ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΠΑΡΑΓΟΥΣΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ [Αρχική Συνάρτηση του κεφ.3. Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ Β Να βρείτε την παράγουσα της συνάρτησης f() =, όταν η γραφική της παράσταση τέμνει τον άξονα yy στο σημείο με τεταγμένη e. Η συνάρτηση f() = έχει πεδίο ορισμού το και οι παράγουσες της στο είναι οι συναρτήσεις: + F() = + c = + c, c. + Επειδή η γραφική παράσταση της ζητούμενης παράγουσας τέμνει τον άξονα yy στο σημείο A ( 0, e), θα έχει εξίσωση που επαληθεύεται από τις συντεταγμένες του σημείου Α. Άρα: F(0) = e 0 + c = e c = e. Επομένως, η ζητούμενη παράγουσα της f είναι η (Βλέπε Σχήμα) F() = e,.
Για να βρούμε την παράγουσα μιας συνάρτησης f που η γραφική της παράσταση διέρχεται από γνωστό σημείο Α εργαζόμαστε ως εξής: Βρίσκουμε πρώτα τις παράγουσές της με τη βοήθεια των πινάκων παραγουσών συναρτήσεων και τις ιδιότητες των παραγουσών. Προσδιορίζουμε τη ζητούμενη παράγουσα με τη βοήθεια των συνταγμένων του σημείου Α.
Παράδειγμα. Για κάθε μία από τις παρακάτω συναρτήσεις, να βρείτε την αρχική συνάρτηση της οποίας η γραφική παράσταση διέρχεται από το σημείο Α(0,). i. f()=e ++ συν, D f + = 3 ii. f()= -ηµ +, D = (, + ) iii. f()=3 ln+, D f = f iv. f()=e -e, D f συν ηµ = i. Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού της, ως πράξεις συνεχών συναρτήσεων, συνεπώς έχει αρχική συνάρτηση. Αναζητούμε αρχικά μια συνάρτηση F, τέτοια ώστε να ισχύει F () = f(). Παρατηρούμε ότι μια τέτοια συνάρτηση είναι η F()=e + + ηµ, διότι F ()= ( e + + ηµ ) =e ++ συν = f(). Γνωρίζουμε ότι κάθε άλλη αρχική G της f παίρνει τη μορφή G() = F() + c, c. Δηλαδή G()=e + + ηµ +c. Για να υπολογίσουμε τη σταθερά c αξιοποιούμε το δεδομένο ότι η γραφική παράσταση της G 0 =. Έχουμε αρχικής που αναζητούμε διέρχεται από το σημείο Α(0,), δηλαδή θα ισχύει ( ) 0 G(0)= e +0 + ηµ 0+c = c = 0. Τελικά η ζητούμενη συνάρτηση είναι η G()=e + + ηµ. ii. Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού της, ως πράξεις συνεχών συναρτήσεων, συνεπώς έχει αρχική συνάρτηση. Αναζητούμε αρχικά μια συνάρτηση F, τέτοια ώστε να ισχύει F () = f(). Παρατηρούμε ότι μια τέτοια συνάρτηση είναι η F()= ++ συν +, διότι συν ηµ = + 3 F ()= ++ + = - + f(). Γνωρίζουμε ότι κάθε άλλη αρχική G G() = ++ συν + +c. της f παίρνει τη μορφή G() = F() + c, c. Δηλαδή 3
Για να υπολογίσουμε τη σταθερά c αξιοποιούμε το δεδομένο ότι η γραφική παράσταση της G 0 =. Έχουμε αρχικής που αναζητούμε διέρχεται από το σημείο Α(0,), δηλαδή θα ισχύει ( ) 0 G(0)= 0++ συν 0+ +c = c =. Τελικά η ζητούμενη συνάρτηση είναι η G()= ++ συν+. iii. Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού της, ως πράξεις συνεχών συναρτήσεων, συνεπώς έχει αρχική συνάρτηση. Αναζητούμε αρχικά μια συνάρτηση F, τέτοια ώστε να ισχύει F () = f(). Παρατηρούμε ότι μια τέτοια συνάρτηση είναι η F()=3 +, διότι F ()= ( 3 + ) =3 ln+ = f(). Γνωρίζουμε ότι κάθε άλλη αρχική G της f παίρνει τη μορφή G() = F() + c, c. Δηλαδή G()=3 ++c. Για να υπολογίσουμε τη σταθερά c αξιοποιούμε το δεδομένο ότι η γραφική παράσταση της G 0 =. Έχουμε αρχικής που αναζητούμε διέρχεται από το σημείο Α(0,), δηλαδή θα ισχύει ( ) 0 G(0)= 3 + 0+c = c =. Τελικά η ζητούμενη συνάρτηση είναι η G()=3 +-. iv. Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού της, ως πράξεις συνεχών συναρτήσεων, συνεπώς έχει αρχική συνάρτηση. Αναζητούμε αρχικά μια συνάρτηση F, τέτοια ώστε να ισχύει F () = f(). Παρατηρούμε ότι μια τέτοια συνάρτηση είναι η F()=e συν, διότι F ()= ( e συν ) =e συν-e ηµ = f(). Γνωρίζουμε ότι κάθε άλλη αρχική G της f παίρνει τη μορφήg() = F() + c, c. Δηλαδή G()=e συν +c. Για να υπολογίσουμε τη σταθερά c αξιοποιούμε το δεδομένο ότι η γραφική παράσταση της G 0 =. Έχουμε αρχικής που αναζητούμε διέρχεται από το σημείο Α(0,), δηλαδή θα ισχύει ( ) 0 G(0)= e συν 0+c = c = 0. Τελικά η ζητούμενη συνάρτηση είναι η G()=e συν. Για να βρούμε μία συγκεκριμένη παράγουσα μιας συνάρτησης f αναζητούμε αρχικά μια συνάρτηση F, τέτοια ώστε να ισχύει F () = f(). Κάθε άλλη αρχική G της f παίρνει τη μορφή G() = F() + c, c. Αξιοποιούμε τα δεδομένα για να υπολογίσουμε τη σταθερά c και να βρούμε τον τύπο της ζητούμενης παράγουσας.
Παράδειγμα 3. Ο συνολικός αριθμός Ν των πωλήσεων (σε χιλιάδες) ενός μοντέλου κινητού τηλεφώνου στους πρώτους 6 μήνες της κυκλοφορίας του εμφανίζει ρυθμό μεταβολής 5 0 N (t) = t +, ( 0 t 6 σε μήνες). 9 3 Να βρείτε τον συνολικό αριθμό των πωλήσεων στο τέλος του 6 ου μήνα με δεδομένο ότι τον 3 ο μήνα οι συνολικές πωλήσεις ήταν 7,5 χιλιάδες τηλέφωνα. 5 0 5 0 Αφού ο ρυθμός μεταβολής είναι N (t) = t +, τότε N(t) = t + t + c. 9 3 8 3 Όμως δίνεται Ν( 3) = 7,5 άρα αντικαθιστώντας στην παραπάνω σχέση προκύπτει c= 0, 5 0 δηλαδή N(t) = t + t. 8 3 Έτσι, ο συνολικός αριθμός των πωλήσεων στο τέλος του 6 ου μήνα θα είναι 5 0 N(6) = 6 + 6 = 0 χιλιάδες τηλέφωνα. 8 3 Όταν δίνεται η συνάρτηση του ρυθμού μεταβολής μιας συνάρτησης f, δηλαδή f () = g(), όπου g() γνωστή συνάρτηση, και ζητείται ο υπολογισμός μιας τιμής της συνάρτησης f, τότε βρίσκουμε μια συνάρτηση G() τέτοια ώστε G () = g(). Από την ισότητα f () = G () και αξιοποιώντας τα δεδομένα, βρίσκουμε τον τύπο της συνάρτησης f και στη συνέχεια υπολογίζουμε τη ζητούμενη τιμή της. 5
ΘΕΜΑ Γ Παράδειγμα. Να βρείτε τις παράγουσες των συναρτήσεων: α) f () = 8 3 +, > 0 3 π π β) g() = συν 3ηµ +,, συν γ) δ) h() = e + e 9ηµ κ () = συν + α) Έχουμε: 3 3 3 f () = 8 3 + = 8 3 ( ) ( ln ) ( ln + = + ), > 0 3 Άρα παράγουσες της f είναι οι συναρτήσεις: 3 F() = + ln+ c, c. = συν ηµ + = ηµ συν + εϕ = συν β) g() 3 ( ) 3( ) ( ) π π = ( ηµ + 3συν + εϕ ),, Άρα παράγουσες της g είναι οι συναρτήσεις: G() = ηµ + 3συν + εϕ + c, c. γ) h() = e + e = ( ) e + ( e ) = ( e ) Άρα παράγουσες της h είναι οι συναρτήσεις: H() = e + c, c. 6
δ) 9ηµ 9 ηµ συν 9 συν κ () = = = = = ( συν ) 9( συν ) συν + συν + συν + συν + = = συν + συν + ( συν + ) 9 ( 8 ). Άρα παράγουσες της κ είναι οι συναρτήσεις: K() = 8 συν + + c, c. Οι παράγουσες μιας συνάρτησης βρίσκονται με τη βοήθεια των πινάκων παραγουσών συναρτήσεων και τις ιδιότητες των παραγουσών. 7
Παράδειγμα. Να βρείτε την αρχική συνάρτηση F της συνάρτησης 5 = όταν F( ) F() 0 f () 3e = =. Το πεδίο ορισμού της f είναι το *. Για < 0 είναι 5 3 3 3 f () = 3e = ( ) e = ( e ) = e, οπότε οι παράγουσες της f στο (,0) είναι: 3 F() = e + c, c. Για > 0 είναι: ( 0, + ) είναι: 3 f () = 3e = e 5, οπότε οι παράγουσες της f στο 3 F() = e + c, c. Έχουμε: 3 ( ) 3 F( ) = 0 e + c = 0 c = e + ( ) F() = 0 ( ) 3 e + c 3 = 0 c = e + 6 Επομένως η ζητούμενη αρχική συνάρτηση είναι: F() 3 3 e e, 0 + + < = 3 3 + + > e e, 0 6 Για να βρούμε την αρχική συνάρτηση F μιας συνάρτησης f με D f = βρίσκουμε τις παράγουσες της σε καθένα από τα διαστήματα,. Η εύρεση της F επιτυγχάνεται με τον προσδιορισμό των σταθερών χρησιμοποιώντας τις αρχικές συνθήκες. 8
Παράδειγμα 3. Να βρείτε τις παράγουσες της συνάρτησης f() = +. Είναι: + 3, < f() = και επειδή η f είναι συνεχής στο έχει παράγουσες F, για +, τις οποίες ισχύει: F () = f(), για κάθε. Για < είναι: f () = ( 3) + = + 3 F() = + 3 + c, c., οπότε: Για είναι: f() = ( ) + = + F() = + + c, c., οπότε: Άρα: Εξάλλου, η F ως παραγωγίσιμη, είναι συνεχής στο, οπότε και στο 0 =. + 5 3 = lim F() = lim F() = F() + 3 + c + + c + c = + c c = c + και επομένως οι ζητούμενες παράγουσες είναι: + + < 3 c, F() =, c. + + c+, Για να βρούμε τις παράγουσες F μιας συνεχούς συνάρτησης f πολλαπλού τύπου βρίσκουμε τις παράγουσές της σε κάθε διάστημα του D και προσδιορίζουμε τις παράγουσες με τη βοήθεια της συνέχειας της F στις θέσεις αλλαγής του τύπου της. f 9
Παράδειγμα. Να βρείτε τη συνάρτηση f, αν ξέρουμε ότι f () = 3, η f παρουσιάζει ακρότατο στο σημείο 0 =, και f () = 30,. Για κάθε, έχουμε: 5 5 f () = 30 = 30 ( ) ( 6 = ). 5 Άρα = +. 5 f () 6 c, c Επειδή η f είναι παραγωγίσιμη στο και παρουσιάζει ακρότατο στο 0 =, εφαρμόζοντας το θεώρημα Fermat παίρνουμε: = + = + + = = 5 f ( ) 0 6( ) ( ) c 0 6 c 0 c f () = 6 + = + 6, οπότε f() = + + c, c. 6 Επίσης f () = 3 + + c = 3 c = και επομένως η ζητούμενη συνάρτηση είναι η 5 6 Άρα ( ) 6 f() = +. Όταν γνωρίζουμε την f και ζητάμε τη συνάρτηση f, βρίσκουμε διαδοχικά τις αρχικές της f και της f. Η εύρεση της f επιτυγχάνεται με τον προσδιορισμό των σταθερών χρησιμοποιώντας τις αρχικές συνθήκες. 0
Παράδειγμα 5. Σε μία επιχείρηση τα έσοδα της (σε χιλιάδες ευρώ) τον πρώτο μήνα του έτους μεταβάλλονται με ρυθμό 5 +, τις πρώτες μέρες του μήνα και τα αντίστοιχα έξοδα της (σε χιλιάδες ευρώ) μεταβάλλονται με ρυθμό + 5. Να βρεθούν: α) Tα συνολικά κέρδη της επιχείρησης το δεύτερο δεκαήμερο του μήνα. β) Τα κέρδη της δέκατης μέρας του πρώτου μήνα του έτους. α) Αν K() είναι το κέρδος, E() τα έσοδα και P() τα έξοδα της επιχείρησης τις πρώτες μέρες του μήνα, τότε: K() = E() P() Έχουμε: K () = E() P() = E () P () = 5+ + 5 = + 0 Άρα ( ) ( ) ( ) K() = + 0 + c, c. Επομένως τα συνολικά κέρδη της επιχείρησης το δεύτερο δεκαήμερο του έτους σε χιλιάδες ευρώ είναι: K(0) K(0) = 0 + 0 0 + c 0 0 0 c = 00. β) Τα κέρδη της δέκατης μέρας του πρώτου μήνα του έτους σε χιλιάδες ευρώ είναι: K(0) K(9) = 0 + 0 0 + c 9 0 9 c = 9. Αν E () και P () ο ρυθμός μεταβολής των εσόδων και εξόδων αντίστοιχα μιας επιχείρησης τις πρώτες μέρες του μήνα τότε ο ρυθμός μεταβολής των κερδών της είναι K () = E () P () και τα κέρδη της K() = E() P() + c, c.
ΘΕΜΑ Δ Παράδειγμα. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση + = 0 έχει τουλάχιστον μία ρίζα στο διάστημα (0,). f : 0, + με τύπο f()= + -, η οποία είναι συνεχής στο [0,], ως πράξεις συνεχών συναρτήσεων, παραγωγίσιμη στο (0,), ως πράξεις παραγωγίσιμων συναρτήσεων, με παράγωγο f () = +. Θεωρούμε τη συνάρτηση [ ) Για την οποία διαπιστώνουμε ότι ισχύει f( 0) = f( ) = 0. Άρα από το θεώρημα Rolle προκύπτει ότι υπάρχει ( 0,) δηλαδή η εξίσωση 0 για το οποίο ισχύει f ( o) = 0, + = 0 έχει τουλάχιστον μία ρίζα στο διάστημα (0,). Μία από τις μεθόδους απόδειξης ύπαρξης ρίζας μιας εξίσωσης f() = 0 σε ένα διάστημα ( α,β ), είναι η εύρεση μιας αρχικής συνάρτησης F της f για την οποία πληρούνται οι προϋποθέσεις του θεωρήματος Rolle στο διάστημα [ α,β ]. Ημερομηνία τροποποίησης: 5/9/0