ΛΥΓΙΣΜΟΣ ΡΑΒ ΩΝ ΚΑΤΑΠΟΝΟΥΜΕΝΩΝ ΚΑΤΑ ΤΜΗΜΑΤΑ ΑΠΟ ΘΛΙΨΗ ΚΑΙ ΕΦΕΛΚΥΣΜΟ

ΛΥΓΙΣΜΟΣ ΡΑΒ ΩΝ ΚΑΤΑΠΟΝΟΥΜΕΝΩΝ ΚΑΤΑ ΤΜΗΜΑΤΑ ΑΠΟ ΘΛΙΨΗ ΚΑΙ ΕΦΕΛΚΥΣΜΟ Τάσος Αβράµ Λέκτορς Εργστήριο Μετλλικών Κτσκευών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Αθήν, Ελλάδ e-mal: avraamt@central.ntua.gr Γεώργιος Ιωννίδης Κθηγητής Εργστήριο Μετλλικών Κτσκευών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Αθήν, Ελλάδ e-mal: goand@central.ntua.gr. ΠΕΡΙΛΗΨΗ Στην προύσ εργσί µελετώντι διάφορες περιπτώσεις ευστάθεις ράβδων οι οποίες κτπονούντι κτά τµήµτ πό ξονική θλίψη κι εφελκυσµό. Γι κάθε περίπτωση διτυπώνοντι οι διφορικές εξισώσεις ισορροπίς στην πρµορφωµένη κτάστση της ράβδου, οι λύσεις των οποίων µε την βοήθει των συνορικών συνθηκών κι των συνθηκών συνέχεις οδηγούν στην εξίσωση λυγισµού. Από την εξίσωση λυγισµού προσδιορίζετι το κρίσιµο φορτίο κι ο συντελεστής ισοδυνάµου µήκους λυγισµού της ράβδου.τ ποτελέσµτ προυσιάζοντι γι διάφορους συνδυσµούς θλιπτικών κι εφελκυστικών δυνάµεων κθώς επίσης κι γι διάφορους λόγους µηκών των τµηµάτων που βρίσκοντι υπό θλίψη ή υπό εφελκυσµό ως προς το συνολικό µήκος της ράβδου.. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Σε πολλές περιπτώσεις σε πολυώροφ µετλλικά κτίρι τ οριζόντι στοιχεί (δοκοί) κτσκευάζοντι ως δικτυώµτ ώστε ν εξσφλίζετι οικονοµικότητ στη σττική λύση, δυσκµψί του συστήµτος, δυντότητ γεφύρωσης µεγλύτερων σχετικά νοιγµάτων ότν υπάρχει ριή διάτξη των κτκόρυφων στοιχείων (υποστυλωµάτων) λλά κι δυντότητ διέλευσης, µέσω των νοιγµάτων που οι ράβδοι φήνουν µετξύ τους, κνλιών κλιµτισµού ή κι άλλων δικτύων εξυπηρέτησης του κτιρίου Στις περιπτώσεις υτές το πάνω πέλµ των δικτυωµάτων διθέτει κτά κνόν πυκνή ή κι συνεχή πλευρική εξσφάλιση. Αντιθέτως το κάτω πέλµ είνι κτ ρχήν πλευρικά µη προσττευµένο σε ολόκληρο το µήκος του. Υπό τ κτκόρυφ φορτί το κάτω πέλµ έχει συνήθως θλιβόµεν τµήµτ στις κρίες πρά τ υποστυλώµτ περιοχές του κι εφελκυόµενο κεντρικό τµήµ ενώ υπό τ οριζόντι φορτί (κυρίως τ σεισµικά) µπορεί ν είνι εν µέρει θλιβόµενο κι εν µέρει εφελκυόµενο. Ανκύπτει εποµένως θέµ προσδιορισµού της ντοχής ένντι λυγισµού εκτός του επιπέδου του δικτυώµτος µις ράβδου που βρίσκετι εν µέρει υπό θλίψη κι εν µέρει υπό εφελκυσµό.το εύρος των επί µέρους υτών τµηµάτων εξρτάτι πό τη γεωµετρί της κτσκευής κι το σχετικό µέγεθος των φορτίων. Ο µελετητής κτά τη µόρφωση κι διστσιολόγηση του φέροντος οργνισµού προβλέπει κτά κνόν ράβδους πλευρικής εξσφάλισης πολήγουσες σε κάποιο στοιχείο δυσκµψίς. Οι θέσεις των ράβδων υτών ντιστοιχούν συνήθως σε κόµβους των δικτυωµάτων κι επιλέγοντι σε θέσεις λλγής προσήµου της ξονικής έντσης γι τις κύριες φορτίσεις ή κι πυκνότερ. Επειδή ωστόσο οι θέσεις υτές µετβάλλοντι µε το συνδυσµό φορτίων που εξετάζετι, πρµένουν πάντοτε επί µέρους τµήµτ µε ενλλγή προσήµου της ξονικής δύνµης λλά κι είνι επιθυµητό ν είνι

γνωστή η επάρκει ενός, χωρίς πλευρική προστσί ενιίου κάτω πέλµτος η διερεύνηση της σχετικής ντοχής έχει σηµντικό ενδιφέρον. Η περίπτωση ξονικών θλιπτικών φορτίων σκλωτής µορφής σε γρµµικά στοιχεί µε κύριο ενδιφέρον την νζήτηση κρισίµων φορτίων νφέρετι στη κλσσική [] λλά κι νεώτερη [] σχετική βιβλιογρφί. Σχετική είνι κι η εργσί των Τ. Αβράµ κι Γ. Ιωννίδη [3] γι θλιβόµεν στοιχεί µε στθερή διτοµή κι µετβλητή ξονική δύνµη. Στην προύσ εργσί προσδιορίζετι ο συντελεστής ισοδυνάµου µήκους λυγισµού συγκριτικά προς έν µέλος που φέρει σε ολόκληρο το µήκος τη θλιπτική ξονική δύνµη του υπό θλίψη τµήµτος του µέλους. Μέσω του συντελεστή υτού µπορεί ευχερώς ν προσδιορίζετι η ντοχή του ενιίου µέλους. Εξετάζοντι τρείς περιπτώσεις: () ράβδος µε έν κρίο τµήµ υπό θλίψη κι το υπόλοιπο υπό εφελκυσµό, (β) ράβδος µε δύο κρί τµήµτ υπό εφελκυσµό κι έν κεντρικό τµήµ υπό θλίψη, (γ) ράβδος µε δύο κρί τµήµτ υπό θλίψη κι έν κεντρικό τµήµ υπό εφελκυσµό κι (δ) ράβδος µε σκλωτή µετβολή της θλιπτικής δύνµης. Κάθε επί µέρους περίπτωση µε εύλογες συντηρητικές πλοποιήσεις µπορεί ν νάγετι σε µί πό τις τρείς νφερόµενες περιπτώσεις. 3. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ Περίπτωση (): (Έν τµήµ της ράβδου υπό θλίψη κι το υπόλοιπο τµήµ υπό εφελκυσµό) Σχ.. Αµφιρθρωτή ράβδος µε έν τµήµ υπό θλίψη κι έν τµήµ υπό εφελκυσµό Η ισορροπί της ράβδου ΑΒ δίδετι πό τις πρκάτω διφορικές εξισώσεις: d w d w + k = 0 0 x l = ρ L () x x d x w d w k = 0 0 x l = ρ L (β) x όπου =, = κι k =P/EI Η γενική λύση των νωτέρω εξισώσεων δίδετι πό τις σχέσεις w (x ) = Α sn(k x ) + Β cos(k x ) + Γ x + () w (x ) = Α snh (k x ) + Β cosh (k x ) + Γ x + (β) γι = κι = Οι συνορικές συνθήκες κι οι συνθήκες συνέχεις στη ράβδο ΑΒ είνι οι κάτωθι: (0) = EIw (0) = w (0) = EIw (0) (3-δ) w

w( l ) = w ( l ) (3ε) w ( l ) = w ( l ) (3στ) V ( l ) + V ( l ) = 0 ή ΕΙ w ( l) P w ( l) ΕΙ w ( l ) + P w ( l ) = 0 (3ζ) M( l ) = M ( l ) ή ΕΙ w ( l) = ΕΙ w ( l ) (3η) d( ) όπου ( ) = dx Με τη βοήθει των συνορικών συνθηκών κι των συνθηκών συνέχεις της ράβδου ΑΒ κτλήγουµε στην εξίσωση λυγισµού η οποί υπό µορφή ορίζουσς είνι = 0, = () όπου + = sn( ρ kl) (β) = (γ) kl ( ρ ( + )) sn( ρ kl) + = cos( ρ kl) (δ) = (ε) tanh ( ρ kl) Από τη λύση της εξίσωσης () υπολογίστηκν τ κρίσιµ φορτί κι οι συντελεστές ισοδυνάµου µήκους λυγισµού. Τ ποτελέσµτ προυσιάζοντι στο πίνκ. 0.0 0.0 0.60 0.80.00 Κ=L'/L K=L'/L K=L'/L K=L'/L K=L'/L 0.00 5.879 0.3 70.9 0.375 86.573 0.338 0.907 0.3 6.30 0.9 0.00 8.66 0.59 3.5 0.538 0.539 0.93 7.9 0.57 5.39 0.6 0.300 3.33 0.653 7. 0.600 3.553 0.55 38.59 0.506 5.0 0.66 0.00.09 0.668 6.338 0.6 3.583 0.559 37.807 0.5.78 0.70 0.500.98 0.670 6.0 0.66 30.586 0.568 35.30 0.59 39.78 0.500 0.600 0.767 0.689 3.669 0.66 6.50 0.60 9.089 0.58 3.80 0.56 0.700 8.5 0.737 9.899 0.70.5 0.677 3.0 0.655.9 0.637 0.800 5.7 0.806 6.5 0.78 7.09 0.760 7.97 0.7 8.777 0.75 0.900.380 0.893.89 0.877 3.5 0.863 3.683 0.89.03 0.837.000 9.870.000 9.870.000 9.870.000 9.870.000 9.870.000 Πίν.. Κρίσιµ φορτί κι ισοδύνµ µήκη λυγισµού µφιρθρωτής ράβδου µε έν τµήµ υπό θλίψη κι έν τµήµ υπό εφελκυσµό γι διάφορες τιµές των κι ρ. Περίπτωση (β): (Τ άκρ της ράβδου υπό εφελκυσµό κι το κεντρικό τµήµ υπό θλίψη) Σχ.. Αµφιρθρωτή ράβδος µε εφελκυόµεν άκρ κι το κεντρικό τµήµ υπό θλίψη Η ισορροπί της ράβδου ΑΒ δίδετι πό τις εξισώσεις κι β όπου = κι =,3.

Η γενική λύση των νωτέρω εξισώσεων δίδετι ντιστοίχως πό τις σχέσεις κι β όπου = κι =,3. Οι συνορικές συνθήκες κι οι συνθήκες συνέχεις στη ράβδο ΑΒ είνι οι κάτωθι: w (0) = EI w (0) = w 3 (0) = EI w 3 (0) = 0 (5-δ) w ( l ) = w (0) (5ε) w ( l ) = w (0) (5στ) V ( l ) = V (0) ή ΕΙ w ( l) + P w ( l ) = ΕΙ w (0) P w (0) (5ζ) M ( l ) = M (0) ή ΕΙ w ( l) = ΕΙ w (0) (5η) w ( l ) = w 3 ( l 3 ) (5θ) w ( l ) = w 3 ( l 3 ) (5ι) V ( l ) + V3 ( l3) = 0 ή ΕΙ w ( l ) P w ( l ) ΕΙ w 3 ( l 3 ) + P w 3 ( l 3 ) = 0 (5κ) M( l ) = M ( l ) ή ΕΙ w ( l) = ΕΙ w ( l ) (5λ) Η εξίσωση λυγισµού της ράβδου ΑΒ υπό µορφή ορίζουσς δίδετι πό τη σχέση = 0, = (6) όπου = cosh( ρ KL) (6β) = + (6γ) = (6δ) 0 (8ε) 3 [ + ( cos( ρ kl) ] = snh( ρ kl) (6στ) = ρ kl ρ kl + ρ3 kl (6ζ) 3 = sn( ρ kl) (6η) = snh( ρ 3 kl) (6θ) 3 = snh( ρ kl) sn( ρ kl) (6ι) 3 = ( + ) (6κ) 33 = cos( ρ kl) (6λ) 3 = cosh( ρ 3 kl) (6µ) = snh( ρ kl) cos( ρ kl) (6ν) = 0 (6ξ) 3 = sn( ρ kl) (8ο) = snh( ρ 3 kl) (6π) Στο πίνκ προυσιάζοντι κρίσιµ φορτί κι συντελεστές ισοδυνάµου µήκους λυγισµού της δοκού ΑΒ της περίπτωσης (β) γι διάφορες τιµές των κι ρ. = 0.0 0.0 0.60 0.80.00 Κ=L'/L K=L'/L K=L'/L K=L'/L K=L'/L 0.000 9.870.000 9.870.000 9.870.000 9.870.000 9.870.000 0.050.73 0.880 3.337 0.860 3.966 0.8.69 0.8 5.37 0.80 0.00 7.063 0.76 8.897 0.73 0.89 0.687.988 0.655 5.0 0.67 0.50 3.93 0.6 8.39 0.59 3.3 0.55 36.33 0.5 39.7 0.98 0.00 35. 0.58 3.90 0.76 50.90 0.3 55.3 0. 59.305 0.08 0.50 55.79 0. 68.66 0.379 77.98 0.357 83.55 0.3 88.38 0.335 0.300 88.366 0.33 05.350 0.306 3.69 0.8 3.07 0.73 38.69 0.67 0.350 9.533 0.37 09.76 0.300 30. 0.75 5.076 0.53 8.67 0.33 0.00 3.065 0.95 36.607 0.69 6.55 0.7 89.65 0.8 7.568 0.3 0.50.55 0.6 80.58 0.88 36.90 0.69 07.66 0.56 65.39 0.6 Πίν.. Κρίσιµ φορτί κι ισοδύνµ µήκη λυγισµού µφιρθρωτής ράβδου µε εφελκυόµεν άκρ κι το µεσίο τµήµ υπό θλίψη γι διάφορες τιµές των κι ρ.

Περίπτωση (γ): (Τ άκρ της ράβδου υπό θλίψη κι το κεντρικό τµήµ υπό εφελκυσµό) Σχ. 3. Αµφιρθρωτή ράβδος µε θλιβόµεν άκρ κι κεντρικό εφελκυόµενο τµήµ Η ισορροπί της ράβδου ΑΒ δίδετι πό τις διφορικές εξισώσεις κι β των οποίων η γενική λύση δίδετι πό τις εξισώσεις κι β ντίστοιχ, όπου =,3 κι =. Οι συνορικές συνθήκες κι οι συνθήκες συνέχεις στη ράβδο ΑΒ δίδοντι πό τις εξ.(7)-(7λ). Η εξίσωση λυγισµού της ράβδου ΑΒ υπό µορφή ορίζουσς είνι: = 0, = (7) όπου = cos( ρ kl) (7β) = + (7γ) 3 = (7δ) 0 (7ε) = sn( ρ kl) + ( cosh( ρ kl) (7στ) = ρ kl ρ kl / + ρ3 kl (7ζ) 3 = snh( ρ kl) (7η) = sn( ρ 3 kl) (7θ) 3 = sn( ρ kl) snh( ρ kl) (7ι) 3 = + (7κ) 33 = cosh( ρ kl) (7λ) 3 = cos( ρ 3 kl) (7µ) = sn( ρ kl) cosh( ρ kl) (7ν) = 0 (7ξ) 3 = snh( ρ kl) (7ο) = sn( ρ 3 kl) (7π) Ο πίνκς 3 προυσιάζει κρίσιµ φορτί κι συντελεστές ισοδυνάµου µήκους λυγισµού. 0.0 0.0 0.60 0.80.00 Κ=L'/L K=L'/L K=L'/L K=L'/L K=L'/L 0.05 78.00 0.355 7.867 0.78 73.795 0.38 3.006 0.5 6.70 0.00 0.00 9. 0.58 36.8 0.58 5.5 0.66 5.008 0.7 6.975 0.399 0.50 8.7 0.76.079 0.68 3.65 0.66 6.3 0.6 9.0 0.583 0.00.59 0.86 5.7 0.800 6.36 0.775 7.7 0.75 8.56 0.730 0.50.7 0.897.7 0.88 3.6 0.866 3.6 0.85.06 0.838 0.300.05 0.95.5 0.937.50 0.98.69 0.90.88 0.93 0.350 0.366 0.976 0.7 0.97 0.58 0.968 0.608 0.965 0.687 0.96 0.00 0.00 0.99 0.0 0.99 0.068 0.990 0.09 0.989 0.6 0.988 0.50 9.889 0.999 9.89 0.999 9.895 0.999 9.898 0.999 9.90 0.998 0.500 9.870.000 9.870.000 9.870.000 9.870.000 9.870.000 Πίν.3. Κρίσιµ φορτί κι ισοδύνµ µήκη λυγισµού µφιρθρωτής ράβδου µε θλιβόµεν άκρ κι το µεσίο τµήµ υπό εφελκυσµό γι διάφορες τιµές των κι ρ =

Περίπτωση (δ): (Θλιβόµενη ράβδος υπό τµηµτικά µετβλλόµενου ξονικού φορτίου) Σχ..Αµφιρθρωτή θλιβόµενη ράβδος υπό τµηµτικά µετβλλόµενου ξονικού φορτίου Η ισορροπί της ράβδου ΑΒ δίδετι πό τη διφορική εξίσωση: d w d w + k = 0 0 x l = ρ L x x (8) d d w x w 3 x 3 d w + ( ) k = 0 0 x l = ρ L (8β) x d w 3 + ( ) k = 0 0 x 3 l 3 = ρ3 L (8γ) x 3 η λύση των νωτέρω διφορικών εξισώσεων είνι: w (x ) = Α sn(k x ) + Β cos(k x ) + Γ + (9) w x (x ) Α sn (k x ) + Β cos (k x ) + Γ x = + (9β) w 3 (x 3 ) = Α 3 sn (k x 3 ) + Β3 cos (k x 3 ) + Γ3 x 3 + 3 (9γ) Οι συνορικές συνθήκες κι οι συνθήκες συνέχεις στη ράβδο ΑΒ δίδοντι πό τις εξ.(7)-(7λ). Από τις εξ.(3) κι (7) κτλήγουµε στην εξίσωση λυγισµού η οποί δίδετι υπό µορφή ορίζουσς: = 0, = (0) όπου = cos( ρ kl) (0β) = (0γ) 3 = (0δ) = 0 (0ε) sn( ρ kl) = (cos( ρ kl) ) (0στ) = ρ kl ρ kl + ρ3 kl (0ζ) 3 = sn( ρ kl) (0η) = sn( ρ 3 kl) (0θ) sn( ρ kl) 3 = sn( ρ kl) (0ι) 3 = + (0κ) 33 = cos( ρ kl) (0λ)

3 = cos( ρ3 kl) (0µ) = sn( ρ kl) cos( ρ kl) (0ν) = 0 (0ξ) 3 = ( ) sn( ρ kl) (0ο) = ( ) sn( ρ3 kl) (0π) Στον πίνκ προυσιάζοντι κρίσιµ φορτί κι συντελεστές ισοδυνάµου µήκους λυγισµού της δοκού ΑΒ της περίπτωσης (δ). 0.00 0.0 0.0 0.30 0.0 0.50 Κ=L'/L Κ=L'/L K=L'/L K=L'/L K=L'/L K=L'/L 0.00 9.870.000 0.966 0.99.337 0.89.099 0.837 6.9 0.775 9.739 0.707 0.050 9.870.000 0.96 0.99.3 0.895.057 0.838 6.330 0.777 9.3 0.73 0.00 9.870.000 0.959 0.99.97 0.896 3.966 0.8 6.083 0.783 8.805 0.7 0.50 9.870.000 0.95 0.99.69 0.897 3.876 0.83 5.88 0.789 8.57 0.735 0.00 9.870.000 0.95 0.99.5 0.898 3.88 0.85 5.700 0.793 7.99 0.7 0.50 9.870.000 0.950 0.99.5 0.898 3.80 0.86 5.658 0.79 7.839 0.7 0.300 9.870.000 0.95 0.99.5 0.898 3.80 0.85 5.705 0.793 7.9 0.7 0.350 9.870.000 0.953 0.99.6 0.897 3.860 0.8 5.806 0.790 8.63 0.737 0.00 9.870.000 0.956 0.99.77 0.897 3.903 0.83 5.97 0.787 8. 0.73 0.50 9.870.000 0.957 0.99.87 0.896 3.935 0.8 5.999 0.785 8.598 0.78 0.500 9.870.000 0.958 0.99.9 0.896 3.96 0.8 6.08 0.785 8.666 0.77 Πίν.. Κρίσιµ φορτί κι ισοδύνµ µήκη λυγισµού µφιρθρωτής ράβδου υπό τµηµτικά µετβλλόµενου ξονικού θλιπτικού φορτίου γι διάφορες τιµές των κι ρ.συμπερασματα Στην εργσί υτή προσδιορίζοντι οι συντελεστές ισοδύνµου µήκους λυγισµού κι µέσω υτών της ντοχής, ράβδων που κτπονούντι πό ξονικές δυνάµεις σε µέρος του µήκους τους θλιπτικές κι στο υπόλοιπο εφελκυστικές. Έχουν εξετστεί περιπτώσεις που είνι συνήθεις στη πράξη γι διάφορες ριθµητικές τιµές των εισγοµένων πρµέτρων κι έχουν συντχθεί σχετικοί πίνκες. ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ [] Tmoshenko S. P. and Gere J. M. Theory of Elastc Stablty, McGraw-Hll, New York,96 [] Wang C. M.,Wang C. Y., Reddy J. N. Exact solutons for Bucklng of Structural Members, CRC Press LCC,USA,005 [3] Αβράµ Π. Τ., Ιωννίδης Ι. Γ., Θλιβόµεν Στοιχεί µε Στθερή ιτοµή υπό Μετβλλόµενη Θλίψη, 5 o Εθνικό Συνέδριο Μετλλικών Κτσκευών,005,σελ.9-55

BUCKLING OF BARS WHICH SPLIT IN COMPRESSIVE AND TENSILE PARTS Tasos Avraam Lecturer Metal Structures Laboratory Natonal Techncal Unversty of Athens Athens,Greece e-mal: avraamt@central.ntua.gr George Ioanndes Professor Metal Structures Laboratory Natonal Unversty of Athens Athens, Greece e-mal: goand@central.ntua.gr SUMMARY The bucklng of members whch smultaneously have parts under compresson and parts under tenson s a problem that may be met n desgnng steel structures such as ndustral or commercal buldngs wth trusses as horzontal structural elements. Such cases are not ncluded n codes or regulatons whch usually treat wth members under unform compresson. In the present study we are lookng for crtcal loads as well as for equvalent bucklng lengths of a bar whch splts n compressve and tensle parts. The use of dfferental equatons of equlbrum and the related boundary and contnuty condtons of the bar lead to the correspondng bucklng equaton. Crtcal bucklng loads and equvalent bucklng lengths can be estmated for several parameters such as the rato of the compressve or the tensle length to the whole length of the bar as well as the rato of the tenson to the compresson axal forces whch are developed smultaneously n dfferent parts of the bar. The results of bucklng loads and equvalent bucklng lengths are presented va relatve tables.