Στοχαστικές Ανελίξεις (1) Αγγελική Αλεξίου

Στοχαστικές Ανελίξεις (1) Αγγελική Αλεξίου alexiou@unipi.gr 1

Ενότητες Μαθήματος Ενότητα 1 Εισαγωγή Ορισμός Στοχαστικών ανελίξεων Στατιστική Στοχαστικών Διαδικασιών Στασιμότητα Εργοδικότητα Ενότητα 2 Διαδικασίες Markov Διαδικασίες Poisson Ενότητα 3 Μετάδοση στοχαστικής ανέλιξης μέσω γραμμικού φίλτρου Πυκνότητα φάσματος ισχύος Στοχαστική Ανέλιξη Gauss Θόρυβος Στοχαστικές Ανελίξεις Α. Αλεξίου 2

Οργάνωση Μαθήματος Συγγράμματα Χρυσαφίνου Ο. (2004): Εισαγωγή στις Στοχαστικές Ανελίξεις, Εκδόσεις Σοφία. Δάρας Τ., Σύψας Π.(2003) : Στοχαστικές Ανελίξεις, Εκδόσεις Ζήτη Σημειώσεις Βιβλιογραφία Παπούλης Α. (2007): Πιθανότητες, Τυχαίες Μεταβλητές & Στοχαστικές Διαδικασίες, Εκδόσεις Τζιόλα. Haykin S. (2003) Συστήματα Επικοινωνιών, Εκδόσεις Παπασωτηρίου. Στοχαστικές Ανελίξεις Α. Αλεξίου 3

Εισαγωγή Σήματα και Συστήματα 4

Στοχαστικά σήματα στις τηλεπικοινωνίες Για την περιγραφή των φυσικών φαινόμενων χρησιμοποιούμε συνήθως μαθηματικά μοντέλα. Τα μοντέλα διαχωρίζονται σε: Ντετερμινιστικά (deterministic) αν ξέρουμε πλήρως την χρονική τους εξέλιξη Στοχαστικά (stochastic or random) αν η χρονική εξέλιξη τους είναι άγνωστη Στοχαστικές Ανελίξεις Α. Αλεξίου 5

Στοχαστικά σήματα στις τηλεπικοινωνίες (2) Στα Τηλεπικοινωνιακά συστήματα το λαμβανόμενο σήμα αποτελείται από τρία σήματα που θεωρούνται τυχαία (στοχαστικά) Το σήμα που μεταφέρει την πληροφορία (π.χ. Φωνή, video, data ) Ένα σήμα παρεμβολής που οφείλεται: Στην επίδραση από άλλα γειτονικά συστήματα Στον ατμοσφαιρικό ή κοσμικό θόρυβο (κυρίως στις ασύρματες επικοινωνίες) Το σήμα Θερμικού Θορύβου που οφείλεται στην τυχαία κίνηση των ηλεκτρονίων στους αγωγούς και τα εξαρτήματα στην είσοδο του δέκτη. Μολονότι δεν μπορούμε να προβλέψουμε την χρονική εξέλιξη τους μπορούμε να τα περιγράψουμε εν μέρει με τις στατιστικές τους ιδιότητες όπως τη μέση τιμή και την πυκνότητα φασματικής ισχύος. Στοχαστικές Ανελίξεις Α. Αλεξίου 6

Σήματα Στοχαστικές Ανελίξεις Α. Αλεξίου 7

Κατηγοριοποίηση σημάτων Στοχαστικές Ανελίξεις Α. Αλεξίου 8

Κατηγοριοποίηση σημάτων (2) Στοχαστικές Ανελίξεις Α. Αλεξίου 9

Παράδειγμα αναλογικού σήματος: αρμονική ταλάντωση φάση Γωνιακή ταχύτητα περίοδος Στοχαστικές Ανελίξεις Α. Αλεξίου 13

Παραδείγματα διακριτών σημάτων (Κρουστικό σήμα) Στοχαστικές Ανελίξεις Α. Αλεξίου 14

Παραδείγματα διακριτών σημάτων (2) Στοχαστικές Ανελίξεις Α. Αλεξίου 15

Παραδείγματα διακριτών σημάτων (3) Στοχαστικές Ανελίξεις Α. Αλεξίου 16

Παραδείγματα διακριτών σημάτων (4) x R (n)=re{a n } x R (n)=re{a n } x R (n)=re{a n } Στοχαστικές Ανελίξεις Α. Αλεξίου 17

Σχέση μεταξύ κρουστικού σήματος και βηματικής ακολουθίας Στοχαστικές Ανελίξεις Α. Αλεξίου 18

Διακριτό σήμα ως συνάρτηση του κρουστικού σήματος Στοχαστικές Ανελίξεις Α. Αλεξίου 19

Διακριτό σήμα ως συνάρτηση του κρουστικού σήματος παράδειγμα Στοχαστικές Ανελίξεις Α. Αλεξίου 20

Σύστημα Σύστημα είναι κάθε διάταξη που δέχεται ως είσοδο ένα ή περισσότερα σήματα και παράγει ως έξοδο ένα ή περισσότερα σήματα Σύστημα διακριτού χρόνου ονομάζεται το σύστημα του οποίου τα σήματα εισόδου και εξόδου είναι διακριτού χρόνου Στοχαστικές Ανελίξεις Α. Αλεξίου 21

Γραμμικό χρονικά αμετάβλητο σύστημα Στοχαστικές Ανελίξεις Α. Αλεξίου 22

Γραμμικό χρονικά αμετάβλητο σύστημα (2) Στοχαστικές Ανελίξεις Α. Αλεξίου 23

Ολίσθηση ή μετατόπιση στο χρόνο Στοχαστικές Ανελίξεις Α. Αλεξίου 24

Ολίσθηση κρουστικής ακολουθίας Στοχαστικές Ανελίξεις Α. Αλεξίου 25

Ολίσθηση βηματικής ακολουθίας Στοχαστικές Ανελίξεις Α. Αλεξίου 26

Αιτιατό σύστημα Στοχαστικές Ανελίξεις Α. Αλεξίου 27

Παράδειγμα y(n)=x(n)+2y(n-1) Γραμμικό Αιτιατό Χρονικά αμετάβλητο Ευσταθές: Εφαρμόζω ως είσοδο τον κρουστικό σήμα θεωρώντας ότι y(-1)=0 δηλαδή το σύστημα αρχικά ήταν σε ισορροπία Στοχαστικές Ανελίξεις Α. Αλεξίου 28

Συστήματα συνεχούς χρόνου Στην περίπτωση συστημάτων συνεχούς χρόνου οι ορισμοί της γραμμικότητας και αιτιατότητας είναι πανομοιότυποι (με αυτούς των συστημάτων διακριτού χρόνου) με τη διαφορά ότι τα σήματα εισόδου και εξόδου είναι συνεχούς χρόνου. Στοχαστικές Ανελίξεις Α. Αλεξίου 29

Κρουστική απόκριση και συνέλιξη (διακριτός χρόνος) Το σήμα εξόδου ενός LTI συστήματος με είσοδο τη μοναδιαία κρουστική ακολουθία δ(n), ονομάζεται κρουστική απόκριση h(n) του συστήματος. Αν γνωρίζουμε την κρουστική απόκριση h(n) ενός γραμμικού χρονικά αμετάβλητου συστήματος (LTI), τότε μπορούμε να βρούμε την απόκρισή του σε οποιαδήποτε είσοδο x(n). Συνέλιξη y(n)=x(n)*h(n)= m x(m)h(n-m) Με τη βοήθεια της συνέλιξης μπορούμε να γνωρίζουμε την έξοδο ενός συστήματος σε οποιαδήποτε είσοδο, αν γνωρίζουμε την κρουστική απόκριση του συστήματος. Στοχαστικές Ανελίξεις Α. Αλεξίου 30

Κρουστική απόκριση και συνέλιξη (συνεχής χρόνος) Το σήμα εξόδου ενός LTI συστήματος με είσοδο τη μοναδιαία κρουστική συνάρτηση δ(t), ονομάζεται κρουστική απόκριση h(t) του συστήματος. Αν γνωρίζουμε την κρουστική απόκριση h(t) ενός γραμμικού χρονικά αμετάβλητου συστήματος (LTI), τότε μπορούμε να βρούμε την απόκρισή του σε οποιαδήποτε είσοδο x(t). Συνέλιξη Με τη βοήθεια της συνέλιξης μπορούμε να γνωρίζουμε την έξοδο ενός συστήματος σε οποιαδήποτε είσοδο, αν γνωρίζουμε την κρουστική απόκριση του συστήματος. Στοχαστικές Ανελίξεις Α. Αλεξίου 31

Συνέλιξη - Παράδειγμα Στοχαστικές Ανελίξεις Α. Αλεξίου 32

Συνέλιξη - Ιδιότητες Αντιμεταθετική Στοχαστικές Ανελίξεις Α. Αλεξίου 33

Συνέλιξη Ιδιότητες (2) Προσεταιριστική Στοχαστικές Ανελίξεις Α. Αλεξίου 34

Συνέλιξη Ιδιότητες (3) Επιμεριστική Στοχαστικές Ανελίξεις Α. Αλεξίου 35

Συνέλιξη Ιδιότητες (4) Στοχαστικές Ανελίξεις Α. Αλεξίου 36

Συσχέτιση φυσική σημασία Στοχαστικές Ανελίξεις Α. Αλεξίου 37

Συσχέτιση ορισμός Στοχαστικές Ανελίξεις Α. Αλεξίου 38

Συσχέτιση παράδειγμα Στοχαστικές Ανελίξεις Α. Αλεξίου 39

Συσχέτιση και συνέλιξη Στοχαστικές Ανελίξεις Α. Αλεξίου 40

Συσχέτιση και συνέλιξη (2) Στοχαστικές Ανελίξεις Α. Αλεξίου 41

Επεξεργασία σήματος Στοχαστικές Ανελίξεις Α. Αλεξίου 42

Εισαγωγή Πιθανότητες και Τυχαίες Μεταβλητές 43

Πιθανότητες και Τυχαίες Μεταβλητές Στοχαστικές Ανελίξεις Α. Αλεξίου 44

Πιθανότητες και Τυχαίες Μεταβλητές (2) Στοχαστικές Ανελίξεις Α. Αλεξίου 45

Συνεχείς κατανομές Μια συνάρτηση f πραγματικών τιμών στο δειγματικό χώρο S είναι συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της τ.μ. Χ αν ικανοποιεί τις ακόλουθες ιδιότητες x Ιδιότητες Στοχαστικές Ανελίξεις Α. Αλεξίου 46

Συνεχείς κατανομές (2) Συνάρτηση κατανομής της τ.μ. Χ Παραγωγίζοντας τα δύο μέλη της σχέσης βρίσκουμε τη συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας Στοχαστικές Ανελίξεις Α. Αλεξίου 47

Διακριτές κατανομές συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της διακριτής τ.μ. Χ με ιδιότητες συνάρτηση κατανομής της διακριτής τ.μ. Χ Στοχαστικές Ανελίξεις Α. Αλεξίου 48

Διακριτές κατανομές (2) Μέση τιμή της διακριτής τ.μ. Χ m Διακύμανση της διακριτής τ.μ. Χ Στοχαστικές Ανελίξεις Α. Αλεξίου 49