ΕΛΕΥΘΕΡΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΠΟΛΥΒΑΘΜΙΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778 ΕΛΕΥΘΕΡΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΠΟΛΥΒΑΘΜΙΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Συγγρφή Επιμέλει: Πνγιώτης Φ. Μοίρς ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 693 946778

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778. Ασυνεχή συνεχή συστήμτ Οι μέθοδοι νζήτησης των κνονικών τρόπων τλάντωσης που περιγράφηκν στ πλά συστήμτ δεν είνι εύκολο ν εφρμοστούν σε περιπτώσεις συστημάτων με πολύ μεγάλο ριθμό βθμών ελευθερίς, γιτί τότε το μθημτικό πρόβλημ γίνετι ογκώδες, φού ντιστοιχεί μι διφορική εξίσωση σε κάθε έν βθμό ελευθερίς. Έτσι είνι πρίτητη η νάπτυξη άλλων μεθόδων γι την νζήτηση των κνονικών τρόπων τλάντωσης πολυβάθμιων συστημάτων. Γενικά τ συστήμτ με μεγάλο ριθμό βθμών ελευθερίς τξινομούντι σε δυο κτηγορίες : ) Εκείν στ οποί ο ριθμός των βθμών ελευθερίς, ν κι μεγάλος θεωρείτι πεπερσμένος, δηλδή τ κινητά μέρη του συστήμτος είνι δικριτά κι επομένως το μέσο στο οποίο γίνετι η μελέτη των τλντώσεων θεωρείτι συνεχές. β) Εκείν στ οποί ο ριθμός των βθμών ελευθερίς είνι τόσο μεγάλος, ώστε ν θεωρείτι πρκτικά άπειρος, δηλδή η δομή του μέσου είνι τόσο πυκνή ώστε ν χρκτηρίζετι συνεχές. Χρκτηριστικά πρδείγμτ συνεχών συστημάτων ποτελούν συστήμτ τλντώσεων που προκύπτουν με την πολλπλή επνάληψη ενός βσικού τλντωτή (περιοδική δομή), π.χ. μι σειρά μζών συζευγμένων με ελτήρι, μι χορδή που φέρει έν μεγάλο ριθμό σφιριδίων, έν μεγάλο πλήθος συζευγμένων εκκρεμών ή μι περιοδική επνάληψη ενός βσικού κυκλώμτος C. Αντίστοιχ χρκτηριστικά πρδείγμτ συνεχών συστημάτων ποτελούν εκείν στ οποί τ κινητά μέρη τους δεν μπορούν ν δικριθούν μετξύ τους, όπως π.χ. μι χορδή κτά μήκος της οποίς κτνέμετι συνεχώς η μάζ της ή μι ομοξονική γρμμή μετφοράς σημάτων η οποί χρκτηρίζετι πό μι κτνεμημένη υτεπγωγή κι χωρητικότητ. ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 693 946778

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778. Εγκάρσιες τλντώσεις χορδής με Ν σφιρίδι m - m F φ m m x + m y F θ m y - y + Σχήμ. Έστω η χορδή του Σχήμτος. μελητές μάζς που τείνετι με τάση Τ στη διεύθυνση x κι φέρει Ν όμοι σφιρίδι μάζς m σε ίσες μετξύ τους ποστάσεις, τ οποί μπορούν ν μεττοπίζοντι μόνο κάθετ στη διεύθυνση της χορδής κι όλ πάνω στο ίδιο επίπεδο. Στο Σχήμ. φίνετι μι τυχί τριάδ γειτονικών σφιριδίων με σκοπό ν μελετηθεί η κίνηση του μεσίου. Θεωρώντς μι τυχί φάση του συστήμτος όπου η μάζ έχει μεττοπιστεί κτά y, η μάζ + κτά y+ κι η μάζ - κτά y- τότε μελώντς τ βάρη η μάζ δέχετι τη δύνμη F πό το δεξιό τμήμ της χορδής κι τη δύνμη F πό το ριστερό τμήμ της χορδής. Έτσι οι δυνάμεις κτά τη διεύθυνση x της χορδής λόγω ισορροπίς είνι : F coθ F κι coθ F co φ F ( ) coφ όπου Τ η δύνμη με την οποί είνι τεντωμένη η χορδή (τάση χορδής). Ενώ η εξίσωση κίνησης κτά την κάθετη διεύθυνση y στη χορδή σύμφων με το ο νόμο του Newto είνι : F m F i θ F y d i φ m dt κι ντικθιστώντς τις F,F πό τις σχέσεις ( ) προκύπτει: taθ - Τtaφ m d y dt ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 693 946778

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778 Αλλά πό το σχήμ εύκολ προκύπτει ότι : y y taθ κι taφ y y Άρ τελικά η εξίσωση κίνησης γι τη -οστή μάζ πίρνει τη μορφή : y y y y d y m dt d y dt ( y m y y ) ( ) Η διφορική εξίσωση ( ) στην πργμτικότητ ντιπροσωπεύει έν σύστημ Ν διφορικών εξισώσεων ης τάξης γι τις Ν άγνωστες συνρτήσεις y, =,,3,,Ν. Γι την επίλυση της ( ) θεωρείτι ότι στο σύστημ έχει διεγερθεί ποκλειστικά μόνο ένς τρόπος τλάντωσης, οπότε όλ τ κινητά μέρη του συστήμτος πρέπει ν εκτελούν ρμονική τλάντωση με την ίδι συχνότητ (του διεγερμένου τρόπου) κι την ίδι φάση. Επίσης ν θεωρηθεί ότι το πλάτος της θέσης της -οστής μάζς είνι Α, τότε η χρονική μετβολή της πόκλισης της -οστής μάζς πό τη θέση ισορροπίς (γενική λύση της ( )) θ είνι : y ( t) A co( ωt φ) ( 3) Ομοίως είνι, y+(t) = A+co(ωt + φ) κι y-(t) = A-co(ωt + φ) οπότε χρησιμοποιώντς υτές τις τιμές του y στην εξίσωση κίνησης ( ) προκύπτει : - ω Α ( A A m ) mω A A ( 4) Τ A Η σχέση ( 4) είνι η θεμελιώδης εξίσωση κι πρέχει τ σχήμτ των τρόπων τλάντωσης, δηλδή τη σχέση των πλτών των τλντωτών του συστήμτος. Η γενική λύση της ( 4) είνι : B i θ Ccoθ ( 5) ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 693 946778

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778 όπου Β,C είνι υθίρετες στθερές κι το θ είνι κάποι στθερή γωνί γι μι δεδομένη τιμή της ω, που πρέπει ν προσδιοριστεί. Σύμφων με την ( 5) τ πλάτη Α+ κι Α- είνι : B i( ) θ Cco( )θ Β(iθco θ coθiθ) C(coθcoθ - iθiθ) B i( ) θ Cco( )θ - Β(iθco θ coθiθ) C(coθcoθ iθiθ) Επομένως θροίζοντς τις πρπάνω προκύπτει : - (Bi θ Ccoθ)co θ A coθ κι ντικθιστώντς το άθροισμ υτό στη σχέση ( 4) προκύπτει : mω coθ ( 6) Τ Δηλδή πρτηρείτι ότι πό τη σχέση υτή μπορεί ν εκφρστεί η συχνότητ του τρόπου τλάντωσης που έχει διεγερθεί συνρτήσει του θ (φού Α ) ως : 4Τ θ ( coθ) i ( 7) m m ω Η τιμή του θ (στθερή γι δεδομένη ω) προσδιορίζετι εύκολ πό τις ορικές συνθήκες του προβλήμτος. Έτσι επειδή τ άκρ της χορδής είνι συνδεδεμέν σε κλόνητ τοιχώμτ θ πρέπει ν είνι κίνητ. Αλλά στις θέσεις υτές δεν υπάρχουν σφιρίδι κι έτσι θ χρησιμοποιηθεί η σχέση ( 5) που δίνει το πλάτος της -οστής μάζς γι = κι =N+ φού το πλήθος των σφιριδίων είνι Ν. Δηλδή είνι Αο = ΑΝ+ = οπότε η ( 5) δίνει: ο i Cco C ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 693 946778

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778 Συνεπώς στο συγκεκριμένο πρόβλημ που τ άκρ της χορδής είνι κίνητ η σχέση ( 5) γι το πλάτος της κίνησης των μζών πίρνει τη μορφή: κι γι =Ν+ υτή δίνει : Α = Biθ ( 8) i(n )θ i(n )θ π ( N )θ π θ,,,..., Ν ( 9) Αντικθιστώντς την τιμή υτή του θ στις σχέσεις ( 8) κι ( 7) προκύπτει το πλάτος τλάντωσης Α της -οστής μάζς στη συγκεκριμένη συχνότητ κνονικού τρόπου τλάντωσης ω : π B i, =,,,N ( ) ενώ οι επιτρεπόμενες συχνότητες ω των κνονικών τρόπων τλάντωσης είνι : ω 4 i m π, =,,,N ( ) ( ) Δηλδή επληθεύετι εδώ η γενική ρχή σύμφων με την οποί το πλήθος των κνονικών τρόπων τλάντωσης ενός συστήμτος είνι ίσο με τον ριθμό των βθμών ελευθερίς του, φού Ν είνι οι επιτρεπόμενες συχνότητες όσοι κι οι βθμοί ελευθερίς του συστήμτος. Πρτηρείτι ότι γι = η ( ) δίνει μηδενικά πλάτη γι όλες τις μάζες ενώ η ( ) δίνει μηδενική συχνότητ, οπότε δεν υφίσττι τλάντωση. Επίσης γι =N+ η ( ) δίνει πάλι μηδενικά πλάτη, λλά η ( ) πίρνει την μέγιστη τιμή ω max 4 / m, η οποί λέγετι συχνότητ ποκοπής κι χρκτηρίζει όλ τ περιοδικά τλντωνόμεν συστήμτ. Τέλος γι >N+ η ( ) δίνει συχνότητες οι οποίες έχουν ήδη προκύψει γι Ν, οπότε δεν ντιστοιχούν σε νέους κνονικούς τρόπους τλάντωσης. Άρ τελικά η ( 3) λόγω της ( ) δίνει τη μεττόπιση κάθε σφιριδίου ότν έχει διεγερθεί ο -οστός κνονικός τρόπος τλάντωσης ως : π y ( t) B i co(ω t φ ), =,,,N ( ) ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 693 946778

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778 Η γενική κίνηση των σφιριδίων ότν έχουν διεγερθεί όλοι οι κνονικοί τρόποι τλάντωσης του συστήμτος θ δίνετι πό την επλληλί των σχέσεων ( ) που ντιστοιχούν στις Ν τιμές που μπορεί ν πάρει το. π Δηλδή : y (t) B i co(ω t φ ) N Στο κόλουθο σχήμ έχουν σχεδιστεί τ σχήμτ των κνονικών τρόπων τλάντωσης μις χορδής με Ν=5 σφιρίδι, όπως προκύπτουν πό τη σχέση ( ) γι =,,,5. =5 =4 =3 = = Σχήμ. Πρτηρείτι ότι τ σχήμτ των κνονικών τρόπων τλάντωσης έχουν κυμτοειδή μορφή όσον φορά τις θέσεις των σφιριδίων. Τ τμήμτ της χορδής που συνδέουν τ σφιρίδι διτηρούν το ευθύγρμμο σχήμ τους επειδή η μάζ τους είνι μελητέ. Επομένως κτά την τλάντωση εκτετμένων συστημάτων οι επιμέρους τλντωτές ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 693 946778

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778 κινούντι με τέτοιο τρόπο ώστε ν σχημτίζοντι στάσιμ κύμτ, όπως είνι η ενλλκτική ονομσί που ποδίδετι στ σχήμτ των κνονικών τρόπων τλάντωσης ενός εκτετμένου συστήμτος. Με τον όρο στάσιμο χρκτηρίζετι το μετάθετο του σχήμτος του κνονικού τρόπου τλάντωσης στο χώρο. Σε όλ τ στάσιμ κύμτ που πεικονίζοντι στο Σχήμ. υπάρχουν σημεί όπου το πλάτος είνι μέγιστο κι ονομάζοντι κοιλίες κι σημεί (εκτός πό το χμηλότερο τρόπο τλάντωσης =) όπου το πλάτος μηδενίζετι κι ονομάζοντι δεσμοί. Διχρονικά η κίνηση σε κάποιον κνονικό τρόπο τλάντωσης γίνετι σύμφων με τη σχέση ( ), που δείχνει ότι ενώ το σχήμ του τρόπου πρμένει νλλοίωτο, το πλάτος της κίνησης μετβάλλετι συνρτήσει του co(ωt+φ). Πρτήρηση : Ορίζοντς το μήκος κύμτος λ ως το μήκος στο οποίο η φάση του κύμτος μετβάλλετι κτά π πρτηρείτι ότι στο συνολικό μήκος της χορδής που είνι =(N+) η φάση του κνονικού τρόπου τλάντωσης μετβάλλετι κτά π κι επομένως ισχύει : λ π (N ) λ, π,,..., N ( 3) Δηλδή τ μήκη των στάσιμων κυμάτων του συστήμτος της χορδής με τ Ν σφιρίδι είνι υποπολλπλάσι του διπλσίου του μήκους της χορδής. Επίσης ορίζετι ο κυμτάριθμος ως το πλήθος των μηκών κύμτος που ντιστοιχεί σε π μονάδες μήκους ή διφορετικά η μετβολή της φάσης νά μονάδ μήκους, δηλδή : π ( 4) λ Συνεπώς σύμφων με τις σχέσεις ( 3) κι ( 4) οι κυμτάριθμοι των στάσιμων κυμάτων που ντιστοιχούν στον κνονικό τρόπο τλάντωσης του συστήμτος είνι : π π, =,,,Ν ( 5) ( ) Από τις σχέσεις ( 3) κι ( 5) πρτηρείτι ότι όσο μεγλύτερος είνι ο ριθμός του κνονικού τρόπου τλάντωσης, τόσο μικρότερο είνι το μήκος κύμτος κι τόσο μεγλύτερος ο κυμτάριθμος του ντίστοιχου στάσιμου κύμτος. Από τη σχέση ( 5) προκύπτει ότι : ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 693 946778

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778 π Ν ( 6) Άρ συνδυάζοντς τις σχέσεις ( 3), ( 5), ( -9) κι ( 6) προκύπτει η γενική εξίσωση γι τις μεττοπίσεις των σφιριδίων της χορδής ως : y (t) (Bi Cco ) co(ω t φ ) ( 7) Ενώ η ( ) λόγω της ( 6) πρέχει τις συχνότητες ω των κνονικών τρόπων τλάντωσης του συστήμτος συνρτήσει των ντίστοιχων κυμτάριθμων ως : ω 4 4 i ω i, m m,,..., Ν ( 8) Η σχέση ( 8) κι γενικά σχέσεις της μορφής ω=ω() ονομάζοντι σχέσεις δισποράς κι ποτελούν ενδογενές χρκτηριστικό του συστήμτος στο οποίο νφέροντι, φού πό υτές μπορούν ν εκτιμηθούν οι ιδιότητες του μέσου στο οποίο νπτύσσοντι τ κύμτ. Η γρφική πράστση της σχέσης ( - 8) δίνετι στο κόλουθο σχήμ. ω max 4 / m ω ω Ν ω ω N =π/ Σχήμ.3 Πρτηρείτι πό τη σχέση ( 8) ότι η ορική τιμή της συχνότητς ωmax ντιστοιχεί σε i(/) / π/ π/ την ορική τιμή του κυμτάριθμου. Άρ η τιμή ωmax δεν ντιστοιχεί σε συχνότητ κνονικού τρόπου τλάντωσης, λλά είνι μόνο το όριο στο οποίο τείνουν οι συχνότητες των κνονικών τρόπων τλάντωσης ότν το πλήθος των βθμών ελευθερίς είνι μεγάλο. ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 693 946778

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778 3. Εγκάρσιες τλντώσεις ομογενούς ελστικής χορδής Σε μι συνεχή χορδή, που προυσιάζει συνεχή κτνομή μάζς, κάθε μόριο του υλικού πό το οποίο είνι κτσκευσμένη είνι κι ένς στοιχειώδης τλντωτής. Το πλήθος των μορίων υτών είνι τόσο μεγάλο ν κι πεπερσμένο, που μπορεί ν θεωρηθεί άπειρο, άρ άπειρο θ είνι κι το πλήθος των βθμών ελευθερίς κι το πλήθος των τρόπων τλάντωσης ενός συνεχούς συστήμτος. y Τcoθ Στοιχειώδες τμήμ χορδής θ Τiθ y(x,t) Τi(θ+dθ) Τ θ+dθ Τco(θ+dθ) x x+dx x Σχήμ.4 Έστω έν στοιχειώδες τμήμ μήκους dx κι μάζς dm μις ομογενούς ελστικής χορδής που έχει στθερή γρμμή πυκνότητς μάζς ρ=dm/dx. Αρχικά η χορδή βρισκότν πάνω στον άξον x κι τείνετι με μι στθερή τάση Τ σε όλο το μήκος της, πρόλο που υτή είνι ελάχιστ εκττή. Σε μι τυχί χρονική στιγμή t το στοιχειώδες υτό τμήμ πέχει πόστση y(x,t) πό τη θέση ισορροπίς, όπου θεωρείτι ότι οι μεττοπίσεις y(x,t) πό τη θέση ισορροπίς είνι δυντές μόνο πάνω στο επίπεδο xy κι ότι είνι πολύ μικρές έτσι ώστε οι γωνίες που σχημτίζοντι πό τη διτργμένη χορδή κι τη διεύθυνση ισορροπίς της x ν είνι μικρές. Η δύνμη που σκείτι πάνω στο στοιχειώδες υτό τμήμ είνι Τ κι σχημτίζει γωνί θ με τον άξον x στο έν άκρο του κι Τ με γωνί θ+dθ στο άλλο άκρο. Επομένως η δύνμη που σκείτι στο στοιχειώδες υτό τμήμ στη διεύθυνση x είνι Τco(θ+dθ) Τcoθ, ενώ στη διεύθυνση y είνι Τi(θ+dθ) Τiθ. Επειδή όμως οι γωνίες θεωρήθηκν μικρές θ ισχύουν οι προσεγγίσεις coθ, co(θ dθ) κι iθ θ, i(θ dθ) θ dθ, οπότε η δύνμη στη διεύθυνση x θ είνι μηδέν (δηλδή δεν υπάρχει μεττόπιση προς τη διεύθυνση x), ενώ η δύνμη στη διεύθυνση y θ είνι : ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 693 946778

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778 ( θ dθ) - Τθ Τdθ ( 9) Στη χρονική στιγμή t η κλίση του στοιχειώδους τμήμτος της χορδής είνι ίση με κι επίσης είνι ίση με την μερική πράγωγο της συνάρτησης y(x,t) ως προς x. Δηλδή : taθ θ taθ y(x, t) dθ θ dθ dx ( ) x dx x x Έτσι πό τις σχέσεις ( 9) κι ( ) προκύπτει ότι η y συνιστώσ της δύνμης είνι : dθ Τ dx x κι σύμφων με το ο νόμο του Newto πρέπει υτή ν ισούτι με τη μάζ dm=ρdx επί την επιτάχυνση y(x, t) / t. Άρ : dx dm x t x dm dx t x ρ t ( ) Η σχέση ( ) είνι η μορφή της εξίσωσης κίνησης της συνεχούς χορδής κι ονομάζετι κυμτική εξίσωση. Η εξίσωση υτή είνι μι διφορική εξίσωση ης τάξης με μερικές πργώγους κι δεν περιγράφει πλά κι μόνο τις τλντώσεις μις συνεχούς χορδής, λλά περιγράφει γενικά τη διάδοση κυμάτων στη χορδή υτή. Επίσης πρτηρείτι ότι η ποσότητ της τάσης προς τη γρμμική πυκνότητ Τ/ρ έχει διστάσεις τετργώνου τχύτητς κι επομένως / ρ υ είνι η τχύτητ μετάδοσης της κίνησης κτά μήκος της χορδής. Οι συνρτήσεις y(x,t) που είνι λύσεις της κυμτικής εξίσωσης ( ) ονομάζοντι κυμτοσυνρτήσεις. Υποθέτοντς ότι ένς μονδικός τρόπος τλάντωσης έχει διεγερθεί τότε όλ τ σημεί της χορδής τλντώνοντι με την ίδι συχνότητ κι φάση, οπότε η κυμτοσυνάρτηση y(x,t) έχει τη μορφή : A(x)co(ωt φ) ( ) όπου το πλάτος Α(x) είνι το σχήμ του τρόπου που ντιστοιχεί στη συχνότητ ω. Αντικθιστώντς την ( ) στην κυμτική εξίσωση ( ) προκύπτει : ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 693 946778

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778 d A(x) ρ co(ωt φ) -ω ( x)co(ωt φ) dx d A(x) ω ρ ( x) dx ( 3) Η ομογενής διφορική εξίσωση ( 3) περιγράφει τ σχήμτ των κνονικών τρόπων τλάντωσης της χορδής κι η γενική της λύση, δηλδή το σχήμ του τρόπου που ντιστοιχεί στη συχνότητ ω είνι : ( x) Bix Ccox ( 4) όπου Β κι C υθίρετες στθερές κι =π/λ είνι ο κυμτάριθμος κι σύμφων με τη ( 3) ισχύει : ω ρ Η σχέση ( 5) ποτελεί τη σχέση δισποράς της συνεχούς χορδής. ( 5) Άρ η κυμτοσυνάρτηση y(x,t) γι τη μεττόπιση της χορδής σε έν συγκεκριμένο τρόπο λόγω των ( ) κι ( 4) είνι : y( x, t) ( Bix Ccox)co(ωt φ) ( 6) Γι τον προσδιορισμό των κυμτάριθμων χρησιμοποιούντι οι ορικές συνθήκες Dirichlet στ άκρ της χορδής (x= κι x=) που είνι κίνητ. Δηλδή η συνάρτηση Α(x) θ είνι μηδενική στ άκρ της χορδής, οπότε η ( 4) δίνει : Γι x= : Α() Bi Cco Β C C Άρ το πλάτος Α(x) γράφετι ως : Α(x)=Bix ( 7) Έτσι γι x= η ( 7) δίνει : Α() Bi Bi i π π, =,,3, ( 8) ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 693 946778

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778 Η σχέση ( 8) πρέχει τους κυμτάριθμος που ντιστοιχούν σε κάθε τρόπο τλάντωσης κι πρτηρείτι ότι βρίσκοντι σε πλήρη νλογί με τους κυμτάριθμους που δίνει η σχέση ( 5) γι τη χορδή με Ν σφιρίδι. Η μόνη διφορά εντοπίζετι στο ότι στη χορδή με σφιρίδι το πλήθος των τρόπων τλάντωσης είνι πεπερσμένο κι ίσο με τον ριθμό των βθμών ελευθερίς, ενώ στη συνεχή χορδή το πλήθος των τρόπων τλάντωσης είνι άπειρο. Επομένως στη συνεχή χορδή τ σχήμτ των κνονικών τρόπων τλάντωσης (δηλδή τ στάσιμ κύμτ όπως λέγοντι) είνι άπειρ κι δίνοντι σύμφων με την ( 7) πό τη σχέση : A(x) i x, =,, ( 9) Τ μήκη των στάσιμων κυμάτων που ντιστοιχούν στους κνονικούς τρόπους τλάντωσης της χορδής με τη βοήθει της ( 8) δίνοντι πό τη σχέση : λ π (8) λ π λ π/, =,, ( 3) Δηλδή τ μήκη των στάσιμων κυμάτων είνι κέρι υποπολλπλάσι του διπλάσιου μήκους της χορδής. Επίσης οι συχνότητες των κνονικών τρόπων τλάντωσης σύμφων με τις σχέσεις ( 5) κι ( 8) είνι : ω ρ π ω ω, =,, ( 3) Τ ρ ρ Πρτηρείτι ότι οι συχνότητες των κνονικών τρόπων τλάντωσης είνι κέρι π πολλπλάσι της συχνότητς ω που ντιστοιχεί στο χμηλότερο τρόπο ρ τλάντωσης = κι ονομάζετι θεμελιώδης συχνότητ, ενώ όλες οι υπόλοιπες ρμονικές της. Το κόλουθο σχήμ πριστάνει τ σχήμτ των κνονικών τρόπων τλάντωσης ή τ στάσιμ κύμτ των τεσσάρων πρώτων ρμονικών (=,,3,4) που επιτρέποντι μετξύ των δυο στθερών άκρων μις συνεχούς χορδής. ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 693 946778

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778 =4 =3 = = Σχήμ.5 Πρτηρείτι ότι κι στ στάσιμ κύμτ της συνεχούς χορδής υπάρχουν σημεί μέγιστης πομάκρυνσης που λέγοντι κοιλίες κι σημεί με μηδενική πομάκρυνση που λέγοντι δεσμοί. Η χρονική συμπεριφορά της κίνησης της χορδής ότν έχει διεγερθεί ο -οστός κνονικός τρόπος τλάντωσης δίνετι πό τη σχέση : B i x co(ω t φ ), =,, ( 3) Ενώ στη γενική περίπτωση η τυχί κίνηση της ομογενούς ελστικής χορδής ότν έχουν διεγερθεί όλοι οι κνονικοί τρόποι τλάντωσης προκύπτει με επλληλί όλων των κνονικών τρόπων τλάντωσης κι περιγράφετι πό την κυμτοσυνάρτηση : B i x co(ω t φ ) ( 33) όπου οι στθερές Β κι φ προσδιορίζοντι πό τις ρχικές συνθήκες, δηλδή την ρχική θέση κι την ρχική τχύτητ της χορδής. ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 693 946778

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778 Πρτήρηση : Συγκρίνοντς τη διέγερση κι τη δημιουργί στάσιμων κυμάτων της χορδής με σφιρίδι κι της συνεχούς χορδής εξάγοντι τ κόλουθ συμπεράσμτ : ) Στη χορδή με σφιρίδι το πλήθος των κνονικών τρόπων τλάντωσης είνι ίσο με τον ριθμό των βθμών ελευθερίς, ενώ στη συνεχή χορδή είνι άπειρο. β) Τ σχήμτ των κνονικών τρόπων τλάντωσης (στάσιμ κύμτ) είνι κριβώς τ ίδι, όπως ποδίδοντι στ Σχήμτ. κι.5, εφόσον δε ληφθούν υπόψη τ σφιρίδι κι τ ευθύγρμμ τμήμτ της χορδής με σφιρίδι. Βέβι στη συνεχή χορδή τ σχήμτ υτά θεωρητικά είνι άπειρ, λλά στην πράξη μόνο η πρτήρηση των χμηλών τρόπων τλάντωσης είνι δυντή, φού έχουν θεωρηθεί μόνο μικρές μεττοπίσεις της χορδής πό τη θέση ισορροπίς. γ) Οι συχνότητες των κνονικών τρόπων τλάντωσης στην περίπτωση της συνεχούς χορδής έχουν ρμονική σχέση μετξύ τους (δηλδή σχέση πλών πολλπλάσιων της θεμελιώδους συχνότητς ω), σε ντίθεση με την περίπτωση της χορδής με σφιρίδι όπου οι συχνότητες δεν έχουν μετξύ τους ρμονική σχέση, όπως φίνετι πό τις σχέσεις ( 3) κι ( ). ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 693 946778

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778 4. Μετάβση πό συνεχές σε συνεχές σύστημ Η εξγωγή της κυμτικής εξίσωσης ( ) μπορεί ν προκύψει κι πό την εξίσωση ( ) γι τη χορδή με Ν σφιρίδι ν υποτεθεί ότι ο ριθμός Ν των σφιριδίων τείνει στο άπειρο. Τότε ν το μήκος της χορδής θεωρηθεί πεπερσμένο κι ίσο με, η πόστση μετξύ δυο διδοχικών σφιριδίων θ τείνει στο μηδέν. Δηλδή οι μάζες των σφιριδίων συγχωνεύοντι σε μι συνεχή χορδή η οποί έχει τώρ μάζ. Επομένως η εγκάρσι μεττόπιση του -οστού σφιριδίου πό τη θέση ισορροπίς μπορεί ν γράφει ως : y ( t) y(, t) ( 34) φού η θέση του στη διεύθυνση x είνι ίση με x=. Αντίστοιχ οι μεττοπίσεις των δυο γειτονικών σφιριδίων - κι + θ είνι : y y - (t) y(, t) (t) y(, y(x -, t) t) y(x, t) ( 35) Ανπτύσσοντς τις συνρτήσεις y(x-,t) κι y(x+,t) σε σειρές aylor γύρω πό το σημείο x γι στθερό t κι κρτώντς όρους μέχρι δεύτερης τάξης ως προς φού υτό τείνει στο μηδέν, προκύπτουν : y(x -, t) y(x, t) - x y(x, t) y(x, t) x x x Αθροίζοντς τις πρπάνω σχέσεις κτά μέλη κι νδιτάσσοντς τους όρους προκύπτει : y(x, t) y(x -, t) ( 36) x Αλλά πό τις σχέσεις ( 34) κι ( 35) είνι : d y dt t κι ( 37) ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 693 946778

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778 y y y y(x, t) - y(x -, t) - (-36) x Άρ η εξίσωση ( ) λόγω των σχέσεων ( 37) γίνετι : t m x x m t ( 38) Αλλά επειδή κτά μήκος της χορδής συνντάτι έν σφιρίδιο μάζς m γι κάθε μήκος, ο λόγος m/ είνι η μάζ νά μονάδ μήκους κι επομένως η γρμμική πυκνότητ μάζς ρ. Οπότε τελικά η ( 38) δίνει : x ρ t ( 39) Δηλδή στο όριο που το Ν σφιρίδι δίνει την κυμτική εξίσωση. κι επομένως, η εξίσωση κίνησης της χορδής με Πρτήρηση : 4 Η σχέση δισποράς της χορδής με Ν σφιρίδι ( 8) ω i στο όριο που το m κι τουλάχιστον γι τους πιο χμηλούς τρόπους τλάντωσης στους οποίους ντιστοιχούν μικροί κυμτάριθμοι το γινόμενο είνι πολύ μικρό τείνοντς στο μηδέν κι ισχύει η προσέγγιση i / / οπότε η σχέση δισποράς γίνετι : ω 4 m m η σχέση Αλλά m/=ρ είνι η γρμμική πυκνότητ μάζς κι επομένως ότν το δισποράς της χορδής με σφιρίδι δίνει τη σχέση δισποράς της συνεχούς χορδής ( 5): ω ρ ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 693 946778

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778 5. Ενέργει τλντωνόμενης χορδής Θεωρείτι μι ομογενής χορδή μήκους κι γρμμικής πυκνότητς ρ=dm/dx που έχει τ άκρ της στθερά κι τλντώνετι σε κνονικό τρόπο τλάντωσης. d dm dy y(x,t) dm x= dx x= Σχήμ.6 Η κινητική ενέργει ενός στοιχειώδους τμήμτος dm της χορδής, το οποίο στη θέση ισορροπίς βρίσκετι στη θέση x κι έχει μήκος dx ενώ σε μι τυχί θέση έχει μεττόπιση y(x,t) κι εγκάρσι τχύτητ υ y y / t, είνι : d dmυ y y dm t y d ρ t dx Άρ η ολική κινητική ενέργει της χορδής είνι το ολοκλήρωμ της προηγούμενης κτά μήκος της χορδής. Δηλδή : y ρ dx ( 4) t Η δυνμική ενέργει της χορδής οφείλετι στην πρμόρφωση του σχήμτος της χορδής. Έτσι το στοιχειώδες τμήμ μάζς dm, που ρχικά έχει μήκος dx, μετά την πρμόρφωση έχει μήκος d: d y ( dx) (dy) d dx x ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 693 946778

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778 Αλλά γι μικρές μεττοπίσεις y(x,t), η κλίση της χορδής σύμφων με την προσέγγιση ν y / x ( ε) νε γι ε<< είνι : είνι επίσης μικρή, οπότε y d dx x / y dx x Συνεπώς η μετβολή του μήκους του στοιχειώδους τμήμτος dm είνι : y d dx dx x y dx d dx x Η δυνμική ενέργει του στοιχειώδους τμήμτος είνι το έργο που πράγει η τάση Τ με την οποί έχει τεντωθεί η χορδή κι προκλεί τη μετβολή υτή του μήκους. Δηλδή : y dv (d - dx) dv dx x Άρ η ολική δυνμική ενέργει της χορδής προκύπτει με ολοκλήρωση της τελευτίς κτά μήκος της χορδής. Δηλδή : y V dx ( 4) x dx Στην περίπτωση που η χορδή τλντώνετι με κάποιο κνονικό τρόπο τλάντωσης θ είνι : y (x,t) (B i x C co x)co(ω t φ) ( 4) Επειδή όμως το ριστερό άκρο της χορδής είνι στθερό η ( 4) δίνει : Οπότε η ( 4) πίρνει τη μορφή : y(x,t) C co(ω t φ) y C (x,t) B i xco(ω t φ) ( 43) y (x, t) Επίσης είνι : Bω i xi( ωt φ) ( 44) t ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 693 946778

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778 y (x, t) κι B co x co(ω t φ) x ( 45) Όπου πό την ορική συνθήκη του δεξιού άκρου που είνι κλόνητο η ( 43) δίνει : y(x,t) B i co(ω t φ) π i π, =,, ( 46) κι σύμφων με τη σχέση δισποράς ( 3) οι δυντές τιμές της συχνότητς ω είνι : π ω, =,, ( 47) ρ Άρ η κινητική ενέργει της χορδής στο -οστό τρόπο τλάντωσης σύμφων με τις σχέσεις ( 4) κι ( 44) είνι : Κ y ρ x dx ρb ω i (ω t φ) i xdx Όμως : i xdx ( co x)dx x i x 4 i (46) 4 i π Οπότε : K ρb ω (47) ρb π i (ω i (ωt φ) t φ) ρ K B π 4 i (ω t φ) ( 48) ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 693 946778

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778 Επίσης η δυνμική ενέργει της χορδής στο -οστό τρόπο τλάντωσης σύμφων με τις σχέσεις ( 4) κι ( 45) είνι : Όμως : V y x dx B co (ω t φ) co xdx co xdx ( co x)dx x i x... Οπότε : V B (46) B π co (ω co (ωt φ) t φ) V B π 4 co (ω t φ) ( 49) Άρ η ολική ενέργει στο -οστό τρόπο τλάντωσης της χορδής σύμφων με τις σχέσεις ( 48) κι ( 49) είνι : π E K V B, =,, ( 5) 4 4 ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 693 946778