Ασκήσεις στους Μετασχηµατισµούς Laplace και Fourier και τα Συστήµατα Εξισώσεων

Ασκήσεις στους Μετασχηµατισµούς Laplace και Fourier και τα Συστήµατα Εξισώσεων Ε Κάππος 4 εκεµβρίου 7 Περιεχόµενα Ασκήσεις στο µετασχηµατισµό Laplace Ασκήσεις στα Συστήµατα Εξισώσεων 5 3 Ασκήσεις Fourier 6 4 Λύσεις Επιλεγµένων Ασκήσεων Laplace 7 5 Λύσεις Ασκήσεων στα Συστήµατα Εξισώσεων 5 6 Λύσεις ασκήσεων Fourier 8 Ασκήσεις στο µετασχηµατισµό Laplace Να υπολογιστεί, απευθείας από τον ορισµό, ο µετασχηµατισµός Laplace της συνάρτησης e at ht a C και να δοθεί το πεδίο ορισµού του στο επίπεδο C των µιγαδικών αριθµών Εποµένως, να υπολογιστεί ο µετασχηµατισµός Laplace της συνάρτησης cosωt + φht, ω >, φ R Να υπολογιστούν, απευθείας από τον ορισµό, οι µετασχηµατισµοί Laplace των συνάρτησεων α te t costht ϐ te t sintht και να δοθεί το πεδίο ορισµού τους στο επίπεδο C των µιγαδικών αριθµών 3 Να υπολογιστούν, κάνοντας χρήση των ιδιοτήτων του µετασχηµατισµού Laplace, οι µετασχη- µατισµοί i L{te t ht 5}, ii L{t sin t} Επίσης να δοθεί η γραφική παράσταση της συνάρτησης te t ht 5 4 Να υπολογιστούν, κάνοντας χρήση των ιδιοτήτων του µετασχηµατισµού Laplace, οι µετασχη- µατισµοί i L{t cos t}, ii L{te 3t ht 4} Επίσης να δοθεί η γραφική παράσταση της συνάρτησης te 3t ht 4

5 Να εκφραστεί µέσω της συνάρτησης µοναδιαίου ϐήµατος ht η συνάρτηση παλµού, t <, vt, t <, t <, ή t Εποµένως, να ϐρεθεί µε τη µέθοδο Laplace η απόκριση yt, για t, του πρωτοβάθµιου γραµµικού συστήµατος + y vt στην παραπάνω ορισµένη vt, εάν η αρχική συνθήκη είναι y 6 Να εκφραστεί µέσω της συνάρτησης µοναδιαίου ϐήµατος ht η συνάρτηση παλµού, t <, vt, t < 4, t <, ή t 4 Εποµένως, να ϐρεθεί µε τη µέθοδο Laplace η απόκριση yt, για t, του πρωτοβάθµιου γραµµικού συστήµατος + 3y vt στην παραπάνω ορισµένη vt, εάν η αρχική συνθήκη είναι y 7 Να λυθούν, µε τη µέθοδο του µετασχηµατισµού Laplace, οι παρακάτω διαφορικές εξισώσεις : α ϐ γ για τις αρχικές συνθήκες 8 Να ϐρεθεί η λύση της εξίσωσης d y + 6 + 5y 4e t, t y, d y + + 4y e t sin3t, d y + 4 + 3y t + e t ht, y, y, d y + 4 + 4y ut, ut e t t, t µε αρχικές συνθήκες y, µε τη µέθοδο του µετασχηµατισµού Laplace Επίσης ϐρείτε την απόκριση yt για µηδενικές αρχικές συνθήκες και συνάρτηση διέγερσης ut e t 5 ht 5

9 Να ϐρεθεί η λύση της εξίσωσης d y + 3 + y ut, ut t + 3e t, t µε αρχικές συνθήκες y, µε τη µέθοδο του µετασχηµατισµού Laplace Επίσης ϐρείτε την απόκριση yt για µηδενικές αρχικές συνθήκες και συνάρτηση διέγερσης ut e t 3 ht 3 Να ϐρεθεί η λύση της εξίσωσης d y + 6 + 8y ut, ut e t t, t µε αρχικές συνθήκες y, µε τη µέθοδο του µετασχηµατισµού Laplace Επίσης ϐρείτε την απόκριση yt για µηδενικές αρχικές συνθήκες και συνάρτηση διέγερσης ut e t ht Να ϐρεθεί η λύση yt της εξίσωσης d y + 4 + 8y e t cos 3t, t µε αρχικές συνθήκες y, µε τη µέθοδο του µετασχηµατισµού Laplace Επαληθεύστε ότι ικανοποιείται η αρχική συνθήκη y Είναι η λύση σταθερή, µε την έννοια ότι yt για t ; Να ϐρεθεί η λύση της εξίσωσης d y + + y e t cos t, t µε αρχικές συνθήκες y, µε τη µέθοδο του µετασχηµατισµού Laplace Επαληθεύστε ότι ικανοποιείται η αρχική συνθήκη y Είναι η λύση σταθερή, µε την έννοια ότι yt για t ; 3 ίνεται το γραµµικό σύστηµα µε είσοδο u και έξοδο y: d y + 7 + y ut Κάνοντας χρήση της γραµµικότητας, να ϐρεθεί µε τη µέθοδο του µετασχηµατισµού Laplace η συνάρτηση εξόδου, yt, t, για τις αρχικές συνθήκες y, ẏ και συνάρτηση εισόδου τον τετραγωνικό παλµό ut ht ht, t Επίσης, να δοθεί η γραφική παράσταση της συνάρτησης εισόδου ut 4 ίνεται το γραµµικό σύστηµα µε είσοδο u και έξοδο y: d y + 5 + 6y 3ut Κάνοντας χρήση της γραµµικότητας, να ϐρεθεί µε τη µέθοδο του µετασχηµατισµού Laplace η συνάρτηση εξόδου, yt, t, για τις αρχικές συνθήκες y, και συνάρτηση εισόδου την καθυστερηµένη κατά 5 δευτερόλεπτα εκθετική συνάρτηση : ut ht 5e t 5, t Επίσης, να δοθεί η γραφική παράσταση της συνάρτησης εισόδου ut 3

5 ίνεται το γραµµικό σύστηµα µε είσοδο u και έξοδο y: d y + 8 + y ut Να ϐρεθεί µε τη µέθοδο του µετασχηµατισµού Laplace η συνάρτηση εξόδου, yt, t, για τις αρχικές συνθήκες y, y και συνάρτηση εισόδου τον τετραγωνικό παλµό ut 5 ht ht 3, t Επίσης, να δοθεί η γραφική παράσταση της συνάρτησης εισόδου ut 6 ίνεται το γραµµικό σύστηµα µε είσοδο u και έξοδο y: d y + 7 + y ut Να ϐρεθεί µε τη µέθοδο του µετασχηµατισµού Laplace η συνάρτηση εξόδου, yt, t, για τις αρχικές συνθήκες y, y και συνάρτηση εισόδου ut te t ht, t Επίσης, να δοθεί η γραφική παράσταση της συνάρτησης εισόδου ut 7 Η δευτεροβάθµια γραµµική Ε d i + R di L + LC i de L, L, C > περιγράφει ένα κύκλωµα RLC σε σειρά, όπου R είνα µεταβλητή αντίσταση, i το ϱεύµα και e µία πηγή τάσης L πηνίο, C πυκνωτής Με τη µέθοδο του µετασχηµατισµού Laplace, χωρίς να υπολογίσετε τους συντελεστές των απλών κλασµάτων α Να δείξετε ότι, για R και et, το κύκλωµα κάνει ταλαντώσεις µε κυκλική συχνότητα ω / LC για οποιεσδήποτε αρχικές συνθήκες i και di ϐ Να δώσετε τη γενική µορφή του ϱεύµατος it t για ϑετική αντίσταση R > και περιοδική πηγή τάσης et cos ωt ιακρίνετε δύο περιπτώσεις : i LC > R 4L και ii LC < R 4L είξτε ότι και στις δύο περιπτώσεις, το ϱεύµα it είναι περιοδικό µε συχνότητα ω ασυµπτοτικά, δηλαδή καθώς το t 4

Ασκήσεις στα Συστήµατα Εξισώσεων Να λυθεί το σύστηµα γραµµικών διαφορικών εξισώσεων ẋ x, µε αρχικές συνθήκες ẋ x x x α µε τη µέθοδο των ιδιοτιµών ή του Euler ϐ µε τη µέθοδο του µετασχηµατισµού Laplace Να επαληθευθεί ότι οι δύο λύσεις συµπίπτουν Να λυθεί το σύστηµα γραµµικών διαφορικών εξισώσεων ẋ Ax, όπου x x x, A 3 α µε τη µέθοδο των ιδιοτιµών του Euler ϐ µε τη µέθοδο του µετασχηµατισµού Laplace Να επαληθευθεί ότι οι δύο λύσεις συµπίπτουν, και x 3 Να λυθεί το σύστηµα γραµµικών διαφορικών εξισώσεων ẋ Ax, όπου x x x, A α µε τη µέθοδο των ιδιοτιµών του Euler ϐ µε τη µέθοδο του µετασχηµατισµού Laplace Να επαληθευθεί ότι οι δύο λύσεις συµπίπτουν 4 ίνεται η τριτοβάθµια Ε d 3 y 3 + 4 + 5 sin y, και x Επιλέγοντας κατάλληλες µεταβλητές, µετατρέψτε τη Ε σε σύστηµα τριών πρωτοβάθµιων εξισώσεων της µορφής ẋ fx, x R 3 Στο σηµείο ισορροπίας x,,, να υπολογιστεί η ιακωβιανή A f Το σύστηµα ẋ Ax είναι η γραµµικοποίηση του συστήµατος στο σηµείο ισορροπίας Να ϐρεθούν οι τρείς ιδιοτιµές του A και εποµένως να δείξετε ότι για γενικές αρχικές συνθήκες το µέτρο της λύσης xt τείνει στο άπειρο για t Υπόδειξη : µία προφανής ιδιοτιµή είναι το 5 Να λυθεί µε τη µέθοδο του µετασχηµατισµού Laplace το γραµµικό σύστηµα ẋ Bx για 3 B και x 5

3 Ασκήσεις Fourier Να υπολογισθεί η σειρά Fourier της συνάρτησης που έχει περίοδο π και ορίζεται στο διάστηµα [ π, ως εξής : fx x, x [ π, Επίσης δώστε το γράφηµα της περιοδικής συνάρτησης fx στο διάστηµα [ π, π] και δείξτε ότι η συνάρτηση fx π είναι περιττή ώστε το γράφηµα στο διάστηµα [ 4π, 4π της περιοδικής συνάρτησης fx που έχει περίοδο π και ορίζεται στο διάστηµα [ π, π ως εξής : fx { π, x < π x, π x < Κατόπιν, να υπολογισθεί η σειρά Fourier της Ποιά είναι η τιµή της σειράς Fourier που ϐρήκατε για x ; Συµπίπτει µε την τιµή f; 3 ώστε το γράφηµα στο διάστηµα [ π, π της περιοδικής συνάρτησης fx που έχει περίοδο π και ορίζεται στο διάστηµα [ π, π ως εξής : fx { x, x < π x, π x < Κατόπιν, να υπολογισθεί η σειρά Fourier της Κάνοντας χρήση του Θεωρήµατος του Parseval, το οποίο εκφράζει την ενέργεια µίας συνάρτησης µε δύο τρόπους : π fx dx a π π + a n + b n, n να ϐρεθεί ο αριθµός των όρων της σειρά Fourier που πρέπει να περιληφθούν στην πεπερασ- µένη σειρά a + N n a a n cos nx + b n sin nx για να προσεγγίζει η ενέργειά της, + N n a n + b n, την τιµή της ενέργειας της fx µε λάθος µικρότερο του % 6

4 Λύσεις Επιλεγµένων Ασκήσεων Laplace Ασκηση σελίδα Ασκηση α σελίδα Να υπολογιστεί, απευθείας από τον ορισµό, ο µετασχηµατισµός Laplace της συνάρτησης e at ht a C και να δοθεί το πεδίο ορισµού του στο επίπεδο C των µιγαδικών αριθµών Εποµένως, να υπολογιστεί ο µετασχηµατισµός Laplace της συνάρτησης cosωt + φht, ω >, φ R lim T L{e at ht} e s a s a T T e at e st lim e s at T +, για Rs a > Rs > Ra s a Ενα ηµιεπίπεδο στο C δεξιά της κάθετης ευθείας που περνά από το Ra Τώρα, από τον τύπο του Euler, cosωt + φ e iωt+φ + e iωt+φ e φ e iωt + e φ e iωt Εποµένως, κάνοντας χρήση της γραµµικότητας του µετασχηµατισµού Laplace, L {cosωt + φht} eiφ + e iφ e iφ s iω + e iφ e iφ s + iω + e iφ s iω s + iω s + ω s s + ω + ieiφ e iφ ω s + ω cos φ s s + ω sin φ ω s + ω Να υπολογιστούν, απευθείας από τον ορισµό, οι µετασχηµατισµοί Laplace των συνάρτησεων α te t costht ϐ te t sintht και να δοθεί το πεδίο ορισµού τους στο επίπεδο C των µιγαδικών αριθµών Κάνουµε µόνο την πρώτη Κάνοντας χρήση του τύπου του Euler, γράφουµε te t cost te t e it + e it tei t + e i+t Εποµένως, { } L tei t + e i+t [ ] te s+ it s + i + te s++it + s + + i te i t + e i+t e st e s+ it s + i + e s++it s + + i 7

Ασκηση 3 σελίδα κάναµε χρήση της οκλοκλήρωσης κατά παράγοντες Για s µε Rs >, το άνω όριο είναι µηδέν και για t το κάτω όριο επίσης Ετσι µένει να υπολογίσουµε το ολοκλήρωµα των δύο εκθετικών συναρτήσεων : L { te t cost } [ ] e s+ it s + i + e s++it s + + i Τα άνω όρια µηδενίζονται για τον ίδιο λόγο µε προηγουµένως Ετσι έχουµε τελικά L { te t cost } s + + s + + s + s + s + i s + + i s + s + + Γράψαµε s + is + + i s + + Να υπολογιστούν, κάνοντας χρήση των ιδιοτήτων του µετασχηµατισµού Laplace, οι µετασχη- µατισµοί i L{te t ht 5}, ii L{t sin t} Επίσης να δοθεί η γραφική παράσταση της συνάρτησης te t ht 5 i Γράφουµε Εποµένως te t ht 5 e te t 5 ht 5 e [t 5e t 5 + 5e t 5 ]ht 5 [ L{te t ht 5} e 5s s + + 5 ] s + Η γραφική παράσταση είναι στο Σχήµα 5 5e 5 3 4 5 6 7 8 t Σχήµα : Καθυστερηµένη εκθετική συνάρτηση Άσκηση 3 ii Εχουµε Εποµένως t sin t t cos t L{t sin t} s + d s ds s + s + s + 4 s + 8

Ασκηση 5 σελίδα η Ασκηση 6 είναι παρόµοια Να εκφραστεί µέσω της συνάρτησης µοναδιαίου ϐήµατος ht η συνάρτηση παλµού, t <, vt, t <, t <, ή t Εποµένως, να ϐρεθεί µε τη µέθοδο Laplace η απόκριση yt, για t, του πρωτοβάθµιου γραµµικού συστήµατος + y vt στην παραπάνω ορισµένη vt, εάν η αρχική συνθήκη είναι y Ο αρχικός τµηµατικός ορισµός της συνάρτησης vt δίνεται, µέσω της συνάρτησης ϐήµατος, ως εξής : vt ht 4ht + ht Από το Τυπολόγιο, V s L{ht 4ht + ht } s e s + e s Τώρα παίρνοντας το µετασχηµατισµό Laplace της Ε έχουµε sy s y + Y s V s Y s e s + e s ss + + s + Η απλοποίηση του όρου µε ss + a s + b s +, a s +, s b s s Ο κάθε όρος στο e s + e s ϑα δώσει διαφορετική καθυστέρηση Εποµένως, yt e t ht e t ht + e t ht + e t ht e t ht + e t ht Ασκηση σελίδα 3 Να ϐρεθεί η λύση yt της εξίσωσης d y + 4 + 8y e t cos 3t, t µε αρχικές συνθήκες y, µε τη µέθοδο του µετασχηµατισµού Laplace Επαληθεύστε ότι ικανοποιείται η αρχική συνθήκη y Είναι η λύση σταθερή, µε την έννοια ότι yt για t ; Παίρνοντας τον µετασχηµατισµό Laplace της Ε, έχουµε s Y s sy + 4sY s y + 8Y s s + s + + 3 9

Εποµένως [ ] s + Y s s + + s + + 3 + s + 9 Απλοποίηση των κλασµάτων, χωριστα για κάθε ένα : και s + [s + + ][s + + 3 ] s + R s + + i[s + + 9] s +i R s + [s + + 4]s + + 3i s +3i As + + B Cs + + 3D s + + + s + + 3 + i 4i 4 4i + 9 4 + 7i 5 3i 9 + 6i + 46i 4 + 6i 5 Εχουµε λοιπόν Επίσης, A RR 4 5, B IR 7 5, C RR 4 5, D IR 6 5 s + 9 s + + 5/ και τελικά έχουµε ότι yt e t 5 Ασκηση 3 σελίδα 3 e t 4 cos t 7 sin t 5 4 cos 3t 6 sin 3t + e t cos t + 5 sin t, από το οποίο εύκολα επαληθεύουµε ότι y Είναι επίσης προφανές ότι έχουµε yt για t κι έτσι η λύση είναι σταθερή ίνεται το γραµµικό σύστηµα µε είσοδο u και έξοδο y: d y + 7 + y ut Κάνοντας χρήση της γραµµικότητας, να ϐρεθεί µε τη µέθοδο του µετασχηµατισµού Laplace η συνάρτηση εξόδου, yt, t, για τις αρχικές συνθήκες y, ẏ και συνάρτηση εισόδου τον τετραγωνικό παλµό ut ht ht, t Επίσης, να δοθεί η γραφική παράσταση της συνάρτησης εισόδου ut s Y s sy ẏ + 7sY s y + Y s L{ht ht } 4 e s s Εποµένως, αντικαθιστώντας τις αρχικές συνθήκες, 4 e s Y s s + s + 5 + 7s + s

Η παραγοντική µορφή του πολυωνύµου s +7s+ είναι προφανώς s++5 Κρατούµε τους δύο όρους χωριστά και αφήνουµε το e s κατά µέρος Ο πρώτος όρος γράφεται µε a 4 ss + s + 5 a s + b s + + c s + 5, 4 s + s + 5 s 5, b 4 ss + 5 s 3, c 4 ss + 4 s 5 5 Ο δεύτερος όρος γράφεται a s + 5 s + 5 s + 5 s + s + 5 a s 3 s + + b s + 5,, b s + 5 s + 5 s 5 3 Τώρα µπορούµα να αντιστρέψουµε το µετασχηµατισµό Laplace, δίνοντας προσοχή στους όρους µε καθυστέρηση : yt 5 ht ht 3 e t ht e t ht + 4 5 e 5t ht e 5t ht + + 3 e t 5 3 e 5t ht, t Παρατήρηση : εν χρειάζεται να γράφουµε τους όρους ht, καθώς η λύση είναι για t 5 5 3 4 t Ασκηση 4 σελίδα 3 Σχήµα : Συνάρτηση Παλµού Άσκηση 3 ούτως ή άλλως Θα µπορούσαµε νε αντικαταστήσουµε τη σταθερή συνάρτηση ίνεται το γραµµικό σύστηµα µε είσοδο u και έξοδο y: d y + 5 + 6y 3ut Κάνοντας χρήση της γραµµικότητας, να ϐρεθεί µε τη µέθοδο του µετασχηµατισµού Laplace η συνάρτηση εξόδου, yt, t, για τις αρχικές συνθήκες y, και

συνάρτηση εισόδου την καθυστερηµένη κατά 5 δευτερόλεπτα εκθετική συνάρτηση : ut ht 5e t 5, t Επίσης, να δοθεί η γραφική παράσταση της συνάρτησης εισόδου ut s Y s sy ẏ + 5sY s y + 6Y s 3L{e t 5 ht 5} 3e 5s s + Εποµένως, αντικαθιστώντας τις αρχικές συνθήκες, 3e 5s Y s s + s + 4 + 5s + 6 s + Η παραγοντική µορφή του πολυωνύµου s +5s+6 είναι προφανώς s++3 Κρατούµε τους δύο όρους χωριστά και αφήνουµε το e 5s κατά µέρος, καθώς η µέθοδος απλοποίησης κλασµάτων δεν ισχύει για µη-ϱητές συναρτήσεις! Ο πρώτος όρος γράφεται όπου a Ο δεύτερος όρος γράφεται µε 3 s + s + s + 3 a s + + b s + + c s + 3, 3 s + s + 3 3 s, b 3 s + s + 3 3, s 3 c s + s + 3 s 3 s + 4 s + s + 3 a s + + b s + 3, a s + 4 s + 3, b s + 4 s s + s 3 Εποµένως, από τους τύπους για την αντιστροφή του µετασχηµατισµού Laplace, 3 yt e t 5 3e t 5 + 3 e 3t 5 ht 5 + e t e 3t 8 6 4 4 6 8 t Σχήµα 3: Καθυστερηµένη εκθετική συνάρτηση Άσκηση 4

Ασκηση 7 Η δευτεροβάθµια γραµµική Ε d i + R di L + LC i de L, L, C > περιγράφει ένα κύκλωµα RLC σε σειρά, όπου R είνα µεταβλητή αντίσταση, i το ϱεύµα και e µία πηγή τάσης L πηνίο, C πυκνωτής Με τη µέθοδο του µετασχηµατισµού Laplace, χωρίς να υπολογίσετε τους συντελεστές των απλών κλασµάτων α Να δείξετε ότι, για R και et, το κύκλωµα κάνει ταλαντώσεις µε κυκλική συχνότητα ω / LC για οποιεσδήποτε αρχικές συνθήκες i και di ϐ Να δώσετε τη γενική µορφή του ϱεύµατος it t για ϑετική αντίσταση R > και περιοδική πηγή τάσης et cos ωt ιακρίνετε δύο περιπτώσεις : i LC > R 4L και ii LC < R 4L είξτε ότι και στις δύο περιπτώσεις, το ϱεύµα it είναι περιοδικό µε συχνότητα ω ασυµπτοτικά, δηλαδή καθώς το t Η Άσκηση αυτή διαφέρει από τις προηγούµενες στο ϐαθµό που δεν απαιτεί τον ακριβή υπολογισµό των συντελεστών των απλών κλασµάτων, αλλά µόνον τη µορφή τους Αυτό αρκεί για να κρίνουµε τη σταθερότητα ή την ασυµπτοτική συµπεριφορά των λύσεων, καθώς αυτές εξαρτούνται από τις ϱίζες ή πόλους του παρονοµαστή Είναι σηµαντικό να αφήσουµε τις αρχικές συνθήκες ελεύθερες, σαν δύο µη-µηδενικές, γενικά, παραµέτρους Ας πάρουµε τον µετασχηµατισµό Laplace της Ε: s Is si di + R sis i + L LC Is ses e L α Εδώ έχουµε R και et και εποµένως Es Ετσι, s Is si di + Is LC και εποµένως di si + Is s + LC Κατευθείαν από το Τυπολόγιο, συµπεραίνουµε ότι it i cos ω t + LC di sin ω t, µε ω LC Παρατήρηση : έστε πως ὲπαληθεύονται οι αρχικές συνθήκες i και di ϐ Στην γενική περίπτωση, µε R > και et cos ωt, η λύση Is στο πεδίο του µετασχηµατισµού Laplace είναι Is si + R di L i + ω s + R L s + + LC Ls + ω s + R L s + LC, 3

καθώς de ω ω sin ωt και L{sin ωt} s +ω ή εναλλακτικά, µέσω των τύπων L{cos ωt} s s +ω και L{ de } ses e Μας ενδιαφέρουν οι ϱίζες του s + R L s + LC, που είναι ίσες µε s, R R L ± L 4 LC αικρίνουµε δύο περιπτώσεις, ανάλογα µε τη ϑετικότητα ή µη της διακρίνουσας R 4 L LC στην εκφώνηση διαιρέσαµε µε το 4, πράγµα που δεν επηρεάζει την ανάλυσή µας i > Προσέχουµε ότι και οι δύο ϱίζες είναι αρνητικές, καθώς R L > R L 4 LC Ετσι η µορφή του ϱεύµατος it, που ϐρίσκεται µε απλοποίηση των δύο κλασ- µάτων, ϑα περιλαµβάνει τέσσερις όρους και ϑα είναι it A cos ωt + B sin ωt + Ce s t + De s t, s, s < Είναι σαφές ότι, καθώς t, οι δύο τελευταίοι όροι τείνουν στο µηδέν και εποµένως η απόκριση είναι ασυµπτοτικά περιοδική, ϐάσει των δύο πρώτων όρων ii < Τώρα οι ϱίζες είναι s, R L ± i Θέτοντας ω, έχουµε it A cos ωt + B sin ωt + e R L C cos ω t + D sin ω t κι έτσι και πάλι οι δύο τελευταίοι όροι ϕθίνουν για t λόγω του αρνητικού εκθέτη στο e R L και η απόκριση είναι ασυµπτοτικά περιοδική 4

5 Λύσεις Ασκήσεων στα Συστήµατα Εξισώσεων Ασκηση 3 Κατ αρχήν, το σύστηµα δόθηκε σε διανυσµατική µορφή Ας το γράψουµε σε πιό συνηθισ- µένη µορφή, ως : όπου dx dx xt x x x x t x t Εποµένως, οι αρχικές τιµές που έχουν δοθεί είναι : x και x α Μέθοδος ιδιοτιµών Euler: Χρειαζόµαστε τις ιδιοτιµές και αντίστοιχα ιδιοδιανύσµατα του πίνακα A λ deta λi det λ λ λ + λ + λ Οι ιδιοτιµές είναι εποµένως : λ, Γιά κάθε ιδιοτιµή, ϐρίσκουµε αντίστοιχο ιδιοδιάνυσµα Προσοχή : τα ιδιοδιανύσµατα δεν είναι µοναδικά Γιά λ : A λiv u v Η µοναδική εξίσωση που έχουµε είναι η v Ετσι, τα ιδιοδιανύσµατα είναι της µορφής c v c Παρόµοια, γιά την ιδιοτιµή λ : A λiv u v Η εξίσωση που έχουµε είναι τώρα u + v Ετσι, τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσµατα είναι της µορφής c v c Η γενική λύση είναι λοιπόν άθροισµα ιδιοδιανυσµάτων επί κάθε ιδιοτιµή : xt c e t v + c e t v Εφαρµόζοντας τις αρχικές συνθήκες, ϐρίσκουµε : c + c c c, c c Ξαναγράφουµε την τελική λύση : x t x t e t + e t e t 5

ϐ Μέθοδος Laplace: Ο καλύτερος τρόπος λύσης είναι µέσω της διανυσµατικής µορφής : παίρνοντας τον µετασχηµατισµό Laplace του συστήµατος και, δηλαδή του ẋ Ax, έχουµε : sx s x X s X s και sx s x X s, δηλαδή sxs x Ax Xs si A x, όπου I είναι µοναδιαίος πίνακας και Xs είναι το διάνυσµα των µετασχηµατισµών Laplace των αγνώστων συναρτήσεων x t και x t: Xs X s X s, X s L{x t}, X s L{x t} Για να ϐρούµε τη λύση, λοιπόν, αρκεί να υπολογίσουµε το αντίστροφο του πίνακα si A Θυµίζουµε ότι, γιά δύο-επί-δύο πίνακες, το αντίστροφο ϐρίσκεται µε µετάθεση των διαγωνίων στοιχείων, αλλαγή προσήµω στα µη-διαγώνια στοιχεία και διαίρεση µε την ορίζουσα : a b d b c d ad bc c a, εφόσον ad bc Ετσι, έχουµε si A s + s + s + s + s+ s+s+ s+ Τέλος, Xs si A x s+ s+s+ s+ s+ + s+s+ s+ Απλοποιούµε το κλάσµα s+s+ s+ s+ και αντιστρέφουµε το µετασχηµατισµό Laplace και ϐρίσκουµε : x t x t e t + e t e t, που ταυτίζεται µε την απάντηση από τη µέθοδο των ιδιοτιµών Παρατήρηση : Στην εφαρµογή της µεθόδου ιδιοτιµών του Euler δεν χρειάζεται να υποθέτουµε κάθε ϕορά λύση της µορφής : x t Ae λt, x t Be λt και να αντικαθιστούµε στο σύστηµα, καθώς αυτό που προκύπτει είναι ακριβώς η εξίσωση ιδιοτιµών/ιδιοδιανυσµάτων : A λiv µε v A B 6

Παρόµοια, στην εφαρµογή της µεθόδου Laplace ϑα µπορούσε κανείς να µετασχη- µατίσει κάθε εξίσωση χωριστά και να ϐρεί τη λύση του συστήµατος στις άγνωστες συναρτήσεις X s και X s µε στοιχειώδη τρόπο Η µέθοδος που εφαρµόσαµε είναι πιό συστηµατική και απλά χρησιµοποιεί τον τύπο για τη λύση ενός γραµµικού συστή- µατος µέσω της αντιστροφής του πίνακα ϐλέπε το µάθηµα Γραµµικής Αλγεβρας, για παράδειγµα [] 7

6 Λύσεις ασκήσεων Fourier 3 8

Αναφορές [] Ε Κάππος : Γραµµική Αλγεβρα, Τµήµα Εκδόσεων ΑΠΘ, Οκτώβριος 6 9