Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών Απειροστικός Λογισµός Ι ιδάσκων : Α. Μουχτάρης Απειροστικός Λογισµός Ι - η Σειρά Ασκήσεων Ασκηση.. Ανάπτυξη σε µερικά κλάσµατα Αφου ο ϐαθµός του αριθµητή ειναι µεγαλύτερος του ϐαθµού του παρανοµαστή, κάνουµε τη διαίρεση των πολυωνύµων και έχουµε : x +x x+ x x (x + (x + x +x 8 x +x 8 A(x + + B(x x (x (x+ (x + A x + B x+ (A + Bx + A B x A + B B A A B A B A. Αρα : ( x +x x+ (x + x +x 8 (x + x x + (x + ln x + ln x + + C cos θ sin θ + sin θ 6 Θέτω x sin θ cos θ και έχω x + x 6 Ανάπτυξη σε µερικά κλάσµατα x + x 6 (x (x + A x + B x + A(x + + B(x Ax + A + Bx B A + B A 5 A B B 5 x + x 6 5 5 ln sin θ sin θ + + C x 5 x + 5 ln x 5 ln x + + C 5 ln x x + + C
Απειροστικός Λογισµός Ι - η Σειρά Ασκήσεων. Ανάπτυξη σε µερικά κλάσµατα Αφου ο ϐαθµός του αριθµητή ειναι µεγαλύτερος του ϐαθµού του παρανοµαστή, κάνουµε τη διαίρεση των πολυωνύµων και έχουµε : x 7 x + x + x + Αρα : x 7 ( x + x + x x + ln x + x + (9 9 + ln9 ( + + ln ln9. Θέτω u + cos t du sin tdt sin tdt du και έχω : sin tdt du + cos t u ln u + C ln + cos t + C 5. x x + x + Ανάπτυξη σε µερικά κλάσµατα x x + x + x (x + (x + A x + + B x A(x + + B(x + x Ax + A + Bx + B x + A + B A A + B B x x + x + x + 6. x (x x + Ανάπτυξη σε µερικά κλάσµατα x + ln x + ln x + + C x + x (x A x + B x + C x x + Ax(x + B(x + Cx x + Ax Ax + Bx B + Cx A + C C A + B A B B x + x (x Αρα έχουµε : ln x x + x + C x x + x ln x + + ln x + C x
Απειροστικός Λογισµός Ι - η Σειρά Ασκήσεων 7. e x sin(x Θέτω y x, dy dy και έχω e y sin ydy Εφαρµόζω ολοκλήρωση κατά παράγοντες u sin y, du cos ydy, dv e y dy, v e y και έχω e y sin ydy [ e y sin y + e y cos ydy Εφαρµόζω ολοκλήρωση κατά παράγοντες u cos y, du sin ydy, dv e y dy, v e y και έχω [ e y sin y e y cos y e y sin ydy Θέτω I e y sin ydy και έχω I e y sin y e y cos y I I e y (sin y + cos y I e y (sin y + cos y + C I e x (sin(x + cos(x + C 8. Ολοκλήρωση κατα παράγοντες u x du x dv sin( x v cos( x x sin( x x cos( x x cos( x Εφαρµόζω ξανά Ολοκλήρωση κατα παράγοντες u x du dv cos( x v sin( x x cos( x x cos( x x cos( x + x sin( x sin( x 9. x cos( x + x sin( x cos( x + C π cos x π sin x Εχουµε ότι sin x για x π. π sin x π ( x ( x π sin cos (cos π cos ( (. Ολοκλήρωση κατα παράγοντες
Απειροστικός Λογισµός Ι - η Σειρά Ασκήσεων u lnx du x dv x v x Άρα x lnx x lnx x. Θέτω u + tn x du (x + ( + tn x ( x x lnx x 9 + C x και έχω + du u ln u + C ln + tn x + C. Θέτω u cos(e θ du e θ sin(e θ και έχω e θ sin(e θ cos (e θ u du u + C cos (e θ + C. cos 5 x sin 5 x sin 5 x cos x cos x sin 5 x( sin x cos x sin 5 x( sin x + sin x cos x sin 5 x cos x sin 7 x cos x + sin6 x 6 sin8 x 8 + sin x + C sin 9 x cos x. Ολοκλήρωση κατα παράγοντες u ln(x + x du x+ x+x dv v x Άρα x + x + (x + ln(x +x xln(x +x x + x x xln(x +x + x xln(x +x x + (x + xln(x + x x + + x + xln(x + x x + ln x + + C Ασκηση. Από τα δεδοµένα της άσκησης έχω ότι : f(x + sin + π cos Ορίζω την F ( f(tdt Συµφωνα µε το ϑεµελιώδες Θεώρηµα του απειροστικού λογισµού ισχύει ότι : f( F ( F ( + sin + cos π sin ( π Άρα f π + sin π π + cos π π sin π Ασκηση.. dt 6 (t + / (t + (t + / dy, dt + t ( ( dy + (t + + ( + t t + + + t + t t + t + (t + dt dt t + t +, αφού t [ t L (t + dt + t 9 + 6
Απειροστικός Λογισµός Ι - η Σειρά Ασκήσεων 5.. dy x, L 7 + ( dy ( dy x + x x [ x dy x + x + (x + ( + x ( + x ( dy ( + x + 6( + x ( dy L + + ( + x + 6( + x ( ( + x ( + x + (( + x ( + x + Θέτω u + x, du, x u, x u και έχω L (u + [ u u du u 7 + 6 5 6 + ( + x + [ + 8 ( + x 6 Ασκηση.. lim (θ + /5 [ 5 (θ + /5 (θ + /5 + + lim c + [ 5 (θ + /5 (θ + /5 c (θ + /5 + lim [ 5 ( + /5 5 ( /5 c + c + lim c + (θ + /5 [ 5 (/5 5 (c + /5. Αναπτύσω το κλάσµα σε µερικά κλάσµατα : u u u u u (u A u + B u + C µε A, B, C u lim ( u + u u u u du [ lnu u ln(u. Εφαρµόζουµε κατα παράγοντες ολοκλήρωση : u x, du, dv e x, v ex ( du u u + u du u [ ( ln ln + + ln ln + + ln xe x xex e x [ xe x xex 9 ex [ 9 e + 9 e 9 9
Απειροστικός Λογισµός Ι - η Σειρά Ασκήσεων 6. x + 9 x + 9 x + 9 [ ( lim 6 tn tn ( x + C x + 9 + x + 9 [ ( c + lim c 6 tn 6 [ 6 tn [ ( x 6 tn + lim c + ( π π 6 + π π 6 ( π ( x c 5. Εφαρµόζοντας κατα παράγοντες ολοκλήρωση έχουµε : I e u [ cos u du e u cos u [ e u sin u du e [ cos + + lim e u sin u c c e u [ cos u du + + lim e c sin c I I I c Ασκηση 5. ( x x + x ( x x + x ( x x lim + ( (x + lim x x + [ ln(x + lim [ln(x [ ln( + ln( [ ln( ln( + ln( ln( [ + ln( ln( [ + ln( ln( x ( + > Για > > : lim ( + Αρα lim [ Θέτω u ( + + : lim ln( u lnu Αρα για > το ολοκλήρωµα αποκλίνει. ( + < (+ ( + Για < < : lim ( + Αρα lim ( + Θέτω u ( + : lim [ + ln( u lnu
Απειροστικός Λογισµός Ι - η Σειρά Ασκήσεων 7 Αρα για < το ολοκλήρωµα αποκλίνει. Για : lim + + [ ( Αρα lim ln + ( ln/ u lnu ln/ (ln ln ln, συγκλίνει Ασκηση 6.. y f (x x f(y, f (ydy f (x yf (ydy Χρησιµοποιούµε ολοκλήρωση κατά παράγοντες για να υπολογίσουµε το ολοκλήρωµα : u y, du dy, dv f (ydy, v f(y yf (ydy yf(y. (αʹ (ϐʹ f(y dy xf (x f(y dy sin x x sin x sin ydy x sin x + cos y + C x sin x + cos(sin x + C log x x log x y dy x log x y ln + C x log x log x ln + C x log x x ln + C Ασκηση 7. Αν µια συνάρτηση f ειναι ολοκληρώσιµη στο [,, τότε η µέση τιµή της στο [, ισούται µε : v(f f(x. (αʹ v(f ( ( (ϐʹ v(f k ( k k (k. (αʹ y v (ϐʹ y v k (mx + k [ mx + x (mx + [ mx k + x k k x x [ x / x / x/ [ x/ [ m( + ( m( ( [ m(k + (k m( k ( k k [ (/ (/ ( [ (/ ( (/
Απειροστικός Λογισµός Ι - η Σειρά Ασκήσεων 8 Ασκηση 8. s(x Cx x + [f (t dt Cx x d + [f (t dt d (Cx + [f (x C + [f (x C f (x C, για C x f(x C dt + k Για να ϐρω το k, χρησιµοποιώ το f( + k f(x x C dt + f(x x C + µε C Ασκηση 9.. Αν συµβολίσουµε µε T την προβολή του σηµείου P στον άξονα x, δηλαδη το σηµείο µε συντεταγµένες (cosh u, (ϐλ. και Σχηµα, τότε παρατηρούµε ότι το Ϲητούµενο εµβαδόν είναι το εµβαδόν του τριγώνου OT P αν αφαιρέσουµε το εµβαδόν µεταξύ της καµπύλης x y και του άξονα των x. Υπενθυµίζεται ότι το εµβαδόν τριγώνου είναι ϐάση ύψος. Οπότε :. A (u (sinh u + cosh u (cosh u sinh u A(u cosh u cosh u sinh u x cosh u (sinh u A (u sinh u + cosh u sinh u. A (u A(u u + c u A( c cosh Αλλά από (: A( cosh sinh x A( x A( c
Απειροστικός Λογισµός Ι - η Σειρά Ασκήσεων 9 Σχήµα A(u u u A Ετσι αναδείξαµε την αναλογία µεταξύ κυκλικών και υπερβολικών συναρτήσεων που αναφέρεται στην εκ- ϕώνηση.