Slika 5: Sile na svetilko, ki je obešena na žici.

4. poglavje: Sile 5. Cestna svetilka visi na sredi 10 m dolge žice, ki je napeta čez cesto. Zaradi teže svetilke (30 N) se žica za toliko povesi, da pride sredina za 30 cm niže kot oba konca. Kako močno je žica napeta? Podatki: L = 10 m, d = 30 cm = 0,30 m, F g = 30 N; F =? Slika 5: Sile na svetilko, ki je obešena na žici. Slika 5 zgoraj prikazuje potek sil na svetilko. Na svetilko deluje v navpični smeri teža (F g ) navzdol, navpični komponenti sil žice (F ) pa kažeta navzgor. Ker so sile v ravnovesju (saj svetilka miruje), je F g = 2F. Na sliki 5 spodaj sta dva pravokotna trikotnika. Eden kaže potek napete žice: ima hipotenuzo L/2 in navpično kateto d. Drugi kaže potek sil: njegova hipotenuza je F in navpična kateta F = F g /2. Trikotnika sta podobna. Iz tega sledi d/(l/2) = F /F oziroma 2d/L = F g /2F in F = F gl 4d = 30 N 10 m 4 0,30 m = 250 N. Opomba: Nalogo lahko razumemo tudi tako, da je dolžina neraztegnjene žice 10 m (oz. da sta pritrdišči žice 10 m narazen). V tem primeru meri v pravokotnem trikotniku na sliki 5 spodaj levo daljša kateta (in ne hipotenuza!) L/2, krajša kateta pa še vedno d. Po Pitagorovem izreku dobimo za hipotenuzo c = (L/2) 2 + d 2 = (L/2) 1 + (2d/L) 2. Podobnost z desnim trikotinkom na sliki 5 spodaj pove, da je d/c = F /F = F g /2F. Tedaj je F = F gc 2d = F gl 1 + (2d/L) 4d 2. Izračunajmo 1 + (2d/L) 2! Iz d = 0,30 m in L = 10 m dobimo 2d/L = 0,06 in 1 + (2d/L) 2 = 1,002. Faktor 1 + (2d/L) 2 se torej skoraj ne razlikuje od 1, zato dobimo za F (skoraj) enak rezultat kakor zgoraj, F = 250 N. 1

Odgovor: Deset metrov dolga žica, na sredini katere je obešena svetilka s težo 30 N, tako da je žica na sredini povešena za 30 cm, je napeta s silo 250 N. 11. Lokomotiva vleče vrsto vagonov s skupno maso 500 ton navkreber po klancu s strmino 0,015 s hitrostjo 30 km na uro. Kolikšna sila je potrebna za to, če ne upoštevamo trenja in zračnega upora? Kolikšna je rezultanta vseh zunanjih sil, ki delujejo na ves vlak? Kje delujejo posamezne sile? Podatki: m = 500 000 kg, strmina klanca je 0,015, v = 30 km/h; F =?, F rez =? Na vagone deluje sila teže ( F g ) navpično navzdol, sila podlage ( F n ) pravokotno na podlago (ker ni trenja) in sila F, s katero vleče lokomotiva vagone v smeri klanca navzgor. Vlak se giblje enakomerno, zato je po izreku o ravnovesju sil (I, 63) rezultanta vseh zunanjih sil enaka nič: F g + F n + F = 0. Slika 11: (a) Zunanje sile na vlak, ki se giblje enakomerno po klancu navzgor. Vse vagone smo shematično prikazali z večjim kvadrom, lokomotivo z manjšim. Zaradi preglednosti smo narisali klanec bolj strm, kakor je podatek v nalogi. (b) Rezultanta zunanjih sil, ki delujejo na vlak, je enaka nič. Zato sestavljajo sile zaključen trikotnik sil. Spet si izberemo koordinatni sistem, tako da kaže os x vzporedno s klancem, os y pa pravokotno na klanec, kakor kaže slika 11. Zunanje sile razstavimo v pravokotni komponenti x in y (I, 43): F g = (F gx, F gy ) = ( F g sin ϕ, F g cos ϕ), F n = (F nx, F ny ) = (0, F n ), F = (F x, F y ) = (F, 0). 2

Rezultanta zunanjih sil ( F g + F n + F ) je enaka nič, torej sta enaki nič posebej njena x- komponenta in njena y-komponenta: x komponenta : F g sin ϕ + 0 + F = 0, y komponenta : F g cos ϕ + F n + 0 = 0. Iz teh enačb takoj razberemo, da je iskana sila F enaka F = F g sin ϕ. S to silo lokomotiva uravnoveša komponento sile teže F gx v smeri klanca navzdol. Komponento sile teže pravokotno na klanec (F gy ) pa uravnoveša sila podlage: F n = F g cos ϕ. Podatek za strmino klanca pove, da je tan ϕ = 0,015, kar pomeni, da je ϕ = 0,86. Sila teže je F g = mg, tako da dobimo za silo F, s katero vleče lokomotiva vagone F = mg sin ϕ = 500 000 kg 10 m s 2 sin 0,86 = 75 kn. Sila teže je prostorsko porazdeljena sila, ki prijemlje po vsej prostornini telesa. Vendar jo lahko nadomestimo z eno silo (rezultanto), ki prijemlje v težišču. Zato smo na sliki 11 silo teže ( F g ) na vagone narisali s prijemališčem v sredini kvadra, ki prikazuje vagone. Sila podlage ima prijemališče na stični ploskvi med telesom in podlago. Vagoni imajo kolesa in podlaga deluje na vagon na stičišču vsakega od koles s podlago. Na sliki 11 smo shematično narisali rezultanto sile podlage, kakor da prijemlje na sredini spodnje ploskve vagona. Odgovor: Da se vrsta vagonov s skupno maso 500 ton giblje po klancu s strmino 0,015 enakomerno navkreber, mora lokomotiva vleči vagone s silo 75 kn. Rezultanta vseh zunanjih sil, ki delujejo na ves vlak, je enaka nič. 3

8. poglavje 10. Na vrvi, ki je obešena čez škripec, visita uteži z masama 1 kg in 1,02 kg. Uteži se začneta pospešeno gibati: večja utež pada in manjša gre navzgor. Kolikšen je pospešek? Vpliv, ki ga ima vrtenje škripca, lahko zanemariš! Podatki: m 1 = 1,02 kg, m 2 = 1 kg; a =? Slika 10: Sile na uteži, ki visita na vrvi, obešeni čez škripec. Na vsako od uteži delujeta dve sili: na težjo sila teže F g,1 = m 1 g in sila vrvi F v, na lažjo sila teže F g,2 = m 2 g in sila vrvi F v, kakor kaže slika 10 (težo vrvi zanemarimo). Vzeli bomo, da je vrv neraztegljiva, tako da se obe uteži gibljeta z enakim pospeškom (a). Ker je škripec lahek, tako da lahko njegovo vrtenje zanemarimo, je sila vrvi na uteži na obeh straneh enaka. Zapišimo 2. Newtonov zakon (I, 137) za uteži! Za težjo utež, ki se spušča s pospeškom a, velja (kot pozitivno štejemo smer gibanja uteži navzdol) m 1 a = F g,1 F v, za lažjo, ki se z enako velikim pospeškom dviga, pa (kot pozitivno štejemo spet smer gibanja uteži navzgor) m 2 a = F v F g,2. Če seštejemo obe enačbi, dobimo (m 1 + m 2 )a = F g,1 F g,2 = (m 1 m 2 )g. 4

Pospešek je potemtakem ( m1 m 2 a = m 1 + m 2 ) g = ( ) 1,02 kg 1,00 kg 9,81 m s 2 = 0,097 m/s 2. 1,02 kg + 1,00 kg Do istega rezultata pridemo tako, da obravnavamo obe uteži skupaj kot en sistem (z maso m 1 + m 2 ). Tedaj sta zunanji sili le F g,1 in F g,2, prva sistem pospešuje, druga ga zavira. Sila vrvice je notranja sila, ki ne vpliva na gibanje sistema kot celote. Težja utež na primer bi se gibala enako, če bi tekla vrvica v navpični smeri in bi lažjo utež na zgornjem koncu vlekli s silo F g,2 navzgor; in lažja utež bi se gibala enako, če bi tekla vrvica navpično in bi vlekli težjo utežnjen na zgornjem koncu navzgor s silo F g,1. 2. Newtonov zakon (I, 137) tedaj pove, da je (m 1 + m 2 )a = F g,1 F g,2. To je ista enačba, kakor smo jo dobili že zgoraj. Odgovor: Če na vrvi, ki je obešena čez škripec, visita uteži z masama 1 kg in 1,02 kg, in lahko zanemarimo vpliv vrtenja škripca, se uteži gibljeta enakomerno pospešeno s pospeškom 0,097 m/s 2. 5