S D. y[n] x [n] y. s D2. Microphone feedback into amplifier

Transcript

1 Πανεπιστημιο Κυπρου Τμημα Ηλεκτρολογων Μηχανικων και Μηχανικων Υπολογιστων ΗΜΥ : Σηματα και Συστηματα για Μηχανικους Υπολογιστων Κεφάλαιο 3: Συστήματα διακριτού χρόνου!"#!"#! "#$% Σημειώσεις διαλέξεων στο: Οι σημειώσεις γράφτηκαν από τον καθηγητή Χαράλαμπο Δ. Χαραλαμπους (009). Τροποποιήθηκαν από τον

2 Ορισμός Σύστημα Μέσο επεξεργασίας το οποίο μετασχηματίζει τα σήματα εισόδου σε σήματα εξόδου Μια αντιστοιχία εισόδού-εξόδου: S }} D : [ }} [ }} σύστημα σήμα εισόδου σήμα εξόδου [ [ S [ D Τρόποι διασύνδεσης. Σειριακός (Διαδοχικός) [ s D s D S SD ( SD ) D D D S S Radio Receiver Amplifier. Παράλληλος s D s D + + S S D D Microphone feedback into amplifier επισκέπτη λέκτορα Θεμιστοκλή Χαραλάμπους (00)

3 .3 Ανάδραση.3 Ανάδραση Controller Sstem ( ) + e s D s D - e[ [ [ [ S D S e[ D (b) + - e s D e[ [ S [ S D e[ D [ s D.4 Συνδιασμένοι s D s D s D3 s D s D5 s D6

4 ΗΜΥ Βασικές ιδιότητες των συστημάτων 3. Συστήματα χωρίς μνήμη (Στατικά) [ (η τιμή του στο χρονικό σημείο n) εξαρτάται μόνο από το [ (τιμή του στο χρονικό σημείο n) [ F ([), [ R n, [ R n, F : R n R n e.g. [ I [[ [ ([ + 5 [) [ [n ] 3. Συστήματα με μνήμη (Δυναμικά) [ εξαρτάται από μερικά [k], n π.χ. [ [n ], [ [k] [n ] + [

5 3.3 Αναστρέψιμα Συστήματα Αναστρέψιμα Συστήματα SD is invertible [.]as a function uniquel determines [.]; e.g., when } } where SD, SD is a -map, Distinct input to Dinstict output is invertible, there eists such I π.χ.,. [ 5[ [ 5 [ 5 [ u[ n. k [. [ n u[k] [n ] + u[ Dela one unit + - [-[n-]u[ [n-] S D ις z[ [ [n ]

6 3.4 Αιτιατά Συστήματα Αιτιατά Συστήματα [ (η τιμή του στην χρονική στιγμή n) εξαρτάται μόνο από τις προηγούμενες και τρέχουσες τιμές του [k], k n (αλλά όχι από τις μελλοντικές τιμές) π.χ. [ [ [n + ] : δεν είναι αιτιατό [ [ : δεν είναι αιτιατό [ [n + ] : δεν είναι αιτιατό Εφαρμογές: Υποθέστε οτι ενδιαφερόμαστε να ορίσουμε μια αργά μεταβαλλόμενη τάση στις πληροφορίες οι οποία να περίχει επίσης υψηλής συχνότητας μεταβολές στην τάση (π.χ. χρηματιστηριακά) [ M + M k M [n k] : δεν ειναι αιτιατό Εξάγω τον μέσο όρο σε ένα διάστημα Μ για ομαλοποίηση των διακυμάνσεων και εξαγωγή μόνο της τάσης. 3.5 Ευσταθή Συστήματα Φραγμένης Εισόδου Φραγμένης Εξόδου (ΦΕ- ΦΕ) Ορισμός: Ενα σύστημα είναι ΦΕΦΕ ευσταθές τότε k < υπάρχει k < έτσι ώστε k. Παράδειγμα 3... : [ e [ : [ k, n I e k [ e k είναι Φ.Ε.Φ.Ε ευσταθές. : [ n u[k] [0], [], [] 3,... [ (n + )u[ 3.6 Χρονικά Αναλλοίωτα Συστήματα Συστήματα στα οποία if) [ [ ) then S [ n n D 0], [ n n0] n 0 0 η χρονική μετατόπιση στην είσοδο προκαλεί την ίδια χρονική μετατόπιση στην έξοδο. Παράδειγμα 3... : [ n[: [ n n ] 0 n [ n n ] 0 [ n n0 ] ( n n0) [ n n0] }is not time-invariant. : [ [ : [ n n ] 0 n n ] [ 0 [ n no ] [( n no )] }is timevaring

7 3.7 Γραμμικά Συστήματα (Ισχύει η επαλληλία) Γραμμικά Συστήματα (Ισχύει η επαλληλία) Συστήματα που ικανοποιούν: (i) + S D + additive } + ( + )} α (ii) S D α α scaling SD α C } α S(α)} Σημείωση: (i) και (ii) είναι αντίστοιχα στον μοναδικό όρο (Λ) : [Επαλληλία] α b S D + α + b, α C, b C } }} α + b α + b S(α + b }} ) (Λ): Το θεώρημα της επαλληλίας: Η απόκριση ενος γραμμικού συνδυασμού εισόδων είναι ο γραμμικός συνδυασμός των αντίστοιχων εξόδων Σημαντικές Επιπτώσεις: Για όλα τα γραμμικά συστήματα : Απόκριση μηδενικής εισόδου για όλους τους χρόνους. Ακολουθεί από (ii): παίρνοντας το α0 και οποιοδήποτε τότε (α) S(0) α 0 0. π.χ. [ [ + 3. Αν 0 [ 3 (Μη γραμμικό σύστημα) [ Linear Sstem [ output of a linear sstem + 0 [ ( 3) [ [zero-input resp.] [ ( [+3)

8 ΗΜΥ 30 7 Παράδειγμα [ ([) Let [ [ 3[ [ + [. [ + n[n ] [ Let [ [ ( [ ) [ ( [ ) [ [ [ 3 : ( 3[ ) ( [ + [ ) ( [ ) + ( [ ) [ + [ + [ [ [ + n[ n ] [ ( ) [ : [ + n[ n ] [ ( ) Additivit fails 3[ α [ + α [ [ n 3 ] α ( ) + α ( ) α [ + α n [n ] + α [ + α n [n ] α [ + α [ (α [ + α [) + n(α [n ] + α [n ]) α [ + α [ [ + n[n ] [ είναι γραμμικό σύστημα Σημείωση: ψ[ν]+νψ[ν-]+3ξ[ν] δεν είναι γραμμικό σύστημα 4 Γραμμικά Χρονικά Αναλλοίωτα (ΓΧΑ) Συστήματα if [ [ then [ n ] 0 n [ n ] 0 n 4. Αντιπροσώπευση σημάτων με κρουστικές αποκρίσεις δ[ μπορεί να χρησιμοποιηθεί στην αντιπροσώπευση οποιουδήποτε [: [ + [ ]δ[n + ] + [ ]δ[n + ] + [0]δ[ + []δ[n ] + []δ[n ] + [k]δ[n k] 4.. Γραμμικός συνδυασμός μεταθετημένων μοναδιαίων κρουστικών δ[ν-κ] [k]δ[n k] [k], n k 0, n k

9 4. Γενική αντιπροσώπευση ενός ΓΧΑ Συστήματος - Συνέλιξη 8 δ[ [ [] n n... [ k] δ[ n k], k [] n π.χ. [ u[ [ u[k]δ[n k] δ[n k] k0 mn δ[m], m n k 4. Γενική αντιπροσώπευση ενός ΓΧΑ Συστήματος - Συνέλιξη Αν F ( ) είναι ο μετασχηματισμός που περιγράφει τη σχέση εισόδου-εξόδου, τότε [ F ([) Από τον ορισμό της κρουστικής ακολουθίας έχουμε την προφανή σχέση [ [k]δ[n k] Επομένως, [ F ( Λόγω της γραμμικότητας του συστήματος [ [k]f (δ[n k]) [k]δ[n k] ) [k]h[n k] όπου h[n k] είναι η κρουστική απόκρουση του συστήματος τη στιγμή k, όταν η κρουστική ακολουθία εφαρμόζεται στην είσοδο τη χρονική στιγμή n (είσοδος δ[n k]). Επομένως για τα ΓΧΑ συστήματα έχουμε [ [k]h[n k] (4.) Σημαντικά Συμπεράσματα: Γραμμικά ΧΑ συστήματα ορίζονται πλήρως από την κρουστική τους απόκριση h[ ] στο δ[ ]. Αν γνωρίζουμε το h[ ] μπορούμε να υπολογίσουμε την απόκριση σε οποιοδήποτε [ ]. ΜΗ ΑΛΗΘΕΣ ΓΙΑ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

10 4.3 Συνελικτικό Άρθροισμα Συνελικτικό Άρθροισμα ( )[ [k][n k] (4.) Επαρκείς συνθήκη για την ύπαρξη του (οποιοδήποτε από τα ακάλουθα): Υπάρχει n o έτσι ώστε 0 έξω [ n o, n o ] ή αλλιώς 0 έξω [ n o, n o ] [k] [k] OR n 0 n 0 k n 0 n 0 k Υπάρχει n o έτσι ώστε 0 και 0 έξω (, n o ] [k] [k] n 0 k n 0 k Υπάρχει n o έτσι ώστε 0 και 0 έξω [n o, ) Παράδειγμα 4.. (Υπολογισμός του ). [ δ[, [ u[ ( )[ δ[k]u[n k] u[k]δ[n k] δ[n k] 0, k n, k n ( )[ u[δ[n k] u[, n I. (δ δ)[ δ[ 4.4 Ιδιότητες της συνέλιξης (α) ( )[ ( )[,, [Αντιμεταθετική] ( )[ [k][n k] ḱ [n ḱ][ḱ], [k][n k] ( )[ ḱ n k

11 4.4 Ιδιότητες της συνέλιξης 0 (β) ( ) z ( z),,, z [Επιμεριστική] [( ) z] [k][ḱ k]z[n ḱ] ḱ [k] ḱ [ḱ k]z[n ḱ] ń ḱ k [k] [ń]z[n ń k] ń [k]( z)[n k] [ ( z)][ (ς) ( + z) + z,,, z [Προσεταιριστική] [ ( + z)][ [k][[n k] + z[n k]] [k][n k] + ( )[ + ( z)[ [k]z[n k] (δ) α( ) (α) (α),,, α C [Αντιμεταθετισμός μεταξύ του βαθμωτού πολλαπλασιασμού και της συνέλιξης] α( )[ α[k][n k] [k](α[n k]) [ (α)][ k (ε) ( )(. η) (. η) (. η),,, η R ( )[n η] [k][n η k] ξ [ξ η][n ξ] [(. η) ][ (. η) ξ k + η (φ). Προσεταιριστική If h impulse resp. of ss. h impulse resp. of ss. then h h impulse resp. of a cascade h h h S h D

12 4.4 Ιδιότητες της συνέλιξης. Επιμεριστική If h impulse resp. of ss. h impulse resp. of ss. h + h impulse resp. of + h + S + S D D h + h h Παράδειγμα 4.. Αν υποθέσουμε οτι η κρουστική απόκριση ενος ΓΧΑ συστήματος είναι h[ u[ και η είσοδος [ α n u[, 0 < α < υπολογίστε [ h[ k [ [ h[ n k] Solution: [k] h[k] h[-k] k k h[n-k], n<0 k n 0 k Περίπτωση (i): n < 0 [ 0 Περίπτωση (ii): n 0 [ n k0 αk αn+ α [ αn+ α u[

13 4.5 Η Βηματική απόκριση της συνέξισης 4.5 Η Βηματική απόκριση της συνέξισης Βηματική απόκριση δ[.] h[.] LTI S[ h[n k]u[k] h[n k], k0 n ḱ h[ḱ], n I ḱ n k Κρουστική απόκριση η[ν]σ[ν]-σ[ν-], n I 4.6 Αντιστρεψιμότητα ΓΧΑ Συστημάτων δ[.] LTI h[.] Το σύστημα με κρουστικη αποκριση h I [ είναι το αντίστροφο του συστήματος με απόκριση h[ αν (h[ h I [ δ[) [ h[ [ h I [ if [ δ[ [ An h[ u[ h[ h I [ u[ (δ[ δ[n ]) u[ u[n ] δ[ 4.7 Αιτιατότητα των Συνελικτικών Συστημάτων Θεώρημα 4.3. Οποιοδήποτε Αιτιατό Συνελικτικό Σύστημα έχει την αντιπροσώπευση Απόδειξη. [ n h[n k][k] k n k h[k][n k], n I (4.3) k0 Από τον ορισμό της αιτιατότητας } } [ δεν εξαρτάται από u[k] για k > n

14 4.8 Φ.Ε.Φ.Ε Ευστάθεια Συνελικτικών Συστημάτων 3 e.g. [ h [ u[ [ [ k] n k h I [ δ[ δ[ n ] [ Από [ h[n k][k] h[n k] 0, n k < 0 h[ 0, n < 0 Παράδειγμα Αθροιστής h[ u[, h I [ δ[ δ[n ] είναι αιτιατά. h[ u[n + ] δεν είναι αιτιατό [n k]h[k] 4.8 Φ.Ε.Φ.Ε Ευστάθεια Συνελικτικών Συστημάτων δ[.] h[.] LTI Θεώρημα 4.5. Το συνελικτικό σύστημα είναι Φ.Ε.Φ.Ε ευσταθές αν και μόνο αν (ικανή και αναγκαία συνθήκη) h[k] < (4.4) η κρουστική απόκριση είναι απολύτως αθροιζόμενη ( h < ) (4.5) Απόδειξη. ( ) Ικανή: Ας υποθέσουμε οτι το (4.4) ευσταθεί. Ας εξετάσουμε οτι μια Φραγμένη Είσοδος καταλήγει σε μαι Φραγμένη έξοδο (π.χ. αν sup n I [ k, k sup n I [k] k ). [ h[k][n k] Εξεταζοντας το [.] έτσι ώστε supn I [ k [ h[k][n k] k h[k] [n k] h[k] n, sup k I [n k] sup [ḱ] k ḱ sup n I [ k Φ.Ε.Φ.Ε. ευστάθεια } } k h[k] <

15 4.9 Γενικές Εξισώσεις Διαφορών με σταθερούς συντελεστες 4 () Αναγκαία: Θα αποδείξουμε οτι το Φ.Ε.Φ.Ε. συνεπάγει την (4.4) ισότιμο με την απόδειξη οτι αν το (4.4) είναι λανθασμένο τοτε το σύστημα δεν είναι Φ.Ε.Φ.Ε. (π.χ. υπάρχουν φραγμένες εισόδοι που δίνουν μη φραγμένες εξόδους) Υποθέτοντας Διαλέγουμε μια είσοδο [ h[k] 0, an h[ 0, an h[ 0 h[ h[ T ote [, n I και άρα είναι φραγμένο. Εξετάζοντας [0] [ k]h[k] h [k] h[k] h[k] Επομένως, η έξοδος είναι μη φραγμένη. Αρα το σύστημα είναι μη ευσταθές και η απόλυτη αθροιστηκότητα είναι αναγκαία. 4.9 Γενικές Εξισώσεις Διαφορών με σταθερούς συντελεστες Σχέση εισόδου-εξόδου: η N M a k [n k] b k [n k] (4.6) k0 k0 a N [n N] + a N [n N + ] a 0 [ b M [n M] + b M [n M + ] b 0 [, n I (4.7) με τις δευτερεύουσες καταστάσεις να δίδονται από n o I [n 0 N] 0 [n 0 N + ] 0. [n 0 ] 0 (4.8) Σημείωση: Εξίσωσεις διαφορών με μη μηδενικές δευτερεύουσες καταστάσεις είναι μη γραμμικά συστήματα, π.χ.,(4.8) με [n 0 N] [n 0 N + ]. [n 0 ] 0 0 στη θέση του (4.8) (4.9) είναι μη γραμμικό επειδή αν [.] και [.] ικανοποιούν (4.7), (4.8) τότε [.] + [.] ικανοποιεί

16 4.9 Γενικές Εξισώσεις Διαφορών με σταθερούς συντελεστες 5 [n 0 N] + [n 0 N]. [n 0 ] + [n 0 ] 0 0 εκτός 0 0 Ωστόσο αν [.] λύνει (4.6) με μη μηδενικές δευτερεύουσες καταστάσεις (4.9) όπου [.] H [.] + U [.], 0 0 (4.0) H [.] λύση στην ομοιογενή εξίσωση διαφοράς N a k H [n k] 0, 0 0 (4.) k0 με μη μηδενικές δευτερύουσες καταστάσεις (4.9) και Αντιστοίχως η [.] μπορέι να βρεθεί ως U [.] λύση του γραμμικού συστήματος (4.6), (4.8) (4.) οπου [.] G [.] + p [.] (4.3). G [.] είναι η γενική λύση στην ομοιογενή συνάρτηση (4.) με βάση τους όρους μιας άγνωστης βοηθητικής κατάστασης C.. P [.] είναι οποιδήποτε συγκεκριμένη λύση στην ελεγχόμενη εξίσωση (4.6). 3. C υπολογίζεται μετά την έυρεση μιας συγκεκριμένης λύσεις ετσι ώστε [n 0 N] P [n 0 N]. [n 0 ] C +. P [n 0 ] 0 (4.4) 0 οπου είναι η αρχική βοηθητική κατάσταση.

17 4.9 Γενικές Εξισώσεις Διαφορών με σταθερούς συντελεστες 6 Λύση της (4.6): N M a k [n k] b k [n k] k0 k0 Γενική Λύση της Ομοιογενεις εξίσωσης (4.6) [ελέυθερη ή Φυσική Απόκριση] Η ομοιογενής εξίσωση που αντιστοιχεί στην (4.6) είναι Θεωρούμε λύσεις της μορφής N a k h [n k] 0 (4.5) k0 G [ Ar n, A C (4.6) όπου το r e m είναι μια σταθερά προς προσδιορισμό. Αντικαθιστώντας την (4.6) στην (4.5) N a k Ar n k 0 Ar n N k0 k0 a k r k a 0 + a r + a r a N r N+ + a N r N 0 Χαρακτηριστικό Πολυώνυμο: [ Οι ρίζες είναι οι φυσικές λειτουργίες του συστήματος] a 0 r N + a r N a N r + a N 0 (4.7) Κάθε πραγματική ρίζα r k πολλαπλότητας m k παράγει θεμελιώδεις λύσεις i,k h,r [ ni r n k, i 0,,..., m k Κάθε ζεύγος μιγαδικών συζυγών ριζών r k, r k, r k σ k +jω k πολλαπλότητας m k παράγει θεμελιώδεις λύσεις i,k h,c [ ni r n k, i,k h,c [ n i r n k, i 0,,..., m k Η Γενική Ομοιογενής εξίσωση διαφορας, G [.], είναι ένας γραμμικός συνδυασμος όλων των θεμελιωδών λύσεων K G [ k m k i0 K C i,k i,k h,r [ + k m k i0 ( ) Ci,k C i,k h,c [ + CC i,k i,k h,c [ K : αριθμός των πραγματικών ριζών (4.7) K : αριθμός των μιγαδικών ριζών (4.7)

18 4.9 Γενικές Εξισώσεις Διαφορών με σταθερούς συντελεστες 7 C [C i,k, C C i,k, C C i,k ], i 0,..., m k, K,..., N Σημείωση: Οι βάσεις είναι γραμμικά ανεξάρτητες για οποιοδήποτε n 0 και 0 [,0,..., N,0 ] μια τιμή του C μπορεί πάντα να βρεθεί έτσι ώστε G [n 0 N] Παράδειγμα 4.6. (Ομοιογενείς Λύση). Υπολογίζοντας:. G [n 0 ] 0 [ + 5[n ] + 4.5[n ] +.5[n 3] 5n, n 0 [0] 0, [], [] (4.8) Χαρακτηριστικό Πολ..: r 3 + 5r + 4.5r Ρίζες του Χαρ. Πολ. : r 0.5, r + j0.5, r j0.5 Ομοιογενείς Λύση:. Υπολογίζοντας: G [ C 0, ( 0.5) n + C c 0,( + j0.5) n + C c 0,( j0.5) n, n 0 (4.9) 9[ + 3[n ] 5[n ] + [n 3] ( 3 )n, n 0 [0], [] 0, [] 9 7 Χαρακτηριστικό Πολ. Πολ.: 9r 3 + 3r 5r + 0 (4.0) Ρίζες του Χαρ. Πολ.: r, r 3 πολλαπλότητας Ομοιογενείς Λύση: G [ C 0, ( ) n + C 0, ( 3 )n + C, ( 3 )n.n, n 0 Συγκεκριμένη Λύση του (4.6)-Μεθοδος των απροσδιόριστων συντελεστών. Οταν η είσοδος δεν περιέχει όπους που εμφανίζονται και στην ομοιογενή λύση, η συγκεκριμένη λύση προσδιορίζεται από την εξαναγκασμένη συνάρτηση, και ονομάζεται εξαναγκασμένη απόκριση του συστήματος. Η μέθοδος των απροσδιόριστων συντελεστών μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την απόκτηση της αντιστοιχούμενης συγκεκριμένης λύσης στη συγκεκριμένη συνάρτηση εισόδου.

19 4.9 Γενικές Εξισώσεις Διαφορών με σταθερούς συντελεστες 8 [ P [. n k A n k + A n k A k+. a n Aa n 3. sin b n η cos b n A sin b n + A cos b n 4. n k a n a n (A n k + A n k A k k + A k+ 5. a n sin b n η a n cos b n a n (A sin b n + A cos b n ) Εστω το σήμα εισόδου έχει ένα όρο της μορφής n k. Τότε η αντιστοιχούσα συγκεκριμένη λύση ειναι P [ A n k + A n k A k+ όπου τα Α είναι σταθερές προς προσδιορισμό με αντικατάταση στην εξίσωση διαφοράς. Παρομοίως, για όλες τις άλλες επιλογές. 5. Σημείωση: Αν η συνάρτηση εισόδου έχει όρους που εμφανίζονται επισης στην ομοιογενή λύση η συγκεκριμένη λύση μπορεί να επηριατεί από τις χαρακτιριστικές ρίζες. Σε τετοια περίπτωση λέγεται πως οι φυσικές καταστάσεις διεγείρονται από την είσοδο. Οι αντίστοιχοι όροι στην ολοκληρωμένη λύση δεν μπορουν να κατηγοροποιηθούν ως ανήκουν στην φυσική απόκριση ή στην εξαναγκασμένη απόκριση.

20 4.9 Γενικές Εξισώσεις Διαφορών με σταθερούς συντελεστες 9 Παράδειγμα 4.7. Εξετάστε: [ + 5[n ] + 4.5[n ] +.5[n 3] 5n, n 0 (4.) [0] 0, [], [] Συγκεκριμένη Λύση : P [ A n + A, n 0 Αντικαταθιστώντας το P [ στην (4.) (A n + A ) + 5(A [n ] + A ) + 4.5(A [n ] + A ) +.5(A [n 3] + A ) 5n.75A n 7.75A +.75A 5n Εξισώνοντας τους Συντ. των δυνάμεων του n Ολοκληρωμένη Λύση n 0 : A 84 5, n : A 4 [ C 0, ( 0.5) n + C C 0,( + j0.5) n + +C C 0, ( j0.5) n + 4n , n 0 (4.) Καθοσρισμός των σταθερών Ολοκληρωμένη Λύση: Παράδειγμα 4.8. Εξετάστε: [0] 0 C 0, + C0, C + C0, C [] 0.5C 0, + ( + j0.5)c0,+ C +( j0.5)c0, C [] 0.5C 0, + (0.75 j)c0,+ C +( j)c0, C C 0, C0, c j C0, c j [ ( 0, 5) n (.8) n. cos(.6779n ) + 4n Ομοιογενείς Λύση: 9[ + 3[n ] 5[n ] + [n 3] ( 3 )n [0], [] 0, [] 9 7, n 0 G [ C 0, ( ) n + C 0, ( 3 )n + C, ( 3 )n.n n 0 Συγκεκριμένη Λύση: Ακολουθήστε την παραπάνω διαδικασία. P [ An ( ) n, n 0 3

21 4.9 Γενικές Εξισώσεις Διαφορών με σταθερούς συντελεστες 0 Παρατήρηση: Δεν είναι όλα τα διαφορετικά συστήματα αιτιατά. Κάνοντας την παρακάτω επιπρόσθετη υπόθεση για το σύστημα: Οποτε [k] 0, k n 0 } [k] 0, k n 0 } έτσι ώστε [n 0 ] 0 τότε το σύστημα είναι αιτιατό. Αυτή η ιδιότητα αναφέρεται ως το σύστημα να ήταν ΑΡΧΙΚΩΣ ΣΕ ΗΡΕΜΙΑ. π.χ. Το Σύστημα δεν είναι αιτιατό αν [0] 0. [ + 5[n ] + 4.5[n ] +.5[n 3] [, n 0 (4.3) [ 5n, [0] 0, [], [] αυθέραιτα (4.4)