ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Β κύκλος

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Β κύκλος ) Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f για την οποία ισχύει : [f()] 8 +α[f()] = -e f(), α>,για κάθε. α) Να δείξετε ότι f()=c, για κάθε,όπου c αρνητική σταθερά. β) Να βρείτε τις ασύμπτωτες της συνάρτησης g()= f ( ). ) Δίνεται η παραγωγίσιμη στο συνάρτηση f για την οποία ισχύει : f ()+f()=, για κάθε και f()=e+. α) Να δείξετε ότι f()=+e -,. β) Να βρείτε το όριο lim ( lim f(y)). y γ) Να δείξετε ότι η f είναι κυρτή στο. ) Έστω η συνεχής στο συνάρτηση f και η παραγωγίσιμη στο συνάρτηση g για τις οποίες ισχύουν : ( f e f f )()= και ( f f )()=g (), για κάθε. Αν η C g διέρχεται από τα σημεία Α(, ) και Β(, 9 ), να δείξετε ότι : α) f ( g ( )) d =. β) ( f f f )( t) dt = ( η f εμφανίζεται στο ολοκλήρωμα 9 φορές ). 4) Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f για την οποία ισχύει f()+f(-)=,για κάθε. Να δείξετε ότι : α) f(+4)=f(), για κάθε. 5 β) f ( 5) d 6 = f ( ) d. 5) Δίνεται η συνάρτηση f() = 5 α +6 β +7 γ με f(), για κάθε. Αποδείξτε ότι : 5 α 6 β 7 γ =.

6) Δίνεται η συνεχής στο συνάρτηση f και η συνάρτηση: t g() = ( 5 ( f ( u ) du ) d ) dt. α) Να βρείτε τις g, g, g (). β) Να βρείτε το όριο : lim g( ) ( ) αν είναι γνωστό ότι f() =. γ) Αν για κάθε είναι f (), να δείξετε ότι η g είναι γνησίως μονότονη. 7) α) Αν f, g είναι συνεχείς συναρτήσεις στο [α, β] και f() g() για κάθε [α, β], να δείξετε ότι f ( ) d g ( ) d. β) Αν f είναι συνεχής συνάρτηση στο [α, β] να δείξετε ότι f ( ) d f ( ) d. 5 γ) Αποδείξτε ότι : ( ( e ) ) d. δ) Αποδείξτε ότι δεν υπάρχει συνάρτηση φ με συνεχή παράγωγο στο [-α, α],α>, τέτοια ώστε : φ(-α) = α, φ(α) = 7α και φ () 4, για κάθε [-α, α]. 8) Δίνεται η τέσσερις φορές παραγωγίσιμη στο συνάρτηση f τέτοια ώστε : f (4) () + f () () = ημ + συν, για κάθε και f() =, f () =, f () = - και f () () =. α) Να βρείτε τον τύπο της f. β) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα : d. f ( ) γ) Υπολογίστε το άθροισμα : S = f ( ) d 4 4 + f ( ) d. 9) Έστω Ε(λ) το εμβαδό του χωρίου που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f() = ln, g()= e και τις ευθείες = και = λ, με λ >. α) Να υπολογίσετε ως συνάρτηση του λ το εμβαδό Ε(λ). β) Να βρείτε το όριο lim Ε(λ).

) Δίνεται ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο του οποίου οι διαστάσεις μεταβάλλονται συ- ναρτήσει του χρόνου t. Αν το μήκος και το πλάτος αυξάνονται με ρυθμό m/sec, m/sec αντιστοίχως, ενώ το ύψος ελαττώνεται με ρυθμό m/sec, να βρείτε τη χρονική στιγμή t o που το ύψος είναι ίσο με το πλάτος και ίσο με 4m : α) το ρυθμό μεταβολής του εμβαδού της ολικής επιφάνειας του ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου. β) το ρυθμό μεταβολής του όγκου του ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου. ) Έστω μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το η οποία είναι συνεχής στο και ισχύει f( + y) = 5f()f(y), για κάθε, y α) Αποδείξτε ότι η f είναι συνεχής στο.. β) Αν g() = f ( t) dt f ( t) dt f ( t) dt f ( t) dt, να δείξετε ότι η C g δέχεται τουλάχιστον 99 οριζόντιες εφαπτόμενες. ) Έστω η συνεχής συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το [-5, 7], σύνολο τιμών 7 το [-, 9] και την ιδιότητα f ( ) d =. Να δείξετε ότι : 5 α) - f () + 7f() +8, για κάθε [-5, 7]. β) f ( ) d 6. ) Θεωρούμε τη συνάρτηση f δύο φορές παραγωγίσιμη στο τέτοια ώστε f() = ( vt) f ( t) dt, νν *, για κάθε. Να δείξετε ότι : α) f() = και f () =. β) f () = ( ν)f() + ( ν)f (), για κάθε. γ) f() =, για κάθε, αν ν = ή ν =. 4) Δίνεται η συνάρτηση f() = 4 4 + 5 α, α >. α) Να μελετηθεί η f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα. β) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f. γ) Να βρείτε το πλήθος των πραγματικών ριζών της εξίσωσης f() =. 7 5

5) Έστω η συνάρτηση f τρεις φορές παραγωγίσιμη στο, τέτοια ώστε : f (5) + f () = f (5) + f (). α) Να δείξετε ότι υπάρχουν ξ, ξ (, 5) με ξ < ξ τέτοια ώστε f ( ξ ) = f ( ξ ). β) Αποδείξτε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ(, 5) τέτοιο ώστε f () (ξ) =. 6) α) Αν f είναι μια παραγωγίσιμη στο συνάρτηση και η εξίσωση f () = έχει το πολύ ν διακεκριμένες πραγματικές ρίζες (νν), τότε η εξίσωση f() = έχει το πολύ ν+ διακεκριμένες πραγματικές ρίζες. β) Να λυθεί η εξίσωση : 4 = + 5. 7) α) Έστω f μια συνεχής και γνησίως μονότονη συνάρτηση στο [α, β]. Να δείξετε ότι η εξίσωση f() = έχει λύση στο (α, β) αν και μόνο αν f(α)f(β) <. β) Να δείξετε ότι η εξίσωση 7 + 5 + λ = έχει λύση στο (-, ) αν και μόνο αν λ(- 4, 4). 8) Δίνεται η συνάρτηση f() = e + +,. α) Να δείξετε ότι η f είναι αντιστρέψιμη και να βρείτε το πεδίο ορισμού της f. β) Να λύσετε την εξίσωση f () =. γ) Θεωρώντας ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο πεδίο ορισμού της, να βρείτε την παράγωγο της f στο σημείο. 9) Αν, είναι μιγαδικοί με, να δειχτεί ότι τα σημεία: Α( + ), Β( - ) και Γ( +i ) είναι κορυφές ισόπλευρου τριγώνου. ) Θεωρούμε τους μιγαδικούς =λ - 5+(5-λ)i, λ. α) Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων του, όταν το λ διατρέχει το. β) Να βρείτε το μιγαδικό, που έχει την πλησιέστερη εικόνα στην αρχή των αξόνων O(,). ) Να βρείτε την εξίσωση της γραμμής στην οποία βρίσκονται οι εικόνες των μιγαδικών w της μορφής w= - με =. 4

) Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων Μ () των μιγαδικών αριθμών = +yi, για τους οποίους ισχύει: i) i i ii) ) Αν = +yi είναι μιγαδικός αριθμός να δείξετε ότι: i) Αν -=-, τότε -=. ii) ii) Αν -, τότε Re() 5. 4) Nα βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων M του επίπεδου, του μιγαδικού, για τον οποίο ισχύει: ++-= 4. Να βρείτε ποιοι από τους αριθμούς αυτούς έχουν το ελάχιστο και ποιοι το μέγιστο μέτρο. 5) Έστω οι μιγαδικοί,, για τους οποίους ισχύει: 9 9 Να αποδείξετε ότι: i). ii) Το πηλίκο iii) είναι φανταστικό. Το τρίγωνο, που έχει κορυφές τις εικόνες των μιγαδικών, και O, είναι ορθογώνιο. 6) Δίνεται η εξίσωση: ++ = (). i) Να λυθεί η παραπάνω εξίσωση. ii) Έστω η ρίζα της () της οποίας το φανταστικό μέρος είναι θετικό. Να γράψετε τον αριθμό: w = στη μορφή α ±βi με α, β. iv) Αν Α, Β και Γ είναι σι εικόνες των μιγαδικών βρείτε το είδος του τριγώνου ΑΒΓ., και αντίστοιχα, να 5

7) Έστω C, α,β R, α β και i i () i α) Να αποδείξετε ότι ο δεν είναι πραγματικός αριθμός. β) Να αποδείξετε ότι οι εικόνες του στο μιγαδικό επίπεδο είναι σημεία κύκλου του οποίου να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα. γ) Να βρείτε τους μιγαδικούς που έχουν το μέγιστο και το ελάχιστο μέτρο. δ) Να αποδείξετε ότι 4< +4i <7 ε) Αν, C ικανοποιούν την () να αποδείξετε ότι -. 8) Δίνεται η εξίσωση α+β=, C, α,β και,, είναι οι ρίζες της με = +i Α) Να βρείτε τους αριθμούς α, β. Β) Να αποδείξετε ότι ο αριθμός είναι πραγματικός. 8 8 Γ) Έστω A ( ), B ( ), Γ( ) οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών,,, αντίστοιχα στο μιγαδικό επίπεδο με (7 i), τότε : 5 α) Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές. β) Αν w = w -, να αποδείξετε ότι w. γ) Να αποδείξετε ότι οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών w, που επαληθεύουν την εξίσωσηw + w - =, βρίσκονται σε έλλειψη. 9) Δίνεται συνάρτηση f γνησίως αύξουσα στο με f( ) > και ο μιγαδικός αριθμός f ( ) f () 4 i f (), για τον οποίο ισχύει ότι i α) f( ) f() f()=8 β) Re ()= γ) f( )<<f() δ) η f αντιστρέφεται και ισχύει < f. Να αποδείξετε ότι <. 6

) Α) Έστω w τέτοιος, ώστε αw + β w + γ =, όπου α,β, γ με α β. Να αποδείξετε ότι: i ) α w + βw + γ = ii ) w. Β) Αν ο μιγαδικός αριθμός επαληθεύει τη σχέση + 5 + 7=, τότε : α) Να αποδείξετε ότι: i ) ii ) = β) Να βρείτε τον μιγαδικό αριθμό. ) Έστω οι μιγαδικοί αριθμοί = + i με, w = και συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο με συνεχή παράγωγο στο. α) Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικός πραγματικός αριθμός τέτοιος, ώστε ο να είναι πραγματικός αριθμός. β) Αν α < β < γ, f(β) =, f (γ) = και f (α) >, να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ, τέτοιος, ώστε f (ξ) =. γ) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα: Re(w) d. --------------------------------------------------------------------------------------------------------- ) Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση :, f ( ) e, για κάθε f με f () και α. Να δείξετε ότι f ( ) e, για κάθε. β. Να βρείτε το σύνολο τιμών της f. γ. Να δείξετε ότι η εξίσωση f ( ), έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο, δ. Αν είναι το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f, τον άξονα και τις ευθείες, 4 <E Ω, να δείξετε ότι: e. ) Μια συνάρτηση g είναι συνεχής στο [,] και ισχύει ότι g( t) dt. Δείξτε ότι υπάρχει, τέτοιο ώστε g( )=. 7

4) Έστω g παραγωγίσιμη στο R με g ()+g ()=, g() για κάθε και g()=. i) Να βρείτε τον τύπο της g. ii) Να δείξετε ότι g( ) d. 5) Έστω συνάρτηση f συνεχής στο [α, β] και παραγωγίσιμη στο (α, β). Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς w = e (α-β) f(α)+5i και w = -f(β)-i. Αν ισχύει Re (w - w ) = f (β), να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (α, β) τέτοιο ώστε f (ξ)+f (ξ) =. 6) Έστω συνάρτηση f η οποία έχει συνεχή δεύτερη παράγωγο στο [α,β]. Αν f(α)=f(β)=, να αποδείξετε ότι f ( ) f ( ) d. a 7) Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα Ι= d. e 8) Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο [-,] και f(ημχ)+f(συνχ)=, να αποδείξετε ότι: i) f ()= ii) f ( ) d. 4 9) Δίνεται η συνάρτηση f: με f ()=6 e για κάθε. Αν f()= f ()=, να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα Ι= f ( ) d. 4) Αν η συνάρτηση f έχει συνεχή παράγωγο στο [α,β] και είναι αντιστρέψιμη, να αποδείξετε ότι f ( ) f d f d f f ( ) ( ) ( ) ( ). f ( a) a 4) Να βρεθεί η παραγωγίσιμη συνάρτηση f: με την ιδιότητα f()= + + f(t) dt, για κάθε. 8

4) Να βρεθούν οι συναρτήσεις f:(,+ ) (,+ ) με f () = e οι οποίες έχουν f ( ) αρχική τη συνάρτηση g()=, >. 4) Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f:. Να αποδειχθεί ότι: t f ( t) dt f ( t) f ( u) du dt για κάθε. 44) Δίνονται οι συναρτήσεις f, g, h: με f(-)= -f() και g(-)=g() για κάθε. Να βρεθεί το ολοκλήρωμα Ι= f ()(h g)()d. 45) Να βρεθεί το όριο t 4 L lim e e tdt. 46) Αν η συνάρτηση f :[,] [α,β] είναι συνεχής και ότι f ()d. f ()d, να αποδείξετε 47) Η συνάρτηση f : έχει συνεχή παράγωγο και f()=. Αν για κάθε είναι f (u)du dt f () t f (t)dt t, να βρεθεί ο τύπος της f. 48) Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [α,β] να αποδειχθεί ότι: f ()d f () f ( ) d f () f ( ) d. 49) Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχει συνάρτηση f : της οποίας μια αρχική συνάρτηση F να ικανοποιεί τη σχέση F()F( ) = F(ln) για κάθε >. 5) Να βρεθούν τα όρια: t A lim e dt t B lim e dt. 9