Κριτήριο Παρεμβολής Υποθέτουµε ότι κοντά στο µια συνάρτηση f εγκλωβίζεται ανάµεσα σε δύο συναρτήσεις h και g. Αν, καθώς το τείνει στο, οι g και h έχουν κοινό όριο l, τότε όπως φαίνεται και στο σχήµα, η f θα έχει το ίδιο όριο l. Αυτό δίνει την ιδέα του παρακάτω θεωρήµατος που είναι γνωστό ως κριτήριο παρεµβολής. ΘΕΩΡΗΜΑ Έστω οι συναρτήσεις f, g, h. Αν y C g Αν h( ) f ( ) g( ) κοντά στο και h( ) lim g( ) l, τότε το όριο της f στο υπάρχει και f ( ) l. l O C f C h παράδειγμα α) Αν για κάθε ισχύει f () +, να βρείτε το f ( ). έχουµε ( ) και (+ ) άρα από το παραπάνω κριτήριο παρεµβολής το f ( ). β) Αν ισχύει f ( ) ( ) για κάθε, να βρείτε το f ( ). έχουµε f ( ) ( ) ( ) f () ( ) ( ) f () + ( ) µε ( ( ) ) ( ( ) ) και ( + ( ) ) ( + ( ) ) άρα από το κριτήριο παρεµβολής το f ( ). Παρατήρηση Αν lim h( ) g( ), τότε δεν ισχύει ότι : γιατί, δεν γνωρίζουµε ότι υπάρχει το f ( ) lim h( ) lim f ( ) g( ), 55
όριο συνάρτησης στο γ) να αποδείξετε ότι lim ηµ ( µηδενική φραγµένη ) η συνάρτηση f () ηµ, έχει πεδίο ορισµού το {}, για να υπολογίσουµε το ζητούµενο όριο δεν µπορούµε να θέσουµε όπου το, για, έχουµε ηµ ηµ, γιατί ηµ ηµ δηλ. ηµ, από την ιδιότητα απολύτων τιµών παίρνουµε ηµ δ) να αποδείξετε ότι επειδή, ( ) lim, lim σύµφωνα µε το κριτήριο παρεμβολής, έχουµε: ηµ lim ηµ για, έχουµε ηµ > µε ( ) και ηµ από κριτήριο παρεμβολής το ηµ ε) να αποδείξετε ότι lim( ) ηµ η συνάρτηση f ( ) ( )ηµ, έχει πεδίο ορισµού το {}, για, έχουµε ηµ ( ) ηµ ηµ, ηµ δηλ. ( ) ηµ, θ θ θ από την ιδιότητα απολύτων τιµών παίρνουµε ( ) ηµ «ΣΠΟΥ ΑΣΤΗΡΙΟ» Φροντιστήριο µέσης εκπαίδευσης 56 Επιµέλεια : Παναγιώτης Περδικούρης
επειδή, ( ) lim( ), lim( ) σύµφωνα µε το κριτήριο παρεµβολής, έχουµε: ( ) ηµ στ) Αν για κάθε ισχύει f () +, να βρείτε i ) το f ( ) και ii) f ( ) i ) επειδή ( ) lim( + ) και f () +, για κάθε σύµφωνα µε το κριτήριο παρεµβολής έχουµε ότι ( f ( ) ) f ( ) f ( ) ii ) για να κατασκευάσουµε τη συνάρτηση από την υπόθεση, πρέπει να τη διαιρέσουµε µε το, και επειδή το παίρνει θετικές και αρνητικές τιµές, αφού τείνει στο, διακρίνουµε τις περιπτώσεις ß αν >, τότε f ( ) + ( ) f ( ) (+ ) f ( ) + f ( ) µε ( ) lim(+ ), οπότε. + + + ß αν <, τότε f ( ) + f ( ) + ( ) f ( ) (+ ) f ( ) µε ( ) lim(+ ), οπότε f ( ) f ( ) f ( ) εποµένως, lim, άρα + 57
όριο συνάρτησης στο εφαρμογές. Αν f ( ), τότε υπάρχει το όριο της f στο και ισχύει απόδειξη από την γνωστή ιδιότητα, R έχουμε f ( ) f ( ) f ( ) f ( ), για κοντά στο και lim f ( ) f ( ) και lim f ( ) f ( ) από το κριτήριο παρεμβολής είναι και f ( ).. Αν f ( ), τότε υπάρχει το όριο της f στο και ισχύει απόδειξη από την γνωστή ιδιότητα, R έχουμε f ( ) f ( ) f ( ) f ( ), για κοντά στο και f ( ) f ( ) f ( ), για κοντά στο lim f ( ) f ( ) και l ( ) l άρα, από το κριτήριο παρεμβολής είναι και im f ( ) im f ( ) f ( ). Παρατήρηση Αν Αν lim f ( ) l, τότε : δεν γνωρίζουμε ότι υπάρχει το όριο της f στο επομένως δεν ισχύει lim f ( ) l ή l. lim f ( ) l, τότε : δεν γνωρίζουμε ότι : υπάρχει το όριο της f στο επομένως δεν ισχύει για παράδειγµα αν έχουµε τη συνάρτηση τότε lim f ( ) l ή l. f ( ), l im f ( ) im l και ενώ η f δεν έχει όριο στο, γιατί lim f ( ) lim, lim f ( ) f ( ). + «ΣΠΟΥ ΑΣΤΗΡΙΟ» Φροντιστήριο µέσης εκπαίδευσης 58 Επιµέλεια : Παναγιώτης Περδικούρης
Τριγωνομετρικά Όρια Το κριτήριο παρεµβολής είναι χρήσιµο για τον υπολογισµό ορισµένων τριγωνοµετρικών ο- ρίων. Αποδεικνύεται ότι: ηµ, για κάθε (η ισότητα ισχύει µόνο όταν ) µε τη βοήθεια της παραπάνω ανισότητας και του κριτηρίου παρεµβολής αποδεικνύεται ότι : ηµ ηµ συν συν απόδειξη β) έχουµε αποδεικνύεται ότι για κάθε ηµ + συν ηµ εφ συν συν (συν )(συν+ ) lim (συν+ ) π π,, ισχύει ηµ συν < < ηµ συν συν im (συν+ ) l. ηµ (συν+ ) ηµ ηµ ηµ ηµ ηµ ( + lim συν) + συν + συν ηµ + συν + Όλα τα αποτελέσµατα που αναφέρθηκαν παραπάνω ισχύουν, µε κατάλληλες τροποποιήσεις και για πλευρικά όρια. παραδείγματα ) να υπολογίσετε το εφ π, {, κ π+ }, κ Ÿ ηµ εφ ηµ ηµ lim συν lim lim συν συν ηµ lim συν συν 59
όριο συνάρτησης στο ηµ ) να υπολογίσετε το, {, } ηµ ηµ ηµ έχουµε lim lim ( ) ) να υπολογίσετε το ηµ, { κ π}, κ Ÿ ηµ ηµ ηµ συν έχουµε im lim lim( συν) συν ηµ ηµ l. ) να υπολογίσετε το ηµ im ηµ l, ηµ η συνάρτηση f ( ), ορίζεται στο σύνολο {, κ π }, κ Ÿ ηµ ηµ ηµ για έχουµε lim lim ηµ ηµ ηµ ηµ ηµ lim ηµ ηµ ηµ ß το και ηµ, µε το κριτήριο παρεµβολής ηµ ηµ lim ηµ 5) να υπολογίσετε το, { }, +. έχουµε ηµ ( ) + ηµ + + ηµ + + im lim + + + ( + ) ηµ im l ηµ im l ( + + ) l lim( + + ) ( + + ) «ΣΠΟΥ ΑΣΤΗΡΙΟ» Φροντιστήριο µέσης εκπαίδευσης 6 Επιµέλεια : Παναγιώτης Περδικούρης
Όριο σύνθετης συνάρτησης Έστω ότι ζητάµε να υπολογίσουµε το f ( g( )), της σύνθετης συνάρτησης f g στο σηµείο, εργαζόµαστε ως εξής:. θέτουµε u g().. υπολογίζουµε (αν υπάρχει) το u lim g( ) uo και. υπολογίζουµε (αν υπάρχει) το f ( u)... Αποδεικνύεται ότι, αν g( ) u κοντά στο o, τότε το ζητούµενο όριο είναι ίσο µε l, δηλαδή ισχύει: u u ( f og ) ( ) lim f ( g( )) lim f ( u). u u παραδείγματα ) για να υπολογίσουµε το όριο l ηµ( ) θέτω u, im limu lim( ), δηλ u ηµ u. u u π ) να υπολογιστεί το ηµ + αν θέσουµε οπότε π u +, τότε u lim π + π π ηµ + lim ηµ u ηµ. π u π, δηλ. u Æ π ηµ ) να υπολογιστεί το για κάθε, έχουµε f () ηµ ηµ ηµ ηµ θέτω u, ηµ u im lim lim limu lim, u u u l. 6
όριο συνάρτησης στο ) ) να αποδείξετε ότι το α, α ) ) για κάθε, έχουµε f () α (α ) ) ) θέτω u α, im α lim α limu limα, u ηµ u α α α. u u l. ηµ ) ισχύουν και γενικά α για κάθε πραγµατικό αριθµό α ( το εκφράζεται σε rad ) 5) να υπολογιστεί το η συνάρτηση f ( ), ορίζεται στο [, + ) {} έχουµε l θέτω u, im limu lim, u ( u ) u u u u u u u ( u u ) u ( u ) ( u + u+ ) u u u u u ( u + u+ ) ( + + ) u ηµ 6) να υπολογιστεί το + ηµ για κάθε, έχουµε f () ηµ ηµ ( ) ηµ + ηµ ηµ ηµ (+ ) + ηµ ηµ lim + ηµ ηµ + + «ΣΠΟΥ ΑΣΤΗΡΙΟ» Φροντιστήριο µέσης εκπαίδευσης 6 Επιµέλεια : Παναγιώτης Περδικούρης
7) να υπολογίσετε το η συνάρτηση f ( ) έχει πεδίο ορισµού το [, ) (, + ) και το µηδενίζει τον αριθµητή και τον παρονοµαστή του κλάσµατος, έχουµε lim θέτω, u u imu im im, u l l l u u lim lim u u u ( u ) ( u + u+ ) u u + u+ 8) να υπολογίσετε το 6
όριο συνάρτησης στο. Αν lim f ( ) και lim g( ) να βρείτε τα όρια: i) lim f ( ) g( ) ii) lim [ f ( ) + g( )] iii) lim 6 f ( ) [ g( )] g( ) f ( ). Να βρείτε τα όρια i) lim( 5 + ) ii) lim iii) lim + ( ). Να βρείτε τα όρια + iv) lim ( ) 5+ 5. 5 + + i) lim ii) lim + ( h 5) 5 iii) lim h h iv) lim. Έστω µια συνάρτηση f για την οποία ισχύει: Αν είναι γνωστό ότι υπάρχει το lim να βρείτε τον αριθµό l. ( f ( )) ( f ( )) + f ( ) ηµ, για κάθε. f ( ), και ισούται µε τον πραγµατικό αριθµό l 5. Αν lim i) lim f ( ), να βρείτε τα όρια: f ( ) ii) lim ( + ) f ( ) 6. Να βρείτε, αν υπάρχουν, τα όρια i) lim + 6 ii) lim + + + α+ β,. 'Εστω η συνάρτηση f ( ). Να βρείτε τα α, β ώστε να ισχύει lim f ( ) α+ β, >. Αν για τη συνάρτηση f ισχύει lim ( 5 f ( ) + ) 5, να βρείτε το lim f ( ).,. 'Εστω η συνάρτηση f ( ) α+ β, < <. Να βρείτε τα αβ,, έτσι ώστε να υπάρχουν τα /, όρια: lim f ( ) και lim f ( ) «ΣΠΟΥ ΑΣΤΗΡΙΟ» Φροντιστήριο µέσης εκπαίδευσης 6 Επιµέλεια : Παναγιώτης Περδικούρης
5. Να βρείτε το όριο lim 6. 7. Αν f ( ) + + για κάθε R, να βρείτε το lim f ( ). 8. 9. Έστω µια συνάρτηση f για την οποία ισχύει: Αν είναι γνωστό ότι υπάρχει το lim ( f ( )) ( f ( )) + f ( ) ηµ, για κάθε R. αριθµό l να βρείτε τον αριθµό l. f ( ), και ισούται µε τον πραγµατικό 65