Υποδείγματα GARCH
Γιατί; Κίνητρο: υποδείγματα που υποθέτουν γραμμική δομή δεν μπορούν να εξηγήουν ημαντικά χαρακτηρίτηκα των χρηματοοικονομικών χρονοειρών - λεπτοκύρτοη - volaili clusering Το παραδοιακό υπόδειγμα: + +... + k k + u, ή X + u. Υποθέτουμε u N(0,.
Δείγμα Χρηματοοικονομικών Χρονοειρών Dail S&P 500 Reurns for Januar 990 December 999 Reurn 0.06 0.04 0.0 0.00-0.0-0.04-0.06-0.08 /0/90 /0/93 Dae 9/0/97 3
Έλεγχος μη-γραμμικότητας Έλεγχος Ramse s RESE : 3 p u + + +... + + v 0 p Επίης ο έλεγχος ARCH του Engle (98. 4
Ετεροκεδατικότητα Έτω το υπόδειγμα + + 3 3 + 4 4 + u με u N(0,. u Η υπόθεη ότι η διακύμανη του διαταρακτικού όρου είναι ταθερή είναι γνωτή ως ομοκεδατικότητα, i.e. Var (u. Ποιες είναι οι υνέπειες όταν η διακύμανη του διαταρακτικού όρου δεν είναι ταθερή? - ετεροκεδατικότητα - τυπικά φάλματα είναι λάθος. Είναι πιθανόν η διακύμανη του διαταρακτικού όρου να είναι ταθερή; u 5
Auoregressive Condiionall Heeroscedasic (ARCH Χρηιμοποιούμε ένα υπόδειγμα το οποίο η διακύμανη δεν είναι ταθερή. Ηδιακύμανητουu : Var(u u -, u -,... E[(u -E(u u -, u -,...] Υποθέτουμε ότι E(u 0 Var(u u -, u -,... E[u u -, u -,...]. Από τί μπορεί να εξαρτάται η διακύμανη του διαταρακτικού όρου; Το τετράγωνο των καταλοίπων από την προηγούμενη περίοδο. Αυτό οδηγεί ε ένα υπόδειγμα ARCH (AuoRegressive Condiionall Heeroscedasic για την διακύμανη των καταλοίπων: α 0 + α u Αυτό είναι γνωτό ως υπόδειγμα ARCH(. 6
Υποδείγματα Auoregressive Condiionall Heeroscedasic(ARCH Ολόκληρο το υπόδειγμα θα είναι + +... + k k + u, u N(0, όπου α 0 + α u Μπορούμε να επεκτείνουμε το παραπάνω με q υτερήεις των τετραγώνων των καταλοίπων: α 0 + α u +α u +...+α q u q Αυτό είναι ένα υπόδειγμα ARCH(q. Αντί να χρηιμοποιούμε το, την ιλιογραφία η διακύμανη ονομάζεται h, οπότε το υπόδειγμα + +... + k k + u, u N(0,h όπου h α 0 + α u +α u +...+α q u q 7
Εναλλακτικός τρόπος γραφής των ARCH Ας εξετάουμε το υπόδειγμα ARCH(. Εναλλακτικά μπορεί να γραφεί: + +... + k k + u, u v 0 α + α u, v N(0, 8
Έλεγχος ARCH. Πρώτα εκτιμούμε το γραμμικό υπόδειγμα που μας δίνεται, π.χ. + +... + k k + u και παίρνουμε τα κατάλοιπα,. û. Παίρνουμε το τετράγωνο των καταλοίπων και τα παλινδρομούμε τις υτερήεις τους για να ελέγξουμε για ARCH αθμού q, π.χ. εκτιμούμε u γ 0 + γ u + γ u +... + γ qu q + v όπου v είναι iid. Παίρνουμε το R από αυτή τη παλινδρόμηη. 3. Η τατιτική ορίζεται ως R (αριθμός παρατηρήεων επί τον υντελετή πολλαπλής υχέτιης από την τελευταία παλινδρόμηη που ακολουθεί την χ (q. 9
Έλεγχος ARCH 4. Η μηδενική υπόθεη και η εναλλακτική: H 0 : γ 0 και γ 0 και γ 3 0 και... και γ q 0 H : γ 0 ή γ 0 ή γ 3 0 ή... ή γ q 0. Αν η τιμή της τατιτικής είναι μεγαλύτερη από την κριτική τιμή από την κατανομή χ, τότε η μηδενική υπόθεη απορρίπτεται. Μπορούμε να χρηιμοποιήουμε τον έλεγχο ARCH απευθείας την χρονοειρά (αποδόεις που μας ενδιαφέρει αντί των καταλοίπων του ήματος. 0
Προλήματα με ARCH(q Πως αποφαίζουμε για το q? Η επιθυμητή τιμή του q μπορεί να είναι μεγάλη. Οι μη-αρνητικοί περιοριμοί μπορεί να μην ικανοποιούνται. Όταν εκτιμούμε ένα υπόδειγμα ARCH, θέλουμε α i >0 i,,...,q (η διακύμανη δεν μπορεί να είναι αρνητική Μια φυική επέκταη των υποδειγμάτων ARCH (q που έχουν την δυνατότητα να ξεπεράουν κάποια από τα προλήματα είναι τα υποδείγματα GARCH.
Generalised ARCH (GARCH Models Προτάθηκαν από τον Bollerslev (986. Επιτρέπουν την υπό υνθήκη διακύμανη να εξαρτάται από χρονικές τις υτερήεις. Η εξίωη της υπό υνθήκη διακύμανης είναι α 0 + α u + - ( Αυτό είναι ένα υπόδειγμα GARCH(, το οποίο θυμίζει ένα ARMA(, για την εξίωη της υπό υνθήκη διακύμανης. Μπορούμε να γράψουμε - α 0 + α u + - - α 0 + α u 3 + -3 Αντικαθιτώντας την ( για - : α 0 + α u +(α 0 + α u + - α 0 + α u +α 0 + α u + -
Generalised ARCH (GARCH υνέχεια Αντικαθιτώντας την ( για - α 0 + α u +α 0 + α u + (α 0 + α u 3 + -3 α 0 + α u +α 0 + α u +α 0 + α u 3 + 3-3 α 0 (++ + α u (+L+ L + 3-3 Με υνεχής αντικατάταης α 0 (++ +... + α u (+L+ L +... + 0 Άρα το υπόδειγμά GARCH(, μπορεί να γραφτεί ως ένα άπειρης τάξης υπόδειγμα ARCH. Μπορούμε να επεκτείνουμε το υπόδειγμα GARCH(, ε GARCH(p,q: α 0 +α u +α u +...+α q u + - + - +...+ p -p q p 0 j j i j α + α iu i + q 3
Generalised ARCH (GARCH Models (υνέχεια Γενικά ένα υπόδειγμα GARCH(, είναι ικανό να εξηγήει την μεταλητότητα την διακύμανη (volaili clusering ενός δείγματος. Γιατί ένα υπόδειγμα GARCH είναι καλύτερο από ένα ARCH? -οικονομία (parsimonious αποφεύγουμε την υπερπαραμετροποίηη -λιγότερο πιθανό να αντιμετωπίουμε τους μη-αρνητικούς περιοριμούς (η διακύμανη δεν μπορεί να είναι αρνητική 4
Η διακύμανη (Uncondiional Variance του υποδείγματος GARCH Η διακύμανη u δίνεται όταν Var(u α + < α0 ( α + α + ονομάζεται «μη-τάιμη» διακύμανη. α + ονομάζεται ολοκληρωμένο (Inegraed GARCH Μη ταιμότητα την διακύμανη ημαίνει ότι η υπό υνθήκη διακύμανη δεν θα υγκλίνει την απλή τιμή της καθώς ο ορίζοντας αυξάνεται. 5
Εκτίμηη υποδειγμάτων ARCH / GARCH Εφόον το υπόδειγμα δεν έχει την τυπική γραμμική χέη, δεν μπορούμε να χρηιμοποιήουμε OLS. Θα πρέπει να χρηιμοποιήουμε μεθόδους μεγίτης πιθανοφάνειας. Η μέθοδος αυτή προπαθεί να ρει την πιο πιθανή τιμή των παραμέτρων δεδομένου του δείγματος. Πιο υγκεκριμένα διαμορφώνουμε μια υνάρτηη πιθανότητας (loglikelihood funcion και προπαθούμε να την μεγιτοποιήουμε. 6
Εκτίμηη ARCH / GARCH Models (υνέχεια Τα ήματα που ακλουθούμε για να εκτιμήουμε υποδείγματα ARCH ή GARCH είναι τα ακόλουθα. Διαμορφώνουμε τις εξιώεις για το μέο και την διακύμανη π.χ. υπόδειγμα AR(- GARCH(,: μ + φ - + u, u N(0, α 0 + α u + -. Μεγιτοποίηη της υνάρτηης πιθανότητας : L log(π log( 3. Το πρόγραμμα θα μεγιτοποιήει την υνάρτηη και θα πάρουμε τους εκτιμητές και τα τυπικά φάλματα. ( μ φ / 7
Μέγιτη Πιθανοφάνεια Έτω η απλή παλινδρόμηη με ομοκεδατικά φάλματα: + + u Αν υποθέουμε u N(0,, τότε N(, οπότε η + υνάρτηη υχνότητας πιθανότητας για μια μεταλητή μου ακολουθεί την κανονική κατανομή με αυτό το μέο και διακύμανη θα είναι ( ( f ( +, ep π Διαδοχικές τιμές του θα μας δώουν το χήμα της κανονικής κατανομής. Υποθέτοντας ότι τα u είναι iid, τότε και τα θα είναι iid. 8
9 Μέγιτη Πιθανοφάνεια Η από κοινού αθροιτική υνάρτηη πυκνότητας πιθανότητας μπορεί να γραφεί ( Αντικαθιτώντας ( για την (, (3 + f ( ep (,,...,, ( π + + + + + X f X f X f X f X f 4, (, (..., (, (,,...,, (
Εκτίμηη Παραμέτρων την Μέγιτη Πιθανοφάνεια Συνήθως μας δίνονται και και θέλουμε να εκτιμήουμε,,. Τότε η f( ορίζεται ως υνάρτηη πιθανότητας (likelihood funcion, LF(,,, LF(,, ep ( π ( (4 Η μέθοδος της μέγιτης πιθανοφάνειας ρίκει τιμές (,, που μεγιτοποιούν αυτή τη υνάρτηη. Διαφοροποιούμε τη (4 ε χέη με,,, αλλά η (4 περιέχει τοιχεία. 0
Αφού ma f ( malog( f (, παίρνουμε λογάριθμους τις (4. Εκτίμηη Παραμέτρων την Μέγιτη Πιθανοφάνεια Μπορούμε να πάρουμε την λογαριθμική υνάρτηη log-likelihood funcion, LLF: ( LLF log log(π Που είναι το ίδιο με LLF ( log log(π (5 Διαφοροποιούμε την (5 ε χέη με,,, παίρνουμε LLF (.. (6
Εκτίμηη Παραμέτρων την Μέγιτη Πιθανοφάνεια LLF (.. LLF ( + 4 (8 Θέτοντας τις (6-(8 ίες με το μηδέν για να ελαχιτοποιήουμε τις υναρτήεις και οι εκτιμητές ML, (7 Από (6, ( 0 0 0 0 (9
3 Από (7, (0 Από (8, Εκτίμηη Παραμέτρων την Μέγιτη Πιθανοφάνεια 0 ( 0 0 ( ( ( 4 (
Εκτίμηη Παραμέτρων την Μέγιτη Πιθανοφάνεια ( u ( Ποια είναι η χέη τους με τα OLS; (9 & (0 είναι τα ίδια με OLS ( είναι διαφορετικά. Ο εκτιμητής OLS ήταν u k Άρα ο εκτιμητής ML της διακύμανης είναι μεροληπτικός αλλά υμεπής. Πως μας οηθάει αυτή η μέθοδος να εκτιμήουμε υποδείγματα ARCH; 4
Εκτίμηη GARCH με Maimum Likelihood μ + φ - + u, u N(0, α 0 + α u + - L log(π log( Η LLF για υποδείγματα με μετααλλόμενη διακύμανη δεν μπορεί να μεγιτοποιηθεί αναλυτικά. Χρηιμοποιούμε αριθμητικές μεθόδους για να μεγιτοποιήουμε την log-likelihood funcion. Πιθανό πρόλημα: τοπικό μέγιτο. Βελτιτοποίηη:. Διαμόρφωη LLF.. Χρηιμοποιούμε OLS για αρχικές τιμές. 3. Υποθέτουμε τιμές για την υνάρτηη τις υπό υνθήκη διακύμανης. 4. Χρηιμοποίηη κάποιου κριτηρίου ύγκλιης.. ( μ φ / 5