ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-5: Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς Εαρινό Εξάµηνο 5-6 ιδάσκοντες : Γ. Στυλιανού, Γ. Καφεντζής Λυµένες Ασκήσεις - Σειρές Fourier. Να σχεδιάσετε το ϕάσµα πλάτους και το ϕάσµα ϕάσης του σήµατος xt + cosπt sinπt 3 cos3πt Μπορούµε να χρησιµοποιήσουµε τις ταυτότητες : sinθ cosθ π/, sinθ cosθ + π/, cosθ + π cosθ. 3 Θα µετατρέψουµε τα sin σε cos και ϑα ϕροντίσουµε τα πρόσηµα να είναι όλα ϑετικά, εισάγοντας όπου χρειάζεται την κατάλληλη ϕάση. Είναι : xt + cosπt sinπt 3 cos3πt + cosπt + cosπt + π/ + 3 cos3πt + π + ejπt + e jπt + ejπt e jπ/ + + e jπt e jπ/ + 3 ej3πt e jπ + 3 e j3πt e jπ. 4 Το ϕάσµα πλάτους και το ϕάσµα ϕάσης ϕαίνονται στα παρακάτω Σχήµατα αʹ και βʹ αντίστοιχα, ως συνάρτηση της γωνιακής συχνότητας ω πf. αʹ Φάσµα πλάτους ϐʹ Φάσµα ϕάσης Σχήµα : Φάσµα πλάτους και ϕάσης Άσκησης Λύστε ξανά την άσκηση χωρίς τη χρήση ταυτοτήτων, αλλά µε τις σχέσεις του Euler!
Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς - 5-6/Λυµένες Ασκήσεις. Εστω το σήµα xt sin 5πt cosπt Βρείτε την περίοδο του σήµατος και υπολογίστε το ολοκλήρωµα : T x tdt Για να ϐρούµε την περίοδο, ϑα πρέπει να γράψουµε το xt ως άθροισµα ηµιτόνων ή/και συνηµιτόνων. Είναι : xt sin 5πt cosπt j ej5πt j e j5πt ejπt + e jπt 4j ejπt j j ej5πt e j5πt + 4j e jπt ejπt + e jπt 4 ejπt + 4 e jπt ejπt + e jπt 8 ej3πt 8 e jπt + 4 ejπt + 4 e jπt 8 e j3πt 8 ejπt 4 cosπt + cosπt 4 cos3πt 4 cosπ6t + cosπt 4 cosπ6t 4 cosπ6t + π + cosπt + cosπ6t + π 5 4 Ενας διαφορετικός τρόπος λύσης ϑα ήταν να χρησιµοποιήσουµε τις τριγωνοµετρικές ταυτότητες : sin θ cosθ και cosθ cosω cosθ + ω + cosθ ω Τότε ϑα είναι : cosπt cosπt cosπt cosπt cosπt cosπt + 4 cos3πt + π + cosπt + π 4 Προφανώς, η ϑεµελιώδης συχνότητα ϑα είναι : ω ΜΚ π, π, 3π π. Άρα π ω sec. Τώρα, το Ϲητούµενο ολοκλήρωµα είναι δύσκολο να υπολογιστεί κατευθείαν στο πεδίο του χρόνου. Οµως η σχέση του Parseval µας λέει ότι : T x tdt X k A A k + k όπου X k οι συντελεστές του εκθετικού αναπτύγµατος και A k X k οι συντελεστές του τριγωνοµετρικού αναπτύγµατος. Επιλέξτε όποιο σας ϐολεύει. Άρα ϑα είναι : T x tdt + k Στο ίδιο αποτέλεσµα καταλήγουµε και µε τον τύπο A + k k X k 4 + 4 8 4 64 + 6 64 3 6 A k 4 + 6 + 8 3 6 6 7
Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς - 5-6/Λυµένες Ασκήσεις 3 που είναι και το Ϲητούµενο. 3. Αναπτύξτε σε Σειρά Fourier το περιοδικό, µε περίοδο, σήµα : {, t < xt t T, t < Σας δίνεται ότι : te αt dt eαt α t α Θα αναπτύξουµε το σήµα κατά την εκθετική σειρά Fourier. Γνωρίζουµε ότι : X T xtdt και X k T xte jkωt dt Είναι χρήσιµο να ϑυµόµαστε ότι f, e ±jπk, και e jπk. Θα είναι λοιπόν : X T xtdt T T T dt + t + t T tdt T T + T T + t T T 3 T T 8 3 3 8 3 8 t dt tdt 3 6 8 3 4 X T xtdt 3 4 8
Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς - 5-6/Λυµένες Ασκήσεις 4 Επίσης, X k T xte jkωt dt e jkωt dt + + T e jkωt dt T jπk e jπk + e jkωt jkω e jkω t jkω + T T T jπk e jπk + e jπk e jπk jkω jkω T e jπk T jkω jkω te jkωt dt te jkωt dt e jkω t t jkω jkω e jπk jkω jkω jπk e jπk + jπk e jπk jπk jπk T jkω jkω + e jπk jπk + e jπk T jkω jkω jπk e jπk + jπk e jπk jπk jπk π k + e jπk jπk + e jπk π k e jπk jπk + jπk + jπk π k e jπk jπk + e jπk π k jπk π k e jπk πk e j π π k e jπk. 9 Οπότε τελικά οι συντελεστές Fourier είναι οι : Μπορούµε να γράψουµε τώρα ότι : xt X + X 3 4 και X k πk e j π π k e jπk. k,k 3 4 + + k,k 3 4 + + k,k X k e jkω t 3 4 + πk e j π e jkω t πk ejkω t π Παρατηρούµε ότι e jπk k, άρα : + k,k k,k k,k πk e j π π k e jπk e jkω t π k e jπk e jkω t π k e jπk e jkω t. Άρα ϑα είναι : xt 3 4 + + k,k 3 4 + + k,k e jπk πk ejkω t π πk ejkω t π {, k odd, k even k odd k π k ejkω t π k ejk ω t
Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς - 5-6/Λυµένες Ασκήσεις 5 Αν ϑέλουµε να προχωρήσουµε ακόµα λίγο και να αναπτύξουµε το σήµα µας σε µονόπλευρη σειρά Fourier τότε ϑα έχουµε : xt 3 4 + + 3 4 + + k,k k 3 4 + + k πk ejkω t π k π k ejk ω t πk coskω t π + 4 π k cosk ω t k πk sinkω t π k cosk ω t k γιατί ξέρουµε ότι για τους συντελεστές του µονόπλευρου αναπτύγµατος σε σειρά Fourier ισχύει ότι : A k X k 4. Εστω ένα πραγµατικό, περιττό και περιοδικό σήµα xt, που αναπτύσσεται σε σειρά Fourier µε συντελεστές X k. είξτε ότι X k X k Το σήµα µας είναι περιττό, άρα ϑα ισχύει xt x t. Είναι : Θέτω u t du dt. Επίσης, u, u. Άρα ϑα είναι που είναι και το Ϲητούµενο. X k T xte jkωt dt T x te jkωt dt X k T xue jkωu du xue jπ kf u du X k 3 5. ίδονται τρια πραγµατικά, περιοδικά σήµατα µε µικρό αριθµό αρµονικών. Οι µη µηδενικοί συντελεστές για k > δίδονται ακολούθως : α x t :, X 5, X 3. ϐ x t :, X j, X j, X 3 j 4, X 4 j 8. Βρείτε τα x i t. Αφού τα σήµατα είναι πραγµατικά, αυτό σηµαίνει ότι υπάρχουν συντελεστές X k και για k <, και για αυτούς ϑα ισχύει ότι X k X k. α Είναι x t X 3 e jπ 3 t + X e jπ t + X e jπ+ t + X3 e jπ+3 t X 3e jπ3 t + X e jπ t + X e jπ t + X3 e jπ3 t e jπ3 t + 5e jπ t + 5e jπ t + e jπ3 t e j6πt + 5e jπt + 5e jπt + e j6πt e j6πt + e j6πt + 5e jπt + e jπt 4 cos6πt + cosπt. 4
Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς - 5-6/Λυµένες Ασκήσεις 6 ϐ Είναι x t X 4 e jπ 4 t + X 3 e jπ 3 t + + X3 e jπ+3 t + X4 e jπ+4 t που είναι και τα Ϲητούµενα. X 4e jπ4 t + X 3 e jπ3 t + + X3 e jπ3 t + X4 e jπ4 t j 8 e jπ4 t j 4 e jπ3 t + j e jπ t + j ejπ t + j 4 ejπ3 t j 8 ejπ4 t j 8 e j4πt j 4 e j3πt + j e jπt je jπt + je jπt j ejπt + j 4 ej3πt j 8 ej4πt j 8 e j4πt e j4πt j 4 e j3πt e j3πt + j e jπt e jπt je jπt je jπt j 8 j sin4πt + j 4 j sin3πt j j sinπt + jj sinπt 4 sin4πt sin3πt + sinπt sinπt 5 6. Αναπτύξτε σε Σειρά Fourier το περιοδικό, µε περίοδο, σήµα : { e xt αt, t < T, t < Θα αναπτύξουµε το σήµα κατά την εκθετική σειρά Fourier. Γνωρίζουµε ότι : Θα είναι λοιπόν : X X T xtdt και X k T xte jkωt dt T xtdt T T α e αt α e α X T e αt dt xtdt e α 6 α Επίσης, X k T T α + jkω α + jkω xte jkω t dt T e αt e jkω t dt T e α+jkωt dt α + jkω e α+jkω t e α+jkω e α +jπk α + jkω e α e jπk e αt jkω t dt e α e jπk 7 α + jπk
Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς - 5-6/Λυµένες Ασκήσεις 7 Οµως ξέρουµε ότι : e jπk cos πk j sin πk k, γιατί για κάθε k ακέραιο, το cos πk είναι είτε για άρτια k, είτε - για περιττά k, ενώ το sin πk είναι µηδέν για κάθε k. Άρα µπορούµε να γράψουµε τελικά ότι : X k Οπότε τελικά οι συντελεστές Fourier είναι οι : Άρα το σήµα µας ϑα γράφεται ως : xt που είναι και το Ϲητούµενο. k X X k X k e jkω t k e α α + jπk e α και 8 α α + jπk k k e α k e α e jkω t α + jπk 9 7. Βρείτε την περίοδο του σήµατος : xt sin 5πt + φ + sin πt + φ Θα χρειαστεί να γράψουµε το σήµα µας ως άθροισµα απλών ηµιτόνων ή/και συνηµιτόνων, ώστε να µπορούµε να αποφανθούµε για την περιοδικότητά του. Είναι : xt sin 5πt + φ + sin πt + φ j ej5πt e jφ j e j5πt e jφ + j ejπt e jφ j e jπt e jφ 4 ejπt e jφ j j 4 e jπt e jφ 4 ej4πt e jφ j j 4 e j4πt e jφ 4 ejπt e jφ + e jπt e jφ 4 ej4πt e jφ + e j4πt e jφ + 4 cosπt + φ 4 cos4πt + φ cosπt + φ cos4πt + φ cosπ5t + φ cosπt + φ Άρα η ϑεµελιώδης συχνότητα του σήµατος ϑα είναι ω ΜΚ {π, 4π} π. Άρα π ω µπορούσαµε να πούµε ότι ΕΚΠ{ 5, } ΕΚΠ{.,.5} sec. sec. Αλλιώς, ϑα Σηµείωση : αʹ Αν µας Ϲητούσε να δείξουµε ότι το σήµα είναι περιοδικό, και µετά να υπολογίσουµε την περίοδό του, τότε ϑα έπρεπε για να είµαστε απόλυτα σωστοί να πούµε ότι : T T 5 5, που είναι λόγος ακεραίων αριθµών, άρα το σήµα είναι περιοδικό. Επειτα, ϑα υπολογίζαµε την περίοδο µε όποιον τρόπο ϑέλαµε. Ενα καλό αντιπαράδειγµα σχετικά µε αυτή τη σηµείωση, ϑα ήταν το xt + cosπt + φ cos4t φ
Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς - 5-6/Λυµένες Ασκήσεις 8 Τότε, ϑα ήταν T T 5 π περιοδικό. π, το οποίο προφανώς ΕΝ είναι λόγος ακεραίων αριθµών, άρα το σήµα ΕΝ είναι ϐʹ Εννοείται πως µε τη διαδικασία που ακολουθήσαµε για να λύσουµε την άσκηση, µπορούµε αµέσως έστω, µε ελάχιστες πράξεις ακόµα : να απαντήσουµε σε ερωτήµατα σχεδίασης ϕάσµατος πλάτους και ϕάσης, όπως και ερωτήµατα σχετικά µε ϑεώρ. Parseval, κατανοµής ενέργειας κλπ. Ο,τι χρειαζόµαστε για να απαντήσουµε σε αυτά υπάρχει έτοιµο στη λύση παραπάνω! 8. Ενα περιοδικό σήµα xt A cosω t µε περίοδο 5 sec ϑέλουµε να καθυστερήσει κατά.5 sec. Πόση ϑα είναι η ϕάση µετατόπισής του ; Εστω t.5sec. Το καθυστερηµένο κατά t σήµα εκφράζεται ως : xt t A cosω t t A cosω t ω t A cosω t + φ Άρα φ ω t π t π.5.π 5 Προφανώς, αν ϑέλαµε να προηγείται κατά t.5sec, ϑα είχαµε φ.π, µε παρόµοιο συλλογισµό µε παραπάνω ϑα Ϲητούσαµε τότε το xt + t. 9. Εστω το σήµα Βρείτε την περίοδό του. xt + k β k cosk + πt + φ k Βλέπουµε ότι για k, k, k 3, παίρνουµε αντίστοιχα συχνότητες ω 4π, ω 6π, ω 3 8π. Προφανώς, όλες αυτές οι συχνότητες είναι πολλαπλάσια µιας ϑεµελιώδους, της ω π. Άρα η περίοδος είναι π f. Προσέξτε, το γεγονός ότι δεν υπάρχει συνηµίτονο µε τέτοια συχνότητα στην παραπάνω αναπαράσταση, δε σηµαίνει κάτι για την περίοδο του σήµατος.. Αναπτύξτε σε σειρά Fourier το σήµα xt sint + sin3t sint α Ποιά είναι η περίοδος του σήµατος ; ϐ Σχεδιάστε το ϕάσµα πλάτους και ϕάσµα ϕάσης του σήµατος. Αναπτύσσουµε το σήµα µας σύµφωνα µε τους τύπους του Euler: xt sint + sin3t sint j ejt e jt + e j3t e j3t j ejt e jt e jt e jt ejt e jt + e j3t e j3t
Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς - 5-6/Λυµένες Ασκήσεις 9 Θα χρησιµοποιήσουµε τώρα τις ταυτότητες : a b a ba + b, 3 a 3 b 3 a ba + ab + b 4 για τα εκθετικά του αριθµητή. Θα είναι λοιπόν : xt e jt e jt ejt e jt + e j3t e j3t e jt e jt [ejt e jt + e jt 3 e jt 3 ] e jt e jt [ejt e jt e jt + e jt + e jt e jt e jt + + e jt ] e jt e jt ejt e jt e jt + e jt + + e jt + e jt e jt + e jt + + e jt + e jt + cost + cost 5 α Η περίοδος του σήµατος ϑα είναι ΕΚΠ{π, π} π. ϐ Το ϕάσµα πλάτους και ϕάσης ϕαίνονται στα Σχήµατα. αʹ Φάσµα πλάτους ϐʹ Φάσµα ϕάσης Σχήµα : Φάσµα πλάτους και ϕάσης Άσκησης. Αναπτύξτε σε σειρά Fourier το περιοδικό σήµα το οποίο έχει περίοδο. xt sinπf t 6
Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς - 5-6/Λυµένες Ασκήσεις Είναι X T xtdt T π π sin dt T πt π cos π + π πt dt cos π. 7 Επίσης X k T xte jkωt dt T π T π cos πt πt cos e jkω t π + π + π jkω π jk π jk π jk π π + 4k T π + T 4k sin π + 4k X k e jπkf t dt + T π T cos πt sin e jkωt dt πt cos e jkω t dt πt e jkω t dt πt cos e jkωt dt T T πt e kkω sin t dt π πt sin e jkω t T + jk T π T πt sin e jkωt dt πt e jkω t dt jπk T πt sin e jkωt dt X k 4k X k π X k 4k π X k π 4k 8
Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς - 5-6/Λυµένες Ασκήσεις Άρα ϑα είναι xt π + π + π + 4 π k,k k π 4k ejkω t 4 π 4k coskω t k 4k coskω t 9. είξτε ότι για πραγµατικά σήµατα ισχύει : Αρτιο σήµα Χ Αρτιο σήµα Αρτιο σήµα Περιττό σήµα Χ Περιττό σήµα Αρτιο σήµα Αρτιο σήµα Χ Περιττό σήµα Περιττό σήµα { Αν xt άρτιο xt x t Αν yt άρτιο yt y t που δηλώνει ότι το zt είναι άρτιο. { Αν xt περιττό xt x t Αν yt περιττό yt y t που δηλώνει ότι το zt είναι άρτιο. { Αν xt άρτιο xt x t Αν yt περιττό yt y t που δηλώνει ότι το zt είναι περιττό. } xtyt x ty t zt z t 3 } xtyt x ty t zt z t 3 } xtyt x ty t zt z t 3 3. Υπολογίστε το ολοκλήρωµα π sin tdt χρησιµοποιώντας το ϑεώρηµα του Parseval. Το ϑεώρηµα του Parseval συνοψίζεται στην εξίσωση T x tdt X + k X k A + η οποία περιλαµβάνει και τη µονόπλευρη και τη δίπλευρη εκθετική αναπαράσταση της σειράς Fourier. Αναλύουµε το σήµα σε σειρά Fourier: k A k e xt sin 5 jt e jt 5 e jt e jt 5 t j 3j 33
Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς - 5-6/Λυµένες Ασκήσεις Χρησιµοποιώντας τον τύπο του Newton, η σχέση 33 γράφεται : a + b n a n + na n b + nn a n b + + nab n + b n 34! xt 3j ej5t 5e j4t e jt + e j3t e jt e jt e j3t + 5e jt e j4t e j5t 3j ej5t e j5t 5e j3t + 5e j3t + e jt e jt j sin5t j sin3t + j sint 3j 6 sin5t 5 6 sin3t + 5 8 sint Οπότε σύµφωνα µε τα παραπάνω π dt sin 5 6 π dt t π 5 sin 5 6 t π 5 35 που είναι και το Ϲητούµενο. 4. ίνεται το παρακάτω περιοδικό σήµα xt: xt cos πt + π + cos π5t π sin π6t + π 3 8 5 αʹ Βρείτε την περίοδο,, του σήµατος και σχεδιάστε το ϕάσµα πλάτους και ϕάσης. ϐʹ Υπολογίστε το yt t xτdτ γʹ Υπολογίστε την ισχύ του σήµατος yt αʹ Το σήµα έχει συχνότητες, 5, 6Hz, άρα ϑεµελιώδη συχνότητα f ΜΚ {, 5, 6} Hz. Οπότε η περίοδος ϑα είναι /.sec. Χρησιµοποιώντας τις σχέσεις του Euler, το σήµα γράφεται ως : xt e jπt e jπ/3 + e jπt e jπ/3 + ejπ5t e jπ/8 + e jπ5t e jπ/8 j ejπ6t e jπ/5 + j e jπ6t e jπ/5 e jπt e jπ/3 + e jπt e jπ/3 + ejπ5t e jπ/8 + e jπ5t e jπ/8 + + ejπ/ e jπ6t e jπ/5 + e jπ/ e jπ6t e jπ/5 e jπt e jπ/3 + e jπt e jπ/3 + ejπ5t e jπ/8 + e jπ5t e jπ/8 + + ejπ6t e j9π/ + e jπ6t e j9π/ Το ϕάσµα πλάτους και ϕάσης ϕαίνεται στο σχήµα 3. ϐʹ Γνωρίζουµε ότι t yt xτdτ Y k X k jkω
Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς - 5-6/Λυµένες Ασκήσεις 3 αʹ Φάσµα πλάτους ϐʹ Φάσµα ϕάσης Σχήµα 3: Φάσµα πλάτους και ϕάσης Άσκησης 4 και άρα ϑα έχουµε yt jπ ejπt e jπ/3 + jπ e jπt e jπ/3 + jπ5 ejπ5t e jπ/8 + jπ5 e jπ5t e jπ/8 + jπ6 ejπ6t e j9π/ + jπ6 e jπ6t e j9π/ π ejπt e jπ/3 e jπ/ + π e jπt e jπ/3 e jπ/ + π5 ejπ5t e jπ/8 e jπ/ + π5 e jπ5t e jπ/8 e jπ/ + π6 ejπ6t e j9π/ e jπ/ + π6 e jπ6t e j9π/ e jπ/ π ejπt e j5π/6 + π e jπt e j5π/6 + π5 ejπ5t e j3π/8 + π5 e jπ5t e j3π/8 + π6 ejπ6t e j4π/ + π6 e jπ6t e j4π/ cosπt + 5π/6 + cosπ5t + 3π/8 + cosπ6t + 4π/ π π5 π6 γʹ Η συνολική ισχύς είναι το άθροισµα των επιµέρους ισχύων των ηµιτόνων, αφού αυτά έχουν διαφορετικές µεταξύ τους συχνότητες, άρα P y 3 k Pk π + π + π Στο ίδιο αποτέλεσµα ϑα καταλήγαµε αν αθροίζαµε τα τετράγωνα των µέτρων των εκθετικών συντελεστών Fourier, Y k. 5. Εστω το περιοδικό σήµα xt που ορίζεται σε µια περίοδο / t / ως : xt {, t tc, t c < t /
Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς - 5-6/Λυµένες Ασκήσεις 4 µε tc < /. Αναπτύξτε το σε σειρά Fourier, για t c /4 και t c /. Θα αναπτύξουµε το περιοδικό σήµα σε σειρά Fourier χωρίς αντικατάσταση της t c, η οποία ϑα γίνει στο τέλος. Είναι : X T xtdt tc dt t tc t c + t c t c t c t c και Για t c 4, έχουµε Για t c, έχουµε X k T xte jπkft dt tc e jπkft dt t c e jπkf t tc jπkf t c e jπkf t c e jπkf t c jπk jπk j sinπkf t c sinπkf t c πk X /4 X k sinπkf /4 sinπk/ πk πk sinck/ X / 5 X k sinπkf / sinπk/5 πk πk 5 sinck/5