Επαναληπτικό Διαγώνισµα Άλγεβρα Β Λυκείου Θέµα Α Α1. Έστω η πολυωνυµική εξίσωσης α ν χ ν + α ν 1 χ ν 1 +... + α 1 χ + α 0 = 0, µε ακέραιους συντελεστές. Να αποδείξετε ότι αν ο ακέραιος ρ 0 είναι ρίζα της εξίσωσης, τότε ο ρ είναι διαιρέτης του σταθερού όρου α 0 Α. Να δώσετε τον ορισµό της άρτιας και περιττής συνάρτησης. (5 Μονάδες) (5 Μονάδες) Α3. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράµµα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. (i) Το ελάχιστο της συνάρτησης f( x) 3 ηµ 4x (ii) Αν τα πολυώνυµα P(x) και Q(x) έχουν ρίζα το ρ, = είναι 5 Σ Λ τότε το πολυώνυµο P(x) + Q(x) έχει για ρίζα το ρ Σ Λ (iii) (iv) Ο βαθµός του γινοµένου δυο µη µηδενικών πολυωνύµων είναι ίσος µε το γινόµενο των βαθµών των πολυωνύµων αυτών Σ Λ Δυο ευθείες µε ίδιο συντελεστή διεύθυνσης είναι παράλληλες Σ Λ (v) Ισχύει ότι lnα + 3ln β = ln( α β 3 ) Σ Λ A4. Το πολυώνυµο P(x) = λ 1 ( ) x 3 + ( λ 3 1) x + λ 1 είναι το µηδενικό πολυώνυµο, όταν λ ισούται µε: ( Μονάδες άνα ερώτηµα) ( ) ( ) x + λ + λ α. 1 β. 1 γ. δ. Κανένα από τα παραπάνω Επιλέξτε την σωστή απάντηση και να την δικαιολογήσετε (5 Μονάδες) Επιµέλεια Θεµάτων και Λύσεων: Θάνος Λουκάς 1
Θέµα Β Β1. Να λυθεί το σύστηµα (Σ) : λχ y = λ ( λ) χ + λ ( ) y = λ για τις διάφορες τιµές του λ R (8 Μονάδες) Β. Εαν το σύστηµα (Σ) έχει µοναδική λύση και το πολυώνυµο Ρ(χ) = ( D x +κ ) χ + κ ( + D x ) χ +10 έχει ρίζα το, να λυθεί η εξίσωση: κσυν θ = D ηµθ (7 Μονάδες) ηµ π Β3. Δίνεται η συνάρτηση f (χ) = 3 D x και εαν το σύστηµα (Σ) είναι αδύνατο χ D y συν ( π + χ )εϕ ( χ ) ηµ π χ D x εϕ ( π + χ ) (i) (ii) Να απλοποιήσετε τον τύπο της συνάρτησης f(x) Να βρείτε την περίοδο, την µέγιστη και ελάχιστη τιµή της συνάρτησης f(x) (iii) Να αποδείξετε ότι: 1 σϕ θ 1+ σϕ θ = f π 3 ηµ θ 1 (10 Μονάδες) Θέµα Γ Έστω το πολυώνυµο Ρ(χ) = ( 9 γ 4 3 γ + 3) χ 4 + χ 3 ( α +1) χ + 5χ + β Γνωρίζουµε ότι το Ρ(χ) είναι 3ου βαθµού, έχει παράγοντα το χ + 1 και όταν διαιρείται µε το χ 3 έχει υπόλοιπο 16 Γ1. Να υπολογίσετε τους πραγµατικούς αριθµούς α, β και γ (7 Μονάδες) Επιµέλεια Θεµάτων και Λύσεων: Θάνος Λουκάς
Γ. Να βρείτε το πηλίκο της διαίρεσης του Ρ(χ) µε το χ 3χ + 7 και να γράψετε την ταυτότητα της παραπάνω διαίρεσης. (6 Μονάδες) Γ3. Να βρείτε τα διαστήµατα του χ, στα οποία το Ρ(χ) βρίσκεται πάνω από το Q(χ) = -χ + 6χ + 8 (6 Μονάδες) Γ4. Για θ ( π,π ), να λυθεί η εξίσωση: Θέµα Δ Δίνεται η συνάρτηση: f (x) = ln x 3 7x + 6 ηµ π θ + 3ηµ ( θ ) ηµ π θ ( ) συν ( π θ ) = Ρ(1) ( ) + log5 + 3log Δ1. Να βρείτε το πεδίο ορισµού της συνάρτησης f(x) Δ. Να απλοποιήσετε τον τύπο της συνάρτησης f(x) Ρ( ) (6 Μονάδες) 3 (5 Μονάδες) Δ3. Να λύσετε την ανίσωση: f (e x ) < ln( e x 10e x +16) (5 Μονάδες) (8 Μονάδες) Δ4. Για θ π,π, να λύσετε την εξίσωση: f (εϕθ) = ln3 + ln( εϕ θ 4εϕθ +1) (7 Μονάδες) Ευχόµαστε Επιτυχία!!! Επιµέλεια Θεµάτων και Λύσεων: Θάνος Λουκάς 3
Θέµα Α Λύσεις Διαγωνίσµατος Α1. Σχολικό Βιβλίο σελ. 141 Α. Σχολικό Βιβλίο σελ. 35 36 Α3. (i) Λάθος (ii) Σωστό (iii) Λάθος (iv) Λάθος (v) Σωστό Α4. Το α. Γιατί πρέπει να ισχύει: λ 1 = 0 λ = ±1 λ 3 1 = 0 λ = 1 λ 1 = 0 λ = 1 λ + λ = 0 λ = 1 η λ = λ = 1 Θέµα Β Β1. D = λ 1 λ λ = λ 3λ + = λ 1 ( )( λ ) D χ = λ 1 λ λ = λ λ = λ λ 1 ( ) D y = λ λ λ λ = λ λ = λ λ 1 ( ) Εαν D 0 λ 1 και λ, τότε το σύστηµα (Σ) έχει µοναδική λύση, την: χ 0 = D x D = λ ( λ 1) ( λ 1) ( λ ) = λ λ και y = D y 0 Εαν D = 0 λ = 1 ή λ =, έχουµε: D = λ ( λ 1 ) ( λ 1) ( λ ) = λ λ Για λ = 1 : D x = 0 και D y = 0 άρα το σύστηµα έχει άπειρες λύσεις της µορφής: (µ + 1, µ) όπου μ R Για λ = : D x = 0 και D y = 4 0 άρα το σύστηµα είναι αδύνατο Β. Το ρίζα του Ρ(χ) άρα: Επιµέλεια Θεµάτων και Λύσεων: Θάνος Λουκάς 4
Ρ() = 0 4( D x +κ ) + κ ( + D x ) +10 = 0 4D x κ +κ + D x + 5 = 0 ( κ 1) + ( D x ) = 0 κ = 1 και D x = λ ( λ 1) = λ λ = 0 λ = 1 δεκτή ή λ = απορρίπτεται ( διότι το σύστηµα (Σ) έχει µοναδική λύση ισχύει ότι D 0 λ 1 και λ ) Για λ = 1 έχουµε: D = 6, οπότε η εξίσωση γίνεται: συν θ = 3ηµθ ( 1 ηµ θ ) = 3ηµθ ηµ θ + 3ηµθ = 0 Θέτω ηµθ = ω, οπότε: ω + 3ω = 0 Δ = 9 + 16 = 5 και ω 1, = 3 ± 5 4 = 1 ηµθ = αδύνατη ή ηµθ = 1 ηµθ = ηµ π 6 θ = κπ + π 6 ή θ = κπ + 5π 6 όπου κ Z Β3. Το σύστηµα είναι αδύνατο για λ = : D x = και D y = 4 (i) ηµ π χ D y = ηµ π χ 4 = ηµ χ 4 συν ( π + χ ) = συνχ εϕ ( χ ) = εϕχ ηµ π χ D x = ηµ π χ = συνχ εϕ ( π + χ ) = εϕχ ηµ χ f (χ) = 3 4 ( συνχ ) ( εϕχ ) = 3 ηµ χ συνχ εϕχ 4 Επιµέλεια Θεµάτων και Λύσεων: Θάνος Λουκάς 5
(ii) T = π ω = π 1 4 = 8π µέγιστο: 3 + = 5 ελάχιστο: 3 = 1 (iii) π π f 3 = 3 ηµ 3 4 = 3 ηµ π 6 = 3 1 = 1 συν θ ηµ θ συν θ 1 σϕ θ 1+ σϕ θ = ηµ θ ηµ θ 1+ συν = = θ ηµ θ + συν θ ηµ θ ηµ θ ηµ θ συν θ ηµ θ + συν θ = ηµ θ 1+ηµ θ = ηµ θ 1 1 Θέµα Γ Γ1. Εφόσον το Ρ(χ) είναι 3 ου βαθµού έχουµε: 9 γ 4 3 γ + 3 = 0 ( 3 γ ) 4 3 γ + 3 = 0 θέτω 3 γ = y και η εξίσωση γίνεται: y 4y + 3 = 0 Δ = 16 1 = 4 και y 1, = 4 ± = 3 1 Άρα 3 γ = 3 γ = 1 ή 3 γ = 1 γ = 0 Εφόσον έχει παράγοντα το χ + 1 ισχύει: Ρ( 1) = 0 1 ( α +1) 5 + β = 0 1 α 1 5 + β = 0 α + β = 7 Εφόσον η διαίρεση µε το χ 3 δίνει υπόλοιπο 16 ισχύει: Ρ(3) = 16 7 9 α +1 ( ) +15 + β = 16 7 9α 9 +15 + β = 16 9α + β = 17 Επιµέλεια Θεµάτων και Λύσεων: Θάνος Λουκάς 6
α + β = 7 9α + β = 17 α β = 7 9α + β = 17 (+) 8α = 4 α + β = 7 α = 3 β = 10 Γ. χ 3 4χ + 5χ + 10 χ 3χ + 7 -χ 3 + 3χ 7χ χ - 1 -χ χ + 10 χ 3χ 7-5χ + 17 Η ταυτότητα της διαίρεσης είναι: χ 3 4χ + 5χ + 10 = (χ 3χ + 7)( χ 1) -5χ + 17 Γ3. Έχουµε: Ρ(χ) > Q(χ) χ 3 4χ + 5χ +10 > χ + 6χ 8 χ 3 χ χ + > 0 πιθανές ακέραιες ρίζες: ±1, ± 1 - -1 0-1 0-1 0 Άρα (χ )(χ 1) > 0 χ - - 1 1 + χ χ 1 (χ )(χ 1) Οπότε χ ( 1,1 ) (, + ) + + + + + + Γ4. Ρ(1) = 1 4 + 5 +10 = 1 και Ρ( ) = 8 16 10 +10 = 4 ηµ π θ + 3ηµ θ ηµ π θ ( ) ( ) συν ( π θ ) = 1 4 συνθ 3ηµθ ηµθ + συνθ = 1 4συνθ + 6ηµθ = ηµθ + συνθ 6ηµθ ηµθ = 4συνθ + συνθ 5ηµθ = 5συνθ εϕθ = 1 εϕθ = εϕ π 4 Επιµέλεια Θεµάτων και Λύσεων: Θάνος Λουκάς 7
θ = κπ + π 4, κ Z Για κ = 1 : θ = π + π 4 = 3π 4 Για κ = 0 : θ = π 4 Για κ = 1 : θ = π + π 4 = 5π 4 απορρίπτεται Θέµα Δ Δ1. Πρέπει χ 3 7χ + 6 > 0. Πιθανές ακέραιες ρίζες: ±1, ±, ±3, ±6 1 0-7 6 1 1 1-6 1 1-6 0 Άρα (χ 1)(χ + χ 6) > 0 χ = 1 ή Δ = 1 + 4 = 5 οπότε χ 1, = 1± 5 = 3 χ - - 3 1 + χ 1 χ + χ 6 (χ 1)(χ + χ 6) + + + + + + Οπότε το πεδίο ορισµού της f(x) είναι: D f = ( 3, 1) (, + ) Δ. Έχουµε: log5 + 3log 3 = log5 + log 3 3 = log5 + log 4 = log5 4 = log100 = = 0 Άρα: f (x) = ln( x 3 7x + 6) Επιµέλεια Θεµάτων και Λύσεων: Θάνος Λουκάς 8
Δ3. f (e x ) < ln( e x 10e x +16) ln( e 3x 7e x + 6) < ln( e x 10e x +16) ln e 3x 7e x + 6 < e x 10e x +16 e 3x e x + 3e x 10 < 0 Θέτω e x = y, άρα: y 3 y + 3y 10 < 0 Πιθανές ακέραιες ρίζες: ±1, ±, ±5, ±10 1-1 3-10 10 1 1 5 0 Άρα (y )(y + y + 5) < 0 y = ή Δ = 1 0 = 19 < 0 y - + y y + y +5 (y )(y + y + 5) + + + + Οπότε y < e x < ln lne x < ln x < ln Δ4. Πρέπει εϕθ D f εϕθ ( 3,1) (, + ) f (εϕθ) = ln3 + ln( εϕ θ 4εϕθ +1) ln( εϕ 3 θ 7εϕθ + 6) = ln3 εϕ θ 4εϕθ +1 ln ( ) εϕ 3 θ 7εϕθ + 6 = 3εϕ θ 1εϕθ + 3 εϕ 3 θ + 3εϕ θ + 5εϕθ + 3 = 0 1 1 Επιµέλεια Θεµάτων και Λύσεων: Θάνος Λουκάς 9
Θέτω εφθ = y, άρα y 3 + 3y + 5y + 3 = 0 Πιθανές ακέραιες ρίζες: ±1, ±3 1 3 5 3-1 -1 - -3 1 3 0 Άρα (y + 1)(y + y + 3) = 0 y = 1 ή Δ = 4 1 = 0 8 < 0 αδύνατη εϕθ = 1 εϕθ = εϕ 3π 4 θ = κπ + 3π 4 Εφόσον θ π,π, έχουµε: Για κ = 1, θ = π 4 Για κ = 0, θ = 3π 4 Επιµέλεια Θεµάτων και Λύσεων: Θάνος Λουκάς 10