Κεφαλαιο 7: Η ΜΠΣ για ελλειπτικά προβλήματα με μη-ομαλές λύσεις Όπως είδαμε μέχρι τώρα η ομαλότητα της ακριβούς λύσης επηρεάζει τις εκτιμήσεις σφάλματος με τέτοιο τρόπο ώστε ολα όσα αποδείξαμε ισχύουν με την προϋπόθεση ότι η λύση u ανήκει σε κάποιο χώρο Sobolev συγκεκριμένης τάξης (η οποία είναι επαρκώς ψηλή). Τι γίνεται όμως αν δεν συμβαίνει αυτό και η λύση δεν είναι επαρκώς ομαλή; Θα ασχοληθούμε με αυτή την ερώτηση στο παρόν κεφάλαιο αρχίζοντας με τις εξής παρατήρησεις: Στη 1-διάσταση η ομαλότητα της λύσης εξαρτάται μόνο από τα δεδομένα του ΠΣΤ (δηλ. από τις συναρτήσεις συντελεστών και από το δεξί μέλος της ΔΕ). Στις (και περισσότερες) διαστάσεις η ομαλότητα της λύσης εξαρτάται από τα δεδομένα του προβλήματος (όπως και πριν) αλλά και από τη γεωμετρία του χωρίου. Αν για παράδειγμα τα δεδομένα είναι επαρκώς ομαλά αλλά το χωρίο περιέχει γωνίες τότε η λύση δεν θα είναι επαρκώς ομαλή και θα περιέχει ιδιομορφίες (sngulartes). Θα δούμε πως η ΜΠΣ συμπεριφέρεται για τέτοιου είδους ελλειπτικά προβλήματα και συγκεκριμένα θα κατασκευάσουμε μη-ομοιόμορφα πλέγματα τα οποία θα έχουν σαν αποτέλεσμα τη προσέγγιση τέτοιων λύσεων με το βέλτιστο ρυθμό σύγκλισης. Τα αποτελέσματα θα δοθούν χωρίς αποδείξεις μια και η αυστηρή μελέτη τους είναι εκτός του στόχου αυτών των σημειώσεων. 7.1 Το μονοδιάστατο πρόβλημα Υποθέτουμε ότι η λύση ενός ας τάξης ελλειπτικού ΠΣΤ δίδεται από (7.1) (1 a) a u ( ) ( a) (1 a) a
όπου a [ 1) δοθείσες σταθερές και [ 1]. Το a καθορίζει που στο διάστημα [ 1] θα έχουμε ιδιομορφία ενώ το λ καθορίζει αν θα έχουμε ιδιομορφία ή όχι. Στο Σχήμα 7.1 δείχνουμε την γραφική παράσταση της u για διάφορες τιμές του λ. Αν λ τότε η u είναι αρκετά ομαλή και η μέχρι τώρα ανάλυση ισχύει. Αν λ ½ τότε u H 1 [1] και η ΜΠΣ δεν μπορεί να χρησιμοποιηθεί στη μορφή που είδαμε μέχρι τώρα. Αν λ (½ ) τότε η εκτίμηση σφάλματος (για την εκδοχή h της ΜΠΣ με πολυώνυμα βαθμού p σε ομοιόμορφο πλέγμα) είναι (7.) u u C( p) N mn{ p 1/ } N με β να καθορίζει τον (ασυμπτοτικό) ρυθμό σύγκλισης. Με άλλα λόγια για λ (½ ) ο ρυθμός σύγκλισης μπορεί να αλλοιωθεί (δυσμενώς) όπως για παράδειγμα αν λ = 1.1 p = 1 που θα δώσει ρυθμό ½ αντί για 1 (όπως θα αναμέναμε). =.5 = 4 =.5 = 1. -.5 -.1 -.5 -.15 -. -.1 u e -.5 u e -.15 -.3 -.35 -. -.4 -.45.1..3.4.5.6.7.8.9 1 -.5.1..3.4.5.6.7.8.9 1 =.5 =.75.3 =.5 =.1 -.5. -.1.1 -.15 u e u e -.1 -. -. -.5 -.3 -.3 -.4 -.35.1..3.4.5.6.7.8.9 1 -.5.1..3.4.5.6.7.8.9 1 Σχήμα 7.1: Η λύση u που δίδεται από την (7.1) για α =.5 και διάφορες τιμές του λ. Το ίδιο συμβαίνει και με την εκδοχή p της ΜΠΣ αλλά το αποτέλεσμα είναι λίγο καλύτερο από αυτό της εκδοχής h. Συγκεκριμμένα η εκτίμηση σφάλματος (για την εκδοχή p της ΜΠΣ με πολυώνυμα βαθμού p σε ομοιόμορφο σταθερό πλέγμα) είναι (7.3) ( u u 1) N CN C
3 που δείχνει ότι η εκδοχή p συγκλίνει με ρυθμό διπλάσιο από αυτόν της εκδοχής h. Στην Ενότητα 6.3 είδαμε πως μπορούμε να κατασκευάσουμε το βέλτιστο πλέγμα για την προσέγγιση μιας συνάρτησης που περιέχει τέτοιου είδους ιδιομορφίες. Άρα αν η ΜΠΣ οριστεί σε ένα κατάλληλο πλέγμα τότε μπορούμε να πάρουμε τον αναμενόμενο ρυθμό σύγκλισης (και για τις δύο εκδοχές h και p της ΜΠΣ). Χονδρικά αν το χωρίο είναι το διάστημα [ ] και το σημείο ιδιομορφίας είναι το τότε τα κομβικά σημεία λεγόμενου γεωμετρικού πλέγματος (geometrcally graded mesh) δίδονται από (7.4) 1 j M j j q j 1... M όπου q ( 1) καλείται γεωμετρικός λόγος (geometrc rato). Μπορεί να δειχτεί ότι η βέλτιστη τιμή του q είναι περίπου.15 (για λύσεις του τύπου (7.1)). j M 1 j1 του Η εκδοχή hp της ΜΠΣ δίναται να δώσει εκθετικό ρυθμό σύγκλισης ακόμα και για συναρτήσεις με ιδιομορφίες (όπως π.χ. η (7.1)) αν το πλέγμα και οι βαθμοί των πολυωνύμων επιλεγούν κατάλληλα. Συγκεκριμμένα αν το πλέγμα είναι γεωμετρικό και οι βαθμοί των πολυωνύμων αυξάνονται γραμμικά μακρυά από το σημείο ιδιομορφίας τότε ισχύει (7.5) N u u Ce C. N (Το γ εξαρτάται από τη διάσταση του χωρίου: γ = 1 στη 1-διάσταση γ = 1/3 στις - διαστάσεις και γ = 1/5 στις 3-διαστάσεις.) Παράδειγμα 7.1: Έστω ότι η λύση είναι του τύπου (7.1) με α = (δηλ. η ιδιομορφία είναι στο = ) και έστω ότι ο γεωμετρικός λόγος είναι q = 1/. Τότε για την εκδοχή hp το πλέγμα (και οι βαθμοί των πολυωνύμων) αλλάζουν ως εξής: κ.λ.π. Σχήμα 7.: Το πλέγμα και οι βαθμοί των πολυωνύμων για την εκδοχή hp με γεωμετρικό λόγο 1/.
4 7. Ιδιομορφίες στις -διαστάσεις Θεωρούμε τη ΜΔΕ του Laplace u στο όπου το χωρίο Ω περιέχει μια γωνία όπως φαίνεται στο σχήμα 7.3. Σχήμα 7.3: Το χωρίο Ω με μια γωνία στην αρχή των αξόνων Ο = ( ). Αναμένουμε ότι η λύση u θα παρουσιάσει ιδιομορφία στο σημείο Ο. Μπορούμε να γράψουμε u = u1 + u όπου η u1 είναι ομαλή συνάρτηση και η u περιέχει τις ιδιομορφίες. Σε μια γειτονιά του σημείου που προκαλεί την ιδιομορφία ισχύει u A r ( ) όπου (r θ) είναι πολικές συντεταγμένες με αρχή το ιδιόμορφο σημείο ομαλές συναρτήσεις. Η εξίσωση του Laplace σε πολικές συντεταγμένες είναι (7.6) 1 u 1 u 1 u. r r r r A και ψ(θ) είναι Θα λύσουμε την (7.6) με τη Μέθοδο Χωρισμού των Μεταβλητών και θα ψάξουμε για λύσεις της μορφής u( r ) r F( ) για κάποιες σταθερές λ και κάποιες συναρτήσεις F(θ). Αντικαθιστούμε την πιο πάνω παράσταση στη εξίσωση (7.6) και έχουμε
5 ή 1 1 1 ( 1) r F( ) r F( ) r F ( ) r F( ) r F ( ) r r Λύνουμε τη πιο πάνω ΣΔΕ και βρίσκουμε άρα ( ) ( ). r F F F( ) a cos( ) a sn( ) a a 1 1 u( r ) a r cos( ) a r sn( ) a a. 1 1 Οι σταθερές a1 a λ προσδιορίζονται από τις συνοριακές συνθήκες όπως θα δούμε πιο κάτω. Σημειώνουμε ότι λ είναι ισοδύναμο με το να έχουμε u Ε(Ω). Έστω ότι έχουμε τις εξής συνοριακές συνθήκες: u για / u για / n Τότε u(r α/) = δίνει (7.7) a1r cos( / ) ar sn( / ). Για την άλλη ΣΣ έχουμε u 1 u 1 a1r sn( / ) ar cos( / ) n r r / / 1 1 (7.8) a r sn( / ) a r cos( / ). 1 Διαιρούμε τις (7.7) (7.8) με r λ λr λ 1 αντίστοιχα και έχουμε το σύστημα cos( / ) sn( / ) a1 sn( / ) cos( / ) a. Για να έχουμε μοναδική λύση θα πρέπει η ορίζουσα του πίνακα συντελεστών να είναι μηδέν: 3 5 cos ( / ) sn ( / ) cos( )... 1 Ορίζουμε λοιπόν 1... και από την (7.7) έχουμε
6 Άρα οι λύσεις a a 1 1 cos cos( / ) 4 ( 1). sn( / ) 1 sn 4 u ( r ) r cos( ) ( 1) sn( ) 1... ικανοποιούν τη ΜΔΕ και τις συνοριακές συνθήκες γύρω από το ιδιόμορφο σημείο. Έτσι στη γειτονιά του σημείου αυτού έχουμε (7.9) u( r ) Au ( r ) r r όπου 1 A και r η ακτίνα σύγκλισης της άπειρης σειράς. Παρατήρηση 7.1: Για σταθερό θ η λύση u ~ r λ παρομοιάζει της λύσης του προβλήματος στη 1-διάσταση (με ιδιομορφίες) άρα αναμένουμε τους ρυθμούς σύγκλισης να είναι επίσης παρόμοιοι. 7.3 Ρυθμοί σύγκλισης στη νόρμα ενέργειας Θεωρούμε ελλειπτικά ΠΣΤ (στις -διαστάσεις) των οποίων οι λύσεις είναι της μορφής (7.9) και θέτουμε ma το οποίο μετρά την ομαλότητα της (ακριβούς) λύσης. Για την εκδοχή h της ΜΠΣ ισχύει u u CN F όπου C και Ν ο αριθμός βαθμών ελευθερίας. Αν το πλέγμα είναι (σχεδόν) 1 mn ομοιόμορφο τότε p. Για μη-ομοιόμορφο πλέγμα (π.χ. προσαρμοστικό) έχουμε p / κάτι που ισχύει και αν η λύση είναι ομαλή και το πλέγμα (σχεδόν) ομοιόμορφο. Για την εκδοχή p της ΜΠΣ έχουμε u u CN F
7 με β = λ/ αν το ιδιόμορφο σημείο δεν είναι κομβικό σημείο και β = λ όταν είναι. Στη περίπτωση που η λύση είναι ομαλή (π.χ. αναλυτική συνάρτηση) τότε (7.1) u uf C ep N όπου C με δ ½. Για την εκδοχή hp της ΜΠΣ ισχύει η (7.1) ακόμα και για λύσεις της μορφής (7.9) αν το πλέγμα και οι βαθμοί των πολυωνυμων βάσης επιλεγούν κατάλληλα. Συγκεκριμένα το πλέγμα περιέχει μικρά στοιχεία γύρω από τα σημεία ιδιομορφίας και μεγάλα στοιχεία μακριά από αυτά. Το μέγεθος των στοιχείων ακολουθεί γεωμετρική πρόοδο με λόγο σ.15. Ο βαθμός των πολυωνύμων βάσης είναι γραμμικός δηλ. είναι μεγάλος στα μεγάλα στοιχεία και μικρός στα μικρά στοιχεία. Παράδειγμα 7.: Έστω ότι η λύση είναι του τύπου (7.9) με την μόνη ιδιομορφία να βρίσκεται στο σημείο Α (βλ. το πιο κάτω σχήμα) και έστω ότι ο γεωμετρικός λόγος είναι σ = 1/. Τότε για την εκδοχή hp το πλέγμα και οι βαθμοί των πολυωνύμων αλλάζουν ως εξής: Σχήμα 7.: Το πλέγμα και οι βαθμοί των πολυωνύμων για την εκδοχή hp με γεωμετρικό λόγο 1/.