ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ APACE ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ΚΑΙ ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Σ' αυτήν την παράγραφο χρησιµοποιούµε τους µετασχηµατισµούς ple για να αναλύσουµε διάφορα απλά κυκλώµατα και για να λύσουµε επίσης γραµµικές διαφορικές εξισώσεις µε σταθερούς συντελεστές Κατά την διάρκεια αυτής της ανάπτυξης, εισάγουµε µία σειρά εννοιών οι οποίες έχουν θεµελιώδη σηµασία στην θεωρία συστηµάτων όπως: γραµµικότητα, υπέρθεση, κρουστική απόκριση, απόκριση συχνότητας, σύνθετη αντίσταση ple και συνάρτηση συστήµατος Όλες αυτές οι έννοιες αναπτύσσονται συστηµατικότερα σε ακόλουθα κεφάλαια Στο υπόλοιπο αυτού του κεφαλαίου, υποθέτουµε ότι όλες οι εξισώσεις ισχύουν για και υπολογίζουµε την έξοδο y() του κάθε κυκλώµατος για διάφορες µορφές της εισόδου x() Έχει δοθεί έµφαση στις ακόλουθες ειδικές περιπτώσεις: Κρουστική απόκριση : Η απόκριση µηδενικής κατάστασης y()h() όταν x()δ() j Απόκριση συχνότητας : Η απόκριση y() σε µία εκθετική x () e ω ή σε µία ηµιτονοειδή κυµατοµορφή x () o( ù + ö) και η ασυµπτωτική µορφή της y() καθώς Όπως έχουµε ήδη δει, η ανάλυση κυκλωµάτων χρησιµοποιεί την επίλυση διαφορικών εξισώσεων Ξεκινούµε, λοιπόν µε µία περιληπτική µελέτη των εξισώσεων αυτών Ονοµατολογία Μία γραµµική διαφορική εξίσωση n-τάξης µε σταθερούς συντελεστές, είναι µία εξίσωση της µορφής α y ( ) + α y ( ) + + α y( ) x( ) (74) (74) n ( n) ( n) n όπου x() είναι η γνωστή συνάρτηση και α,, α n είναι δοσµένες σταθερές Μία λύση αυτής της εξίσωσης είναι οποιαδήποτε συνάρτηση y() που ικανοποιεί την (74) Όπως θα δούµε η (74) έχει πολλές λύσεις Όµως, έχει µία µοναδική λύση εάν καθορίσουµε τις αρχικές τιµές της y() και οι πρώτες (n-) παράγωγοι : ( y y y y y n ) ( ), ( ),, ( ) yn (75) Οι αριθµοί αυτοί ονοµάζονται αρχικές συνθήκες Μία µερική λύση είναι µία λύση y(), της οποίας οι αρχικές συνθήκες έχουν καθορισµένες τιµές Εάν οι αρχικές τιµές δεν είναι καθορισµένες, τότε y() είναι η γενική λύση η γενική λύση είναι µία οικογένεια λύσεων εξαρτηµένη από τις n παραµέτρους y,, y n Σε µία διαφορική εξίσωση µπορεί να δοθεί µία ερµηνεία (inerpreion) συστήµατος Με αυτή την ερµηνεία η διαφορική εξίσωση καθορίζει ένα σύστηµα µε είσοδο x() και έξοδο (απόκριση) y() Η έξοδος αυτού του συστήµατος είναι η µοναδική λύση της (74) κάτω από τις υπάρχουσες αρχικές συνθήκες Η αρχική κατάσταση ενός συστήµατος είναι το σύνολο (75) των αρχικών καταστάσεων Η απόκριση µηδενικής κατάστασης του συστήµατος είναι η λύση y () y () της (74) µε µηδενικές αρχικές συνθήκες: ( n ) y ( ) y ( ) y ( ) (76) Η απόκριση µηδενικής εισόδου y () y (), είναι η λύση της (74) για x() Άρα η απόκριση µηδενικής εισόδου y () είναι η λύση της οµογενούς εξίσωσης - 4-4//5
ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ΚΑΙ ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ α y ( ) + α y ( ) + + α y( ) (77) (77) n ( n) ( n) n ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Εάν x() είναι µία συνηθισµένη συνάρτηση, τότε η y() και οι πρώτες (n-) παράγωγοι είναι συνεχείς και οι αρχικές συνθήκες έχουν την ίδια τιµή στο και + Αυτό, όµως, δε συµβαίνει, αν η x() περιέχει κρουστικές αποκρίσεις ή άλλες ιδιοµορφίες Στην περίπτωση αυτή µεταφέρουµε τις αρχικές τιµές στην (75) και στην (76) όπως τις τιµές της y() και των παραγώγων της στο Για να είµαστε συνεπής µε την ερµηνεία των αρχικών τιµών του θεωρήµατος των παραγώγων (58) και τον ορισµό του µετασχηµατισµού ple όταν το ολοκλήρωµα του fe () είναι από - Ýùò Θα λύσουµε τη διαφορική εξίσωση (74) χρησιµοποιώντας µετασχηµατισµούς ple Αυτό επιβάλλει τα τρία επόµενα βήµατα: ) Πολλαπλασιάζουµε και τις δύο πλευρές µε e και ολοκληρώνουµε από έως Εφ' όσον η (74) ισχύει και κάθε, η εξίσωση προκύπτει ( n ) - - αny + + αy e x e () () d () d (78) Το δεξιό µέρος της εξίσωσης ισούται µε το µετασχηµατισµό X() της γνωστής συνάρτησης x(), και το αριστερό µέλος µπορεί να εκφραστεί σε όρους του µετασχηµατισµού Y() της y() και τις αρχικές συνθήκες (75) [βλέπε (58)] ) Λύνουµε την αλγεβρική εξίσωση που προκύπτει για Y() ) Προσδιορίζουµε τον αντίστροφο µετασχηµατισµό y() της Y() χρησιµοποιώντας απλά κλάσµατα ή διάφορες άλλες µεθόδους αντιστροφής Τα παραπάνω θα γίνουν εµφανή σε αρκετά παραδείγµατα κυρίως σε πρώτου και δευτέρου βαθµού εξισώσεις Πρώτου βαθµού Επιθυµούµε να λύσουµε τη διαφορική εξίσωση y () + y () x () (79) µε αρχική συνθήκη y( ) y Για τον σκοπό αυτό µετασχηµατίζουµε και τις δύο πλευρές, όπως στην (78) Εφ' όσον ο µετασχηµατισµός της y'() ισούται µε Y()-y(), τα παραπάνω παράγουν: Y [ ] Y() y + Y() X() X() y ( ) + (8) + + (8) Έτσι, Y() Y () + Y () όπου Y () X() + είναι η απόκριση µηδενικής κατάστασης και (8) 4//5-5 -
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ APACE Y () y (8) y + + είναι η απόκριση µηδενικής εισόδου Η αντιστροφή της είναι η συνάρτηση µε εκθετικούς όρους y () y e β όπου - είναι ρίζα της εξίσωσης + Παράδειγµα 8 Βρείτε την εξίσωση y() για την οποία y'()+y()8 y()5 8 Σ' αυτήν την περίπτωση y 5, x()8, X() και η (8) δίνει 8/ 5 4 7 + + Y() + + + - y()4-+7e Θα αναπτύξουµε τώρα ένα αριθµό βασικών εννοιών, χρησιµοποιώντας όπως φαίνεται στο Σχ5 ένα κύκλωµα - σε σειρά Αυτές οι έννοιες µπορούν εύκολα να επεκταθούν σε άλλα κυκλώµατα Η είσοδος στο παραπάνω κύκλωµα είναι η πηγή τάσης e() και το παραγόµενο ρεύµα i() ικανοποιεί την εξίσωση i () + i () e() i ( ) i παίρνοντας τους µετασχηµατισµούς και στις δύο πλευρές λαµβάνουµε [ ] I() i + I() E () I() E () i (8) + I () + I () + + Áðüêñéóç ìçäåíéêþò åéóüäïõ i () e() + ~ - i() () i ï e() - 6-4//5
ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ΚΑΙ ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Áðüêñéóç ìçäåíéêþò êáôüóôáóçò i o() Åßóïäïò e() i ()r() () U(- ) o r (- ) o o o (ã) Å Å Å Å Ô Ô (ä) Ô Ô ä() h() (å) ä() T h() T T (æ) ä() 4-6 å e i o () k -å o o +å o (ç) -å o o 4//5-7 -
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ APACE i() i () - (è) i () Ó ÇÌÁ 5 Υπέρθεση η Μορφή: Από την (8) έχουµε ότι το ρεύµα i() µπορεί να γραφεί σαν άθροισµα i () i () + i () όπου το i ()οφείλεται στην πηγή e() και το i ()οφείλεται στην αρχική κατάσταση i( ) i Αυτό δείχνει πως για να προσδιορίσουµε το i() αρκεί να λάβουµε υπ' όψη ξεχωριστά την πηγή και τις συνθήκες αρχικής κατάστασης ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΜΗ ΕΝΙΚΗΣ ΕΙΣΟ ΟΥ: Η απόκριση µηδενικής εισόδου i iβ ( ) + µία ρητή συνάρτηση του και η αντίστροφή της i () i e β είναι µία εκθετική ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΜΗ ΕΝΙΚΗΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ : Θα µελετήσουµε τώρα την απόκριση της µηδενικής κατάστασης E () I () + για διάφορες µορφές της e() Ξεκινούµε µε τις ακόλουθες παρατηρήσεις (84) Υπέρθεση η Μορφή: Εάν e () e() + e(), ôüôå E() E() + E () Όπως [βλέπε (84)], I () i () + i() όπου E () E () I (), I () + + είναι οι αποκρίσεις οι οφειλόµενες στις e() êáé e(), αντίστοιχα Αυτό δείχνει ότι η απόκριση µηδενικής κατάστασης i ()λόγω του αθροίσµατος e() και e( ) των δύο πηγών ισούται µε το άθροισµα i() i () + i () (85) της απόκρισης µηδενικής κατάστασης λόγω της κάθε πηγής Χρονική Αµεταβλητότητα: Υποθέτουµε ότι η πηγή e() αντικαθίσταται από την πηγή - 8-4//5
ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ΚΑΙ ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ e () e( ) U( ) η οποία λαµβάνεται από την µετατόπιση προς τα δεξιά της e() Εφ' όσον ο µετασχηµατισµός της e () ισούται µε Ee () [βλέπε (69)], συµπεραίνουµε από την (84) ότι ο µετασχηµατισµός I( ) του προκύπτοντος ρεύµατος i ()δίνεται από τη σχέση Πράγµατι, Ee () I() + I () e i ( ) i ( ) U( ) (86) Βλέπουµε λοιπόν πως η καθυστέρηση εισόδου έχει σαν αποτέλεσµα µία ίση καθυστέρηση της εξόδου µηδενικής κατάστασης Σύνθετη Αντίσταση ple Ο παρονοµαστής Z ( ) + του I () είναι η σύνθετη αντίσταση ple του κυκλώµατος Η έννοια αυτή είναι ήδη γνωστή Η τιµή Z(jω)+jω της Z() για jω είναι η σύνθετη αντίσταση του κυκλώµατος όπως βρέθηκε από τη θεωρία κυκλωµάτων εναλλασσόµενου ρεύµατος (AC) Θα πρέπει όµως να τονίσουµε ότι η Z() έχει θεµελιακά διαφορετική σηµασία Είναι ο λόγος του µετασχηµατισµού ple της τάσης e() και του προκύπτοντος ρεύµατος µηδενικής κατάστασης i ()και µπορεί να χρησιµοποιηθεί για την εύρεση του iá ()για κάθε e() και όχι µόνο για ηµιτονοειδείς κυµατοµορφές Βηµατική απόκριση: Εάν e()u() είναι µία µοναδιαία βηµατική συνάρτηση εφαρµοσµένη για, τότε η απόκριση µηδενικής κατάστασης ονοµάζεται βηµατική απόκριση και συµβολίζεται µε r() Εφ' όσον U (), από την (84) έπεται ότι : Πράγµατι, / / I () ( + ) + / i () () ( r e ) U() Εισάγουµε τον παράγοντα U() για να τονίσει το γεγονός ότι r() για < (87) Από τα παραπάνω και τη σχέση (86) έπεται ότι εάν µία συνάρτηση µοναδιαίου βήµατος e () U ( ) εφαρµοστεί για (Σχ 5γ) τότε το αποτέλεσµα της απόκρισης µηδενικής κατάστασης ισούται µε r ( ) Το αποτέλεσµα αυτό µπορεί να χρησιµοποιηθεί για να εκφράσει την απόκριση ενός κυκλώµατος µε είσοδο κλιµακωτών όρων r() Αυτό φαίνεται στο παράδειγµα που ακολουθεί Παράδειγµα 9 Στο κύκλωµα του Σχ5, e() είναι η κλιµακωτή συνάρτηση (Σχ 5δ) και Ohm, mh, E Vol και T µ Θα βρούµε το εξαγόµενο ρεύµα µηδενικής κατάστασης i () Όπως βλέπουµε από το σχήµα, Έτσι (υπέρθεση) e()eu()+eu(-t)-eu(-t) i () Er () + Er ( T) Er ( T) 4//5-9 -
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ APACE όπου 5 r ( ) ( e ) U ( ) ( e ) U ( ) mho Σηµειώνουµε ότι αν <<T, τότε r(-t)r(-t) Συνεπώς Εάν T<<T, τότε r(-t) οπότε Εάν >T, τότε 5 e i ()( ) mp 5 ( T ) i ()-(e + ) e mp 5 ( T ) i ()-(e + e ) e mp Κρουστική απόκριση: Εάν e()δ() είναι ένας κρουστικός παλµός εφαρµοσµένος για, τότε η απόκριση µηδενικής κατάστασης ονοµάζεται κρουστική απόκριση Η κρουστική αυτή απόκριση συµβολίζεται µε h() Ο µετασχηµατισµός ple της h() είναι η H() η οποία ονοµάζεται συνάρτηση συστήµατος Εφ' όσον ä(), από την (84) έπεται ότι H( ), h( ) e U( ) (88) + (88) Στο Κεφάλαιο 4 δείχνουµε ότι η απόκριση µηδενικής κατάστασης ενός κυκλώµατος σε οποιαδήποτε είσοδο, µπορεί να εκφραστεί συναρτήσει της κρουστικής απόκρισης h() και της τάσης εισόδου e() Σηµειώνουµε εδώ ότι η h() µπορεί να χρησιµοποιηθεί για προσέγγιση της απόκρισης σε εισόδους µικρής διάρκειας Για να δείξουµε αυτή την παραδοχή, θα υπολογίσουµε το ρεύµα i () που οφείλεται σε ένα παλµό εµβαδού ίσο µε τη µονάδα (σχ 5ζ): e () pt () [ U() U( T)] T και θα εξετάσουµε το όριο της τιµής του i () καθώς το T Όπως έχουµε δει, η απόκριση για U() και U(-T) ισούται µε r() και r(-t), αντίστοιχα, όπου r() είναι η βηµατική απόκριση του κυκλώµατος Άρα η (υπέρθεση), Για <<T το παραπάνω ισούται µε i () [ r () r ( T) ] T r () T και για >T δίνεται από τη [βλέπε (87)]: T ( T ) ε i () ε ε ε T T T Είναι ξεκάθαρο ότι: T e T Τ - - 4//5
ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ΚΑΙ ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ i () e > Ô Άρα το παραπάνω όριο ισούται µε την κρουστική συνάρτηση h() του κυκλώµατος [βλέπε (88)] Αυτό είναι όπως θα έπρεπε να είναι διότι ο παλµός pt () τείνει στο δ() καθώς T T Σηµειώνουµε ότι εάν, τότε για τον προσδιορισµό της απόκρισης του κυκλώµατος µπορούµε να προσεγγίσουµε το pt (), ή στην πραγµατικότητα, οποιαδήποτε άλλη είσοδο διάρκειας T από ένα παλµό Όπως δείχνουν τα παραδείγµατα παρακάτω, αυτό συχνά απλοποιεί την ανάλυση Παράδειγµα Στο κύκλωµα του Σχ5, Ohm και mh Η είσοδος e() είναι ένας 4 παλµός έκτασης k ε Vol-e µε κέντρο το σηµείο 5m Θα βρούµε προσεγγιστικά την απόκριση µηδενικής κατάστασης i () ε Εφ' όσον εµβαδού Κ στο (σχ 5η), µπορούµε να προσεγγίσουµε την e() µε µία κρουστική συνάρτηση Από αυτά έπεται [βλέπε (88)] e () Kδ ( ) 5( ) ι ( ) Kh( ) e U( ) mp ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Ο µετασχηµατισµός F() της f() ισούται µε το ολοκλήρωµα του χρόνου της f() πολλαπλασιασµένη µε το χρόνο Αυτό οδηγεί στο ακόλουθο συµπέρασµα ίνεται η V() σε vol-e, η I() σε mp-e, ο λόγος H()V()/I() (σύνθετη αντίσταση) σε ohm, η αντιστροφή της h() (κρουστική απόκριση) σε ohm/e και το ολοκλήρωµα r() της h() (βηµατική απόκριση) σε ohm Παρόµοια ο λόγος H()I()/V() (σύνθετη αγωγιµότητα) δίνεται σε mho, η αντιστροφή h() σε mho/e και το ολοκλήρωµα r() του h() σε mho Απόκριση συχνότητας: Θα προσδιορίσουµε, τελικά, την απόκριση ηµιτονοειδούς κύµατος συνάρτησης Όπως έχουµε σηµειώσει προηγουµένως είναι ευκολότερο να υπολογίσουµε την απόκριση µίας εκθετικής συνάρτησης: e e jù () jù Από το ζεύγος e /( - jù ) και έπεται από την (84) ότι I () ( - jù )( + ) + jù jù + - jω ( ) ι () jω e + e (89) Σηµειώνουµε e καθώς Έτσι, 4//5 - -
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ APACE ι e e jω j( ωθ) ( ) (9) + jω + ω (9) όπου + jù + ù e είναι η AC σύνθετη αντίσταση του κυκλώµατος ù nè jè Αυτή είναι µία συνήθης απόκριση µόνιµης κατάστασης στην εκθετική είσοδο e e jù () και δείχνει ότι µετά από αρκετά µεγάλο χρόνο η έξοδος είναι εκθετικά πολλαπλασιασµένη µε την τιµή H( jù ) της συνάρτησης του συστήµατος H() για jù [βλέπε επίσης + jù παράγραφο (5)] Υποθέτουµε τώρα ότι e () où Για να βρούµε το ρεύµα της εξόδου i (), χρησιµοποιούµε την ταυτότητα jù où e + e jù Όπως έχουµε δει, η απόκριση για e jù ισούται µε το ρεύµα ι () στην σχέση (89) Αλλάζοντας το ù µε το -ù, συµπεραίνουµε ότι η απόκριση για την e jù είναι το συζυγές ι * á () του ι () Άρα (αρχή υπέρθεσης), η απόκριση ι () του o ù ισούται µε το άθροισµα Από το οποίο έπεται ότι, [βλέπε (89)] Σηµειώνουµε ότι * i () i () + i () e i () o( ω θ) oθe i ( ) i () + ω o( ω θ ) + ω (9) Αυτή είναι η απόκριση µόνιµης κατάστασης που οφείλεται στο o ù και ισούται µε το πραγµατικό µέρος της απόκρισης σε µία εκθετική Παρακάτω υπολογίζουµε απ' ευθείας την () Εφ' όσον ι συµπεραίνουµε από την (84) ότι Είναι προφανές ότι o ù + ù IC ( ) ( + ω )( + ) jω + + jω + + (9) - - 4//5
ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ΚΑΙ ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ( + ù ) + ù Για να βρούµε την αντιστροφή των δύο πρώτων όρων της (9) χρησιµοποιούµε τη µέθοδο που εισάγουµε στην παράγραφο () Για τη δική µας περίπτωση, [βλέπε (46)], á, ù και η (49) δίδει: Αυτό συµφωνεί µε την (9) Ã () jù ( + ) ù Ã( jù ) j + jù + ù + ù où + ù inù i ù ù e () + + Παράδειγµα Στο κύκλωµα του σχ 5 i mp, Ohm, mh, e()o, Vol Θα προσδιορίσουµε το προκύπτον ρεύµα i() Η απόκριση µηδενικής εισόδου δίνεται από: i () i e e mp Για να βρούµε την απόκριση µηδενικής κατάστασης i () παρατηρούµε ότι + jù + j e j 45 ohm διότι ù r / Εφ' όσον η (9) είναι η απόκριση στην o ù, για να βρούµε την απόκριση σε είσοδο oùθα πρέπει να πολλαπλασιάσουµε µε Αυτό παράγει i ( ) o( ù 45 ) + e mp Τελειώνουµε την περίπτωση πρώτης τάξης µε τον καθορισµό του ρεύµατος i() του σειριακού -C κυκλώµατος του σχ6 Όπως γνωρίζουµε [βλέπε (4)], i() είναι η λύση της ολοκληρωτικής εξίσωσης i () + iôdô ( ) + v e () (9) 4//5 - -
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ APACE i()h() e()ä() ôc + e() ~ - i() C e()u() ô - C i()r() e-ôc ô Ó ÇÌÁ 6 Η ολοκληροδιαφορική εξίσωση αυτή µπορεί να απλοποιηθεί σε διαφορική εξίσωση [βλέπε v (5)] Μπορούµε, όµως να τη λύσουµε και απ' ευθείας Εφ' όσον v και id () I () και παίρνοντας τους µετασχηµατισµούς των δύο πλευρών της (9) συµπεραίνουµε ότι I( ) v I ( ) + + E ( ) C E () v I () I () I () + C + + (94) C Η αντιστροφή v i C e () - C της I ( )είναι η απόκριση µηδενικής εισόδου Ο όρος µηδενικής κατάστασης E ( ) I ( ) + C είναι ένα κλάσµα του οποίου ο παρονοµαστής Z( ) + είναι η σύνθετη αντίσταση C ple του κυκλώµατος Εάν e()δ(), τότε E() Στην περίπτωση αυτή C I H C () () Z () C + + C - 4-4//5
ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ΚΑΙ ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ είναι η συνάρτηση του συστήµατος Η αντίστροφή της h ä C e / C () () U () είναι η κρουστική απόκριση [Σχ 6] ευτέρου βαθµού Λαµβάνουµε υπ' όψη µας τώρα την εξίσωση y () + y () + y () x () (95) µε αρχικές συνθήκες y( ) y, y ()y Εφ' όσον y () Y() y y, από την (95) συµπεραίνουµε ότι [ ] [ ] Y() y y + Y() y + Y() X() Άρα X () y + y + y (96) Y () + + + + + Ο όρος y + y + y Y () + + (97) είναι η απόκριση µηδενικής εισόδου και η αντίστροφή της ικανοποιεί την οµογενή εξίσωση y () + y () + y () Η φύση της y () εξαρτάται από τις ρίζες, της εξίσωσης + + Εάν > 4, τότε οι ρίζες είναι πραγµατικές και διαφορετικές Εάν 4,τότε / και Εάν Y () + y () e + e d d Y () + ( ) () ( d d ) e y + < 4, τότε οι ρίζες είναι µιγαδικές ± j και Õ ( ) à ( + ) Ã, ( + ) + r i [ r i ] y () e à o à in Οι σταθερές,, d êáé d προσδιορίστηκαν ως συνήθως Οι σταθερές Ãr êáé Ãi µπορούν να βρεθούν είτε γράφοντας τον αριθµητή της Y () µε την παραπάνω µορφή είτε µε τη µέθοδο της παραγράφου () [βλέπε (49)] Παράδειγµα Θα λύσουµε τις ακόλουθες οµογενείς διαφορικές εξισώσεις: 4//5-5 -
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ APACE α) y () + 7y () + y() y() 7, y () -6 Στην περίπτωση αυτή + 7 +,, 5 και από την (97) παράγεται: Y() 7 + 4 + y() e - + 4 + 7 + + + 5 β) y () + 6y () + 9y() y(), y () Η χαρακτηριστική εξίσωση + 6 + 9 έχει δύο ίσες ρίζες - + 6 Y() + ( + ) + ( + ) γ) y () + 4y () + y() y() 4, y () 4 5 e y() ( + 6) e - Η χαρακτηριστική εξίσωση + 4 + έχει δύο µιγαδικές ρίζες: - ± j και εφ' όσον e και καταλήγουµε λοιπόν στην 4 + 4( + ) + Y() + 4 + ( + ) + + o ( + ) + e in ( + ) + y () e ( 4o+ 4in ) 4 e o( 45 ) Το κύκλωµα --C σε σειρά: Θα αναλύσουµε παρακάτω ένα κύκλωµα --C σε σειρά τροφοδοτούµενο από πηγή τάσης e(), όπως φαίνεται στο σχήµα 7 Για τη µελέτη του κυκλώµατος χρησιµοποιούνται οι παρακάτω παράµετροι Κρίσιµη αντίσταση : C Απόσβεση á Συχνότητα συντονισµού : ù r C Φυσική συχνότητα : ù r Συντελεστής -Q Q ù r Λόγος απόσβεσης : æ ùr Θα προσδιορίσουµε το ρεύµα i() και τη τάση v() του πυκνωτή για διάφορες τιµές των παραµέτρων αυτών Όπως γνωρίζουµε [βλέπε (6)] - 6-4//5
ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ΚΑΙ ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ e() V e() ~ C + v() Áðïêñßóåéò ìçäåíéêþò-êáôüóôáóçò i() - v() 5 x 4 [m] i() [V] v() æ5-6 x 4-8 x 4 4 [m] 4 4 i() v() æ -á 4 4 6 x 8 x i() v() -á æ6-4 4 4 i() v() -á 5 æ 4-5 Ó ÇÌÁ 7 4 i di () () + + iôdô ( ) + v e ( ) i i d ( ) (98) 4//5-7 -
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ APACE όπου v( ) v Μετασχηµατίζοντας και τις δύο πλευρές λαµβάνουµε: I( ) v I ( ) + I ( ) i + + E ( ) C E ( ) i v I( ) + (99) (99) + + C + + C Άρα I() είναι το άθροισµα των ρευµάτων E () i v I á() I Â() + + C + + C () Ο όρος Iá ( ) είναι η απόκριση µηδενικής κατάστασης και ο όρος IÂ ( )είναι η απόκριση µηδενικής εισόδου Σηµειώνουµε ότι, όπως και στα προηγούµενα παραδείγµατα, το Iá ( ) ισούται µε το µετασχηµατισµό Ε() της πηγής τάσης διαιρεµένης µε τη σύνθετη αντίσταση ple Z( ) + + C του κυκλώµατος Η τάση v() µπορεί να εκφραστεί σε όρους του ρεύµατος i() Εφ' όσον i () Cv (), συµπεραίνουµε ότι I () CV [ () v ] Το τµήµα µηδενικής κατάστασης V α () της V() δίνεται από την I () E () () Vá () C C + C + Θα προσδιορίσουµε τις αποκρίσεις µηδενικής κατάστασης i () και v () για είσοδο DC όπου e()eσταθερή Βηµατική απόκριση: Εάν e()e, τότε Ε()E/ E / E / I á () + + C + + ùr () I () Eùr Vá () C ( + + ù ) Για να προσδιορίσουµε τον αντίστροφο µετασχηµατισµό των συναρτήσεων αυτών, θα πρέπει να εξετάσουµε τους πόλους τους, ± ùr ± C Θεωρούµε τρεις περιπτώσεις : Εάν >,, τότε οι ρίζες είναι πραγµατικές και r - 8-4//5
ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ΚΑΙ ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ E i () e e ( ) ( ) Eùr v E e e () + ( ) Εάν, ôüôå ù êáé E i e () v () E E( + ù ) e Εάν <, τότε οι ρίζες είναι µιγαδικές,, ± j και r r () (4) E i () e inβ β v ( ) E Ee o + inβ β (5) Τα αποτελέσµατα µπορούν εύκολα να επιβεβαιωθούν Αφήνουµε τις λεπτοµέρειες για άσκηση Σηµειώνουµε ότι, εάν <<, ôüôå << ù r, και από την (5) παράγονται : C i() E e inωr v () E Ee oω r (6) Παράδειγµα Το κύκλωµα του σχήµατος (7) είναι στη µηδενική κατάσταση και mh, CµF και e()vol Στην περίπτωση αυτή ùr 4 rd/ e ohm C C Θα προσδιορίσουµε το ρεύµα i() για διάφορες τιµές του æ ù ) ζ5 ohm 5 4 e 4 6 4 e 8 e και από την () παράγονται i () ( e e ) mp 5 v () + 7 ( e 685 e ) vol β) ζ και από την (4) έχουµε ohm 4 e r 4//5-9 -
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ APACE γ) ζ6 και από την (5) παράγονται i () e mp - v ( ) - ( + ù e ) vol ohm 6 e 8 e r i () -á e in 8 mp δ) ζ και από την (6) έχουµε -á v () - e ( o + / 4 in ) vol ohm e e 4 i () e inù r mp - v ( ) -e o ù vol Στο σχήµα (7) βλέπουµε τις αποκρίσεις των i() και v() και τη θέση των πόλων êáé µιγαδικό επίπεδο, για όλες τις παραπάνω περιπτώσεις Γενική Περίπτωση Συµπεριλαµβάνουµε µία σύντοµη αναφορά για τη λύση της γενικής εξίσωσης α n r ( n y ) () + + α y() x() (7) Μετασχηµατίζοντας και από τις δύο πλευρές και χρησιµοποιώντας το θεώρηµα της παραγώγισης (58), συµπεραίνουµε ότι ο µετασχηµατισµός Y() της λύσης της y() της (7) είναι το άθροισµα: Y D X N() (8) () () + () D () όπου ο παρονοµαστής D() είναι το χαρακτηριστικό πολυώνυµο της δοθείσης εξίσωσης Ο όρος n n D () α + α + + α n N() YB () D () είναι ο µετασχηµατισµός της λύσης y B ()της αντίστοιχης οµογενούς διαφορικής εξίσωσης (77) (απόκριση µηδενικής κατάστασης) Ο αριθµητής N() είναι ένα πολυώνυµο του, βαθµού n-, του οποίου οι συντελεστές εξαρτώνται από τις αρχικές καταστάσεις (75) Η απόκριση µηδενικής εισόδου yb () είναι ένα άθροισµα των εκθετικών όρων των οποίων οι βάσεις i είναι οι ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης D() Οι συντελεστές αυτών των εκθετικών όρων είναι σταθεροί εάν οι ρίζες είναι απλές ή πολυώνυµα του εάν οι ρίζες είναι πολλαπλές Ο πρώτος όρος στην (8) είναι ένα γινόµενο - 4-4//5
ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ΚΑΙ ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Y D X HX á () () () () (9) () όπου X() είναι ο µετασχηµατισµός της γνωστής συνάρτησης x() και H( ) D ( ) Εάν x()δ() είναι µία κρουστική συνάρτηση τότε X() και από την (9) παράγεται ότι Yá () H() Ο αντίστροφος µετασχηµατισµός h() της H() είναι λοιπόν η λύση µηδενικής κατάστασης της (7) όταν x() είναι κρουστική συνάρτηση Η κρουστική απόκριση του συστήµατος είναι καθορισµένη από την (7) Η απόκριση µηδενικής εισόδου y () και η κρουστική απόκριση h() είναι αθροίσµατα εκθετικών όρων µε διαφορετικούς συντελεστές αλλά µε τους ίδιους εκθέτες Αυτό είναι έτσι διότι οι µετασχηµατισµοί Y () êáé H() είναι ρητοί µε τον ίδιο παρονοµαστή D() Για να υπολογίσουµε τα y () και h() είναι αρκετό να αναπτύξουµε τα Y () êáé H() σε απλά κλάσµατα Εάν X() είναι µία κλασµατική συνάρτηση τότε η Yá () είναι επίσης κλασµατική και η αντίστροφη της yá () µπορεί να βρεθεί παροµοίως ιαφορετικά, θα πρέπει να χρησιµοποιηθούν άλλες µέθοδοι Στο κεφάλαιο 4 δείχνουµε ότι η απόκριση µηδενικής κατάστασης yá () µπορεί να γραφεί ως ολοκλήρωµα (συνέλιξη) το οποίο περιλαµβάνει την δοσµένη είσοδο x() και την κρουστική απόκριση h() Υπέρθεση Αυτή τη σηµαντική έννοια την συναντήσαµε προηγουµένως Την επανεξετάζουµε εδώ από τα συµφραζόµενα της (7) η ΜΟΡΦΗ Όπως έχουµε δει από την (8) Y() Yá() + YÂ() Άρα η λύση y() της (7) µε τις δοσµένες αρχικές συνθήκες (75) είναι το άθροισµα y () y () + y () () Αυτό δείχνει ότι για να προσδιορίσουµε την y() είναι αρκετό να βρούµε ξεχωριστά την απόκριση µηδενικής κατάστασης yá () και την απόκριση µηδενικής εισόδου y () Â η ΜΟΡΦΗ Εάν x() x() + x (), ôüôå X() X () + X () Με Y () H() X (), Y () H() X () έπεται από την (9) ότι Yá () Y () + Y () Θέτοντας µε y() êáé y() τους αντίστροφους µετασχηµατισµούς των Y () και Y (), αντίστοιχα, συµπεραίνουµε ότι: yá () y() + y () () Έτσι, για να προσδιορίσουµε την απόκριση µηδενικής κατάστασης yá () την οφειλόµενη στα x() + x(), είναι επαρκές να βρούµε ξεχωριστά την απόκριση µηδενικής κατάστασης y () ëüãù ôçò x () και την απόκριση µηδενικής κατάστασης y () λόγω της x () Το αποτέλεσµα δεν ισχύει εάν οι αρχικές συνθήκες δεν είναι µηδέν Πράγµατι, οι πλήρεις λύσεις της (7) µε εισόδους x(), x() και x() + x() ισούνται µε y() + y (), y() + y () êáé y() + y() + y (), αντίστοιχα Το τελευταίο προφανώς δεν είναι άθροισµα των δύο πρώτων 4//5-4 -
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ APACE Χρονική αµεταβλητότητα Θα συγκρίνουµε την λύση µηδενικής κατάστασης yá () της (7) λόγω της x() µε την αντίστοιχη λύση y( ) λόγω του σήµατος x () x( ) U( ) η οποία έχει ληφθεί µε µετατόπιση της x() προς τα δεξιά Όπως γνωρίζουµε [βλέπε (69)], ο µετασχηµατισµός της x () ισούται µε X() e Y () H() X () H() X() e Y () e Χρησιµοποιώντας ξανά το θεώρηµα της µετατόπισης (69) συµπεραίνουµε ότι y () y ( ) U( ) Έτσι, µία καθυστέρηση στην είσοδο έχει σαν αποτέλεσµα µία ισοδύναµη καθυστέρηση της απόκρισης µηδενικής κατάστασης Αυτό το αποτέλεσµα δεν ισχύει εάν οι αρχικές συνθήκες δεν είναι µηδέν Όντως, η ολοκληρωµένη λύση της (7) µε εισόδους x() και x ()ισούται µε yá() + y () êáé y () + y (), αντίστοιχα Είναι προφανές ότι το δεύτερο δεν είναι καθυστέρηση του πρώτου ΣΗΜΕΙΩΣΗ Θα πρέπει να τονίσουµε ότι οι διαφορικές εξισώσεις λύνονται µε µετασχηµατισµούς ple µόνο όταν οι εξισώσεις είναι γραµµικές και µε σταθερούς συντελεστές Μη-γραµµικές εξισώσεις ή εξισώσεις µε χρονικά-µεταβαλλόµενους συντελεστές δεν µπορούν να λυθούν διότι οι αντίστοιχες εξισώσεις στο πεδίο των µετασχηµατισµών δεν είναι απλές [βλέπε πρόβληµα ] Συστήµατα εξισώσεων Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων µπορούν να λυθούν παροµοίως Παρουσιάζουµε την µέθοδο µε ένα παράδειγµα από την θεωρία των κυκλωµάτων, περιορίζοντας την αναφορά στον προσδιορισµό της απόκρισης µηδενικής κατάστασης µόνο Θα αναλύσουµε το κύκλωµα του σχήµατος 8, χρησιµοποιώντας αρχικά ως άγνωστους τις τάσεις των πυκνωτών v() êáé v () και το ρεύµα αυτεπαγωγής i() Αυτοί οι άγνωστοι είναι οι µεταβλητές κατάστασης και οι παραγόµενες εξισώσεις είναι οι εξισώσεις κατάστασης Είναι εύκολο να δούµε ότι: Gv () + Cv () + i () i g () Gv () + Cv () i () v () v () i () Μετασχηµατίζοντας και τις δύο πλευρές, λαµβάνουµε GV() + CV() + I () I g () GV() + CV() I () V () V () I() () () Έχουµε απλοποιήσει το σύστηµα () των διαφορικών εξισώσεων στο σύστηµα () των αλγεβρικών εξισώσεων Η λύση της () παράγει τους µετασχηµατισµούς V (), V () και I() των µεταβλητών κατάστασης Ειδικά, η έξοδος V () του κυκλώµατος δίνεται από την σχέση: - 4-4//5
ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ΚΑΙ ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ I g () (4) V () C + CG + ( G + C ) + G Ειδική Περίπτωση Υποθέτουµε τώρα, ότι ohm, mh και CµF Εισάγοντας G την σταθερά ù rd 4 συµπεραίνουµε από την (4) ότι C C e V () 5I g () + + + (5) ( / ù ) ( / ù ) ( / ù ) Θα προσδιορίσουµε τον αντίστροφο µετασχηµατισµό v () της V () για διάφορες τιµές του ig () G v () i() v () i () g C C G -ù -á i () g Ù mh CìF v ()h() 5 [m] i () g 5 v ()r() 5 [m] 5 Ç(jù) ù Ó ÇÌÁ 8 ù 4//5-4 -
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ APACE Κρουστική απόκριση: Υποθέτουµε ότι ig ()δ() Σ' αυτή την περίπτωση I g () και η (5) παράγει : V () H() ( /ù ) ( /ù ) ( /ù ) 5 + + + N () (6) D () Ο παρονοµαστής D() της H() µπορεί εύκολα να παραγοντοποιηθεί D () ù ( + ù+ ù )( + ù) Αυτό έχει δύο µιγαδικές ρίζες και µία πραγµατική (Σχ 8) ± j ù ù, ù Με διάσπαση σε απλά κλάσµατα, λαµβάνουµε Από τα παραπάνω H ( ) + + H( )( + ù ) 5ù ù (7) Για να βρούµε την αντιστροφή των δύο πρώτων όρων σχηµατίζουµε την συνάρτηση [βλέπε (46)] 5ù j à () à ( ) 5ù + j( + ù ) Άρα [βλέπε (49)] ο αντίστροφος µετασχηµατισµός h() του H() είναι το άθροισµα 5 ù e (8) h ( ) 5 e e o + in U ( ) ohm e Αυτή είναι η κρουστική απόκριση του συστήµατος και προσεγγιστικά ισούται µε την απόκριση λόγω ενός ρεύµατος µικρής διάρκειας και εµβαδού (δίχως διάσταση) Εάν για παράδειγµα ig () είναι ένας τετραγωνικός παλµός διάρκειας Τµ και ύψους I mp, τότε η τελική τάση εξόδου y () ισούται περίπου µε ITh () h() Vol-e Σηµειώνουµε ότι [θεώρηµα των αρχικών τιµών (65)] Άρα κοντά στην αρχή, h() 5ù h( ) h ( ) h () lim H( ) 5ù Βηµατική απόκριση: Εάν i () g είναι ρεύµα mp εφαρµοζόµενο για, τότε I ( ) g και η (6) παράγει - 44-4//5
ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ΚΑΙ ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 5ù V () ( + ù + ù )( + ù ) Έχουµε τώρα 4 πόλους: 4 V () + + + V ()( + ù ) 5 V () 5 ù 4 Ã ( ) 5ù j j( + ù ) ù v e e () in 5 + 5 5ù Κοντά στην αρχή, v (), διότι [βλέπε (65)] 6 vol 4 v( ) v ( ) v ( ) v ( ) lim v ( ) 5ù (9) Συµπεραίνουµε µε µία σύντοµη αναφορά ότι η απόκριση της µόνιµης κατάστασης του κυκλώµατος στην εκθετική είσοδο είναι jù ig () e I g () jù Εισάγοντας την στην (4) λαµβάνουµε H() N() V () jù ( jù) D( ) Η συνάρτηση αυτή έχει 4 πόλους: τους τρεις λόγω της D() και ένα jù Με διάσπαση σε απλά κλάσµατα, παίρνουµε d d d d V () + + + jù jù v () de + de + de + de () Οι ρίζες êáé είναι µιγαδικές µε αρνητικό πραγµατικό µέρος και η ρίζα είναι αρνητική [βλέπε (7)] Έτσι οι τελευταίοι τρεις όροι στην () τείνουν στο µηδέν καθώς Αυτό οδηγεί στο συµπέρασµα ότι v d e jù () êáèþò Αλλά d V ( )( jù) H ( jù) jù v H jù e jù () ( ) () 4//5-45 -
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ APACE Είναι αξιοσηµείωτο να σηµειώσουµε ότι H( jù) 5ù 6 6 ù + ù () Αυτό έπεται από την (6) αλλά οι λεπτοµέρειες παραλείπονται Στο σχήµα (8) σχεδιάζουµε το H( jù) για διάφορες τιµές του ω Η παραγόµενη καµπύλη είναι µία χαµηλοπερατή απόκριση Buerworh βαθµού n Το πραγµατικό µέρος της () ισούται µε την απόκριση µόνιµης κατάστασης του κυκλώµατος όταν η είσοδος είναι ηµιτονοειδής συνάρτηση: i ( g ) o ù - 46-4//5