επαναληπτικά θέματα για τα μαθηματικά κατεύθυνσης Γ λυκείου (τεύχος 3 σχολικό έτος 4-5) Γράφουν οι μαθηματικοί: Βέρρας Οδυσσέας Καρύμπαλης Νώντας Κοτσώνης Γιώργος Κώνστας Χάρης Λιτζερίνος Χρήστος Μπούζας Δημήτρης Οικονομοπούλου Βάσια Παπαπαναγιώτου Κώστας Πετρόπουλος Βασίλης Σκίτσας Νώντας ελεύθερη διάθεση για εκπαιδευτικούς σκοπούς από: Μαθηματικά για το τελευταίο θρανίο!
Επαναληπτικά θέματα για τα μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ λυκείου (έτος 5) Θέμα ο Έστω συνάρτηση : R R συνεχής και γνησίως μονότονη για την οποία ισχύει ότι: lim lim 5, με, R και Α Να αποδείξετε ότι και Β Να βρείτε το είδος μονοτονίας της Γ Να αποδείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα,, τέτοιο ώστε: Δ Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικό,4 τέτοιο ώστε : Ε Αν επιπλέον ισχύει ότι lim, να υπολογίσετε το όριο: lim 3 4 Θέμα ο Έστω οι δυο φορές παραγωγίσιμες συναρτήσεις, g με πεδίο ορισμού το διάστημα,, με R, για τις οποίες ισχύει ότι,, g και Α Να δείξετε ότι g, για κάθε, Β Να αποδείξετε ότι: i Υπάρχει, τέτοιο ώστε g ii Η εξίσωση 3 Γ Να δείξετε ότι η εξίσωση g g t g t dt, για κάθε έχει μία τουλάχιστον λύση στο διάστημα g Δ Αν επιπλέον ισχύει ότι g, για κάθε, έχει λύση στο,,, να βρείτε τους τύπους των, g
Επαναληπτικά θέματα για τα μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ λυκείου (έτος 5) Θέμα 3 ο Έστω συνάρτηση, με D,, για την οποία ισχύει: και Α Να δείξετε ότι η αντιστρέφεται και ότι Β Να βρείτε το, για κάθε Γ Να αποδείξετε ότι αν η είναι παραγωγίσιμη στο σημείο τότε και η είναι παραγωγίσιμη στο Δ Αν η είναι παραγωγίσιμη για κάθε, i να βρεθεί το πρόσημο της ii να βρεθεί το και γνησίως φθίνουσα τότε: iii να δείξετε ότι και η είναι γνησίως φθίνουσα Ε Έστω μιγαδικός z που ικανοποιεί τη σχέση z 4 3i () i να δείξετε ότι 6 z z ii να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών που ικανοποιούν την () και για τους οποίους ισχύει ότι: 8 z z 8z z 3
Επαναληπτικά θέματα για τα μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ λυκείου (έτος 5) Θέμα 4 ο Έστω συνεχής συνάρτηση στο R για την οποία ισχύει : R, R Α Να αποδείξετε ότι ( ) e t ( ) dt για κάθε Β Έστω συνάρτηση g συνεχής στο R για την οποία ισχύει: g ( t ) dt ( ), για κάθε R i Να αποδείξετε ότι g( t) dt ii Να αποδείξετε ότι υπάρχει (, ) τέτοιο ώστε g( t) dt iii Να αποδείξετε ότι η εξίσωση g( t) dt g( ) έχει μια τουλάχιστον λύση στο, Γ Δίνεται η ευθεία : y i Να δείξετε ότι η C τέμνει την ευθεία σε μοναδικό σημείο με τετμημένη, ii Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την C, την ευθεία και τον yy είναι e 6 τ μονάδες 4
Επαναληπτικά θέματα για τα μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ λυκείου (έτος 5) Θέμα 5 ο Έστω συνάρτηση, δυο φορές παραγωγίσιμη στο R και με συνεχή δεύτερη παράγωγο, για την οποία ισχύει ότι Α Αν, για κάθε R 4 d d 6, να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα 3 d 3 Β Αν d, να αποδείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα,3 τέτοιο ώστε Γ Αν επιπλέον, ισχύει ότι d τουλάχιστον ένα,3 τέτοιο ώστε Δ Έστω η ευθεία : y 5, τότε να αποδείξετε ότι υπάρχει i Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της τέμνει την ευθεία σε ακριβώς ένα σημείο με τετμημένη 3,3 ii Θεωρώντας τη συνάρτηση g y στο διάστημα,3, να αποδείξετε ότι υπάρχει 3 μοναδικό,3 τέτοιο ώστε: g 5
Επαναληπτικά θέματα για τα μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ λυκείου (έτος 5) Θέμα 6 ο Δίνεται η συνάρτηση g ln, με Α Να βρεθεί το σύνολο τιμών και το πρόσημο της g Β Έστω παραγωγίσιμη συνάρτηση, ορισμένη στο,, για την οποία ισχύει 3 ln lim, για κάθε i Να δειχθεί ότι οι συναρτήσεις και g είναι ίσες Επιπλέον δίνεται ότι e e και ii Να λυθεί η εξίσωση e e iii Να βρεθεί το σημείο της C στο οποίο, κατά τη χρονική στιγμή t, ο ρυθμός μεταβολής της τετμηνένης t είναι ίσος με το ρυθμό μεταβολής της τεταγμένης yt t Γ Να υπολογιστεί το ln lim Δ Έστω συνάρτηση K t dt i Να υπολογιστεί το όριο lim K K ii Να δειχθεί ότι η συνάρτηση t dt είναι σταθερή y t, με iii Να βρεθεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της K, τον άξονα και την κατακόρυφη ευθεία e 6
Επαναληπτικά θέματα για τα μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ λυκείου (έτος 5) Θέμα 7 ο Δίνεται η συνεχής συνάρτηση, με : (,) R για την οποία ισχύει : ln ( ) Α Να αποδείξετε ότι Β Να βρεθεί το ( ) lim lim Γ Έστω μιγαδικός z ώστε: για κάθε (, ) 3 3 z z 5 z z 7 Να δείξετε ότι: i z z z z 3 3 ii z R ή z I iii z iv lim 3i 4 z Δ Να δείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον, τέτοιο ώστε ( ) 7
Επαναληπτικά θέματα για τα μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ λυκείου (έτος 5) Θέμα 8 ο Έστω η συνάρτηση, με D D,4, δυο φορές παραγωγίσιμη με,4 Έστω, επίσης, η συνάρτηση g με g ln 4 Α Να δείξετε ότι η εξίσωση g έχει μοναδική ρίζα Β Να λυθεί η ανίσωση: ln 4 4 Γ Να δείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα,4 ώστε: Δ Αν επιπλέον ισχύει ότι 4 4 ln 4 για κάθε i Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικό,4, τέτοιο ώστε: 4 ii Να δείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα,4 ώστε: iii Να βρείτε τα και 4 iv Να δείξετε ότι υπάρχουν,,4 τέτοια ώστε: 3 Θέμα 9 ο Έστω παραγωγίσιμη συνάρτηση : R R για την οποία ισχύει: 3, για κάθε, Α Να δείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα, τέτοιο ώστε Β Να δείξετε ότι d Γ Να αποδείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα, τέτοιο ώστε Δ Να δείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα, τέτοιο ώστε e e 8
Επαναληπτικά θέματα για τα μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ λυκείου (έτος 5) Θέμα ο Έστω η συνεχής συνάρτηση :, R Δίνεται, επίσης, η συνάρτηση F i Να δείξετε ότι:, για την οποία ισχύει: tt ln tdt (), για κάθε t dt, ln, ii iii Να βρείτε το σύνολο τιμών της καθώς και το πλήθος των θετικών ριζών της εξίσωσης: e e ln e e Να μελετήσετε την F ως προς την κυρτότητα και να δείξετε ότι: F d F, για κάθε, με e e e iv Να λύσετε την ανίσωση e t dt t dt e v Να δείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα, τέτοιο ώστε: t dt e 9
Επαναληπτικά θέματα για τα μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ λυκείου (έτος 5) Θέμα ο Έστω η συνάρτηση : R R, η οποία είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο R και ισχύουν: (): 5 z t z dt z t z dt, για κάθε R (): z, για κάθε R και με z C (3): Η γραφική παράσταση της, C, τέμνει την ευθεία y στο σημείο με τετμημένη i Να αποδείξετε ότι: z ii Να δείξετε ότι ο μιγαδικός z z 5 I iii Να βρείτε τη μέγιστη τιμή της παράστασης z z iv Να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της δέχεται τουλάχιστον μία εφαπτομένη παράλληλη στον άξονα με τετμημένη,
Επαναληπτικά θέματα για τα μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ λυκείου (έτος 5) Θέμα ο Έστω συνάρτηση g παραγωγίσιμη και κυρτή στο R Δίνονται επίσης οι συναρτήσεις, h με πεδίο ορισμού το R για τις οποίες ισχύει: 3 g e 3 3 h e Α Να δείξετε ότι: i η h είναι γνησίως αύξουσα h t dt ii το πεδίο ορισμού της K t e dt Β Αν επιπλέον ισχύει ότι g lim i Να βρείτε τα g και ii g Να δείξετε ότι η είναι κυρτή είναι το R h 3 iii Να δείξετε ότι 4 και ότι για κάθε
Επαναληπτικά θέματα για τα μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ λυκείου (έτος 5) Θέμα 3 ο Έστω ο μιγαδικός αριθμός z ο οποίος ικανοποιεί τη σχέση z z 4 () Α Να δείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του z είναι ο μοναδιαίος κύκλος Β Έστω ο μιγαδικός z u, όπου z μιγαδικός που ικανοποιεί την () z i Να δείξετε ότι οι εικόνες του u κινούνται στο μοναδιαίο κύκλο ii Αν z yi να δείξετε ότι iii Να βρείτε τους, zu 5 4 z u για τους οποίους το μέτρο z u Γ Για το μιγαδικό z που ικανοποιεί την () να δείξετε ότι: i z z ii z z 3 3z z Δ Έστω ο μιγαδικός, με γίνεται μέγιστο 4 w z, όπου z μιγαδικός που ικανοποιεί την () z i Να δείξετε ότι καθώς η εικόνα του z κινείται στο μοναδιαίο κύκλο, η εικόνα του w κινείται σε έλλειψη ii Να αποδείξετε ότι αν w R τότε και z R iii Να αποδείξετε ότι οι εικόνες των μιγαδικών z και w, καθώς κινούνται στον κύκλο και στην έλλειψη αντίστοιχα, βρίσκονται σε σταθερή απόσταση
Επαναληπτικά θέματα για τα μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ λυκείου (έτος 5) Θέμα 4 ο Έστω η συνεχής συνάρτηση g, με Dg 3 u Δίνεται, επίσης, η συνάρτηση με 3 u Α Αν ισχύει ότι g t dt du Β Για, να δειχθεί ότι: i η είναι κυρτή ii η έχει ακριβώς δύο ρίζες 3 4 u iii g tdt 3 R, για την οποία ισχύει ότι g, για κάθε R g t dt du, με R και R να βρεθεί η τιμή της παραμέτρου g t dt du Γ Έστω η συνάρτηση h 4 g μεταξύ της Αν E είναι το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται C, του, του yy και της κατακόρυφης ευθείας και E το εμβαδόν που περικλείεται μεταξύ της E E C h, του και των κατακόρυφων ευθειών και, να δειχθεί ότι Θέμα 5 ο 4 Δίνεται η συνάρτηση 3 Α Να δείξετε ότι η αντιστρέφεται και να βρείτε το πεδίο ορισμού της Β Να δείξετε ότι η εξίσωση έχει μοναδική αρνητική ρίζα Γ Να δείξετε ότι e Δ Έστω οι μιγαδικοί z C, για κάθε R z 5 d z 5 για τους οποίους ισχύει 3 7 7 i Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα ii d Να δείξετε ότι οι εικόνες των z ανήκουν σε κυκλικό δίσκο () iii Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών z οι οποίοι, εκτός από τη σχέση (), ικανοποιούν και τη σχέση z i z i 3
Επαναληπτικά θέματα για τα μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ λυκείου (έτος 5) Θέμα 6 ο Έστω συνεχής συνάρτηση με :(, ) R για την οποία ισχύει η σχέση για κάθε (, ) Α () ( ) t e dt, t i Να δείξετε ότι η g( ) e ( ) είναι σταθερή στο (, ) ii Να δείξετε ότι ( ) e για κάθε (, ) Β Να δείξετε ότι e ( ) d e για κάθε (, ) Γ Να δείξετε ότι υπάρχει μοναδικό (,) τέτοιο ώστε () t dt e Δ Έστω, επίσης, συνάρτηση g για την οποία ισχύει ότι: g, g g g dt, για κάθε t Να αποδείξετε ότι: i ln g e e και e ii η εξίσωση g g g tdt έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο, e 4
Επαναληπτικά θέματα για τα μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ λυκείου (έτος 5) Θέμα 7 ο Έστω συνάρτηση δυο φορές παραγωγίσιμη στο R, με γνησίως φθίνουσα στο R Επιπλέον ισχύει ότι: Α, για κάθε, 4 και i Να βρεθεί η κυρτότητα της 4 ii Να δειχθεί ότι:, για κάθε, και, για κάθε, Β Να δειχθεί ότι η παρουσιάζει ακριβώς μία θέση τοπικού ελαχίστου και ακριβώς μία θέση τοπικού μεγίστου Γ Έστω το χωρίο που περικλείεται μεταξύ της i ii d C και της ευθείας : y Να δειχθεί ότι: 5
Επαναληπτικά θέματα για τα μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ λυκείου (έτος 5) Θέμα 8 ο Έστω z, z οι ρίζες της εξίσωσης z z με, και w C με w i 5 4 Ισχύει ότι z w i z w i Α Αν z w i z w i τότε να δείξετε ότι R 4 4 Β Να υπολογίσετε την παράσταση z w i z iw Γ Να δείξετε ότι wi και wi w i Δ Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των μιγαδικών: w 3i και iw 8 Ε Αν u z z z z, να δείξετε ότι ΣΤ Αν 49 u v z wi, να δείξετε ότι: i v i ii w uv Θέμα 9 ο Έστω ο μιγαδικός αριθμός z για τον οποίο ισχύει z i Im z () Α Να βρεθεί η εξίσωση της καμπύλης C που είναι ο γεωμετρικός τόπος της εικόνας του z Β Έστω επίσης μιγαδικός w για τον οποίο ισχύει w iw w iw w () i Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του w ii Να αποδείξετε ότι υπάρχει ακριβώς ένας μιγαδικός που ικανοποιεί τις σχέσεις () και () Γ Να αποδειχθεί ότι από το σημείο,, με R, άγονται πάντα δύο εφαπτομένες προς τη C, κάθετες μεταξύ τους Δ Έστω ότι τα σημεία επαφής, των εφαπτόμενων ευθειών, με την C, είναι τα, αντίστοιχα Να αποδειχθεί ότι η καμπύλη C χωρίζει το τρίγωνο σε λόγο εμβαδού προς Ε Να βρεθεί το ώστε το εμβαδόν του τριγώνου να γίνεται ελάχιστο 6
Επαναληπτικά θέματα για τα μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ λυκείου (έτος 5) Θέμα ο Σώμα βάρους Β μετακινείται σε οριζόντιο επίπεδο με τη βοήθεια ενός τεντωμένου σχοινιού που σχηματίζει γωνία με το οριζόντιο επίπεδο Μια μεταβαλλόμενη δύναμη F που ασκείται στο σώμα μέσω του σχοινιού έχει μέτρο που δίνεται από τη σχέση: F, όπου, και μια θετική σταθερά ανεξάρτητη από τη Β θ F γωνία Α Να αποδείξετε ότι η δύναμη F γίνεται ελάχιστη όταν η γωνία αποκτά τιμή ώστε να ισχύει Β Έστω ότι η γωνία τη χρονική στιγμή t αυξάνει με ρυθμό χρονική στιγμή αυξάνει με ρυθμό στιγμή t, ώστε να ελαχιστοποιείται η δύναμη F, rad / sec και η σταθερά την ίδια,4 / sec Να βρείτε ποια πρέπει να είναι η γωνία, τη χρονική Γ Έστω ότι για την προηγούμενη συνάρτηση F ισχύει ότι 3 Να αποδείξετε ότι: F d 3 4 7