Μαθηματικά για Οικονομολόγους Ι-Μάθημα 3o Όριο-Συνέχεια.

Μαθηματικά για Οικονομολόγους Ι-Μάθημα 3o Όριο-Συνέχεια.

Ας θεωρήσουμε δύο μετρικούς χώρους (S,ds) και (Τ,dΤ). Έστω επίσης μια συνάρτηση f από το Α στο Τ με Α υποσύνολο του Τ, p σημείο συσσώρευσης και β να ανήκει στο σύνολο Τ. Θα λέμε ότι το όριο της f καθώς το x τείνει στο p είναι β ( ή ότι η f προσεγγίζει το β καθώς το x προσεγγίζει το p) όταν: ε > 0 δ > 0: d ( f( x), b) < ε για x A με d ( x, p) < δ lim f( x) x p αλλιώς = β T ε > 0 δ > 0: f( x) β < ε για x A με 0<x-p < δ lim f( x) x p = β s

Α f Τ X. p F(x). β

F(x) β+ε β β-ε δ p δ

Το όριο της συνάρτησης f(x) είναι ο αριθμός Α όταν η x τείνει στο α, εάν η f(x) τείνει στο Α καθώς η η x τείνει προς το p (αλλά δεν ισούται με αυτό), δηλ. lim f ( x) = A Παραδείγματα: lim(3x 1) = 5,lim(2x 1) = 3 x 2 x 4 x p

Αν limf( x) = A και x α i. lim[ f( x) + g( x)] = x α ii. lim[ f ( x) g( x)] = x α iii. [ f ( x) * g( x)] x α iv. lim [ f ( x) / g( x)] = A x α v. α / β lim [ f ( x)] = A Vi. x α Vii. lim[ f( x)] n = A n x α Π.Χ lim f( x) = A lim = x α lim g( x) x α A / A + A B α / β * B B B B = 0 Β lim 4x 2 + 2x + 5,lim x 5 x 1 2 x 1 x + 1

Στον ορισμό του ορίου δεν θέσαμε περιορισμό για το πως το x θα πλησιάσει το p. y lim f( x) = β x 0 + Παραδεί γµατα 3 2 x+ 2 lim,lim x 2 x 0 1 + e + + 1/ x β -β x lim f( x) = β x 0

Η συνάρτηση ζήτησης για ένα αγαθό πολυτελείας (π.χ διαμάντια) δίνεται ως εξής: 1000 2 P,0 P 500 Q= 3000 0.5 P, P> 500 Αφού παρασταθεί γραφικά να μιλήσετε για συνέχεια της συγκεκριμένης συνάρτησης

Μια συνάρτηση θα τείνει στο άπειρο lim f ( x ) =+ x a εάν για κάθε θετικό αριθμό ε>0 μπορούμε να βρούμε δ>0 που αν εξαρτάται από το ε τέτοιον ώστε f( x) > ε,0< x α < δ Μια συνάρτηση θα τείνει στο άπειρο lim f( x) = x a εάν για κάθε θετικό αριθμό ε>0 μπορούμε να βρούμε δ>0 που αν εξαρτάται από το ε τέτοιον ώστε f( x) < ε,0< x α < δ Παραδειγµα 1 lim, x 1 6 ( x 1)

Έστω μια συνάρτηση f( x): A RA, R Η συνάρτηση f θα λέγεται συνεχής στο σημείο p του A εάν: lim f ( x ) = f ( p ) x p Για να είναι συνεχής μια συνάρτηση στο σημείο p του πεδίου ορισμού της θα πρέπει να ισχύουν: 1. Να υπάρχει το όριο της f(x) στο p, 2. Το όριο να ισούται με την τιμή της παράστασης 3. Προφανώς να υπάρχει το f(p). Μια συνάρτηση συνεχής σε κάθε σημείο του π.ο Α θα λέμε ότι είναι συνεχής σε όλο το Α.

Π αρ αδεί γµατα: Ν α μελετηθεί η συνέχεια των συναρτήσεων 2 5x 1 1 lim,lim,lim x α 2 ( x + 1) x 1( x+ 1) x 1( x+ 1) Π αρ αδεί γµατα: Ν α μελετηθεί η συνέχεια των συναρτήσεων ζητησης 1 100 100 ( P 10) ( P 1) ( P 1) 2 lim Qs = P +,lim Q,lim 10 2 d = Q 10 2 d = P P P 2

Οι περισσότερες συναρτήσεις στα οικονομικά είναι συνεχείς θεωρώντας ότι οι μεταβολές που γίνονται είναι συνεχείς (συναρτήσεις ζήτησης, προσφοράς ή κόστους).

Μια ασφαλιστική εταιρεία αμείβει του υπαλλήλους της με καθαρό μηνιαίο μισθό 1000 ευρώ συν προμήθεια 15% επί της αξίας των συμβολαίων συν ένα πριμ αποδοτικότητας 600 ευρώ ανάμήνα εάν ξεπεράσει τις 15000 ευρώ.θεωρείται ότι είναι συνεχής η συγκεκριμένη συνάρτηση;

1) Το άθροισμα ή η διαφορά συνεχών συναρτήσεων είναι συνεχής συνάρτηση. [ f( x) ± g( x)] = F( x) 2) Το γινόμενο συνεχούς συνάρτησης με πραγματικό αριθμό ή συνεχών συναρτήσεων είναι συνεχής συνάρτηση [ af()] x = Fx (),[ gxf () ()] x = Fx () 3) Το πηλίκο συνεχών συναρτήσεων είναι συνεχής συνάρτηση [ f()/ x gx ()] = Fx (), gx () 0 4) Η απόλυτη τιμή και η δύναμη μια συνεχούς συνάρτησης είναι συνεχής.

5) Οι συναρτήσεις ημχ, συνχ είναι συνεχείς συναρτήσεις 6) Η συνάρτηση e x, a x είναι συνεχείς συναρτήσεις x x 7) Προσοχή ισχύει ότι a e 1 lim 1 +,lim x x x >+ x > 0 (Καλό θα ήταν να κάνατε τις αποδείξεις)

n n Εστω α R και r>0. Το σύνολο των σημείων x στο R : Ανοιχτή Σφαίρα (σύνολο): x a < rb. ( a, r) ( Ένα ανοιχτό διάστημα στο R είναι ανοιχτό σύνολο) n Ένα σύνολο S στο R είναι κλειστό αν το συμπλήρωμα n R S του είναι ανοιχτό. ( Ένα κλειστό διάστημα στο R είναι κλειστό σύνολο) Συμπαγή σύνολα: Ένα σύνολο λέγεται συμπαγές εάν είναι κλειστό και φραγμένο. Φραγμένα Σύνολα: n Εστω σύνολο S στο R λέγεται φραγμένο αν υπάρχουν r>0 και n α R ώστε το S να βρίσκεται στην Bar (, )

Εάν η f(x) είναι συνεχής στο [α,β] τότε: 1. H f(x) παιρνει μια μέγιστη και έλάχιστη τιμή στο [α,β] (Weierstrass). 2. Εάν οι τιμές f(α) και f(β) είναι ετερόσημες τότε υπάρχει δ στο [α,β]:f(δ)=0 (Bolzano). 3. Εάν λ αριθμός μεταξύ των α,β τότε υπάρχει σημείο δ στο [α,β]:f(δ)=λ

Εάν η f(x) είναι συνεχής στο [α,β] τότε: 4. Εάν x,y δύο τυχαία σημεία με x<y και με f(x) διάφορο του f(y) τότε η f(x) θα παίρνει όλες τις τιμές που βρίσκοντια μεταξύ των f(x) και f(y) όταν το x παίρνει τιμές στο [x,y]. (ΘΜΤ).

Δίνεται η παρακάτω συνάρτηση παραγωγής Aq ( ) = q2 q 1 Να δείξετε ότι στο διάστημα (0,1) έχει μόνο μία ρίζα. Να δείξετε ότι η παρακάτω συνάρτηση 3 2 κερδών Π ( q) = q + 2q + 3q+ 1έχει τουλάχιστον μια ρίζα πραγματική.

Εάν η συνάρτηση f(x) είναι συνεχής στο x και η g(x) συνεχής στο y = f(x ) 0 0 τότε η g f θα είναι συνεχής x = x 0 0

Να βρεθούν τα όρια 2 2 3 4 3 3 x 5x + 6 x + x x + x + x 2 lim,lim,lim x 9 x 3 x 1 Ναβρεθούν τα α,β ωστε η f(x) να είναι συνεχής x -3 2 x 3 x 1 f(x)={ 2 1 συν ( x 2) 2, x 2,3 ( x 2)( x 5x + 6) -lna-2, x= 2

Οι συναρτήσεις κερδών και εσόδων μιας επιχείρησης δίνονται πιο κάτω. Αφού τις χρησιμοποιήσετε για να κάνετε την γραφική τους παράσταση και να εξετάσετε την συνέχεια τι παρατηρείτε; Τι θα γίνει εάν υπάρχει αυθαίρετη τιμή P1, P1 < 7 P( 20 2 P1) 4(20 2 P1 ), P1 < 7 R ( P) = 21, P = 7, Π( P) = 9, P = 7 0, P1 7 > 0, P1 > 7 1 1 1 1 1

Κεφάλαιο Δευτερο Ξεπαπαδέας ΚεφάλαιαΠρώτο και Δέυτερο-Chiang &Wainwright Σημειώσεις από το http://eclass.upatras.gr Θεωρία και ασκήσεις (https://eclass.upatras.gr/courses/econ1240/)