1 η δεκάδ θεµάτων επνάληψης 1. Ν ποδείξετε ότι το εµβδόν κάθε τριγώνου δίνετι πό τον τύπο Ε τρ, όπου τ η ηµιπερίµετρος του τριγώνου κι ρ η κτίν του εγγεγρµµένου κύκλου Ν χρκτηρίσετε τις πρκάτω προτάσεις σωστές (Σ) ή λνθσµένες (Λ) ) Το εµβδόν κάθε τριγώνου δίνετι πό τον τύπο Ε 1 βσυνɵ β) ν δύο τρίγων έχουν ίσ ύψη τότε ο λόγος των εµβδών τους είνι ίσος µε τον λόγο των ντιστοίχων βάσεων γ) ι την διάµεσο µ ισχύει µ β + γ δ) Το εµβδόν ενός τρπεζίου µε βάσεις, β κι ύψος υ δίνετι πό τον τύπο ( + β)υ Ε i Στον πρκάτω πίνκ ν κάνετε τις σωστές ντιστοιχίσεις Στήλη. Εµβδόν κύκλου κτίνς R β. Εµβδόν κυκλικού τοµέ µ ο κι κτίνς R Στήλη 1. πr µ ο 180. πr γ. Μήκος κύκλου κτίνς R. πr ο. πr µ ο 60 ο Επειδή οι πλευρές του τριγώνου εφάπτοντι του εγγεγρµµένου κύκλου στ Κ, Λ, Ρ οι κτίνες στ σηµεί επφής Κ Ο Λ είνι κάθετες στις πλευρές οπότε έχουµε Ρ
() (Ο) + (Ο) + (Ο) 1 ΟΚ + 1 ΟΡ 1 ΟΛ 1 γ ρ + 1 ρ 1 β ρ 1 ( + β + γ) ρ τρ Λ, β Σ, γ Λ, δ Σ i, β, γ
. ίνετι τρίγωνο µε, 1 κι ɵ 0 ο Ν ποδείξετε ότι 7 κι ν δείξετε ότι το τρίγωνο είνι µβλυγώνιο Ν υπολογίσετε το εµβδόν του τριγώνου i Ν υπολογίσετε την διάµεσο µ γ κι την προβολή υτής στην πλευρά πό τον νόµο των συνηµιτόνων στο τρίγωνο έχουµε + συν ɵ 1 + 1 Τώρ φού 7 άρ 7. ( ) 1 κι + 7 + 1 8 είνι Μ > + οπότε θ είνι >90 ο συνεπώς το τρίγωνο είνι µβλυγώνιο () 1 ηµɵ 1 1 i τετργωνικές µονάδες µ γ + β γ + 7 19 άρ µ γ ν Μ είνι η προβολή της διµέσου Μ στην τότε πό το δεύτερο θεώρηµ διµέσων έχουµε Μ 1 1 7 Μ Μ 11 7 1 19
. ίνετι κύκλος ( Ο, R) κι σηµείο ώστε Ο R 1. πό το φέρνουµε τέµνουσ Ε του κύκλου έτσι ώστε Ε. Ν υπολογίσετε συνρτήσει του R ) Την δύνµη του ως προς τον κύκλο β) Την χορδή Ε Ν βρείτε τον λόγο των εµβδών ( Ο ) ( ΟΕ) i Ν υπολογίσετε το συν A ) Η δύνµη του σηµείου ως προς τον κύκλο (Ο, R) είνι ίση µε ( Ο, R) Ο R 1R R 1R β) νωρίζουµε ότι Ε Ο R οπότε ( + Ε) 1R Ε 1 Ο Ε(Ε) 1 R Ε R Επειδή στ τρίγων Ο κι ΕΟ έχουµε 1+ 1 180 ο ισχύει ( Ο) ( ΟΕ ) Ο Ο Ε Ε Ε Ε i πό τον νόµο των συνηµιτόνων στο τρίγωνο ΟΕ έχουµε ότι ΕΟ Ε + Ο Ε Ο συν A R 18R + 1R R R 1 συν A συν A 5 6 6
5. ίνετι κύκλος (Ο, R) κι µί διάµετρος του. Η µεσοκάθετος της κτίνς Ο τέµνει τον κύκλο στ κι Ν ποδείξετε ότι R Ν υπολογίσετε συνρτήσει του R το εµβδόν του τετρπλεύρου i Ν υπολογίσετε συνρτήσει του R το εµβδόν του κυκλικού τµήµτος µε χορδή την το οποίο περιέχετι µέσ στην γωνί Επειδή η είνι µεσοκάθετος στη κτίν Ο,πό το ορθογώνιο τρίγωνο ΚΟ έχουµε Κ Ο ΟΚ 1 1 φ Κ Ο R R R R R άρ Κ R Επειδή δε κι Ο µεσοκάθετος της θ είνι Κ R φού οι διγώνιες του τετρπλεύρου είνι κάθετες το εµβδό υτού είνι ίσο µε () i R R R τετργωνικές µονάδες Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΟΚ είνι ΟΚ Ο Ο άρ 1 0 ο οπότε Ο 1 60 ο κι συνεπώς φ ɵ 10 ο Το εµβδόν Ε του γρµµοσκισµένου κυκλικού τµήµτος προκύπτει ν πό το εµβδό του κυκλικού τοµέ (Ο ) φιρέσουµε το εµβδόν του τριγώνου Ο οπότε Ε Ε ( Ο Ε ) Ο πr 10 60 1 R ηµ10 ο ( πr R ) τετργωνικές µονάδες
6 5. Ν ποδείξετε ότι το εµβδόν ενός τριγώνου είνι ίσο µε το ηµιγινόµενο µις του πλευράς επί το ντίστοιχο ύψος Ν χρκτηρίσετε τις πρκάτω προτάσεις σωστές (Σ) ή λνθσµένες (Λ) ) Το εµβδόν ενός ρόµβου είνι ίσο µε το γινόµενο µι του πλευράς επί το ντίστοιχο σε υτή ύψος β) ν µί γωνί ενός τριγώνου είνι ίση µε µί γωνί ενός άλλου τριγώνου τότε ο λόγος των εµβδών των δύο τριγώνων είνι ίσος µε το τετράγωνο του λόγου οµοιότητς των δύο τριγώνων γ) Η γωνί ενός κνονικού ν-γώνου είνι φ ν 180 ο 60 ν δ) Το εµβδόν ενός τετργώνου πλευράς είνι ίσο µε i Στον πρκάτω πίνκ ν κάνετε τις σωστές ντιστοιχίσεις Στήλη : Κνονικό πολύγωνο Στήλη Πλευρά λ ν. Κνονικό εξάγωνο 1. R β. Ισόπλευρο τρίγωνο. R. Τετράγωνο. R. R 5. R Έστω το τρίγωνο. πό το φέρνω πράλληλη στην κι πό το πράλληλη στην όπως φίνετι στο διπλνό σχήµ οι οποίες τέµνοντι στο. Τότε Κ Το είνι πρλληλόγρµµο κι ν Κ το εµβδό υτού είνι ίσο µε : () Κ (1)
7 Επειδή όµως θ είνι κι () () οπότε η (1) γίνετι () Κ () 1 Κ δηλδή () 1 υ Σ, β Λ, γ Σ, δ Λ i 5, β, γ 1
8 6. ίνετι τετράγωνο πλευράς ίσης µε cm. Με διµέτρους κι γράφουµε κύκλους που εφάπτοντι στο Μ, όπως φίνετι κι στο διπλνό σχήµ Ν υπολογίσετε Το εµβδόν του τριγώνου ΜΚ, όπου Κ το µέσο της Την περίµετρο κι το εµβδόν του µικτογράµµου τριγώνου Μ ( γκρίζ περιοχή) Επειδή οι κύκλοι εφάπτοντι εξωτερικά στο Μ η διάκεντρος ΛΚ διέρχετι πό το Μ φού Λ // Κ κι 90 ο το ΚΛ είνι ορθογώνιο οπότε ΜΚ Κ Εποµένως (ΜΚ) 1 ΚΜ Κ 1 cm. Η περίµετρος Ρ του µικτογράµµου τριγώνου Μ είνι ίση µε Ρ + l AM + l M Όµως ΛΚ κι l AM πrµ π 90 ο ο ο 180 ο 180 Ρ ( + π ) cm π l άρ M Το εµβδόν του µικτογράµµου τριγώνου Μ ( γκρίζ περιοχή) είνι ίσο µε το εµβδό του ορθογωνίου ΚΛ µείον το εµβδό των δύο ίσων κυκλικών τοµέων Κ Μ κι Λ Μ άρ Ε ζητούµενο (ΚΛ) ( Κ Μ ) Λ Μ Κ πr µ ΚΛ ο 60 ο π 90 (8 π) cm ο 60
9 7. Σε τρίγωνο µε πλευρές, β, γ ισχύει β + γ Ν ποδείξετε ότι : ι την διάµεσο µ ισχύει > 90 ο µ β i Η προβολή Μ της διµέσου στην πλευρά β είνι ίση µε Μ β νωρίζουµε ότι µ β + γ κι λόγω της υπόθεσης µ β + β φού β + γ θ είνι β β + γ > β + γ δηλδή > β + γ i οπότε > 90 ο πό το δεύτερο θεώρηµ των διµέσων κι επειδή > γ έχουµε γ βμ όµως πό την υπόθεση έχουµε β + γ άρ β + γ γ β Μ Μ β
10 8. Τετράγωνο πλευράς είνι εγγεγρµµένο σε κύκλο (Ο, R). Έστω Ε έν σηµείο της, τέτοιο ώστε Ε κι Ζ το σηµείο τοµής της προέκτσης της Ε µε τον κύκλο Ν εκφράσετε το ευθύγρµµο τµήµ Ε ως συνάρτηση της πλευράς του τετργώνου Ν ποδείξετε ότι ΕΖ 6 i Ν βρείτε ως συνάρτηση του το εµβδόν του κυκλικού τµήµτος που περιέχετι στην κυρτή γωνί ΟΖ Ε Ε Ε πό το πυθγόρειο θεώρηµ στο ορθογώνιο τρίγωνο Ε έχουµε Ε + Ε + άρ Ε οπότε πό το θεώρηµ των τεµνόµενων χορδών έχουµε Ε Ε Ε ΕΖ ( i ) ΕΖ ΕΖ 6 Πρτηρούµε ότι στο ορθογώνιο τρίγωνο Ε έχουµε Ε κι Ε Ε άρ Ε οπότε 1 0 ο συνεπώς Ζ 60 ο οπότε φού 90 ο θ είνι Ζ 0 ο Ζ Ε φ Ο 1 Το εµβδόν Ε του ζητούµενου κυκλικού τµήµτος προκύπτει ν πό το εµβδό του κυκλικού τοµέ Ο Ζ φιρέσουµε το εµβδόν του τριγώνου ΟΖ οπότε ο πr µ Ε 1 ο 60 R ηµ0 ο ο πr 0 1 πr ο 60 R 1 1 R Όµως R εποµένως R οπότε Ε ( π ) τετργωνικές µονάδες 8
11 9. ίνετι ορθογώνιο τρίγωνο του οποίου οι κάθετες πλευρές έχουν µήκη R κι R.ράφουµε τους κύκλους (, R) κι (, R ) Ν υπολογίσετε : Την πλευρά συνρτήσει του R κι ν εξηγήσετε γιτί οι κύκλοι τέµνοντι Τις γωνίες κι ɵ του τριγώνου i ν είνι το δεύτερο κοινό σηµείο των κύκλων ν υπολογίσετε το εµβδόν του τετρπλεύρου συνρτήσει του R iν) Το εµβδό του κοινού µέρους των δύο κύκλων συνρτήσει του R πό το πυθγόρειο στο έχουµε R R + Θ Η R + R R άρ R Επίσης γι την διφορά ρ ρ 1 κι το άθροισµ ρ + ρ 1 των δύο κτίνων έχουµε ότι ρ ρ 1 R R κι ρ + ρ 1 R + R Επειδή η διάκεντρος R προφνώς ικνοποιεί την σχέση R R < R < R + R δηλδή ρ ρ 1 < < ρ + ρ 1 οι κύκλοι τέµνοντι Στο ορθογώνιο τρίγωνο έχουµε R κι R δηλδή i συνεπώς η γωνί ɵ του τριγώνου είνι 0 ο οπότε η θ είνι 60 ο Στο τρίγωνο είνι 10 ο εποµένως η χορδή του κύκλου (, R) θ είνι ίση µε την πλευρά του ισοπλεύρου τριγώνου που είνι εγγεγρµµένο σε υτόν άρ λ R Επειδή οι διγώνιες του είνι κάθετες το εµβδόν Ε υτού είνι ίσο µε Ε iν) R R R τετργωνικές µονάδες Το κοινό µέρος των δύο κύκλων είνι ο µηνίσκος ΘΗ ο οποίος έχει εµβδόν ίσο µε το άθροισµ των εµβδών των δύο κυκλικών τµηµάτων Θ κι Η
1 Το εµβδόν του κυκλικού τµήµτος Θ προκύπτει ν πό το εµβδό του κυκλικού τοµέ Θ φιρέσουµε το εµβδόν του τριγώνου οπότε Ε Θ Ε Θ Ε Οµοίως Ε Η π(r ) 60 60 Ε Η Ε 1 (R ) ηµ60 ο ( πr R ) τετργωνικές µονάδες Εποµένως πr 10 60 1 R ηµ10 ο ( πr R ) τετργωνικές µονάδες Ε ζητούµενο πr R + πr R 5πR 6 R τετργωνικές µονάδες
1 0. ίνετι κνονικό πολύγωνο εγγεγρµµένο σε κύκλο κτίνς R. ν η γωνί του πολυγώνου είνι φ ν 150 ο, ν βρείτε Τον ριθµό των πλευρών του πολυγώνου Την κεντρική γωνί του πολυγώνου i Το εµβδόν του πολυγώνου συνρτήσει του R iν) Το εµβδόν της περιοχής που περικλείετι µετξύ του κύκλου κι του πολυγώνου συνρτήσει του R ν ν είνι το πλήθος των πλευρών του πολυγώνου τότε πό τον τύπο φ ν 180 ο 60 ν έχουµε 150 ο 180 ο 60 ν ν 1 Η κεντρική γωνί ω ν είνι ίση µε ω ν i Φέρνοντς τις κτίνες του δωδεκγώνου 60 ν υτό χωρίζετι σε 1 ίσ µετξύ τους τρίγων εποµένως το εµβδόν του δωδεκάγωνου είνι ίσο µε : Ε 1 1 Ε Ο 1 1 R ηµ0 ο iν) 60 1 0ο O R τετργωνικές µονάδες 0 ο Το εµβδόν της περιοχής που περικλείετι πό τον κύκλο κι το πολύγωνο είνι ίσο µε Ε ζητούµενο Ε( Ο,R ) Ε 1 πr R τετργωνικές µονάδες