0 επαναληπτικά θέματα για τα μαθηματικά κατεύθυνσης Γ λυκείου (τεύχος σχολικό έτος 03-04) Γράφουν οι μαθηματικοί: Βέρρας Οδυσσέας Καρύμπαλης Νώντας Κοτσώνης Γιώργος Κώνστας Χάρης Μπούζας Δημήτρης Πετρόπουλος Βασίλης Σκέντζος Δημήτρης Σκίτσας Νώντας Τσούκας Βαγγέλης Φράγκου Μαρία ελεύθερη διάθεση για εκπαιδευτικούς σκοπούς από: Μαθηματικά για το τελευταίο θρανίο!
0 Επαναληπτικά θέματα για τα μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ λυκείου (έτος 04) Θέμα ο Δίνεται η συνάρτηση, με 0 Α. Να μελετήσετε την ως προς τη μονοτονία και τα κοίλα. Β. Να βρεθεί η εφαπτομένη της Γ. Να αποδείξετε ότι C που άγεται από το 0,0 0 για κάθε 0. Δ. Αν τα σημεία,,, και 0,0, τέτοιο ώστε ln. Ε. Έστω,,,...,, 3 v. και v N. Να αποδείξετε ότι: v e e e... e 4v ln ln 3ln 3 vln v i. ii. υπάρχει μοναδικό, είναι συνευθειακά να αποδείξετε ότι υπάρχει τέτοιο ώστε v... v v Θέμα ο Δίνονται οι μιγαδικοί, με,0 z e i και η εξίσωση e 0 (). Α. Να δείξετε ότι η εξίσωση () έχει μοναδική ρίζα στο,0. Β. Να βρεθεί η εξίσωση της καμπύλης πάνω στην οποία κινούνται οι εικόνες των μιγαδικών z. Γ. Να δειχθεί ότι υπάρχει μιγαδικός του προηγούμενου υποερωτήματος που έχει την ελάχιστη απόσταση από την αρχή των αξόνων.
0 Επαναληπτικά θέματα για τα μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ λυκείου (έτος 04) Θέμα 3 ο Έστω οι παραγωγίσιμες συναρτήσεις, 0 g, για κάθε R. Α. Αν d g d, με g. Β. Αν επιπλέον ισχύει ότι συναρτήσεις, g είναι ίσες. και g με πεδίο ορισμού το R για τις οποίες ισχύει 0, να αποδείξετε ότι υπάρχει, ln g g Γ. Αν ισχύει ότι τέτοιο ώστε, για κάθε R, να αποδείξετε ότι οι t dt e, για κάθε R i. ii. lim lim lim iii., να αποδείξετε: Θέμα 4 ο Έστω η συνεχής συνάρτηση g:, R για την οποία ισχύει t t g t g udu dt t e t ln t t dt 0 0, για κάθε, Α. Να βρεθεί ο τύπος της g συναρτήσει της παραμέτρου α. Β. Αν g t dt 0, για κάθε, 0 Γ. Αν ο τύπος της g είναι ln, να βρεθεί η τιμή της παραμέτρου α. και με g e e, τότε να βρεθεί το πρόσημό της. R. Δ. Έστω συνάρτηση με τύπο g t dt. Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικό 0, τέτοιο ώστε g 0 Ε. Να υπολογίσετε το lim 3
0 Επαναληπτικά θέματα για τα μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ λυκείου (έτος 04) Θέμα 5 ο Έστω η συνάρτηση : R R, παραγωγίσιμη στο R, για την οποία ισχύει ότι: e e, για κάθε R Α. Να βρεθεί ο τύπος της. Β. Έστω συνάρτηση g, παραγωγίσιμη στο διάστημα 0,, για την οποία ισχύει d g d, με 0 g.. Να αποδείξετε ότι υπάρχει 0, e e g g Γ. Αν επιπλέον ισχύει ln ln αποδείξετε ότι υπάρχει 0, τέτοιο ώστε η εφαπτομένη της C g στο παράλληλη στον άξονα. τέτοιο ώστε, για κάθε 0,, g να είναι, να Θέμα 6 ο Δίνεται η συνάρτηση με τύπο Α. Να μελετήσετε την ως προς: i. τη μονοτονία. ii. την κυρτότητα και τα σημεία καμπής. e e, με R. Β. Να βρείτε τις οριζόντιες ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της. Γ. Να γράψετε την εξίσωση της εφαπτομένης της C στο σημείο της,. Δ. Έστω σημείο Β που είναι το σημείο τομής της ευθείας, του Γ ερωτήματος, με τον άξονα. Αν ο ρυθμός μεταβολής της τετμημένης του σημείου Μ είναι cm / sec, να βρείτε το ρυθμό μεταβολής της τετμημένης του σημείου Β τη χρονική στιγμή που το Μ διέρχεται από το σημείο, e e e. 4
0 Επαναληπτικά θέματα για τα μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ λυκείου (έτος 04) Θέμα 7 ο ln ln, με 0. Δίνεται η συνάρτηση Α. Να δείξετε ότι η είναι γνησίως φθίνουσα στο 0,. Β. Να βρείτε το σύνολο τιμών της. Γ. Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικό 0 4 Δ. Να δείξετε ότι t dt 3 τέτοιο ώστε t dt, για κάθε R. Θέμα 8 ο Έστω παραγωγίσιμη συνάρτηση g ορισμένη στο R για την οποία ισχύει ότι: g u du dt g t dt t 0 0 0, για κάθε R Α. Να βρεθεί ο τύπος της g Β. Αν g e και g t dt 0. i. Να μελετήσετε την ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα. ii. Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικό 0, τέτοιο ώστε iii. Να βρείτε τις πλάγιες ασύμπτωτες της C, εάν υπάρχουν. Γ. Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικό 0, τέτοιο ώστε g Δ. Να δείξετε ότι υπάρχουν, 0, τέτοια ώστε g g ερώτημα Γ., όπου το από το Ε. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται μεταξύ των C, C και της κατακόρυφης ευθείας g 5
0 Επαναληπτικά θέματα για τα μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ λυκείου (έτος 04) Θέμα 9 ο Έστω μιγαδικοί αριθμοί z, w για τους οποίους ισχύει ότι: e 3z 5, για κάθε R z9 04 04 w wi i, με R () () Α. Να αποδείξετε ότι 04 04 z9 3z 5 Β. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων του z που ικανοποιούν τη σχέση (). Γ. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων του w που ικανοποιούν τη σχέση (). Δ. Να εξετάσετε αν υπάρχουν z και w για τους οποίους ισχύει z w. Ε. Έστω οι μιγαδικοί, z z που ικανοποιούν την (), με z z. Να αποδείξετε ότι: i. ii. 6 z 3 z 3 z και 3 z z z 3 z 3 z z z 3 z 3 6 z 3 Θέμα 0 ο Έστω συνεχής συνάρτηση : R R, για την οποία ισχύει: 4 4 4 d d d Α. Να βρεθεί ο τύπος της συνάρτησης στο διάστημα,. με R Β. Έστω i. Να αποδειχθεί ότι. ii. Έστω σημείο a, a e d e d 0, με. 0 0 της C και η εφαπτομένη της στο Α. Αν η ευθεία κάθετη στην, στο Α, τέμνει τον άξονα yy στο σημείο Β, να αποδειχθεί ότι ο ρυθμός που είναι μεταβολής της τεταγμένης του Β είναι διπλάσιος από το ρυθμό μεταβολής της τετμημένης του Α τη χρονική στιγμή at. t κατά την οποία 6
0 Επαναληπτικά θέματα για τα μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ λυκείου (έτος 04) Θέμα ο Έστω η συνάρτηση δυο φορές παραγωγίσιμη στο R για την οποία ισχύουν: κοίλη στο R 3, για κάθε 0,4 3 0 Α. Να αποδείξετε ότι 3 0 Β. Να δείξετε ότι υπάρχει μοναδικό σημείο καμπής, είναι θετική. Γ. Να δείξετε ότι η C παρουσιάζει ακριβώς δύο ακρότατα. για τη C, στο οποίο η κλίση της Δ. Να δείξετε ότι η εξίσωση 0 έχει ακριβώς τρεις ρίζες, τις,,3. και την 3 3, με C Θέμα ο Έστω η συνάρτηση, παραγωγίσιμη στο διάστημα., Α. Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικό 0, τέτοιο ώστε 0 Β. Να αποδείξετε ότι η C δεν τέμνει την y στο, Γ. Να αποδείξετε ότι για κάθε,., με γνησίως αύξουσα στο,.. και 7
0 Επαναληπτικά θέματα για τα μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ λυκείου (έτος 04) Θέμα 3 ο ln Δίνεται η συνάρτηση, με, Α. Να μελετηθεί η ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα. e Β. Να αποδείξετε ότι e d e Γ. Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδική εφαπτομένη της Δ. Να αποδειχθεί ότι υπάρχει μοναδικό, τέτοιο ώστε C που να διέρχεται από το σημείο 0, d 04 Ε. Να βρεθεί ο ρυθμός μεταβολής της γωνίας που σχηματίζει η εφαπτομένη της C, στο, t t Μ είναι, με τον άξονα τη χρονική στιγμή t κατά την οποία η τετμημένη του σημείου t και μειώνεται με ρυθμό ά / sec. Θέμα 4 ο Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση : R R, για την οποία ισχύει:, για κάθε R t dt, για κάθε R 0 Α. Να βρεθεί η εφαπτομένη της Β. Αν η είναι η y Γ. Έστω F C στο να βρεθεί το 0 t dt, για κάθε R F F για κάθε R. u 4 3 t tdt du 0, 0. 8 lim 0 0. Αν ισχύει 0 4 3, για κάθε R, να αποδείξετε ότι Δ. Αν το εμβαδό του χωρίου που ορίζεται από τη C, τον άξονα και τις ευθείες και είναι να δείξετε ότι υπάρχει, τέτοιο ώστε 0... 8
0 Επαναληπτικά θέματα για τα μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ λυκείου (έτος 04) Θέμα 5 ο Έστω συνάρτηση : 0, R, παραγωγίσιμη στο 0,, με 0 και Α. Να βρεθεί ο τύπος της., για κάθε 0,, για κάθε 0, Β. Αν, να δείξετε ότι για κάθε 0, Γ. Έστω το χωρίο που ορίζεται από τη C, τον άξονα και τις ευθείες. Να βρεθεί για την οποία ισχύει: και, ώστε η ευθεία να χωρίζει το χωρίο σε δύο ισοεμβαδικά χωρία., με Θέμα 6 ο Έστω συνάρτηση συνεχής στο για την οποία ισχύει Α. Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της C στο σημείο Β. Να αποδείξετε ότι Γ. Να βρεθούν τα όρια: i. ii. lim h h lim 6 h0 h 4 lim h lim 3 h0 h,. iii. lim 8 9
0 Επαναληπτικά θέματα για τα μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ λυκείου (έτος 04) Θέμα 7 ο Για τους μιγαδικούς z C και w C ισχύουν οι παρακάτω σχέσεις: z και z Re w w, με R w wi i Im, με R () () Α. Να βρείτε τις εξισώσεις των γραμμών πάνω στις οποίες κινούνται οι εικόνες των μιγαδικών z και w. Β. Αν Α, Β τα σημεία όπου z w με συντεταγμένες, y και, y i. Να δείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον, 0 ii. Να αποδείξετε ότι υπάρχει, Γ. Έστω ο μιγαδικός w u w u w τέτοιο ώστε, με, τότε: τέτοιο ώστε να είναι ρίζα της εξίσωσης 3 I. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος του μιγαδικού u για τον οποίο ισχύει ότι Δ. Έστω οι μιγαδικοί w, w οι οποίοι ικανοποιούν τη σχέση (). Αν ισχύει ότι w w και w w, να βρείτε το w συναρτήσει του. Θέμα 8 ο Έστω η συνάρτηση συνεχής στο R, για την οποία ισχύει ότι: 3 e Α. Να αποδειχθεί ότι η είναι παραγωγίσιμη στο R. Β. Να δειχθεί ότι η δεν έχει ακρότατα. Γ. Να βρεθεί το είδος μονοτονίας της., για κάθε R Δ. Να αποδειχθεί ότι υπάρχει μοναδικό 0, τέτοιο ώστε 0.. 0
0 Επαναληπτικά θέματα για τα μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ λυκείου (έτος 04) Θέμα 9 ο Έστω συνάρτηση δυο φορές παραγωγίσιμη στο R και κυρτή και συνάρτηση g δυο φορές παραγωγίσιμη στο Α. Να δείξετε ότι η συνάρτηση, και κοίλη, για τις οποίες ισχύει ότι: 0 g0 0 και g g h e e Β. Να βρεθεί η εφαπτομένη της C h στο σημείο Γ. Να αποδείξετε ότι h 0 0 δεν έχει σημεία καμπής, με 0 0, h 0, για κάθε Δ. Αν h, για κάθε, να βρεθεί η τιμή της παραμέτρου α Ε. Να αποδείξετε ότι g g, για κάθε,0 0, Θέμα 0 ο Έστω συνάρτηση παραγωγίσιμη στο R με συνεχή στο R. Αν y y, για κάθε, y R, τότε: 0 0, 0 0 και Α. Να δείξετε ότι:, για κάθε R. i. ii. η εξίσωση 04 έχει ακριβώς μία ρίζα.. iii. υπάρχει μοναδικό 0,0 τέτοιο ώστε 0 iv. η εξίσωση t dt έχει ακριβώς μία ρίζα στο Β. Αν είναι το εμβαδό του χωρίου που περικλείεται μεταξύ της της, με R, τότε να δείξετε ότι. 0,. C, της y, του άξονα yy και