτω προβλήματα. min{c= vx+ wy U(X, Y) u} : ελάχιστη δαπάνη για χρησιμότητα u ma{u= U(X, Y) C= vx+ wy } :μέγιστη χρησιμότητα γα δαπάνη Παρατήρηση. Υπάρχει αντιστοιχία μεταξύ προβλημάτων βελτιστοποίησης στην κατανάλωση και προβλημάτων βελτιστοποίησης στην παραγωγή όπου τα καταναλωτικά αγαθά αντιστοιχούν στους συντελεστές παραγωγής και η συνάρτηση χρησιμότητας στην συνάρτηση παραγωγής. Αναφέρουμε επίσης ότι στα προβλήματα περιορισμένης βελτιστοποίησης η λύση δεν αλλάζει αν χρησιμοποιήσουμε άλλες ισοδύναμες συναρτήσεις που προκύπτουν με γνήσια αύξοντες μετασχηματισμούς. Ειδικά στο πρόβλημα 3 μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε οιαδήποτε άλλη διατακτικά ισοδύναμη συνάρτηση χρησιμότητας διότι θα έχει τις ίδιες καμπύλες αδιαφορίας. Παρατήρηση. Σε όλα τα παραπάνω προβλήματα περιορισμένης βελτιστοποίησης μπορούμε να αντικαταστήσουμε τις ανισότητες στους περιορισμούς με τις αντίστοιχες ισότητες. Π.χ. min{c= C(K,L) R= R(K,L) r} min{c= C(K,L) R= R(K,L) = r} Αυτό ισχύει εφόσον οι συναρτήσεις είναι γνήσια αύξουσες ή γενικότερα μονότονες, οπότε στη βέλτιστη λύση εξαντλείται ο περιορισμός. Σε ειδικές περιπτώσεις αυτό μπορεί να μην ισχύει. Π.χ. στην κατανάλωση αν υπάρχει κορεσμός τότε μπορεί να μην εξαντληθεί η δυνατότητα δαπάνης και το βέλτιστο να είναι εσωτερικό. 7
Β3. ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΤΕΣ LAGRANGE Ασκήσεις. Να βρεθούν οι ακρότατες τιμές των παρακάτω συναρτήσεων στις αντίστοιχες φραγμένες περιοχές: 3, στην τετραγωνική περιοχή: { 4, 4} +, στην κυκλική περιοχή: + 4 +, στην τετραγωνική περιοχή: {, 0 }. Να βρεθεί η μέγιστη τιμή της παρακάτω συνάρτησης 3 μεταβλητών: z f() + g() + h(z), όπου: f() e + =, g() = ln, h(z) = z e 3. Να διαπιστωθεί ότι στα παρακάτω προβλήματα μεγιστοποίησης στη θετική περιοχή: { 0, 0}, το ακρότατο είναι συνοριακό. ma{f = 0, 0}, ma{f = 0, 0} 4. Να βρεθούν οι τιμές των παραμέτρων {α,β} για τις οποίες το παρακάτω πρόβλημα μεγιστοποίησης στη θετική περιοχή: { 0, 0}, έχει συνοριακό ακρότατο. ma{f = α+ β 4 0, 0} 5. Να βρεθεί η απόσταση του σημείου (,4) από τις καμπύλες: + =, + =, + 4 = 8 6. Να λυθούν τα παρακάτω προβλήματα στη θετική περιοχή { 0, 0}. Σε κάθε περίπτωση να επαληθευτεί η ερμηνεία του πολλαπλασιαστή Lagrange, και να βρεθεί το γράφημα της τροχιάς των βέλτιστων τιμών των μεταβλητών επιλογής ως προς την παράμετρο. ma{u = C= + }, ma{u = ln( ) C= + } / / 4 ma{q= C= + }, ma{u= C= + }, / / 4 min{c= + Q= q} min{u= + U= u} ma{q= + C= + = }, ma{q = ( + ) C= + = } 7. Να διαπιστωθεί ότι μεταξύ όλων των ορθογωνίων παραλληλογράμμων με την ίδια περίμετρο, το τετράγωνο έχει μέγιστο εμβαδό. 8. Να βρεθούν τα στάσιμα σημεία της συνάρτησης: f(,, z) = + + 3z + + 3z με τον περιορισμό + + z=. 9. Να διαπιστωθεί αναλυτικά και γραφικά ότι στα παρακάτω προβλήματα βελτιστοποίησης στη θετική περιοχή: { 0, 0}, το ακρότατο είναι συνοριακό. min{c= + Q= + q}, ma{u= + C= + }, 0. Στον τρισδιάστατο χώρο να βρεθούν: α) Η απόσταση του σημείου (4,4,0.5) από την επιφάνεια z= +. β) Η απόσταση του μηδενικού σημείου:(0,0,0) από την ευθεία με εξισώσεις: {+ + z= 5, + 3z= 5} 8